广东深圳市南山区2025-2026学年第二学期期末检测高一数学试卷（含答案）

广东深圳市南山区2025-2026学年第二学期期末检测高一数学试卷

一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。

1.复数(17)(2i)的共规复数为()

A.3+iB.3-iC.-3+iD.-3-i

2.样本数据2,4,2,12,11的中位数和极差分别为()

A.2和9B.2和10C.4和9D.4和10

3.已知在平面直角坐标系中，点48,C,Q如图所示，则2\B+CD=()

A.(7,5)B.(l,5)C.(5,7)D.(5,1)

4.已知0两点到平面"的距离分别为2和4,则线段/个的中点到"的距离为()

A.IB.2C.3D.1或3

5.已知A川纥的直观图「是等腰直角三角形，如图所示，其中ar=/u=&，则

C.V2D.3

6.在AJ倒.中，角4从「所对的边分别为aAc,则“a=b”是“acof/=bcB/r的

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

7.在正四面体彳次。中，V，N分别为棱47,(曾的中点，则异面直线与所成角的余弦值为

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A.-B.qC.；D.包

6644

8.从0,1,2,3,4这5个数字中选3个不同的数字组成三位数，则该三位数能被3整除的概率为（）

A.-B.—C.-D.-

31283

二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。

9.已知向量1分的夹角为&T，且|。卜2,,1,则（）

B.C.o.q=3D.k・耳=y/y

10.将一枚质地均匀的骰子连续抛掷两次，记事件“两次投掷的点数之和为偶数”为/,事件“两次投掷

的点数之和为3的倍数”为外，事件“第一次投掷的点数不超过4”为，•，则（）

A./与刃互斥B.2（阴=；C.P（C）D./与C相互独立

11.已知正方体/6CD44cA的棱长为分别是b剧.4。的中点，点G在正方体表面运动,且

*2,设点4,4从G均在动球。的球面上，则（）

B.存在点G,使得G/-7/平面叫C

C.点”的轨迹长度为［3♦:卜D.球。的表面积最大值为“n

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.已知某班级女生和男生人数之比为4:5,若某次考试的班级平均分为80,且男生平均分为78,则女生

平均分为

2界

13.已知圆锥的母线长为S其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的表面枳为

14.已知正三角形力值,的边长为3,且“52/XP过点。且垂直于/「的直线交.的外接圆于A

两点，若点〃为边放,上的动点，则PN；的最大值为.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

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15.(木小题13分)

已知在▲心:中，AB=GBC=2,mB=--

(1)求;

(2)没Q为4C的中点，求现n/。伙

16.(本小题15分)

如图，在正三棱柱中，0为/C的中点.

(1)证明：/%〃平面放"九

(2)若XAH2,求直线伏；与平面//CC所成角的正弦值.

17.(本小题15分)

某学校开展了数学建模比赛活动，从全体参赛者中随机选出100人作为样本，并将这100人按成绩分成6

组：图.50"50.60)j60,70M70,80M8a90M90JOO],制作出如图所示数据不完整的频率分布直方图，并

计算出：成绩在|60400]内的学生的平均成绩为777.94分.

(2)由频率分布直方图估算全体参赛者成绩的第80百分位数；

(3)先按成绩进行分层，通过分层随机抽样的方法，从区间四),60卜[7。.叫),[90,1(叫抽取5人，再从抽取的5

人中随机抽取2人，求恰有1人测试成绩位于区间|70湛0)的概率.

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18.(木小题17分)

如图，在四楂锥尸-48(。中，平面/京二次，AB=G，PA2PH2.

(1)证明：平面，平面48(。；

(2)若〃。1，求点(.到平面/X8的距离：

(3)若14/")＜、2，求二面角8PA。的正切值的取值范围・

19.(本小题17分)

以法国数学家布洛卡命名的布洛卡点是三角形内部的特殊点，其定义如下：设〃是A/欣.内一点，若

”府-"*=/附7=/则称点P为“BC的布洛卡点，角0为“改'的布洛卡角.如图，在

中，楸、…AC-b,点〃为“胸、的布洛卡点，。为“加、的布洛卡角.

(1)若。“，且尸»、3/“，求N8/C的大小;

匕J3长二2四仇

(2)证明:

cab

(3)若/从(:，求BI0的最大值.

4

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1.【答案】B

2.【答案】。

3.【答案】C

4.【答案】D

5.【答案】D

6.【答案】A

7【答案】A

8.【答案】B

9.【答案】BD

10.【答案】BCD

11.【答案】AB

12.【答案】82.5

13.【答案】161r

14.【答案】5

15.【答案】解.：（1）在•中，//e（o.x）,由oosH=日，得疝8=58/B=与

由余弦定理可知2ABBCconB-3^42・6・2,且二3，

故于是ZC=ZS»所以？uni一sin"二当.

（2）。为4C中点，则亘Mil

223

在GBC中小（7）a»C=4+'-22•四五=U，解得=亚

42342

封「武士词（刀BD

在“用（'中由正弦定理；^^7^=被'

CDsinC21、2V22

sin/OW扁sllH

BlT

2

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16.【答案】解：（1）连接型’交欢:于点£,连接£D，

A

在矩形次'C禺中，£为4c的中点,

又因为。为彳c的中点,所以月。〃4%,

乂/刀u平面6G。，/4<z平面"G0,所以彳4〃平面欣’"九

（2）在正三棱柱45c44G中,4%I底面4成?,

因为"Ou底面/<伙’，所以/4

又因为•为正三角形，。为/!（•的中点，

所以/〃）」.4（',

因为/4C/1A,/《/（'c平面/«；（',

所以/"J1平面44（；。

所以直线/⑹与平面所成角为/伙"九

在RIAABD中，HI）、3R6，

2

在《/△伙（；中，B（\\BCVI3,

所以在取△WX；中，sm/BCQ——

BC\13

17.【答案】解：（1）由频率分布直方图知，成绩在[60・加”70,80）.[80・90"90,100呐的频率分别如下,

为10x0.020=0210a,10x00250.25,10x0.010-0.1,

对应的频数分别为100x02=20j000a100x0.2525,100x0110.

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65x2O*75xlO()(kj>85x25*95x10

所以成绩在［60,100|内的学生的平均成绩为f-----------------------------=77.iM,

20fIOOOcjf25tlO

整理得2Wtj=883,解得。・0.030.

（2）因为成绩在［40,90）内的频率为I-0,1=0.9>80%,

成绩在［40,80）内的频率为I-0.1-0.25=0.65<80%,

所以全体参赛者成绩的第80百分位数在恒）,郭）内.

设全体参赛者成绩的第8（）百分位数为桁，

则（90-6）x0.025+0.1=1-80%,解得m=86.

（3）成绩在区间⑶,&川7。加儿［90.1（叫内的频率分别如下，

^10x0010=0.1.10x0.030=0X10x0.010=0I,

所以频率比为010.3:011:3:1.

所以按分层抽样的方法，从区间卜"60）、|70次）心）,1（刈抽取的5人,

来日区间倒,60）内的有1人，记为4；

来自区间［70J0）内的有3人,分别记为02M“4；

来自区间pO」OO附的有1人，记为4,从这抽取的5人中随机抽取2人,

样本空间为C=｛q%qq.qq,01al.—马见.卬《的4必外。刈|,

记怜有1人测试成绩位于区间|70,则为事件4，

n（A）63

则A=总知用.01a.牛.44，。必｝,所以尸（/）-而j于

即恰有1人测试成绩位于区间|70加）的概率为:.

18.【答案】解：⑴因为/"=、｝,〃/2PB2,则/力/尸，故

因为AD1平面PHD，/的u平面PHD,所以//）./山，

因为/0c48=442/8u平面彳80，所以PB1平面40,

因为〃8u平面"MT所以平面/X81.平面W）：

（2）因为//）1平面尸盟），RDc平面〃8/）,所以4）IRD,

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因为80=1，AH、5，所以=

因为，川DC，所以四边形4被7)是平行四边形，

所以二立，

因为尸81平面/康。，/Su平面/次。，所以P8146，

因为彳8-、田，/M-2.所以冏・1,则%“—IpBZS二立，

▼txTM22

设点(•到平面〃的距离为d,

则由勿3-匕.”，81平面HJCD可得,/孙$3=蜀山，

则七条去

则点r到平面/乂8的距离为76

3

(3)过点。作/»1/风/m1AP,垂足分别为/」，连接防,

因为平面力<8_L平面4W，平面AMBfl平面W)=MT,D£u平面欣孙

所以。E1平面/M8，又/"u平面/"8，所以。£14〃，

因为。£「0/=。,/»/)/*七平面/)/•/,所以//F平面/〃/,

因为Elc平面DE卜，所以/P1II，则4)/上是二面角BPA。的平面角，

设二词冏，在中"二等

801R[“/M0s■/心.人中・J''；，)

因为$而/48=竺=竺，所以防=1/<£=土;，

APAE22G

则“唠•理・当岳方仁，

因为XW[L及1所以3-/叩.2],则tan/0/・Ew[a,26],

故二面角8PA。的正切值的取值范围为“<2,2<2].

19.【答案】解:(1)由0=6,故/而「=/4外「,

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LPAB=4PBC=，PCA=®，故"AC="BA,

则JX"与APC/I相似，

T7cPH彳月qJ—,

乂/0x3/M，—=^;=v3>q即ilCM>^，0=b，

/@6

故oosNZHC

F-=2辰产3

又o<za4c<it,故/。/(==；

6

AB

(2)在A48尸中，由正弦定理可得

而乙Wsin//，8

又AB=c，ZAPB=n-0-ZABP=n-/AH(,

11PA*nn{/AH(-0)sinZAB(cos〃cm/ABCsin"Z1sin/?

故—=—;--------J=-----------------------------------------------=COSV------------------

csin(n-//**)sin/ABCIanZ48c

同理可得Ccos",K89。sin//

aten//rOfbtan/C4H

.PAPBPC.

典ih♦—•♦>——=3CM。-sin/

cabUin/.ABCUnZBCAUmZCAB

AC

在中，由正弦定理可得

sin。sinZAI,C*n(x・//PC)sm(/?>Z/MC)sinZBAC

bsin"sinZjiBCwiO-cosZX5Csin0

即有PA

sinZ^CsinZJ/TC

bsin"sin/ARCw^O-w^/ARCs\nO

故sinN/MC

sin/JBC

bnxnZBAC(/ABCCMOcos//”(飞m〃sm/JZ/C,

则nil.・_.......1-

csin"Isin/Wsin/伙Z

则sinOgin”贸工giNs。血乙8a。一而

sin^BAC

Mn，ZABC

印H一a

即有8S"MO.IH(iinZABCI

sinZ^CsinZ/5TC/l*un~ZABC

sin<7sinZBCAsin^ABC

sin(Z8/CfN*Z)1sin/BACcofkZRCAfcos/A4Csin/BCAI

^ZBACsinZBCA+(anZABC~sinZS^CsinZ/IC4+unN/»C

CM^SCACOS/8/CI1II

sinZBCAsinZBACtanZABCuuiZ.ABCUn/8C4Un/CAB

故qn〃.........-―4--------1=CM@,

〔UmZABCtanZBCAtanZCAB)

即有"y