配方法的应用（专项训练）-人教版九年级数学上册（原题版）

配方法的应用

【题型1利用配方法求值】

【例1】（2025九年级上•广东深圳•专题练习）若将一元二次方程一一6%-2=0化成Q+租）2+沱=0的形式,

则2加一九的值为.

【变式（25-26九年级上•江苏宿迁•月考）已知多项式力=/-％+（3-2攵），若无论x取何实数，力的

值都不是负数，则人的取值范围是.

【变式1-2］（24-25九年级上•江苏泰州•期中）已知m+n=4,mn-p2+8p>20,则nmp的值为.

【变式1-3］已知+y2-2x—4y+5=则石+（x+i；（y+D+（x+2）［y+2）+…+（x+2O23）（y+2O23）的值等于

【懑型2单配方比较大小】

【例2】（24-25九年级.匕江苏徐州•期中）若加为实数，P=-m2-7n+l,Q=m2-5m+4,则比较尸，

。的大小可得：.

【变式2-1］已知P=/—2x,Q=2X—5（%为任意实数），则关于P,。的大小关系判断正确的是（）

A.P>QB.P=QC.P<QD.无法确定

【变式2-2］（25-26八年级下•浙江杭州•期中）已知4=2x+m,8=/+m+4,则比较代数式4与〃的

值：AB.（请用“>"、"<〃、"=〃表示）

【变式2・3】（25-26九年级上•江苏泰州•期中）己知，M=12m-33,N=2m2-4m,则

MN.（填"<"或"="）

【题型3双配方比较大小】

【例3】已知％=1+62+18,y=附+4。一3,则x,y的大小关系是.

【变式3-1】已知a、b是实数，x=a2+b2+20,y=4（26-a）,则％、y的大小关系是（）

A.%<yB.x>yC.x<yD.x>y

【变式3-2］若4=/+2x-6y,B=-y2+4x-11，则/、8的大小关系为（）

A.A>BB.A<BC.A>BD.A=B

【变式3-3］已知a、b满足工=屋+〃+21,y=4（2h-a）»则x、y的大小关系是（）

A.x<yB.x>yC.x>yD.x<y

【题型4单变量单配方求最值】

［例4］代数式/+4%+5的最小值为.

【变式4-1】二次三项式/+5%+7的最小值为.

【变式4-2］（25-26九年级上•全国•课后作业）当％=_时，多项式一2，一4%+3有最大值？求出这个最大

值是—.

【变式4-3】己知x为全休实数，则一4v2+7T一2的最大俏为.

【题型5双变量双配方求最值】

【例5】代数式一。2一262-2a+8b-5的最大值为.

【变式5・1］已知M=8，-y2+6%-2,N=9，+4y+13,则M-N的值（）

A.为正数B.为负数C.为非正数D,不能确定

【变式5-2】不论a,b为何实数，。2+匕2—2。一4b+8的值（）

A.总是正数B.总是负数

C.可以是零D,可以是正数也可以是负数

【变式5・3】（24-25九年级上•重庆丰都・月考）【项目学习】“我们把多项式/+2防+7及02-2尤+62叫

做完全平方式〃.

如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式中出现完全平方式，再

减去这个项，使整个式的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法.例如：

求当Q取何值，代数式/+6a+8有最小值？最小值是多少？

解：a2+6。+8=a2+6a+32-32+8=（Q+3）2-1

因为（。+3）>0,所以Q+6a+8>—1»

因此，当。=一3时，代数式/+6a+8有最小值，最小值是一1.

【问题解决】

利用配方法解决下列问题：

（1）当％=时，代数式/一2工一1有最小值，最小值为.

（2）当无取何值时，代数式2,+8x+12有最小值？最小值是多少？

【拓展提高】

（3）当％,y何值时，代数式5，-4外/+/+6工+25取得最小值，最小值为多少？

【题型6双变量先消元再配方求最值】

【例6】已知实数x,y满足2x+y=4,则代数式xy—2x+2y-4的最大值为.

【变式6-1］（24-25九年级上•江苏宿迁•期中）已知实数a,b满足Q+d=1，则代数式公一的？十口的最小

值是.

【变式6-2］已知实数％,y满足公+3%+、一3=0,则％+y的最大值为.

【变式6-3］已知实数机，〃满足加f2=2,则代数式/+2/+4m—3的最小值等于（）

A.9B.6C.-8D.-16

【题型7利用配方法判断三角形形状】

【例7】已知三角形三边长为a、b、c,且满足。2一钻=7,b2-4c=-6,c2-6a=-18,则此三角形的

形状是（）

A.等腰三角形B.等边三侑形C.直角三角形D.无法确定

【变式7-1】先阅读，再解决问题，例题：若—+2皿+2h2-671+9=0,求m和n的值.

解：vm2+Z?nn+Zn2-6n+9=U,

.­.（m+n）2+（n-3）2=0,

.•.m4-n=0,n—3=0»

•••n=3,7n=—3.

（1）若—+2y2―2%y+4y+4=0,求/的值：

（2）已知A4BC的三边长a,b,c都是正整数，且满足。2+匕2_6。_6"18+|3-（?|=0,请问A4BC是怎样形状的

三角形？

⑶根据以上的方法是说明代数式：/+4%+y2_8y+21的值一定是一个正数.

【变式7-2】已知a,b,c是4AB匚的三边，若a,b,c满足a2-6a+b2—8b+丘三+25=0,贝/ABC是

三角形：若a,b,c满足a?+b2+c2—ab—be—ac=0,则AABC是三角形.

【变式7-3]若△ABC的三边a、b、c满足条件：a2+Z?2+c2+338=10a+24b+26c,则这个三角形最

长边上的高为.

【题型8利用配方法证明恒成立问题】

【例8】【阅读材料】利用公式法，可以将一些形如以2+以+(:(。。0)的多项式变形为矶》+771)2+九的形

式，我们把这样的变形方法叫做多项式a-+bx+c(a*0)的配方法，运用多项式的配方法及平方差公式能

对一些多项式进行因式分解或有关运算.

例如：对于a2+6a+8.(1)用配方法分解因式；(2)当a取何值，代数式+6。+8有最小值？最小值

是多少？

解：(1)原式=/+6。+8+1-1

=a2+6a+9-1

=(a+3)2-l

=[(a+3)+l][(a+3)-l]

=[a+4)(a+2).

(2)由(1)得：a2+6a+8=(a+3)2-l,

v(a+3『>0,

(a+3)2—1>—1,

.•.当Q=-3时，代数式。2+6。+8有最小值，最小值是一L

【问题解决】利用配方法解决下列问题：

⑴用配方法因式分解：%2+2%-8：

(2)试说明不论相为何值，代数式-in?+4m—5恒为负数；

(3)若已知(a+c)(b-a)=+c)?且Q丰0,求一/的值.

【变式8-1](24-25九年级上•甘肃•期中)用配方法求证：代数式4-—8X+9的值恒为正数.

【变式8-2]记z=3x(3y—x)-(4x-3y)(x+3y).

⑴若％,y均为整数，求证：当％是3的倍数时，z能被9整除；

(2)若y=x+l,求z的最小值.

【变式8-3］(24-25九年级上•河北沧州•月考)已知M=X2-X+1.

(1)当M=3时，求x的值；

⑵若M=3/+i,求”的值：

(3)求证：M>0.

【题型9利用配方法在实数范围内分解因式】

【例9】在实数范围内分解因式：X2-5X+3=.

2

【变式9-1］在实数范围内分解因式：x+6x-5=.

【变式9-2］在实数范围内分解因式2——8xy+5y2等于()

A.2(x-警)(x-里

B.Q-竽力(*-与％)

C.2(Ty)(Ty)

D.(2x-4y-V6y)(2x-4y+^y)

【变式9-3】【阅读材料】

利用完全平方公式，可以将多项式Q12+bx+c(氏b,c均为常数且QHO)变形为Q(x+m)2+7i的形式，

如一一2》一8=X2-2X+1-1-8=(X2-2X+1)-9=(x-l)2-9.我们把这样的变形方法叫做多项式a-

+及+c的配方法.运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行分解因式.例如：--2%-8=

(x-1)2—9=(X—1+3)(x-1-3)=(x+2)(%—4).

【问题解决】

⑴用多项式的配方法将一+6工一1化成(％+m)2+n的形式是当多项式/+6X—1的值为一10时，x的值为

(2)把多项式/-8乃+12进行分解因式.

【题型10利用配方法解决新定义问题】

【例10】(24-25九年级上•广东阳江•月考)小明在学习有关配方的知识时，发现一个有趣的现象：关于X

的多项式/一4x+7,由于--4%+7=(x—2m+3,所以当％-2取任意一对互为相反数的数时，多项式,

一轨+7的值是相等的，例如，当%-2=±1,即x=3或1时，――4%+7的值均为4：当％—2=±2,BPx=4

或。时，/-4%+7的值均为7,于是小明给出一个定义：关于K的多项式，若当％-m取任意一对互为相反

数的数时，该多项式的值相等，就称该多项式关于x=m对称，例如一一4%+7关于％=2对称.

请结合小明的思考过程，运用此定义解决下列问题:

9•>

⑴多项式%-2%+5关于％=对称；若关于x的多项式％-+2九%+3关于x=6对称，求〃的值：

⑵若整式(/+6%+9)(X2-4X+4)关于％=。对称，求实数。的值.

【变式10-1](24-25九年级上•四川内江•月考)对于有理数a,b,定义m勿{a力}的含义为：当aNb时,

min[a,b)=b：当aMb时，机出{a,b}=a.若min{40,127n-47l-山2-7^2}=40,则m"的值等于.

【变式10-2](24-25九年级上•广西南宁•月考)配方法是数学中非常重要的一种思想方法，这种方法常被

用到代数式的变形中.定义：若一个整数能表示成公+d(mb为整数)的形式，则称这个数为“完美

数〃.例如，5是“完美数〃，理由：因为5=〃+2?,所以5是“完美数〃.若S=/+9y2+2%-i2y+/c(x,

y是整数，片是常数)，且为“完美数〃，则左的值为()

A.3