2024-2026年高考数学试题分类汇编：不等式（解析版）

I.（2026•北京・高考真题）学校组织高一、高二学生参观甲、乙两地博物馆，每位学生可自主选择一处前

往.已知高一学生总人数多于高二学生总人数，前往甲地的全体学生总数多于前往乙地的全体学生总数，

则（）

A.去甲地的高一学生人数多于去乙地的高一学生人数

B.去甲地的高一学生人数多于去乙地的高二学生人数

C.去甲地的高一学生人数不多于去乙地的高二学生人数

D.去乙地的高二学生人数不少于去甲地的高二学生人数

【答案】B

【分析】设出高一、高二去甲、乙地的人数，根据题目条件建立不等关系，即可得出结论.

【详解】由题意，设高一学生去甲地的人数为A,去乙地的人数为3,

高二学生去甲地的人数为C,去乙地的人数为。，

・•・高一总人数：A十6，高二总人数C+。，前往甲地的学生人数：A+C，前往乙地的学生人数：B+D,

•・•高一总人数多于高二总人数，前往甲地的全体学生总数多于前往乙地的全体学生总数，

,4+B>C+O

••“AkD八，由不等式的性质，两侧分别相加并化简得

・•・高一学生去甲地的人数多于高二学生去乙地的人数，故B正确，A,C,D均错误.

14

2.（2026.天津.高考真题）（工+-）（工+-）的最小值为（）

xx

A.10B.9C.8D.6

【答案】B

【详解】因为x-\—）（x"1—）=x?H—7+5>2^x2•—+5=9,

当且仅当V=：,即/=2,工=±0时，等号成立，

x~

所以的最小值为9.

\X八X）

3.（2026•上海・高考真题）已知则下列不等式恒成立的是（）

A.I〉/B.xy>x^yC.x2>yD.x+y>xy^

【答案】C

【分析】举反例即可求解ABD,根据不等式的传递性即可求解C.

【详解】对于A,取x=3,），=2,则x=3,），2=4,故,tv,，？，所以A错误，

对于B,取x=L5,y=1.2,则与，=1.8,4+），=2.7,此时—'〈工+儿故B错误，

对于C,由于故犬>4,因此C正确，

对「D,取x=3,y=2,则x+），=5,Ay=6,此时工+丁<个，故D错误,

故选：C

4.（2025・北京・高考真题）已知a>0,力>0,则（）

A.a2+b2>2abB.-+

abab

-112

C.a+b>4abD.~+T--rT

abyjah

【答案】C

【分析】由基本不等式结合特例即可判断.

【详解】对于A,当时,a2+b2=2ab»故A错误;

对于BD,取〃=此时宗>2+4=6<71T=8=匕，

242X4

—+—=2+4=6>—=4\/2=

ab反不而3—，故BD错误；

V2X4

对于C,由基本不等式可得〃疯>疝，故C正确.

故选：C.

5.（2。25♦全国U卷•高考真题）不等式千22的解集是（）

A.{d—B.{dKM-2}

C.{A|-2<x<1}D.{x\x>1}

【答案】C

【分析】移项后转化为求一元二次不等式的解即可.

【详解】二22即为当工0#"：2）,-1）$0,故.2?x1,

x-1x-\|/一100

故解集为{H-2Vx<l}.

故选：C.

6.（2024・上海・高考真题）a,b,ceR,b>c,下列不等式，亘成立的是（）

A.a+b1>«+c2B.a2+b>a2+cC.ah2>ac2D.crb>crc

【答案】B

【分析】ACD举反例；B选项由不等式的可加性可判断.

【详解】对于A,若例<同，则从VC?,选项不成立，故A错误；

对FB,由不等式的可加性可知，6Z2+Z?>6Z2+C,故B正确；

对于C、D,若。=0,则选项不成立，故C、D错误.

故选：B.

4x-3y-3>0

7.（2024.全国甲卷高考真题）若满足约束条件=2,，-2《。，则z=x-5），的最小值为（）

2x+6y-9<0

157

A.-B.0C.——D.——

222

【答案】D

【分析】画出可行域后，利用z的几何意义计算即可得.

4x-3j-3>0

【详解】实数满足卜-2k2工0，作出可行域如图：

2x+6y-9<0

由c=x_5y可得y.x—

即z的几何意义为的截距的-!,

则该直线械距取最大值时，N有最小值，

此时直线）'=:工-/z过点A,

JJ

3

42xK-36；y，-一39=”0解得x=—（3、

联立2,即4，

y=lIZ/

则％m=57

2

故选：D.

8.（2024・北京・高考真题）已知（.大凶），（/，%）是函数）=2,的图象上两个不同的点，则（）

X+0)X+W

A.logB.log

22222

C.log2>：，'<X]+x2D.log2>；>>A+8

【答案】B

【分析】根据指数函数和对数函数的单调性结合基本不等式分析判断AB；举例判断CD即可.

【详解】由题意不妨设七，因为函数），=2、是增函数，所以0<2演〈2今，即0〈乂<力，

7r'+产,-----N+X?

对于选项AB：可得—>扬7句=2,即空卫>22>0,

22

根据函数旷=1。比1是增函数，所以Iog2"^>log22^=五产，故B正确，A错误;

对于选项D：例如玉=0,勺=1，则>1=1%=2,

可得log?=1唯白«0,1）,即log?与&<1=玉+七，故D错误；

对于选项C:例如为=-1,X2=-2,则y=；,网=；，

可得log2、4&=log21=log23—3«—2,-1）,即log?苦息>_3=内+W，故C错误，

2o2

故选:B.

9.（2026・上海・高考真题）已知/+4〃=],则,力的最大值为.

【答案】y/0.25

4

【分析】根据基本不等式可得/+4〃>*结合条件即可求结论.

【详解】因为〃+4〃=。2+（3）222。•乃=4。〃，当且仅当〃=%时等号成立，

结合/+4〃=1可得‘"人〜

当且仅当。=无，b=-^a=-—,〃=-立时等号成立，

2424

所以当〃=立，4立或…业,〃=-也时，<心取最大值，最大值为;.

24244

10.（2026・上海・高考真题）关于X的不等式TY4-<90的解集为____________.

x-3

【答案】（-2,3）

【分析】由x一+2V。可得:（x+2）S-3）v0,解不等式可得其解集.

x-3

【详解】由—x+2<0可得:。+2）。-3）<0,

x-3

解得:一2<工<3,

所以不等式Xx+2<0的解集为（-2,3）.

x-3

故答案为：（-2⑶.

11.（2026・上海・高考真题）若。>0,h>0,且。+2〃=4,则必的最大值是.

【答案】2

【分析】由于。、。为正值，且%为定值4,因此可以运用基本不等式先求出2国的最大值，进而求

出血的最大值.

【详解】解：Va>0,b>0,a+%=4

4=a+2h>2」2ab

:・ab£2,当且仅当a=2/?时取等号，即。=2,人=1时取等号

故答案为：2.

【点睛】此题考查基本不等式的应用，应用基本不等式求最值要注意“一正二定三相等''的条件，属于基础

题

12.（2025・天津•高考真题）若abwR,对Dxe[-2,2],均有⑵+与产+辰1K0恒成立，则加+Z?的最

小值为_______

【答案】-4

【分析】先设f=2a+b,根据不等式的形式，为了消。可以取X=-；，得到F2Y,验证f="4时，•力是

否可以取到，进而判断该最小值是否可取即可得到答案.

【详解】设，=2。+8，原题转化为求f的最小值，

原不等式可化为对任意的—2<x<2,优2+。一勿）x-a-lWO,

不妨彳弋入x=-g，得-—a-IWO,得fNT,

当Z=Y时，原不等式可化为-4r+（-4-2a）x-a-i＜0,

即一2x+(ga+l

+-a2<0，

4

观察可知，当。=0时，一（21+1）240对—24x«2一定成立，当且仅当x=-g取等号,

此时，a=0,b=-4t说明，=Y时，出〃均可取到，满足题意，

故/=%+6的最小值为T.

故答案为：-4

13.（2025・上海・高考真题）设a力＞0,。+?=1,则/，+'的最小值为_________.

ba

【答案】4

【分析】灵活利用T将b+：=p+£］（a+£|展开利用基本不等式计算即可.

【详解】易知匕+，=（0+，丫4+，］=＜必+-^+222）（必--!-+2=4,

ayaJyb）abVab

当H.仅当他=1,即乃=2时取得最小值.

故答案为：4

14.（2025・上海・高考真题）不等式土二＜0的解集为_________

工一3

【答案】（1,3）

【分析】转化为一元二次不等式（刀-1）（l-3）＜0,解出即可.

【详解】原不等式转化为（4-1）。一3）＜0,解得1＜工＜3,

则其解集为（L3）.

故答案为：（1,3）.

15.（2025•上海・高考真题）不等式一、＜。的解集为_____

x-\

【答案】（0,1）

【分析】将不等式上7＜0化为工"-1）＜0,即可得答案.

X—1

【详解】由题意得不等式』7＜0即x（x—1）＜0,."«0』），

X—1

即不等式一Vo的解集为(0,1),

x-\7

故答案为：(0,1)

f(x)x20

16.(2024.上海.高考真题)已知/(幻=厂送。)=「八，求g(x)42-x的x的取值范围

【答案】(y』

【分析】分与XV。两段求解二次不等式可得.

X?>()

{-x~,x<0

当20时，g(x)W2-x,即f+X-240,解得-2Wx«l,则有0。41；

当工<0时，g(x)42—x,即_丁+.2工0，XGR,即x<0时，不等式g(x)42—x都成立.

综上所述，g(x)W2-x的x的取值范围为(―』.

故答案为：(f0」］.

17.(2024.上海.高考真题)已知帅=1,4片+9必的最小值为.

【答案】12

【分析】利用不等式用即可求解.

【详解】4/+9b2=(2a『+(3Z?)2>2x2ax3b=12时=12,

当且仅当圾=3,即〃==且或a=-更〃=-如时，等号成立，

［面=12323

故4a2+93的最小值为12.

故答案为：12.

18.(2024.上海.高考真题)已知xeR.则不等式f-2x—3<0的解集为.

【答案】{x|-1<x<3}

【分析】求出方程-3=0的解后可求不等式的解集.

【详解】方程/一2工一3=0的解为x=-l或x=3,

故不等式f—2x—3vO的解集为"|—I<xv3},

故答案为：{x|-l<xv3}.

19.(2026•上海倡考真题)已知awR,函数/(力=Y+如+3,g(x)=4x+4.

*X

⑴已知/⑴=4,求〃0+2＞晨，的解集;

(2)已知。/0,乙是/(x)在点(0,3)处的切线，/?是过点(0,3)且垂直于4的直线，g(x)与小)在第一象限

内均无公共点，求。的取值范围.

【答案】(1)(YO,0)U(0，l)U(3,")

⑵I-8,-3卜(0,2)

【分析】(1)求出参数。，解不等式即可求出工的范围;

(2)求出直线乙与4的方程，利用g(x)与6、4在第一象限内均无公共点，得出廉司=4.1++=如+3与

皿)=4'+±=一%+3无正实数解，分离参数，转化为直线WO"-与曲线心)3-3+4在工>0

X

内均无交点，对方(力求导讨论其单调性，得出函数的最值，建立不等关系，即可求出实数。的取值范围.

【详解】(1)由题意，“工0.在““二丁+"+3与g(x)=4x+4中，

X

/(1)=产+。+3=4,解得a=0,・・・/")=f+3.

:f(x)+J>g(x)，

|1.1

厂+a3+——>4xH---

x2x2,解得x<0或0cxvl或x>3,

1人工0

，不等式的解集为(-OO,0)5°，1)U(3,E).

(2)由题意知。=0,由f(x)=f+ar+3,得/'(x)=2x+a,

Ar(0)=0+a=a.

•・•直线4为/(力在点(0,3)的切线，

・•・直线4的方程为)-3=々(％-0),即y=av+3,

•・•4是过点(。，3)且垂直于《的直线，

・•・直线4的方程为：y-3=--(x-0),g|Jy=--x+3,

aa

对广函数g(x)=4x+4，工工0,曲线g(x)与J4在第一象限内均无公共点,

X

・・・g(x)=4xi1・血|3与g(x)=4xiL=/13无正实数解.

xxa

分离参数得，a=-^--+4,--=A--+4,

xxaxx

iia

・・・直线y=a与y=—「与曲线MX)=I•一：+4在(0,+8)内均无交点，

\333X2-33(X-1)(X+1)

而力，x==-

XXXX

当“(x)=o时，解得x=-l(舍)或X=l,

.•・当〃'(X)<0即0<x<1时，函数单调递减，

当”(x)>0即x>l时，函数单调递增,

力(X)在X=1处取最小值，〃(x)min=%⑴=1一;+4=2.

当工一>()时，〃(力-y,当R->+8时，人(力74,

a<2\I.—<2,l：|Ja<—或0<a<2,

a2

・•・实数〃的取值范围为卜巴—£|U(O,2).

20.(2024.上海.高考真题)对于一个函数/(x)和一个点，令s(x)=(x-a)2+(/(x)-，若s(x)在x=.%

时取得最小值的点，则称(小，/(%))是M的"/最近点

⑴对于函数/*)=Lxe(0,+8),求证：对于点历(0,0),存在点尸，使得点尸是M的"/最近点”；

x

⑵对于函数/(x)=e',xwR,M(l,0),请判断是否存在一个点尸,使它是M的"/最近点”，巨直线"尸与

曲线/(x)在点P处的切线垂直？

(3)已知函数fW(xeR)可导，函数冢制>。在xeR上恒成立，对于点M(t-\,/(/)一⑺)与点

M(/+1JQ)+”))，若对任意实数f,均存在点尸同时为点陷与点的“/最近点”，说明/(X)的单调性.

【答案】(1)证明见解析

(2)存在，P(0,l)

(3)严格单调递减

【分析】(1)代入M(0,0),利用基本不等式即可；

(2)由题得$(刈=(%-1)2+©2］利用导函数得到其最小值，则得到P,再证明直线MP与切线垂直即可；

(3)根据题意得到s；(%)=s；a)=0,对两等式化简得/'(%)=-击，再利用“最近点”的定义得到不等

式组，即可证明飞=/,最后得到函数单调性.

222

【详解】(1)当M(0,0)时，5(x)=(x-0)+f-!--0^=X+-^>2JX-=2,

当且仅当/=-4即工=1时取等号，

x~

故对于点M(o,o),存在点尸(1,1),使得该点是“(0,0)在〃力的“最近点”.

(2)由题设可得S(X)=(X-1)2+(/一0)~=(%一1)2+。2)

则s'(x)=2(x-l)+2e「

因为y=2(x-l),y=2e2x均为R上单调递增函数，

则，力=2(冗-1)+2©标在R上为严格增函数，

而s'(0)=0,故当x<0时，s'(x)<0,当x>0时，./(x)>0,

故S(X)mm=M0)=2,此时P((U),

而ra)=e"=r(o)=i,

故f(x)在点尸处的切线方程为产X+L

而.^MP=~~~二一1，故&小k=—\,

1-U

故直线MP与y=/(力在点p处的切线垂直.

(3)设S](X)=(XT+1)2+(/(X)-+g(/))2,

S2(x)=(XTT)2+(/(X)-/(/)-g(/)尸，

而s；(x)=2(xT+1)+2(/(x)-/(/)+g(f))「(x),

M(力=2(x-1)+2(/(x)-/(r)-g(f))7(x),

若对任意的7£R.存在点P同时是必・用2在f(x)的“最近点”，

设P伍,%)，则/既是S1(x)的最小值点,也是$2(%)的最小值点，

因为两函数的定义域均为R,则为也是两函数的