浙教版新九年级数学暑假收心卷02（范围：九年级上册1-4章）

暑假收心卷02

(考试时间：90分钟试卷满分：1()0分)

训练范围：新教材，浙教版九年级上册第1~4章。

第I卷选择题

一、选择题(本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的)

I.下列判断或计算正确的是()

A.我是最简二次根式B.麻=2：

C.J(—a)2=aD.(&+I)2=3+2企

【答案】D

【详解】解：对选项A,•••我=2或，.••我不是最简二次根式，A错误；

对选项B,==J.B错误；

对选项C,J(-研=|a|,当a<0时，J(-a)2=-a,垢果不一定等于a,错误；

对选项D,V(V2+I)2=(应尸+2x&xl+12=2+2企+1=3+2VL.，.D正确.

2.若小，〃是方程/+2%-2026=0的两个实数根，则代数式根2+3m+n的值为()

A.-2B.2024C.2026D.2028

【答案】B

【分析】利用一元二次方程根的定义对所求代数式降次，再结合一兀二次方程两根之和的关系整体代

入计算即可求解.

【详解】解：・・・m,九是方程必+2%-2026=0的两个实数根，

・•・由方程根的定义得租2+2巾一2026=0,

由一元二次方程两根之和的关系得：m+n=-2,

/.TH2=2026—2m,

.\m2+3m+n

=2026—2m+37n+n

=2026+m+n

=2026-2

=2024.

3.如图，在四边形力8C0中，E,F,G,H分别是48,BC,CD,D4的中点.有下列结论：①四边形EFGH是平

行四边形；②若4C=BD,则四边形EFG”是菱形；③若力C18。，则四边形EFG"是矩形；④若AC=

ACLBD,则四边形EFG”是正方形.上述四个结论中正确的是()

C

G

D

\

AEB

A.®@®B.®@®C.①③④D.①②③④

【答案】D

【分析】根据三角形中位线的性质，结合平行四边形、菱形、矩形、正方形的判定定理，对各结论逐

一分析判断即可.

【详解】解：二•在四边形48co中，E,F,G,4分别是48,BC,CD,04的中点，

：,HG//AC,HG=-AC,EFIIAC,EF=-AC,EH//BD,EH=-BD,

222

:.HG//EF,HG=EF,

・•・四边形E/G”是平行四边形，故①正确；

当4c=8。时，则：HG=EH,

.••四边形EFGH是菱形；故②正确；

当4C18。时，则：HG1HE,

•••乙GHE=90°,

・•・四边形EFGH是矩形；故③正确；

当月C=AC1BD,则：HG=EH,HG1HE,

・•・四边形EFGH是正方形；故④正确.

4.已知(0/)，(一2,%)，(一3,丫3)是抛物线丫=一/一4%+1上的点，则为,y2»内的大小关系是()

A.71<y2<y3B.yi<y3<y2C.y3<<y2D.y3<<7i

【答案】B

【分析】先确定抛物线的开口方向和对称轴，再根据开口向下的二次函数的性质：点到对称轴的距离

越大，对应函数值越小，通过比较三个点到对称轴的距离，得到函数值的大小关系.

【详解】解：：抛物线y=-x2-4x4-1中，a=-1<0,

・•・抛物线开口向下，点到对称轴的距离越大，对应函数值越小，

抛物线对称轴为x=一”--^-=-2,

2aZXQ-1)

分别计算三个点到对称轴％=-2的距离：

点(0,%)到对称轴的距离:|0-(-2)|=2,

点(-2,丫2)到对称轴的距离：1-2-(-2)|=0,

点(—3,乃)到对称轴的距离：|—3—(—2)|=1,

V2>1>0,

••yivy3V乃・

5.如图，已知二次函数的图象(-2WxW遍-1),关于该函数在所给自变量的取值范围内，下列说法正确

的是()

A.有最大值4,无最小值

C.有最大值4,有最小值-2

【答案】C

【分析】木题考杳了二次函数的最值及二次函数的图象,应用数形结合的思想求解是解题的关键.

直接根据函数的图象确定顶点坐标、开口方向及对称轴，得取值范围内的最大值为4,由对称性可知％=

一2时y>0,由图知》=连一1时，y=-2,故一23工三遍一1时，函数有最大值4,有最小值一2.

【详解】解：由函数图象可知，此函数的顶点坐标为(-1,4),对称轴为％=-1,

•・•此抛物线开口向下，

・・・此函数有最大值，最大值为4；

,:x=-2关于对称轴对称的点为％=0,此时对应的函数值y>0,

当％1时，y=-2,

・••当-24工工伤一1时，-2WyW4,即函数有最大值4,有最小值一2.

故选：C.

6.一个不透明袋子中有20个白球、6个黑球、3个红球和1个黄球，这些球除颜色外无其它差别，将袋子

中的球搅匀后，从袋子中随机取出一个球记下颜色再放回袋子，通过大量重复试验后，取出某一颜色球的

频率稳定在0.2,则该球的颜色最可能是()

A.白色B.红色C.黑色D.黄色

【答案】C

【分析】本题考查了利用频率估计概率.用频率估计概率，根据大量反豆试验下频率的稳定值即为概

率值得到抽到该球的概率为0.2,再分别计算出抽到四种颜色的球的概率即可得到答案.

【详解】解：根据题意，该球的频率稳定在0.2左右，所以抽到该球的概率为0.2,

总球数为20+6+3+1=30,

•・•抽到白球的概率为：^«0.67,

*5U

抽到黑球的概率为：卷=02

抽到红球的概率为：总=0.1，

抽到黄球的概率为：0.03,

，该球的颜色最有可能是黑色.

故选：C.

7.如图，△48。内接于。。，4D是直径，若41CB=4O。，则zB/D的度数为（）

A.20°B.25。C.50°D.60°

【答案】C

【分析】本题考查r圆周角定理，直径所对的圆周角是9。度，正确掌握相关性质内容是解题的关键.

先连接结合脑=AB,得乙4DB=Z.ACB=40%又因为/O是直径，得28。=90。，再列式计算，

即可作答.

【详解】解：连接BD,如图所示：

R

VA6=血

：./.ADB=Z.ACB=40°,

•・Z。是直径，

・"ABD=90°,

・"区40=90°-40°=50。，

故选：C.

8.是O0的一条弦，OP1/1B于点P.若OP=3,AB=8,则。0的半径为（）

A.4B.5C.V41D.2x^3

【答案】B

【分析】本题考查垂径定理的应用，解题的关键是先利用垂径定理求出弦长的•半，再结合勾股定理

计算。。的半径.

【详解】解：连接。4

40A08

00

.・.4P=g4B=4（垂径定理：垂直于弦的直径平分弦.）

在RtZkOPA中，0P=3,AP=4

OA=y/AP2+OP2=J42+32=V16+9=V25=5

即O。的半径为5.

故选B.

9.如图，在△ABC纸片中，ZC=90%BC=5,AC=7,将该纸片沿虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三

角形不相似的是（）

【答案】D

【分析】本题主要考查相似三角形的判定，由于点。，得4/0。=90。，则2力。。=44。8,而

Z.A=Z.A,即可证明△4C0s△48C,可判断A不符合题意；由J.AC,^Z-AFE=Z.C,则E尸〃8C,可

证明△AEFsaABC,可判断8不符合题意；由BC=5/C=7,HC=2.5.GC=3.5,得等=与=、而4GCH=

Z.ACB,可证明△GHCs△ABC,可判断C不符合题意；由BC=5,AC=7,LC=2,KC=3,*

BC5AC7

则器，而4KCL=£ACB,所以△KZZ与△48。不相似，可判断。符合题意，于是得到问题的答案.

BCAC

【详解】解：如图

B

〈CD1AB于点D,

：.Z-ADC=90°,

'：Z.ACB=90°,

：./LADC=/-ACB,

*.*Z.A=z.7l»

△ACD^△ABC,

故A不符合题意；

如图2,

CF/

图2

\*EF1AC,

LAFE-90%

VzC=90°,

：.z.AFE=zC,

：.EF//BC,

△A"s△ABC,

故3不符合题意；

如图3,

B

,:BC=5/C=7,HC=2.5,GC=3.5,

.HC2.51GC3.51

•=—

BC52AC72

.HC_CC

・.BC-AC"

.:乙GCH=Z.ACB,

：・AGHCS&ABC,

故C不符合题意;

如图4,

,:BC=5,AC=7,LC=2,KC=3,

.LC2KC3

..—=—=—,

BC5AC7

・LC」RC

.•荷工族'

假设△KLCs^ABC,

*：LKCL=Z.ACB,

••芸=今,与已知条件不符，

DC71C

•••△/^。与4/8。不相似，

故。符合题意，

故选：D.

10.皮影戏是中国民间古老的传统艺术，如图，在灯光的照射下，幕布上呈现出“人物”的影子.若将光源看

作位似中心，以光源为原点建立直角坐标系，皮影道具(原图)上的一点(3,2)对应到幕布(像)上的对应

点为(6,4),则道具上的另一点(4,-3)对应到幕布上的点为()

幕布

A.(6,-4)B.(6,8)C.(-8,6)D.(8,-6)

【答案】D

【分析】根据题意得位似比为1:2,由道具上的点(4,-3)可得对应到幕布上的点的坐标.

【详解】解：:皮影道具(原图)上的一点(3,2)对应到幕布(像)上的对应点为(6,4),

・••位似比为3:6=1:2,

・••道具上的另一点(4,一3)对应到幕布上的点为(8,-6).

第n卷非选择题

二、填空题(本题共6小题，每题3分，共18分)

II.已知关于x的一元二次方程快-1)/一2心:+人+2=0有两个实数根，贝收的取值范围是.

【答案】忆42且女工1

【详解】解：•・・关于”的方程(k-l)x2-2kx+k+2=。是一元二次方程，

・'•kH1,

•・•关于》的一元二次方程(k-l)x2-2kx+k+2=0有两个实数根，

=b2-4ac=(-2/c)2—4(k—l)(k+2)=8-4fc>0»

即8-4k>0,

解得：k<2,

・•・♦的取值范围是k<2且k*1.

12.已知函数y=ax2+bx(aH0)的图象和函数y=£的图象如图所示，则关于％的一元二次方程a/+历：一

£=0的解是.

【答案】X]=-0.5,x2=2.5

【分析】本题考查了二次函数的性质.函数y=ax2+bx(a*0)的图象和函数y=£的图象交点的横坐

标就是关于X的一元二次方程a/+匕％一t=0的解，据此求解即可.

【详解】解：由图象知，抛物线/=。％2+匕双。。0)的对称轴为直线％=1,

函数y=ax2+bx(aH0)的图象和函数y=£的图象一个交点的横坐标为一0.5,

，一个交点的横坐标为2.5,

・•・关于》的一元二次方程a/+bx—t=0的解是=-0.5,x2=2.5.

故答案为:Xi=-0.5,x2=2.5.

13.二次函数丫=。/+取;+6：的部分图象如图所示，其对称轴为直线％=2,若该抛物线与％轴的一个交点

为(5,0),则由图象可知，不等式a/+bx+c>0的解集是.

【答案】—1V%V5

【分析】本题主要考查了二次函数与不等式(组)、抛物线与无轴的交点.依据题意，由抛物线的对•称轴

是直线％=2,且与x轴的一个交点为(5,0),利用对称性可得另一个交点的坐标为(-1,0),结合抛物线y=

2

ax+bx+c的开口向下，进而可得不等式a/+bx+c>0的解集.

【详解】解：•.•抛物线的对称轴是直线％=2,且与x轴的一个交点为(5,0),

•••另一个交点的横坐标为2-(5-2)=-1,

即另一个交点的坐标为(-1,0),

抛物线y=ax2+bx+c的开口向下，

二不等式Q%2+bx+c>。的解集是一1<xV5,

故答案为：

14.用图中两个可自由转动的转盘做“配紫色”游戏，分别旋转两个转盘，若其中一个转出红色，另一个转出

蓝色即可配成紫色，那么可配成紫色的概率是.

【答案】裔

【分析】本题考查了列表法或树状图法求概率，把第一个转盘分为相同的三部分，一部分为红，另两

部分为蓝，再利用树状图展示所有12种等可能的结果数，找出一个转出红色，另一个转出蓝色的所占结果

数，然后根据概率公式计算.

【详解】解：画树状图为

红红政黄红红色黄红红好黄

共有12种等可能的结果数，其中一个转出红色，另一个转出蓝色的占5种,

•••可配成紫色的概率是*

故答案为：2

1L乙

15.如图，48为448。内接于。。的直径，AB=6,D为。。上一点，^ADC=30°,劣孤的长为

【答案】2兀

【分析】如图，连接OC,求出圆心角48。。，利用弧长公式求解即可.

【详解】解：如图，连接。C,

•••OA=OB=3,

•••Z.AOC=2/.ADC=60°,

•••乙BOC=120°,

的长=甯=2兀.

18U

16.如图，△A8C的两条中线A。和8E相交于点G,过点后作£尸〃8。交人。于点巴那么当的值是

【答案】加.25

【分析】本题考查的是三角形的重心的概念和性质、平行线分线段成比例定理的应用，三角形的重心

是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍.

根据重心的性质得到AG=2DG,BG=2GE,根据平行线分线段成比例定理计算即可.

【详解】解：,•,△48。的两条中线力。和85相交于点6,

・••点G是△4BC的重心，

：.AG=2DG,BG=2GE,

,/EF//BC,

...—FG=—EG=-1

DGGB2

.FGFG1

••-=―,

AG2DG4

故答案为：；

4

三.解答题(本题共8小题，共72分)

17.计算

⑴闻+V5+Jjx2-V8

(2)解方程：X2-2X-3=0

【答案】(1)4-72

(2)与=3,X2=-1

(详解】(1)解：\/48+V3+/x2—V8

L企L

=^+—x2-2V2

乙

=4+-2汲

=4—V2；

(2)解:x2-2x-3=0,

(x—3)(%+1)=0,

令％-3=0或％+1=0,

解得：勺=3,&=-1

18.如图，正方形48CZ)的边长为2,点E在边8c上，8E的中垂线分别交力C,BC于点P,N,延长C8至点心

使连接，PE,PF.

(1)求证：PE=PD；

(2)设CE=a(a>0),四边形CDPE的面积S.

①用含a的代数式表示S；

②当为等腰三角形时，求S的值.

【答案】(1)见解析

⑵①S=1+a+浮；②s=黑7-2瓜

【分析】本题主要考查了正方形的性质与判定，线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，勾股定理:

(1)由线段垂直平分线的性质和正方形的性质可得PE=PB,PD=PB,则可证明PE=PD；

(2)①作PM_LCO于点M,证明四边形PNCM是正方形，得到PN=PM=CN=1+：再根据S=

S“CE+SGCD进行求解即可•②分当FP=FE时，B|JFP2=FE2,当PE=E/时，即PE?二弘2，两种情况

利用勾股定理建立方程求解即可.

阳1•••PN垂直平分8E,

APE=PB.

又•••P为正方形对角线上一点，

，由正方形的轴对称性得:PD=PB,

二PE=PD.

Z.PNE=乙PMD=90°.

又P为正方形A8C。对角线47上一点，

:.4c平分乙8C0,乙NCM=90。,

•••PN=PM,

J四边形PNCM是正方形，

：.PN=PM=CN=—+a=1+-

22

•••s=S“CE+S"CD=(1+5)+：X2(1+I)=1+。+闻.

②•••PF>PB=PE,

为等腰三角形分两种情况(如图3)：

・Y+(T)2=(2中,

解得：a=W

J

丁=(")T.

当PE=E尸时,BPPF2=EF2,

•、(2f=(I+2(一丁，

化简得：a24-8a-8=0.

解得：。=一4±2乃，

a>0,

a=-4+2x/6.

.，.S=(1+M)=(1-2+x/6)2=7-2瓜.

综上可得：5=费或7-2遍.

19.已知抛物线y=。/+力；+3经过点力(1,0),5(-1,8).

(1)求该抛物线的函数表达式；

(2)若点。(-3,%),。(小)2)在该抛物线上，且外>力，求曾2的取值范围;

⑶将此抛物线向左平移〃(n>0)个单位，设平移后抛物线与y轴的交点为E(0,e),若e的最大值和最小

值分别为“，e2,且e1一/=6,求n的值.

【答案】(1)丫=%2-4%+3

(2)-3<m<7

(3)九=24-x/6

【分析】(1)利用待定系数法求解即可；

(2)先对称性求得点。⑺山)到对称轴的距离为1血-2],根据％>、2,列式计算即可求解；

(3)先求得平移后的解析式y=a-2+n)2-l,得到与y轴交点的纵坐标：e=(n-2)2-l,利用

二次函数的性质求得《取最小值/=-1,据此求解即可.

【详解】(1)解：•••抛物线y=a产十"+3经过点A(l,0),B(-1,8),

.(a+b+3=0

**ta-b+3=8，

解得｛二二，

・•・该抛物线的函数表达式为y=X2-4X+3；

(2)解：先将抛物线解析式化为顶点式：y=x2-4x+3=(x-2)2-l,

抛物线开口向上，对称轴为％=2,

点C(一3,%)到对称轴的距离为|一3-2|=5,

点D(m,%)到对称轴的距离为依-2|,

因为%>y?，

所以|也一2|<5,即：-5<?n-2<5,

解得一3VmV7；

(3)解：抛物线向左平移〃个单位后，解析式为：y=(x-2+n)2-l,

当％=0时，与y轴交点E的纵坐标：e=(0-2+n)2-1=(n-2)2-1,

这是一个关于〃的二次函数，开口向上，对称轴为九二2,

当n=2时，e取最小值。2=-1,

题目中-e2=6,则=5,

令(n—2)2—1=5,即(九—2/=6»

解得：n=2±V6,

因为九>0,所以n=2+遍.

20.甲、乙玩转盘游戏时，把质地相同的两个转盘4,B平均分成2份和3份，并在每一份内标有数字如图.游

戏规则：甲转动转盘A一次，乙转动转盘8—次，当转盘停止后，指针所在区域的数字之和为偶数时甲获胜；

数字之和为奇数时乙获胜.若指针落在分界线上，则无效.要重新转动转盘.

(1)用列表或画树状图的方法，求甲获胜的概率.

(2)这个游戏对甲、乙双方公平吗？请说明理由：若不公平，请改动转盘4上的一个数字使得游戏公平(不需

要写出理由).

【答案】明

(2)不公平；甲获胜的概率“、于乙获胜的概率泉把A盘中的数字1或3换成2,另一个不变，即可保

证游戏的公平

【分析】本题考查了列表法或画树状图求概率，游戏的公平性等知识，正确列表或画出树状图是解题

的关键;

（1）列表或画树状图，可以求出所有可能事件的总数及事件发生的总数，由概率公式即可求解：

（2）根据（1）中列表或树状图可求得乙获胜的概率，若两概率不相等，则改动转盘力上的一个数字使

得游戏公平即可.

【详解】⑴解:列表如下:

AB234

11、21、31,4

33、23、33、4

事件所有可.能情况为6种，其中指针所在区域的数字之和为偶数的有2种，

则甲获胜的概率为;二［

o3

答：甲获胜的概率为

（2）解：不公平；

理由如下：

由（1）知，指针所在区域的数字之和为奇数的有4种，

则乙获胜的概率为:=；.

而甲获胜的概率9小于乙获胜的概率/

所以游戏不公平.

把A盘中的数字1或3换成2,另一个不变，即可保证游戏的公平.

答：游戏不公平；甲获胜的概率;小于乙获胜的概率：把A盘中的数字1或3换成2,另一个不变，即

可保证游戏的公平.

21.如图，是。。的直径，弦AC与半径0D平行，连结BC交0。于点E.

⑴求证：前＞=的；

（2）若8c=4,OD=3,求的长.

【答案】（1）见解析

（2）3-V5

【分析】本题考查圆心角，弧，弦之间的关系，垂径定理，勾股定理，解题的关键是掌握相关知识解

决问题.

(1)利用垂径定理证明即可；

(2)利用垂径定理，勾股定理求出0E即可.

【详解】(I)证明：・・FB是直径，

=90。，

'：OE||AC,

"OEB=Z.C=90°,

：.OD1CB,

：,CD=能;

(2)解:'：ODIBC,

：.CE=EB=-BC=2,

2

•：OB=0。=3,

：,OE=>JOB2-EB2=V32-22=圾,

：.ED=OD-OE=3-y/5.

22.如图，在加BCD中，AD=4,E为的中点，连接4C,DE相交于点凡过点E作EGIIAD交4c于点G.

(1)求EG的长；

(2)求穿的值.

【答案】(1)2

(2尸=工

【分析】(1)结合平行四边形的性质，证明然后利用相似三角形对应边成比例解题

即可；

(2)通过平行线分线段成比例，可得再证明ZMEFSACD",得到FC=24/，从而得到

AC=3AF,推出AG=|斗凡从而得出答案.

【详解】(1)解：YE为88的中点，

：

,AE=BE=-2AB,

•・•四边形ABC。是平行四边形，AD=4,

：.AD||BC,AD=BC=4,

'：EGIIAD,

/.△AEGABC»

•.•-A-E=—EG=一1,

ABBC2

：.EG=-BC=2：

2

(2)解：••・？为AB的中点，

：.AE=EB.

•••EGIIAD,ADIIBC,

:.EG||BC,

ACAE1Hn.1a

—=—=BJ/1G=-AC.

ACAB22

-AE||DC,

AEF5sCDF,

FCDCAB2

AC=AF+FC=3AF,

'.AG=-AC=-AF,

22

FG=AG-AF=-AF-AF=-AF.

22

FG1

"^4C-6,

23.某校物理兴趣小组举办“水火箭”发射距离比赛，如图是甲组的水火箭实物图.王老师用频闪照相机记录

并测量甲组的水火箭的飞行水平距离工米和飞行高度y米的数据，记录数据如下表：

照相机

频闪时00.511.522.53•••

间必

水平距

051015202530•••

离X米

飞行高

04.5810.51212.512・・・

度y米

⑴根据表格中的数据描点，连线，发现y与x近似地满足二次函数关系，请写出y与％之间的函数表达式；

(2)艰据表格数据，可知水平距离x与时间£满足关系式x=10t.根据比赛规定，在水平距离相同的情况下,

飞行高度不低于8米的持续时间越长成绩越好.求甲组水火箭飞行高度不低于8米的持续时间；

(3)乙组的水火窗与甲组的水火箭同时从同一高度发射，已知乙组水火箭的飞行高度y(米)与水平距离工(米)

满足函数关系丫=-三/+：，当水平距离为多少米时，两组水火箭的高度差最大？最大高度差是多少？

【答案】(l)y=-京2+工

(2)持续时间3秒

(3)当水平距离为20米时，最大高度差为4米

【分析】(1)待定系数法求解即可；

(2)令y=8,解出x的值求解即可；

(3)设高度差为九h=一《/+'-(一击/+|%)，根据二次函数的性质判断即可.

【详解】⑴解:设y=a%2+b%+c,将(0,0)、(10,8)、(20,12)代入，得

c=0

100a+10b+c=8,

400a+20b+c=12

|50

|b=1

\c=0

•••y=-//+%；

(2)解：令y=8,8=一如2+%,

—10,%2=40,

将无i=10,x2=40代入得x=10t»

得0=1,J=4,

••・持续时间4一1=3秒.

(3)解：设高度差为人

1/13\

hL=--%2+%-2+二X

50\1005/

122

=+-X

1005

=-击20)2+4,

当水平距离为20米时，最大高度差为4米.

24.如图，在直角坐标系中，抛物线、=。32+版+89,0)经过点71(-3,5),8(5,3),交1y轴于点C,以

AB为直径的圆，经过点O,C,交