不等式与不等关系（5年汇编）解析版

专题02不等式与不等关系

考点分类五年考情（2022・2026）命题规律

高考对不等式性质的考查虽单独

2026北京卷、2026上海卷、

考点01不等式的命题频率较低，但相关知识贯穿各

2024上海卷、

性质类题型，是进行不等式变形、证明

2022上海卷

及解题的核心工具

2026上海卷、

2025年全国二卷、2025天津卷、

考点02一元二次一元二次不等式、分式不等式常与

2025上海卷、

不等式、分式不等集合运算、函数定义域、导数求单

2024上海卷、

式调区间等综合考查

2023年新高考卷I、

2022上海卷

2026天津卷、2026上海卷、

2025北京卷、2025上海卷、

考点03基本不等基本不等式是求最值的常用工具，

2024北京卷、2024上海卷、

式难度不定

2023上海卷、

2022年新高考卷II

考点04线性规划2024年全国甲卷

新高考已经剔除，但是在直线与圆

（新高考已经删2023年全国甲卷、2023年全国乙

的位置关系求最值问题中，它的思

除，思想具有参考卷

想有所体现

意义）2022年全国乙卷、2022浙江卷

息考点01不等式的性质

I.（2026•北京・高考真题）学校组织高一、高二学生参观甲、乙两地博物馆，每位学生可自主选择一处前

往.已知高一学生总人数多于高二学生总人数，前往甲地的全体学生总数多于前往乙地的全体学生总数，

则（）

A.去甲地的高一学生人数多干去乙地的高一学生人数

B.去甲地的高一学生人数多于去乙地的高二学生人数

C.去甲地的高一学生人数不多于去乙地的高二学生人数

D.去乙地的高二学生人数不少于去甲地的高二学生人数

【答案】B

【分析】设出高一、高二去甲、乙地的人数，根据题目条件建立不等关系，即可得出结论.

【详解】由题意，设高一学生去甲地的人数为A,去乙地的人数为8,

高二学生去甲地的人数为C,去乙地的人数为。，

・•・高一总人数：A+4,高二总人数。+。，前往甲地的学生人数：A+C,前往乙地的学生人数：B+D,

•・•高一总人数多于高二总人数，前往甲地的全体学生总数多于前往乙地的全体学生总数，

A+B>C+D

•••f.厂D八，由不等式的性质，两侧分别相加并化简得

・・・高一学牛去甲地的人数多于高二学牛去乙地的人数，故B正确，A,C,D均错误.

2.（2026・上海・高考真题）已知则下列不等式恒成立的是（）

A.x>/B.C.x2>yD.x+y>xy^

【答案】C

【分析】举反例即可求解ABD,根据不等式的传递性即可求解C.

【详解】对于A,取工=3,），=2,则x=3，V=4,故x<y2,所以人错误，

对干'B,取x=1.5,y=1.2,则x），=1.8,x+y=2.7,此时故B错误，

对干C,由于故％2>x,因此/>丁，C正确，

对于D,取x=3,y=2,则x+），=5,.yy=6,此时x+yvjty,故D错误，

故选：C

3.（2024.上海.高考真题）a,b,ceR,h>c，下列不等式恒成立的是（）

A.a+b'>a+c^B.a+cC.aS>adD.ab>ac

【答案】B

【分析】ACD举反例；B选项由不等式的可加性可判断.

【详解】对于A,若例<同，则从<。2,选项不成立，故A错误：

对卜B,由不等式的可加性可知，a2+b>a2+c,故B正确；

对于C、D,若。=（）,则选项不成立，故C、D错误.

故选:B.

4.（2022•上海・高考真题）若实数。、〃满足〃>〃>（）,下列不等式中恒成立的是（）

A.a+b>2y[abB.a+b<2\[abC.^+2b>2->/abD.+2/><2>[ab

【答案】A

【分析】利用作差法可判断各选项中不等式的正误.

【详解】因为。>匕>0,则〃+8-2而=（而一扬了>0,故a+b>2«i）,A对B错;

“2〃-2疝=S+2〃—2^|^Z=（五一回）>0,^^+2b>2y[abt

当且仅当微=26时，即当〃=4曲等号成立，CD都错.

故选:A.

5.（2022・卜海・高考真题）已知c>b>c>d,下列选项中正确的是（）

A.a+d>b+cB.a+c>b+d

c

-cid>bcD.ac>hd

【答案】B

【分析】用不等式的基本性质得解.

【详解】Q3>2>l>0,但3+0=2+1,3x0<2xl,A、C错

Qa>b>c>d,.\a>c,b>d,所以a+c>Z?+H.B正确.

Q30>2>>!>>2,但30x(-l)v2x(-2),D错.

故选:B.

6.（2022・上海・高考真题）x-y<0,x+y-l>0,贝I」z=x+2y的最小值是

【答案】

【分析】分析可得*+2），=怖（1+y）-J（x-y）,利用不等,弋的基本性质可求得z=x+2），的最小直

3

m=—

m+〃=12

【详解】设.T+2y="?(x+)，)+〃(/-y)=G〃+〃)x+(m-〃)y,贝I.•、，解得

tn-n=2I

n=—

2

3,1,3

所以，z=x+2y=力-式.・），）汩,

LL乙

因此，z=x+2y的最小值是g.

3

故答案沏-

[Q考点02一元二次不等式、分式不等式

1.(2025•全国二卷•高考真题)不等式二22的解集是()

x-\

A.{.d-2<x<l}B.{JAX<-2}

C.{^-2<x<1}D.{x\x>1}

【答案】C

【分析】移项后转化为求一元二次不等式的解即可.

【详解】曰22即为产<0即[(“：2)，一1)"。，故

x-lX-\[x-1*0

故解集为{xl—2Kx<l}.

故选：C.

2.(2023•新课标I卷•高考真题)已知集合加={-2,-1,0,1,2},N斗户工-6之。},则Mp|N=()

A.{-2,-1,0,1}B.{0,1,2}C.{-2}D.{2}

【答案】C

【分析】方法一：由一元二次不等式的解法求出集合N,即可根据交集的运算解出.

方法二：将集合M中的元素逐个代入不等式验证，即可解出.

【详解】方法一：因为％=卜,7-62。}=(-8,-2]33，+8)，而〃={-2,70,1,2},

所以MClN={—2}.

故选：C.

方法二：因为例={-2,-1,0,1,2},将—2,-1,0,1,2代入不等式/一工一620,只有一2使不等式成立，所以

Mp|N={-2}.

故选：C.

3.(2026・上海・高考真题)关于x的不等式二r+42<0的解集为____________.

工一3

【答案】(-2,3)

【分析】由一<0可得:(x+2)*-3)v0,解不等式可得其解集.

x3

工+2

【详解】由T<0可得:*+2）。—3）<。，

x-3

解得:-2<x<3,

T+2

所以不等式T<0的解集为（-2,3）.

x-3

故答案为：（-2,3）.

4.（2025・天津・高考真题）若a/eR,对W-］,均有（2。+杨？+高一〃一1恒成立,则2〃+力的最

小值为_______

【答案】-4

【分析】先设，=2々+〃，根据不等式的形式，为了消〃可以取工=-3，得到Z2-4,验证片jE寸，”，〃是否

可以取到，进而判断该最小值是否可取即可得到答案.

【详解】设，=2。+〃，原题转化为求f的最小值，

原不等式可化为对任意的—24x42,a2—2a）x—a—\<0,

不妨代入x=_J,得;—4—1K0,得.NT,

当片_4时，原不等式可化为W+（-4-2^）x-a-l<0,

即—2X+（］4+1）］+—t/2<0,

观察可知，当a=0时，一（2工+1）2«0对—2</<2一定成立，当且仅当X=-g取等号，

此时，a=0,b=-4,说明片_4时，。，〃均可取到，满足题意，

故/=%+8的最小值为-4.

故答案为：-4

5.（2025・上海・高考真题）不等式土二<0的解集为_________.

x-3

【答案】（1,3）

【分析】转化为一元二次不等式（刀-1）（1-3）<0,解出即可.

【详解】原不等式转化为a-l）（x-3）v0,解得14V3，

则其解集为（1,3）.

故答案为：（1,3）.

6.(2025・上海•高考真题)不等式一二<0的解集为_____.

x-1

【答案】(0,1)

【分析】将不等式一\<0化为彳。-1)<0,即可得答案.

【详解】由题意得不等式一\<0即x(x7)<0,「.xe(0,l),

X—1

即不等式三40的解集为(0」)，

故答案为：(o,D

7.(2024・上海・高考真题)已知了*)=/,=求g(x)«2-x的％的取值范围

【答案】(田』

【分析】分xNO与x<0两段求解二次不等式可得.

【详解】根据题意知g*)=1\"八.

-x\x<0

当第0时，5(A-)<2-X,BPX2+X-2<0,解得—2«X«1,则有04X41；

当工<0时，g(x)«2-x,即「？+刀_2工0，xeR,即x<0时，不等式g(x)42-x都成近

综上所述，g(x)W2-x的x的取值范围为(Y)』.

故答案为：

8.(2024•上海・高考真题)已知xeR,则不等式V—2x—3<()的解集为.

【答案】{x|T<x<3}

【分析】求出方程/_级-3=0的解后可求不等式的解集.

【详解】方程/_版-3=0的解为工=-1或x=3，

故不等式f—2x—3v0的解集为{R-l<x<3},

故答案为：{x|-l<x<3}.

9.(2022•上海・高考真题)不等式“<0的解集为.

X

【答案】{x|0vxvl}

【分析】根据分式的运算性质分类讨论求出不等式的解集.

x-lx-l<0|.v-l>0

【详解】--<0=八或c，解第一个不等式组，得0<x<l，第二个不等式组的解集为空集.

x[x>0[x<0

故答案为：{x|Ovxvl}

【点睛】本题考查了分式不等式的解集，考查了数学运算能力，属于基础题.

盘考点03基本不等式

14

1.（2026・天津・高考真题）*+-）*+-）的最小值为（）

xx

A.10B.9C.8D.6

【答案】B

【详解】因为

当且仅当/=*,即/=2,x=±75时，等号成立，

所以「+邛1+3]的最小值为9.

kX八X）

2.（2025・北京•高考真题）已知则（）

A.a2+b2>2abB.—+7—

abab

r—11.2

C.a+b>瓢D.丁尸笈

【答案】C

【分析】由基本不等式结合特例即可判断.

2

【详解】对于A,当a=b时，+b=lab,故A错误；

对|：BD,取°=，占=:，此时〃h'+4°11时,

2424

—+—=2+4=6>—=4>/2=

abFFy夜,故BD错误；

V2X4

对广C,由基本不等式可得〃+人22疯>而，故C正确.

故选：C.

3.（2024・北京・高考真题）已知（N，y）,（七,外）是函数丁=2.的图象上两个不同的点，则（）

A.log,<-1——工B.喧譬>可

622

D.噫号

C.Iog2>:"<内+x2>%+%

【答案】B

【分析】根据指数函数和对数函数的单调性结合基本不等式分析判断AB；举例判断CD即可.

【详解】由题意不妨设用<X2,因为函数），=2、是增函数，所以0<2%<2口，即0〈乂〈尢，

x

?演+O2I-----M+必v_|_v5+x?

对于选项AB：可得U>J2*?”=2,即21±21>22>0,

22

根据函数y=log2X是增函数，所以Iog2&j&>log22空二五|三，故B正确，A错误;

对于选项D：例如x]=0j）=]，则x=l,y2=2,

可得1。82号卫=】。8216（°，1），即IOg2"；"，<1=叫+-2,故D错误；

对于•选项C:例如X]=-1,七=一2,则y=；,）、=；，

可得log2$4&=l°g2]=log23—3«—2,—l）,即log2"^/>—3=%十%，故C错误，

2o2

故选：B.

4.（多选题）（2022•新高考全国H卷•高考真题）若x,y满足》+丁-9=1,则（）

A.x+y<\B.x+y>-2

C.x2+y2<2D.x2+y2>1

【答案】BC

【分析】根据基本不等式或者取特值即可判断各选项的真假.

【详解】因为R）,由f+y2-xy=1可变形为，(x+yp-\=3xy<3*2

解得-2Kx+），K2,当且仅当x=），=-l时，4+），=-2,当且仅当x=y=l时，x+），=2,所以A错误，B

正确；

由f+y2-xy=]可变形为卜2+炉）_]=刁,《±121,解得f+y2K2,当且仅当％=y=±l时取等号，所以

C正确；

因为/+y2一孙=]变形可得+()/=1,设x-"1'=cos。,当y=sin。，所以

2

I252II

x=cosO+0,y=-j=s\n0,因此x?+y2=cos26+]sin?6+^sin0cos8=1+耳sin2。-3cos2。+y

=i+lsJ2O-^\e\^2\,所以当x=，I,）,二一无时满足等式，但是/+丁之]不成立，所以D错误.

33I6J|_3」33

故选：BC.

5.（2026•上海・高考真题）已知/+46=1，则曲的最大值为.

【答案】40.25

4

【分析】根据基本不等式可得/+4〃>4ab，结合条件即可求结论.

【详解】因为〃+4/=/+（如）222^2匕=4",当且仅当k26时等号成立，

结合/+4〃=1可得，ab<^~,

4

当且仅当〃一次b=®或a=-®，8=-立时等号成立，

a~2424

所以当〃一且，〃=变或〃=-也，〃=-也时，2取最大值，最大值为]

a~24244

6.（2026•上海・高考真题）若。>（）,h>0,且。+2。=4,则质的最大值是.

【答案】2

【分析】由于。、b为正值，且。+%为定值4,因此可以运用基本不等式先求出2国的最大值，进而求

出加的最大值.

【详解】解：*.*«>0,b>0,fl+2/?=4

*'•4=。+2〃之242ab

:・abd当且仅当a=26时取等号，即。=2,8=1时取等号

故答案为：2.

【点睛】此题考查基本不等式的应用，应用基本不等式求最值要注意”•正二定三相等”的条件，属于基础

题

7.（2025.上海.高考真题）设,/>0,〃+：=1.则〃+」的最小值为_________.

ba

【答案】4

【分析】灵活利用“1”将匕+%（力+小+£|展开利用基本不等式计算即可.

【详解】=[^+―||tv+-|=«Z?+—+2>2L/?--+2=4,

aIa八》JabVab

当且仅当他=I,即a=：,〃=2时取得最小值.

故答案为：4

8.（2024.上海.高考真题）已知必=1,4/+9尸的最小值为.

【答案】12

【分析】利用不等式用+号221即可求解.

［详解］4/+9b2=（2a）2+（3力>2x2f/x3Z?=l2ah=12,

当且仅当［^=：",即〃=如4=在或4=-业4=一班时，等号成立，

［加12323

故4a2+9"的最小值为12.

故答案为：12.

9.（2023•上海•高考真题）已知正实数。、力满足〃+助=1,则必的最大值为

【答案】工

16

【分析】由<而=_1。.4力”竺丫，代入即可得出答案.

44V2）

【详解】加/也弓（咿）441

=—,

16

当且仅当％=4妙，即〃=:，方=：时取等，

2o

所以"的最大值为人.

16

故答案为：—

16

凰考点04线性规划（新高考已经删除，思想具有参考意义）

4x-3y-3>0

1.（2024・全国甲卷・高考真题）若乂），满足约束条件.x-2y-24。，则z=x-5y的最小值为（）

2x+6y-9<0

A.-B.0C.—D.—

222

【答案】D

【分析】画出可行域后，利用z的几何意义计算即可得.

4x-3y-3>0

【详解】实数x，y满足，1-23，-2工0，作出可行域如图:

2x+6y-9<0

,4x-3y-3=0

5

由z=x-5y可得），=]x_1z,

即z的几何意义为y=：x-；z的截距的-!，

则该直线截距取最大值时，Z有最小值，

此时直线y=过点A,

[4x-3y-3=0L=-（3、

联立[“oZ解得2,即A-,1,

[2x+6y-9=0[y=112J

37

则Zmin=--5X1=--.

故选：D.

x-2>0,

2.（2022.浙江.高考真题）若实数x,y满足约束条件2x+y-740,则z=3x+4），的最大值是（）

x-y-2<.0.

A.20B.18C.13D.6

【答案】B

【分析】在平面直角坐标系中画出可行域，平移动直线z=3x+4），后可求最大值.

【详解】不等式组对应的可行域如图所示：

当动直线3x+4y-z=0过A时z有最大值.

।戈=2（

52中一7二0可得信故心），

故h=3x2+4x3=18,

故选：B.

x+y>2,

3.（2022.全国乙卷.高考真题）若x,y满足约束条件卜+2），工4,则z=2x-y的最大值是（）

JN0,

A.-2B.4C.8D.12

【答案】C

【分析】作出可行域，数形结合即可得解.

【详解】由题意作出可行域，如图阴影部分所示，

上下平移直线y=2x-z,可得当直线过点（4,0）时，直线截距最小，Z最大,

所以Zm”=2x4-0=8

故选：c.

3x-2y<3

4.（2023・全国甲卷・高考真题）若％,y满足约束条件一21+3），03,设z=3x+2y的最大值为

x+y>I

【答案】15

【分析】由约束条件作出可行域，根据线性规划求最值即可.