第二章《有理数及其运算》巩固卷-2026北师大版数学七年级上册

第二章《有理数及其运算》巩固卷-北师大版数学七上单元测试卷

一、选择题（每题3分，共30分）

1.眉山市彭山区的江口沉银遗址历经六期围堰考古，累计出水文物7.6万余件.将76000用科学记数

法表示为（）

A.7.6x104B.7.6x105C.76x104D.0.76x105

2.下表12个方格中，每个方格内都有一个数，若任意相邻三个数的和都相等，则下列方格中数字

能被确定是（）

ABCDEFGHI-5JK

A.AB.EC.KD.以上都不能

3.已知数轴上的点A、B分别表示数a,b,其中-l<a<0,-l<b<0,且|a|二3|b|,若a-b=c、数c在数轴

上用点C表示，则点A、B,C在数轴上的位置可能是（）

4.下列计算结果正确的是（）

A.2+（-2）-?3=0B.-12+3=4

3

C.-4x（1+i）=-3D.1X2=1

5.把（+5）—（+3）—（—1）+（—5）写成省略括号的和的形式是（）

A.-5-3+1-5B.5—3—1—5

C.5+3+1—5D.5—3+1—5

6.王博在做课外习题时遇到这样的一道题:|-3+*|-（-8）.其中•是被涂损而看不清的一个数,他

翻开答案后得知该题的计算结果为15,则•表示的数是（）

A.10B.一4或一10C.-10D.10或一4

7.下列说法正确的是（）

A.若|a|+a=O,则a为负数B.|a|+l一定是正数

C.若|a|=\b\,则a=bD.若|a|＞网，则a-b是正数

8.如果甲、乙、丙三人合做一项工程，每天可以完成工程的1如果甲单独做这项工作需15天，

现在甲先做7天，剩下的由乙、丙合作，完成这项工作还需要多少天？（）

A.1.5天B.2.5天C.4天D.6天

9.已知三个有理数a,b,c的积是负数，它们的和是正数，当*=烁+里+41时，代数式（9-X+2

的值为（）

A.0B.2C.4D.5

10.我们常用的十进制数，如2639=2x103+6x1（）2+3x101+9,我国古代《易经》一书记载，远古时

期，人们通过在绳子上打结来记录数量，如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，并采

用七进制（如2513=2x73+5x72+1x71+3）,用来记录孩子自出生后的天数，由图可知，孩子自出生后

A.1435天B.51（）天C.365天D.13天

二、填空题（每题3分，共18分）

1L如图，现有5张写着不同数字的卡片，请你从中抽取3张卡片，使这3张卡片上数字的积最

大，则积最大是

12,下列说法中，正确的是.（请填写正确的序号）

①若|%|=I-3|,则％=±3；

②若|r|=|-3|,则％=3；

③若m是有理数，则m+|m|不可能是负数；

④若x+y=0,且y=0时，则机=1；

⑤已知a、b、c均为非零有理数，若Q+6+CVO,则号+里+1一盥的值为2或-2

13.有一种“24点”的扑克牌游戏的规则是：任意抽四张牌，各张牌上的数用加、减、乘、除、乘方

运算（可用括号）列一个算式，先得计算结果为“24”者获胜（J,Q,K分别表示11,12,13,A表示

1）。小聪抽到的四张牌如图所示，你能算出“24点”吗?请列出算

式.（写出一种即可）

小聪抽

到的牌:

n.1,-------；---

14.定义：分数记/可+⑺，n为正整数且互为质数）的连分数与+——（其中ai,az,a3,…，为

-。2+%+…

——n-1,1,1

整数，且等式右边的每个分数的分子都为1）,记作记/访十访十逋十….

711

=1

217]

如

例191_972+1£的连分数为2+[+1],1942+

7+---

52

-

5

111

1114++

一-

--+-12

12213.

15.观察下列解题过程：

计算：1+2+22+23+……+224+225的值.

解：设S=1+2+22+23+....+224+225,①

则2s=2+22+23+……+225+226,②

②一①，得S=226-1.

通过阅读，请用你学到的方法计算：1+4+42+43+…+4】9+42。=.

16.材料：一般地，n个相同因数a相乘：记为〃，如23=8,此时，3叫做以2为底的8的对数,

记为心生8（即2。。28=3）.那么，Z0&81—。。％32），=.

三、解答题（共7题，共72分）

17.计算：

（I）|—2|+（-3AXg+6+（-

⑵T+A护（T）

算•

18.•

/115

(1----

\236x24—(—2)x(—3)

(2)-I4+(-3)2x-424-|-4|

19.在数轴上表示下列各数，并用把这些数连接起来:

-22,-(-1),-|-2|,31

I_______I_______|_______|_______|_______|_______|_______I

-10I

20.某工艺品加工厂计划一周生产工艺品2450个，平均每天生产350个，受其他因素影响，实际每

天的产量与计划的产量相比有出入，下表是该厂某周的生产情况记录表：（超产记为正，不足记为

负）

星期—二三四五六日

产量/个+1()-6-3+8-7+16-8

（1）根据表格可知，前三天共生产工艺品个；

（2）本周产量最多的一天比最少的一天多生产多少个工艺品？

（3）已知该加工厂实行计件工资制度，每生产一个工艺品可得40元，以周为考核，若每周超额

完成任务，则超过的部分每个另外奖励50元，每少生产一个扣45元，试求该加工厂在本周需要支

付的工资总额.

21.七星关区某学校位于碧海大道上（碧海大道近似看成一条直线），该校涵盖了12个校区，秉持

着，‘自然教育”理念，推行“一三五十德育体系新学期开学，家长为了了解部分校区规划情况，该校

教师开车带领家长朋友们从校本部出发，向东行驶2千米到达店子校区参观，继续向东行驶2.5千米

到达前所校区参观，然后向西行驶11.5千米到达青龙校区参观，再向东行驶5.5千米到达汉屯校区参

观，最后回到校本部.如图所示，回答下列问题：

北

4东

校本部店子校区前所校区

---------@-------@---------@----------

（1）如图，以校本部为原点，以向东的方向为正方向，用1个单位长度表示1千米，请在数轴上

表示出青龙校区和汉屯校区的位置.

店子校区前所校区

IIIIIIII1,1I.II1A

-7-6-5-4-3-2-101234567

（2）青龙校区在校本部的什么地方？距离校本部多远？

（3）店子校区距青龙校区多远？

（4）若该校教师的轿车1千米消耗0.5L油，整个参观过程中，轿车一共消耗多少升油？

22.定义新运算：若ab=N（a）0,a。l,N>0）,则b叫作以a为底N的对数，记作log2N=b.例如：

因为53=125,所以logsl25=3.因为II2=121„所以logii121=2.

（I）填空：l°g33=，logos金=；

（2）如果如gs|m-4|=2,求m的值;

(3)若Iog327+log4x=log232,求2(x-l)的值.

23.概念学习

规定：求n个相同的有理数(均不等于0)的商的运算叫做除方，比如2：2:2,(-3)-(-3)-(-

3)-r(-3)等，类比有理数的乘方,我们把2・2+2写作2③,读作“2的3次商”，(-3).(-3)+(-

a+a+Q…+a(aH0)

3):(-3)-(・3)写作(-3)④，读作“-3的4次商”，一般地，把一写作a监读

“4

作、的n次商”.

初步探究

(1)直接写出计算结果：5②，(V)③；

(2)下列关于除方说法中，错误的是(只有一个正确答案).

A.当m#)时，m②=1

B.当m和时,

C.正数的n次商结果是正数，负数的n次商结果是负数

D.n次商等于它本身的数是1

深入思考

我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，那么有理数

的除方运算如何转化为乘方运算呢？

除力t9⑤=9+9+9+9+9=9XXX'X]=侍)一乘力(帑)的形式

、V、7yV\7/

(3)归纳：请把有理数a的n次商(a#),n>3),写成乘方(幕)的形式为：

an=；

(4)比较：(一2)⑧4⑤；(填或“=”)

(5)计算：12+(-2：^+0)⑤X4-(-48)+G)④

答案解析部分

1.【答案】A

【知识点】科学记数法表示大于10的数

【解析】【解答】解：76000=7.6x104.

故答案为：A.

【分析】根据科学记数法的表示形式为：axion,其中凡同<10,此题是绝对值较大的数,因此片整

数数位-1.

2.【答案】A

【知识点】有理数的加法法则

【解析】【解答】解：设任意相邻三个数的和为S,

•Z+8+C=S,B+C+D=S,

A.4+B+C=B+C+。，

：.A=0,

同理B=E,C=F,D=G,E=H,F=I,

.*.A=D=G,B=E=H,C=F=I,

又♦:G+H+/=S,H+/+(-5)=S,

，G+”+/="+/-5,

：.G=-5,

A.4=-5,

即.4的值可确定，

・.・E=B,K=I=C,B、C的值无法确定，

・・・E、K不能确定.

故答案为:A.

【分析】设任意相邻三个数的和为S,根据“任意相邻三个数的和都相等”可得4=D=G,B=E=

H,C=F=I,据此解答即可.

3.【答案】A

【知识点】有理数的大小比较-绝对值比较法

【辞析】【解答】解：・・・-lva<0,-lvb<0,且Ia|=3IbI,

，去绝对值得-a=-3b,即a=3b.

Va»b均为负数，IaI>IbI,

a<b<0.

X*.*a-b=c,将a=3b代入得c=3b-b=2b.

Vb<0,

/.c<0,且IcI=2IbI.

IaI=3Ib|,IcI=2Ib|,Ib|=|b|,

IaI>IcI>IbI,即a<c<b<0.

综上，点A,B,C在数轴上从左到右的顺序为A,C,B,且均在-1与0之间.

故答案为：A.

【分析】先根据Ia|二3Ib|及a,b均为负数，推出a=3b,从而得到a<b<()；再将a=3b代入a-

b=c,得c=2b,可知c<0；接着由Ia|=3Ib|,IcI=2IbI,推出|a|>|c|>|b|,即

a<c<b<0：最后确定三点均在与0之间，从左到右顺序为A,C,B,逐一对照选项找出对应选项

A.

4.【答案】C

【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；有理数混合运算法则(含乘方)

【蟀析】【解答】解：A.2+(-2)-3=2-1,A错误；

B.-124-3=-1+3=2,B错误；

C.—4x6+")=—4x'=—3»C止确；

D.Jx23=ix8=J>D错误.

o63

故答案为：C

【分析】有理数混合运算的顺序为：先算乘方，再算乘除，最后算加减；如果有括号，要先算括号

里面的。

5.【答案】D

【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则

【解析】【分析】先把加减法统一成加法，再省略括号和加号.

【解答】原式=(+5)+(-3)+(+1)+(-5)=5-3+1-5.

故选D.

【点评】必须统一成加法后，才能省略括号和加号.

6.【答案】D

【知识点】绝对值的概念与意义

【解析】【解答】解：设被涂损的数为X,则原方程为：

|-3+x|-（-8）=15

化简得：|-3+幻+8=15

|-3+x|=7

根据绝对值的定义，分两种情况：

-3+%=7,解得x=10

-3+x=-7,解得x=-4

所以，•表示的数是10或-4,

故答案为：Do

【分析】设被涂损的数为x,将题目转化为含绝对值的方程|-3+第|-（-8）=15,先化简方程,

再根据绝对值的定义分情况讨论，求出x的值。

7.【答案】B

【知识点】绝对值的非负性；用正数、负数表示相反意义的量

【解析】【解答】解：A.E!E||Q|+Q=O,则|a|=-QZ0,B|Ja<0,故a不一定为负数，可能为

零，A错误；

B.由|Q|N0,则|Q|+1N1>0,故|可+1一定是正数，B正确；

C.由|a|=|b|时，。=力或。=一匕，故不一定相等，C错误；

D.例如a=—5,匕=3,|Q|=5>3=⑸，但a—匕=一8<0,故a—匕不一定是正数，D错误.

故选B.

【分析】根据绝对值的性质逐项进行判断即可求出答案.

8.【答案】C

【知识点】有理数混合运算的实际应用

【辞析】【解答］解：=

（/x7）桑=4（天）.

故答案为：C.

【分析】先求出乙、丙合作合作的工作效率，进而得出答案.

9.【答案】B

【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；有理数混合运算法则（含乘方）；化简含绝对值有理数

【解析】【解答】解：二•二个有埋数a,b,c的积是负数，

・・・这三个数是两正一负或三负，

乂•・•这三个数的和是正数，

・••这三个数是两正一负，

不妨设a>0,b>0,则cVO,

・"=回+塔+回=1+1.1=1,

abc

Ax19-x+2

=「9-1+2

=1-1+2

=2,

故答案为：B.

【分析】先分析出这三个数是两正一负，再求出X=[l+$1+#=1+I-1=1,最后将其代入"9-

x+2计算即可.

10.【答案】B

【知识点】有理数混合运算的实际应用

【解析】【解答】解：1x73+3x742x7+6

=1x343+3x49+2x7+6

=343+147+14+6

=510

故答案为：B.

【分析】类比现在我们的十进制“满十进一”，可以表示满七进一的数为：千位上的数X73+百位上的

数X72+十位上的数X7+个位上的数.

1L【答案】120

【知识点】有理数的乘法法则

【解•析】【解答】解：要使抽取的3张卡片数字积最大，需利用“负负得正”的规则，优先选择绝对值

大的负数与正数组合：

从卡片一6、一5、―1、+2、+4中，选择一6、一5、+4,其积为：

(-6)x(-5)X4=30x4=120.

故答案为：120.

【分析】根据“负负得正”的有埋数乘法规则，选择绝对值最大的两个负数-6、-5与最大的正数

+4相乘，即可得到最大积。

12.【答案】①③④⑤

【知识点】有理数的加、减混合运算；有理数的除法法则；求有理数的绝对值的方法

【解析】【解答】解：①由田=|一3|=3,得为=±3,①符合题意；

②由|-x|=|-3|=3,得|幻=3,故汇=±3,②不符合题意；

③当mN0时，m+\m\=2m>0；当mV0时，m+\m\=0,故m+|m|不可能为负数，③

符合题意；

④由x+y=0且yWO,得“一y,则猊=号=1,④符合题意；

⑤由Q+b+c<0,可知Q、b、c中负数的个数为1或2或3,

当负数的个数为1时，设a为负数，b、c为正数，那么晒V0回+地一华=W+今+

abcabcab

>（阖=T+1+1-（T）=2'

当负数的个数为2时，设a、b为负数，c为正数，那么Q儿>0,则咧+塔+色一喀!=二£+

abcabca

（由+2窸=TT+lT=-2，

当负数的个数为3时，则a、6c都是负数，那么Mcvo,则蚂+阜1+9一华=W+（?）+

abcabca\b/

（才感）——，

⑤符合题意.

综上，符合题意的有①③④⑤.

故答案为：①③④⑤.

【分析】本题考查相反数和绝对值的概念，需理解定义并运用相关性质分析各选项。

13.【答案】11+10+5-2=24（答案不唯一）

【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则

【解析】【解答】解：11+10+5-2=24,

故答案为：11+10+5-2=24.

【分析】利用四则运算符号连接，使得四个数的运算结果为24即可.

14.【答案】2_

【知识点】有理数的倒数；有理数的加减乘除混合运算的法则

1=1=1=1=7

【蟀析】【解答】解：根据题意，可得出，要求的数为：耳£一兄一工得一呼一而。

故答案为：击

1

【分析】首先根据题意列出算式1+进而进行计算，即可得出答案。

21

百【答案】一

【知识点】有理数混合运算法则（含乘方）

【解析】【解答】解：设S=1+4+42+43+…+419+42。，①

则4s=4+42+43+…+419+420+421,（2）

②—①，得3s=421—1

.42J

故答案为：土L.

3

【分析】本题考查有理数的混合运算及错位相减求和，设和为S,再乘公比4得4S,两式相减消去

中间项，作差后化简得结果.

16.【答案】-21

【知识点】有理数混合运算法则（含乘方.）

【解析】【解答】解：由对数的定义可知:

:34=81,

log381=4：

•••25=32,

•••logz32=5.

代入原式：

2

log381-(log232)=4-52=4-25=-21.

故答案为：一21.

【分析】先求出log381=4,log232=5,再将其代入，09381-（，。/32）2计算即可.

17.【答案】（1）解：|一2|+（—3）2乂*+6+（—考

12

2+9X-+6X-

33

=2+3-4

=1：

(2)解：(_4+6_d+(一源)

315

4+6-8x(-24)

i3x(-24)4x(-24)-fx(-24)

「46o

=18-4+15

=29.

【知识点】有理数的乘法运算律；有理数混合运算法则(含乘方)

【解析】【分析】本题主要考查有理数的混合运算，重点考察含乘方的运算顺序和运算律的应用，解

题卅需熟练掌握相关运算法则。

(1)运算顺序解析：首先计算乘方运算，然后进行乘除运算，最后完成加减运算；

(2)简便运算提示：该小题可利用乘法分配律进行简化计算。

(1)解：2|+(―3)2x/+6+(一,)

12

2+9X-+6X-

33

=2+3-4

=1:

⑵解:

/315\、

=(-4+6"8?("24)

=(/-43)\x(-24)+61x(-24)-5gx(-24)

=18-4+15

=29.

315

---

18236x24-6

=36-8-20-6

=2

(2)解：原式=-1+9乂(一|)一16+4

=—1—6—4

=-11

【知识点】有理数的乘法运算律；有理数混合运算法则（含乘方）

1531

----X24--X

【解析】【分析】（1）先根据乘法分配律把362324

5x24-6,再根据有理数的乘法运算法则求解，然后计算加减即可.

O

（2）先把一甘+（—3）2x（—1）-42+|-4|计算乘方，然后计算乘除得一1一6-4,最后计算加减.

（1）x24-（-2）x（-3）=|x24-1x24-1x24-6

=36-8-20-6

=2；

（2）-I44-（-3）2x-421-4|=-1+9x（-9-16+4

=-1-6-4

=-11.

19.【答案】解：-22=-4,-（-1）=1,-|-2|=-2.

在数轴上表示如下：

O、1

-22<-I-2|<-（-1）<3^.

【知识点】有理数的乘方法则；有理数在数轴上的表示；求有理数的绝对值的方法；有理数的大小比较-数

轴比较法

【解析】【分析】对含有乘方、绝对值、相反数的数进行化简，明确每个数的具体值；接着将化简后

的数在数轴上找到对应位置；最后依据数轴上数的大小规律（左边的数小于右边的数），时y”连接

各数.

20.【答案】（1〉1051

（2）解：本周产量最多的一天比最少的一天多生产16-（-8）=16+8=24（个）；

（3）解：-3+8-7+16-8=10（个），

・••超额完成任务，比计划多生产10个，即本周总的生产了350x7+10=2450+10=2460个，

•••每生产一个工艺品可得40元，超过的部分每个另外奖励50元，

A2460x40+10x50=98400+500=98900（元），

，这一周应付出的，资总额为98900元.

【知识点】有理数混合运算的实际应用；正数、负数的实际应用；有理数减法的实际应用

【解析】【解答］解：（1）前三天共生产工艺品350x3+10-6-3=1051（个）；

【分析】

（I）利用前.三天的计划工作量，加上与计划超过或不足的量即可；

（2）先分别确定出产量最多的一天和产量最少的一天的工作量，再作有理数的减法运算即可；

（3）先求出本周与计划相比的量可得超出或不足的部分，再求出实际生产量，再按照计件工资方案计

算即可.

（1）解：前三天共生产工艺品350x3+10-6-3=1051（个）；

（2）本周产量最多的一天比最少的一天多生产16-（-8）=16+8=24个工艺品

（3）710-6-34-8-7+16-8=10（个），

・••超额完成任务，比计划多生产10个，即本周总的生产了350x7+10=2450+10=2460个，

•・•每生产一个工艺品可得40元，超过的部分每个另外奖励50元，

A2460X40+10x50=9840D+500=98900（兀），

・♦.这一周应付出的工资总额为98900元.

2L【答案】（1）解：青龙校区在0+2+2.5-11.5=-7

汉屯校区在-7+5.5=-1.5

如图，

青龙校汉屯校校本部店子校区前所校区

jIIII1.1▲।।1.1।1A

-7-6-5-4-3-2-101234567

（2）解：由（1）可得，青龙校区在校本部的西边，距离校本部7km

（3）解：2-（-7）=9km

答：店子校区距青龙校区9km

（4）解：2+2.5+11.5+5.5+1.5=23km

23x0.5=11.5L

答：整个参观过程中，轿车一共消耗11.5升油

【知识点】正数、负数的实际应用；有理数在数轴上的表示；数轴上两点之间的距离；有理数减法的实际

应用；有理数乘法的实际应用

【解析】【分析】（1）本题考察数轴的应用（表示有理数），以校本部为原点，向东为正方向，1个单位

长度表示1千米，计算各校区位置：青龙校区位置为0+2+2.5-11.5=-7,汉屯校区位置为

-7+5.5=-1.5,在数轴上对应位置标出两点；

⑵本题考察正负数的实际意义，数轴上负数表示向西，正数表示向东，青龙校区对应数为-7,故

在西边，距离为该数的绝对值7km：

⑶本题考察数轴上两点间距离的计算，店子校区位置为2,青龙校区位置为-7,两点间距离为

|2-(-7)|=9km；

(4)本题考察有理数加法在路程计算中的应用，总路程为各段行驶距离的绝对值之和(行驶距离无方

向)，即2+2.5+11.5+5.5+1.5=23km,再乘以每千米耗油量0.5L,得到总耗油量。

(I)解：青龙校区在0十2十2.5—11.5=-7

汉屯校区在一7+5.5=-1.5

如图，

青龙校汉屯校校本部店子校区前所校区

、IIIIi.i,I]I1.1I1A

-7-6-5-4-3-2-101234567

(2)解：由(1)可得，青龙校区在校本部的西边，距离校本部7km

(3)解：2-