三角函数、解三角形拓展公式大全-2027届高考数学一轮复习

高中数学三角函数、解三角形拓展公式大全

一、和差化积:

..er.a+8a-p

sina+sinp=2sin------cos.......-

22

a+B.a-B

sin(2-sin0=2cos-------sin-------

22

a-p

cosa+cosp=2coscos

F

a+B.a-P

cosa-cos=-2sin------sin.......-

22

二、积化和差:

cosacos/?=—[cos(«+尸)+cos(cr-/?)]

sinasin尸=[cos(a+J3)~cos(a-/?)]

sinacos=—[sin(a+0)+sin(a-77)]

coscrsin0=g[sin(a+P)-sin(o一夕)]

三、半角公式：

1-cosa

sin—=±

22-

sina

=+-----------

1+cosa

四、万能公式:

_a,，a_a

2tan2tan

.?22

sina=---------cosa=-----------—tana=----------

,2a,2a,2a

1+tan1+tan1-tan"

222

五、三倍角公式

正弦:sin3c=3sina-4sin'a=4sinasin—+asin---a

13/\3

余弦:cos3a=4cos'a_3cosa=4cosacos(g+acos~~a

十卜“今3tana-tan3«(兀、(兀、

正切：tan3a=-------------=tanatan—+atan——a.

1-3tan-a\3)\3)

六、三角恒等式：

(1)正弦平方差公式:sin?。一sin?/=sin(a+6)sin(a-4)

⑵余弦平方差公式:cos2«-cos2p=-sin(a+

(3)正余弦平方差公式:cos?a-sin?/3=cos(a+0)cos(a_0)

.7t.2兀.34.(〃-1)4TV,

(4)sin—+sin——+sin—++sin-------=cot—,其中〃wN;

nnnn2〃

“、TC3万54(2〃一1)乃八廿上.

(5)cos—+COS——+COS---F+cos--------=0,其中〃wN；

nnnn

八7i3加5%(2〃-1)41

(6)cos----+COS-----+cos-----+••+cos--------=—

2/?+12〃+12n+12/2-12

'9**02乃、3

(7)sin~x+sin~(x+—)+sin-(x卜一）=-；

32

2?z2冗、3

(8)cos~x+cos'(^+—)+cos*-(x+——)=—;

3

七、不等式:

(1)Jordan不等式:XE(0,—),sinx<x<tanx

(2)xe(0,—),1<sinjt+cosx<V2

(3)|sinx|+|cosx|>l.

八、其他常用公式

aaaasina

cos—cos-cos-----cos—=

2482”a

⑴Tsin—

2”

tan«+tan/?+tany-tanatanptany

(2)tan(a+/?+/)=

1-tanatanQ一tan夕tan/-tan/tana

(3)cosa+cos(a+d)+cos(a+2d)++cos[a+(/?-l)J]

sin[a+(〃-—sin(a—-)

二T2s~ind—

2

(4)sina+sin(cr+d)+sin(«+2J)+•■+sin(a+(〃-l)d)

cos[«+(/:-—d)]-cos(<7——)

=T-

2sin—

2

九、三角函数裂项.

设｛(｝为公差为dwO的等差数列，则:

二tan6-tanam

⑴tanf/„tan^

+1tanJ

1_tana-tana

⑵n+iH

cosan-cosan+isinJ

]=M%-8以

')sin•sina“+]sinJ

sin(^+-)-sin(^--)

(4)cos=---------乙―彳------—

2sin-

2

/d、,d、

COS(6/„+-)-COS(«„--)

(5)sinan=------------二一-------

2sin-

2

11

(6)------------=-----------(tana-tanP)

cosacosPsin(cr-y^)

11

⑺[tan(n+l)o-tann0]

cos«°cos(/2+1)°sin1°

(8)tan疗tan£=-----------(tan-tan/?)-1

tan(£z-/7)

tan/?-tan(/?-l)

(9)an=tan〃•tan(〃-l):tan1=tan[77-(n-1)]=

1+tan/?tan(n-l)

八八/,、tan72-tan(n-l),tann-tan(72-l),

(10)tanntan(/?-l)=----------------=--------------------------1

tan1tan1

十、特殊角三角函数值

(1)15。和75。三角函数值

..1-cos30°

tan15°o=----------=2-V3=cot75°

sin30°

cot15°=——-——=2+>/3=tan75°

tan15°

⑵22.5。和67.5。三角函数值

.cu。/l-cos45°2-V2J2-05u。

sin22.5°=J-----------=J——=--------=cos67.5°

V2V42

I—cos450l

tan22.5°=-----------=>/2-l=cot67.5°

sin45°

cot22.5°=——!——=V2+l=tan67.5°

tan22.5°

(3)36。和54。三角函数值

sin36=2sin18cos18=_CQS54

4

cos36=1-2sin218="十1

4

2tan18

tan36==^5-2yf5

I-tan218

皿。1J25+10-.”

cot36=-------=---------------=tan54

tan3675

(4)18。和72。三角函数值

sin18=——-=cos72

4

10。/i-21o°\10+2>/5.

cos18=A/1-sin18=-------------=sin72

sin18’,25-10后“0

tan18=--------=-----------=cot72

cos185

cot18=—---=J5+2y/5=tan72

tan18

十一、解三角形必备公式

⑴三角形面积公式:

S1,11,

2ABC=2叽=2b//%=5che

=1p(p-a)(p-b)(p-c)

=—bcsin/4=—acsinB=—abs\r\C

222

=2R~sinAsinAsinC

abc

~^R

百y1

1

—Xj%1

2

当x1

⑵射影公式:在AABC中,4=0COSC+CCOSB

(3)倍角三角形定理:在AA3C中，内角A8,C的对边分别为4c,则

A=2B<^cr-b2=bc(即/+Z?C)。

(4)正切定理：

A-BB-CC-A

tail—tail--------

b-cc-a2

b^c*___A+C

tan—tail--------

22

cr-b1sin(A—8)

(5)

2sinC

(6)ZAN及NC成等差数列的充分必要条件是4=60°.

⑺A45C是正三角形=是4,NaNC成等差数列且。也％成等比数列.

1jr2TT

(8)AA3c中,+a2-c2=±ac=>cosC=±—=>C=一或——.

33

(9)三边成等差数列

<=>2^=67+C<=>2sinB=sin?4+sinC<=>tan—tan—=-;B<—.

2233

(10)三边C,成等比数列。/=acosin2A=sinBsinC,B<—.

(11)锐角AA3C中，A+8>]<=>sinA>cos8,sinB>cosC,sinC>cos4

(12)锐角AA3c中，sinA+sin3+sinC>cosA+cos3+cosC.

(13)两内角与其正弦值:在AA8C中，

a>Z?oA>3。sinA>sin3<=>cos2B>cos2A.

(14)sinA=sin(B+C);cosA=-cos(B4-C);tanA=-tan(B+C).

.AB+CA.B+CA8+C

sin—=cos-------;cos—=sin--------;tan—=cot-------.

222222

设A8,C是A48C的三个内角，分别是三个内角所对应的边，P为MBC

的半周长，r和R分别为A44C内切圆和外接圆半径，我们有以下结论：

八八・・〃

(15)sinA+s•innB+sinC=4cosA—cosB—cosC—=p—

222R

ABC

(16)sinA+sinB-sinC=4sin-sin—cos—;

222

ABCr

(17)cosA+cosB+cosC=1+4sin—sin—sin—=1+一

222R

ABC

(18)cosA4-cosB-cosC=4cos—cos-sin

(19)tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC;

(20)sinAsin8+sinBsinC+sinCsinA=-——

4R~

n2+r2-4/?2

(21)cosAcosB+cosBcosC+cosCcosA=----------------

4心

(22)sinAsin^sinC=—

2R

p2-(2R+r)2

(23)cosAcosBcosC=

4-

(24)cotAcotB+cotBcotC+cotCcotA=1

(25)tanAtanB+tanCtan8+tanClanA=sec>4secBsecC+1.

(26)sinAcosBcosC+sinBcosCeosA+sinCeosAcosB=sinAsinBsinC

(27)cosAsinBsinC+cosBsinCsinA+cosCsinAsinB=1+cosAcosBoosC.

(28)cotAcot8+cotBcotC+cotCcotA=1

2.22

(29)a2cotA+/72cotB+c2cotC=----巴上——二-

cotA+cotB+cotC

.A.B.C.A+8.B+C.C+A

(30)sin——Fsin——Fsitn—=1+4sin-------sin--------sin--------

222444

ABCA+BB+CC+A

(31)cos—+COS——hcos—=A4cos-------cos--------cos-------

222444

ABCABC

(32)cot—+cot—+cot—=cot—cot—cot—

222222

tam+lan&anC+ta£an"l.

(33)

222222

(34)sin2-+sin2-+sin2-=1-2sin-sin-sin-

222222

ABC….A.B.C

(35)cos~2——FCOS2~—+cos2—=2+2sin—sin—sin—

222222

ABBCCA

(36)tan—tan—+tan—tan—+tan—tan—=1t.

222222

ABACA

(37)(tan—+tan—)(tan—+tan­)=sec2—.

22222

ABCABC

(38)cot—+cot—+cot—=cot—cot—cot—.

222222

sin^cos^cos^sin^cos£cos^sin^cos^cos^

(39)++

222222222

—.zA.zB.2cl

=lt+2sin—sin—sin—

222

…、C.B.CA.C.ABABC

(40)sin—sin—cos一+sin—sin—cos—+sin-sin—cos—=cos—cos—cos—.

222222222222

(41)sin2A+sin2B+sinIC=4sinAsinBsinC

(42)sin24+sin23-sin2C=4cosAcosBsinC

(43)cos2A+cos2B+cos2C=-l-4cosAcosBcosC

(44)cos2A+cos2B-cos2C=1-4sinAsinBcosC.

(45)sin2A4-sin2B+sin2C=2(1+cosAcosBcosC)

(46)sin2A+sin2Z?-sin2C=2sinAsinBcosC

(47)cos2A+cos2B+cos2C=1-2cosAcosBcosC

(48)cos2A4-cos2B—cos2C=l-2sinAsin8cosc.

(49)cos2A+cos2B+cos2C+2cosAcosBcosC=1

(50)cotA+colB+cotC=cot/.(尸在AABC内，且4PAB=NPBC=ZPCA=Y.P

111

叫AA8C的布洛卡点），且----+-----H---：--=-----

sin2Asin2Bsin2Csin2y.

三角形中不等式:

(1)sinA+sinB+sinC<

2

(2)sin^+sin^+sin^a.

2222

⑶犷―旌二.

2224

(4)sinAsinBsinCW土目

8

(5)sin^sin^sin£<l

2228

3

(6)sin2A+sin2^+sin