不等式（3年汇编）解析版

专题06不等式

考点分类三年考情（20242026）命题规律

2026年：北京卷、天津卷，

1.核心考查基南内容：不等式的基本性质、一元二次

上海卷

不等式的求解、基本不等式的应用；

2025年：北京卷、全国II

不等式2.题型覆盖全面：选择、填空、解答题均有涉及，基

卷、天津卷、上海卷

础题多以选择、填空形式考查，综合题常与函数、导

2024年：上海卷、全国甲

数、数列、解析几何等模块结合，出现在压轴题位置；

卷、北京卷

层不等式

1.（2026・北京・高考真题）学校组织高一、高二学生参观甲、乙两地博物馆，每位学生可自主选择一处前

往.已知高一学生总人数多于高二学生总人数，前往甲地的全体学生总数多于前往乙地的全体学生总数，

则（）

A.去甲地的高一学生人数多于去乙地的高一学生人数

B.去甲地的高一学生人数多于去乙地的高二学生人数

C.去甲地的高一学生人数不多于去乙地的高二学生人数

D.去乙地的高二学生人数不少于去甲地的高二学生人数

【答案】B

【分析】设出高一、高二去甲、乙地的人数，根据题目条件建立不等关系，即可得出结论.

【详解】由题意，设高一学生去甲地的人数为A,去乙地的人数为8,

高二学生去甲地的人数为C,去乙地的人数为力，

・•・高一总人数：A+B.高二总人数C+。，前往甲地的学生人数：A+C,前往乙地的学生人数：B+D，

•・•高一总人数多于高二总人数，前往甲地的全体学生总数多于前往乙地的全体学生总数，

A+B>C+D

・•・£,「n「、，由不等式的性质，两侧分别相加并化简得A>。，

・•・高一学生去甲地的人数多于高二学生去乙地的人数，故B正确，A,C,D均错误.

14

2.（2026•天津•高考真题）（,1+-）3+—）的最小值为（）

xx

A.10B.9C.8D.6

【答案】B

【详解】因为x+，）（x+±）=f+=+522^^+5=9,

4

当且仅当f=r，即f=2,钎±及时，等号成立，

x

..（1V4、

所以x+-x+-的最小值为9.

\%八X）

3.（2026・上海・高考真题）已知则下列不等式恒成立的是（）

A.x>rB.xy>x+yC.x2>yD.x+y>x）^

【答案】C

【分析】举反例即可求解ABD,根据不等式的传递性即可求解C.

【详解】对于A,取x=3,y=2,则4=3,丁=4,故1<），2,所以A错误，

对于B,取x=1.5,y=1.2,则A>，=1.8,X+），=2.7,此时,xyvx+y,故B错误,

对于C,由于x>y>于故％2>“,因此—>y,C正确，

对于D,取x=3,y=2,则X+），=5，M，=6,此时工+丁<个，故D错误，

故选：C

4.（2025・北京・高考真题）已知。>0,人>0,则（）

,0n1।1

A.a'+b'>labB.—+--

abab

—112

C.a+b>4abD.—+—<—j=

abx/ab

【答案】C

【分析】由基本不等式结合特例即可判断.

【详解】对于A,当时，/十〃=2。。，故A错误；

।1„1

对于BD,取/二，此时丁丁2+4=6〈二厂8=益，

24-X-

对于C,由基本不等式可得石,疯，故C正确.

故选：C.

2

S.（2。23・全国n卷・高考真题）不等式合22的解集是（）

A.{^l-2<x<l}B.{x\x<-2}

C.{A|-2<X<1}D.{x\x>1}

【答案】C

【分析】移项后转化为求一元二次不等式的解即可.

【详解】4之2即为W<0即[（”：2）¥-1）«0,故.2?x1,

x-1x-\[x-l*0

故解集为{H-2H}.

故选：C.

6.（2024•上海.高考真题）〃，b,ceR,b>c,下列不等式恒成立的是（）

A.a+b2>a+c2B.a2+b>a2+cC.ab2>ac2D.a2b>a2c

【答案】B

【分析】ACD举反例；B选项由不等式的可加性可判断.

【详解】对于A,若回v|d，则从</,选项不成立，故A错误；

对于B,由不等式的可加性可知，a2+b>a2+c,故B正确：

对于C、D,若a=O,则选项不成立，故C、D错误.

故选：B.

4.v-3y-3>0

7.（2024•全国甲卷・高考真题）若乂），满足约束条件t—2），—2W0,则z=x—5），的最小值为（）

[2x+6y-9<0

|57

A.—B.0C.—D.—

222

【答案】D

【分析】画出可行域后，利用z的几何意义计算即可得.

4x-3y-3>0

【详解】实数乂5满足<x-2y-240,作出可行域如图：

2x+6>'-9<0

由z=x-5y可得,,

JJ

即z的几何意义为的截距的

JJJ

则该直线截距取最大值时，Z有最小值，

此时直线y=过点A,

JJ

4x—3y—3=0x=3（3）

联立[“on，解得2,即A-JL

[2x+6y-9=0][2）

故选：D.

8.（2024・北京・高考真题）已知（％,y）,（王，%）是函数y=2"的图象上两个不同的点，则（）

<3+占n1x+/力+H

A.晦B.log,c-

222

C.log,‘力；力,<内十公D.10g2"X

【答案】B

【分析】根据指数函数利对数函数的单调性结合基本不等式分析判断AB；举例判断CD即可.

【详解】由题意不妨设玉</，因为函数丁=2*是增函数，所以0<2演〈2心，即。<）[<%，

对于选项AB：可得上工>，2，？修=2,即上士〉22>0,

22

根据函数y=log2i是增函数，所以1。82&|&>1。822空=当三，故B正确，A错误:

对于选项D：例如％=0,巧=1,则x=1,必=2,

可得现2=1%；€（0,1）,即I0g2»/<1=K+X2,故D错误；

乙乙乙

对「选项C：例如为=—1,占=一2.则

可得Iog2=1。殳I=log23-3F（-2,-1）,即log2>-3=X）+x2,故C错误,

故选：B.

9.（2026・上海・高考真题）已知/+4//=1,则，心的最大值为.

【答案】y/0.25

4

【分析】根据基本不等式可得/+4/>4而，结合条件即可求结论.

【详解】因为/+4/=/+（给丫之2。・2b=4必，当且仅当a=M时等号成立,

4

结合/+4/=1可得，

4

当且仅当“=也，b=旦或a=-显,力=-正时等号成立，

2424

所以当吗也，碎正或仁-正，人-巫时，，而取最大值，最大值为

24244

10.(2026・上海・高考真题)关于x的不等式与<0的解集为___________.

x-3

【答案】(-2,3)

【分析】由叶|<0可得:(X+2)"-3)V0,解不等式可得其解集.

JV-3

【详解】由岩<0可得:*+2)*-3)<0.

x-3

解得:-2<x<3,

所以不等式注<0的解集为(-2,3).

x-3

故答案为：(-2,3).

11.(2026・上海・高考真题)若00,8>(),且〃+2。=4,则必的最大值是.

【答案】2

【分析】由于。、。为正值，且a+助为定值4,因此可以运用基本不等式先求出2房的最大值，进而求

出处的最大值.

【详解】解：〈a〉。，b>0,勿=4

1•4-aI2b>2hab

：.(ib<2,当且仅当a=勖时取等号，即。=2,〃=1时取等号

故答案为：2.

【点睛】此题考查基本不等式的应用，应用基本不等式求最值要注意“一正二定三相等”的条件，属于基础

题

12.(2025・天津・高考真题)若。力wR,对Vxe[-2,2],均有(2a+b).d+以—一"。恒成立，则为+〃的最

小值为_______

【答案】-4

【分析】先设f=2a+〃，根据不等式的形式，为了消。可以取X=-；，得到，之-4,验证/=~4时，。力是

否可以取到，进而判断该最小值是否可取即可得到答案.

【详解】设/=2々+从原题转化为求f的最小值，

原不等式可化为对任意的-优^(f-2a)x-a-1WO,

不妨彳弋入x=彳好;/一；（/-24）—4一I£0,储0-4,

当1=Y时，原不等式可化为-4^+（-4-24）X-〃一1工0,

即一2X+&+1J+：/«（）,

o1

观察可知，当a=0时，-（2x+l）-W0对一2VXV2一定成立，当且仅当K=-］取等号,

此时，”=0,〃=-4,说明［=-4时，均可取到，满足题意，

故/=%+/?的最小值为T.

故答案为：-4

13.（2025・上海・高考真题）设a力＞0M+1=1,则“+'的最小值为_________.

ba

【答案】4

【分析】灵活利用“1”将力+-=（力+£|（。+£|展开利用基本不等式计算即可.

【详解】易知8+,=（/?+_!_（a+—=ab+-+2＞2.1ab--+2=4,

aIa八bJabVah

当且仅当必=1,即〃=；4=2时取得最小值.

故答案为：4

14.（2025・上海・高考真题）不等式口＜。的解集为_________.

x-3

【答案】（1,3）

【分析】转化为一元二次不等式（、-1）（%-3）＜0,解出即可.

【详解】原不等式转化为（X-1）（A3）V0,解得1＜X＜3,

则其解集为（1,3）.

故答案为：（1,3）.

15.（2025・上海・高考真题）不等式告＜（）的解集为.

x-i

【答案】（0,1）

【分析】将不等式』7＜0化为Mx-1）＜0,即可得答案.

X—1

【详解】由题意得不等式」7＜。即工（工一1）＜0,.•/«（）/），

x-I

6

即不等式一-<0的解集为(0,1),

x-1

故答案为：(0,1)

16.(2024・上海•高考真题)已知/(x)=Rg(x)=、八，求双幻。7的x的取值范围

【答案】(一-1]

【分析】分xNO与xvO两段求解二次不等式可得.

2V>0

【详解】根据题意知ga)=v/一八.

-x,x<0

当工之0时，g(x)«2—x,即f+X—2K0,解得-2fxWl,贝lj有OKxKl；

当工<0时，g(x)<2r,即4+A240,xeR,即x<0时，不等式g(x)42r都成立.

综上所述，g(x)42-x的x的取值范围为(口」].

故答案为:(-00，1].

17.(2024.上海.高考真题)已知而=1,4/+96的最小值为.

【答案】12

【分析】利用不等式/+力222a6即可求解.

【详解】4/+9b2=(2〃『+(3/?)2>2x2t/x3/?=l2ab=12,

当且仅当他丁，即a=如小且或〃=-更。=-亚时，等号成立，

[ab=\2323

故4/+9必的最小值为12.

故答案为：12.

18.(2024・上海・高考真题)已知xwR则不等式1一2大一3<0的解集为.

【答案】{x|-l<x<3}

【分析】求出方程f-2x-3=0的解后可求不等式的解集.

【详解】方程d-2x-3=0的解为x=-l或x=3,

故不等式炉一2l-3<0的解集为{划-l<x<3},

故答案为：{x|-l<x<3}.

19.(2026•上海•高考真题)已知awK,函数/(力+ov+3,^(x)=4.v+p-.

⑴已知/⑴=4,求/(x)+4>g(x)的解集；

X

⑵已知”工0,6是〃力在点(0,3)处的切线，，2是过点(0,3)且垂直于4的直线，g(x)与乙、/二在第一象限

内均无公共点，求。的取值范围.

【答案】(i)(—,o)U(o/)U(3,田)

【分析】(1)求出参数。，解不等式即可求出工的范围；

(2)求出直线4与4的方程，利用g(力与4、，2在第一象限内均无公共点，得出g(x)=4x+4=欠+3与

•X

g(x)=4x+J=-Lx+3无正实数解，分离参数，转化为直线y=a与),=—■!■与曲线〃(x)=I—3+4在X>0

xaaATx

内均无交点，对/?")求导讨论其单调性，得出函数的最值，建立不等关系，即可求出实数。的取值范围.

【详解】(1)由题意，XH0.在“力=/+以+3与g(x)=4x+J中，

X

/(1)=12+6/+3=4,解得a=0,・・・/(x)=f+3,

：f(x)+4>g(x),

X

|1I

厂2+3o+—>4xx+—

'x2x2,解得x<0或0<xvl或x>3,

・••不等式的解集为(f，0)50,1)53,E).

(2)由题意知OHO,由/(x)=f+歌+3,得r(x)=2x+a,

.・.广⑼=0+a=〃.

•・•直线［为在点(0,3)的切线,

・••直线4的方程为)3=。(工一0),即y=or+3,

V4是过点(0,3)且垂直于右的直线，

・•・直线4的方程为：y-3=--(x-o),即尸」x+3,

aa

对于函数g(x)=4x+^,工工()，曲线g(x)与乙、4在第一象限内均无公共点，

***g(x)=4x+J=or+3与8(")=4"+5=一%+3无正实数解，

8

13I13

分离参数得，a=-\--+4,--=4--+4,

xxaxx

I।a

J直线)，=白与)，=-：与曲线“x)=+4在(0,+oo)内均无交点，

c333X2-33(x-l)(x+l)

人人人人

当A'(x)=O时，解得x=T(舍)或x=l,

・••当”(“<0即0<x<l时，函数单调递减，

当”(力〉()即x>l时，函数单调递增，

，力(力在x=l处取最小值，//(A)inin=/?(1)=1-^+4=2.

当工.()时，〃(x)->+8,当XT+8时，妆力->4,

，a<2且一<2,即〃<一2或0<。<2,

a2

・•・实数〃的取值范围为卜叫-£|=(0,2).

20.(2024.上海.高考真题)对于一个函数/*)和一个点M(a力)，令+(/0)-4，若$(用在工=.

时取得最小值的点，则称(%,/(%))是M的“/最近点”.

⑴对于函数/(x)=Lxe(0,+8),求证：对于点M((),O),存在点/),使得点〃是M的“/最近点”；

X

⑵对于函数/(x)=ereR,M(l,o),请判断是否存在一个点尸，使它是M的“/最近点”，丘直线与

曲线fW在点P处的切线垂直？

⑶已知函数/(x)&eR)可导，函数g*)>0在xeR上恒成立，对于点M"TJ(，)-g(f))与点

“式f+lj⑺+g«)),若对任意实数，,均存在点尸同时为点M与点场的"/最近点”,说明fCO的单调性.

【答案】(1)证明见解析

(2)存在，P(OJ)

(3)严格单调递减

【分析】(1)代入"(0,0),利用基本不等式即可；

(2)由题得s(x)=(x-l)2+e2x,利用导函数得到其最小值，则得到P,再证明直线MP与切线垂直即可；

(3)根据题意得到s；(M)=s；(%)=。，对两等式化简得/'(%)=一看，再利用“最近点”的定义得到不等

式组，即可证明.％=，，最后得到函数单调性.

【详解】(1)当M(。,。)时，5(x)=(x-0)2+f-!—OT=X2+4^2.L^Z=2,

(XJX'X

当且仅当V=-V即X=1时取等号，

X

故对于点"(0,0),存在点*1,1),使得该点是用(0,0)在“X)的“最近点”.

(2)由题设可得s(x)=(x—l)2+(e'—0)2=(x—l)2+e2",

M/(x)=2(x-l)+2e2r,

因为y=2(x—l),y=2e2*均为R上单调递增函数，

则s'(x)=2(x-D+Ze2•"在R上为严格增函数，

而$'(0)=0，故当x<0时，$'(工)<0,当x>0时，$'(x)>0,

故MM“n=s(°)=2,此时尸(0,1),

而r(x)=e*r(o)=i,

故f(x)在点P处的切线方程为kX+1.

0-1

Ulik=—-=-1,故kpk=-{,

MPI-UM

故直线MP与y=/(x)在点P处的切线垂直.

(3)设$G)=at+1)2+(/(%)-<(。+g(f))2,

22

(s2(x)=(x-t-1)+(f(x)(t)),

而s；(x)=2(x-t+1)+2(/(x)-/(i)+g«))/'(X)，

S2(x)=2(x-t-l)+2(f(x)-f(t)-g(t))f,(x),

若对任意的，£R.存在点P同时是M|・在f(x)的“最近点”，

设P(%»o)，则X。既是MM的最小值点，也是$2(x)的最小值点，

因为两函数的定义域均为R