北师大版九年级数学上册第一章《特殊的平行四边形》每课时导学案汇编（含八个导学案）

第1章特殊平行四边形

1认识特殊的平行四边形

【学习目标】

1.理解菱形、矩形、正方形的定义，明确它们与平行四边形的从属关系，能依据概念进

行正误判断与说理；

2.借助折纸、画图操作，感知特殊平行四边形的轴对弥特征，准确识别对称轴数量与位

置，建立图形形状、特征与对称性的直观认知；

3.通过观察、操作、类比、归纳，经历特殊平行四边形概念的形成过程，体会“一般到

特殊''的数学思想，提升观察、抽象概括与逻辑推理能力.

重点：菱形、矩形、正方形的定义；三者与平行四边形的从属关系；轴对称性的探究与

辨析.

难点；理解正方形兼具菱形与矩形双重属性的本质；梳理四类图形的逻辑关系.

【复习导入】

问题：回忆一下，什么是平行四边形，它有哪些性质？

想一想：在学习三角形时，认识了哪些特殊的三角形呢？

【情境导入】

类似地，在平行四边形“家族”中，是否也有一些特殊的“成员”？

下图中含有平行四边形，观察这些平行四边形，你能发现它们有什么特殊之

处吗？

衿QH

【合作探究】

探究点：特殊的平行四边形的定义

思考•交流：从平行四边形的边或角考虑，你认为可能有哪些特殊的平行四边形？与同

伴进行交流。

思考1:如果从边的角度，将平行四边形特殊化，内角大小保持不变，仅改变边的长度,

让它有一组邻边相等，这个特殊的平行四边形叫什么呢？

概念引入：有一组邻边相等的平行四边形叫作菱形.

注意：菱形是特殊的平行四边形；平行四边形不一定是菱形.

设问1:定义里的核心前提是什么？如果去掉“平行四边形”，说“邻边相等的四边形

是菱形”，对吗？请举反例说明.

练一练

1.如图，在菱形ABCD中，已知NA=60。，AB=5,则△ABD的周长是（）

A.10B.I2

C.15D.20

思考2：观察在平行四边形的变化过程中，当有一个角是直角时，会产生什么特殊的平

行四边形？

概念引入：有一个角是直角的平行四边形叫作矩形.

注意：矩形是特殊的平行四边形；平行四边形不一定是矩形.

设问2：同样，”有一个角是直角的四边形是矩形”这句话成立吗？为什么？

练一练

2.如图，在矩形ABCD中，E是BC上的点，AE=AD,DF1AE,垂足为F.

求证：DF=DC.

思考3：矩形怎样变化后就成了正方形呢？你有什么发现?

思考4：菱形怎样变化后就成了正方形呢?你有什么发现？

正方形

归纳总结

概念引入：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫作正方形.

设问3：对比菱形和矩形的定义，正方形同时满足了什么条件？这说明正方形和菱形、

矩形是什么关系？

练一练

3.一个正方形的对角线长为2cm,则它的面积是（）

A.2cm2B.4cm2C.6cm2D.8cm2

典例精树

例判断下列说法是否正确，并说明理由：

①有一组邻边相等的平行四边形是菱形.（）

②有一个角是直角的四边形是矩形.（）

③正方形既是菱形，又是矩形.（）

尝试•交流

（1）菱形、矩形、正方形都是特殊的平行四边形,它们都具有一般平行四边形的所有忤

质，你能分别列举一些这样的性质吗？马同伴进行交流.

（2）请你画图表示平行四边形、菱形、矩形、正方形之间的关系，并与同伴分享你画的

关系图.

操作♦思考

菱形是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称轴？矩形呢？正方形呢？先想一想,

再用纸片折一折.

菱形的性质：

对称性：图形，对称轴：条，是所在的直线.

矩形的性质：

对称性：图形，对称轴：条.

正方形的性质：

对称性：图形，对称轴：条.

归纳总结：菱形、矩形、正方形都是轴对称图形；菱形、矩形都有两条对称

辄-正方对称辄

当堂反馈

1.若正方形的边长为1,则该正方形的对角线长为（）

A.lB.3C.V2D.4

2.如图，在矩形4BCQ中，ZC=90°,NAOB=30。，80=10,则A8的长为

3.如图，8。是菱形A8CD的对角线，AD=DC,NCBD=75。,求NA的度数.

4.如图，在正方形A8C。中，AD=AB,ZA=90°,E为CO边上一点，尸为BC延长线

上一点，且CE=CE求证：ZEBC=ZCDF.

参考答案

【合作探究】

探究点：特殊的平行四边形的定义

练一练1.C

练一练2.证明：连接DE.

AD=AE,:.ZAED=ZADE.

丁四边形ABCD是矩形，

AAD/7BC,ZC=90°.

AZADE=ZCED.

AZCED=ZAED.

又「DF1AE,

:.DF=DC.

练一练

3.A

典例精析

例①J,符合定义

②X,缺少平行四边形的前提

③V,同时满足两者的定义

尝试•交流

(1)对边平行且相等、对角相等、对角线互相平分、中心对称图形

(2)

平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系:

韦恩图:

操作•思考

轴对称2对角线

轴对称2

轴对称4

当堂反馈

1.C2.5.

3.解：•・•四边形ABC。是菱形，

:.AD〃BC,DC=AB.

又AD=DC,

：.AB=AD.：.ZADB=/ABD=ZCBD=75°.

，ZA=180°-75°-75°=30°.

4.证明：•・•四边形ABC。是正方形，

:・/BCD=NA,AD=BC,AB=DC.

又NA=90。，

:,BC=CD,ZBCE=90\

：.ZDCF=180°-Z^CE=90°.

fBC=DC,

在△8CE和△中，•□5Cf=C：£)CR

、CE-CF,

AABCE^AZ)CF(SAS).

，ZEBC=ACDF.

第1章特殊平行四边形

1.2菱形的性质与判定

第1课时菱形的性质

【学习目标】

1.探索并证明菱形的性质定理；

2.应用菱形的性质定理解决相关计算或证明问题.

3.能灵活运用菱形的性质定理及判定定理解决一些相关问题，并掌握菱形面积的求法;

学习重点：探索并证明菱形的性质定理.

学习难点：能灵活运用菱形的性质定理及判定定理解决•些相关问题，并掌握菱形面积

的求法.

【复习导入】

问题1:我们之前学习了平行四边形，它有哪些共同性质？

问题2：如果给平行四边形加一个条件“邻边相等”，会得到什么特殊图形?

【合作探究】

探究点：菱形的性质

思考：因为菱形是平行四边形，所以它具有平行四边形的所有性质，由于它有一组邻边

相等，它是否具有一般平行四边形不具有的一些特殊性质呢？

边特殊化

问题根据上面的折叠过程，猜想菱形的四边在数量上有什么关系？菱形的两条对角线

有什么关系？

证一证

已知：如图，在平行四边形ABCD中，AB=AD,对角线AC与BD相交于点0.

求证：(1)A8=8C=O)=A。；

(2)AC±BD.

知识要点：

菱形的性质

几何语言描述:

问题1菱形是特殊的平行四边形，那么能否利用平行四边

形的面积公式计算菱形ABCD的面积呢？

问题2如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC,BD交于点O,试用对角线表示

出菱形ABCD的面积.

归纳总结：

菱形的面积计算有如下方法：

(1)一边长与两对边的距离(即菱形的高)的积；

(2)四个小直角三角形的面积之和(或一个小直角三角形面积的4倍)；

(3)两条对角线长度乘积的一半.

典例精析

例1如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O,ZBAD=60°,

BD=6,求菱形的边长AB和对角线AC的长.

例2如图，E为菱形ABCD的边BC上一点，且AB=AE,AE交BD于0,且

ZDAE=2ZBAE,求证：0A=EB.

练一练

1.如图，菱形ABCD的周长为48UIH,对角线AC、BD相交丁。点，E是AD的

中点，连接0E,则线段0E的长为.

2.如图，已知菱形的两条对角线长分别为6cm和8cm,则这个菱形的高DE为()

A.2.4cmB.4.8cm

C.5cmD.9.6cm

当堂反馈

1.如图，在菱形A8C。中，对角线AC,8。相交于点。.

(1)若48=1,则菱形48co的周长为；

⑵若NOA8=60。，则NBAC=°,△AB。是三角形;

(3)若AC=8,BD=6,则A8=,菱形ABCD的面积为

(4)在(3)的条件下，取A0的中点&连接。E,则0E的长度为.

2.如图，8。是菱形A8C。的对角线.

(1)求证:Zl=Z2；

(2)若Nl=20。,求NC的度数.

3.如图，四边形A8C。是边长为13的菱形，其中对隹线AC的长为10.

计算：(1)对角线8。的长度.

⑵菱形A8CQ的面积.

参考答案

探究点：菱形的性质

证一证

证明：（1）•・•四边形ABCD是菱形，

・•・AB=CD.AD=BC（菱形的对边相等）.

又：AB=AD,

，AB=BC=CD=AD.

（2）VAB=AD,

•••△ABD是等腰三角形.

又•・•四边形ABCD是菱形，

・•・OB=OD（菱形的对角线互相平分）.

在等腰三角形ARD中.

VOB=OD,

AAO±BD,即AC1BD.

证一证

已知：如图，在平行四边形ABCD中，AB=AD,对角线AC与BD相交于点O.

求证：（1）AB=BC=CO=AD：口

（2）AC±BD.

证明：（1）•・•四边形ABCD是菱形,

AAB=CD,AD=BC(菱形的对边相等).

又•:AB=AD,

•••AB=BC-CD-AD.

(2)VAB=AD,

/.△ABD是等腰三角形.

又•••四边形ABCD是菱形,

・•・OB=OD（菱形的对角线互相平分）.

在等腰三角形ABD中,

VOB=OD,

AAO±BD,即AC1BD.

例1解：・・・四边形ABCD是菱形，

・•・AB=AD（菱形的四条边相等），

AC±BD（菱形的对角线互相垂直），

J.1

OB=0D=BD=2x6=3（菱形的对角线互相平分）.

在等腰三角形ABD中，VZBAD=60°,

/.△ABD是等边三角形.

AB=BD=6.

在RSAOB中，由勾股定理，^OA2+OB2=AB2,

.•・。4=、《即-0呼=依-32=36

：.AC=2（）A=6x/3（菱形的对角线互相平分）

（2）菱形ABCD的面积;aABD的面积+△CBD的面积=2xaABD的面积

11

=2x2BD=2x2X6X3^3=18^3.

例2证明：・・•四边形ABCD为菱形,

，AD〃BC,AD=BA,

ZABC=ZADC=2ZADB.

AZDAE=ZAEB.

VAB=AE,.\ZABC=ZAEB.

AZABC=ZDAE.

VZDAE=2ZBAE.AZBAE=ZADB.

又・・・AD=BA,AAAOD^ABEA.

AAO=BE.

练一练1.6cm2.B

当堂反馈

1.(1)4；⑵30。,等边；

⑶5,24；(4)2.5.

2.（1）证明：•・•四边形A3CQ是菱形,

：.AB=AD,：.Z\=Z2.

(2)解:由⑴知,Zl=22=20°,

AZA=180°-Zl-Z2=140°.

•・•四边形A8co是菱形，

：.ZC=NA=140。.

3.解：(1)・・•四边形ABCO为菱形，

：.AC±BD,AE=EC=^C=5,BE=DE三BD.

•・•菱形的边长为13,

・•・AB=13.在Rt△ABE中，BE=^AB2~AE2=J132-52=12,:・BD=2BE=24.

(2)VAC=10,80=24,

；・S芟形八8CD=/C8O=；X10x24=120.

第1章特殊平行四边形

L2菱形的性质与判定

第2课时菱形的判定

【学习目标】

1.经历菱形判定定理的探究过程，掌握菱形的判定定理;

2.会用这些菱形的判定方法进行有关的证明和计算.

3.经历菱形性质定理及判定定理的应用过程，体会数形结合、转化等思想方法.

学习重点：经历菱形判定定理的探究过程，掌握菱形的判定定理.

学习难点：会用这些菱形的判定方法进行有关的证明和计算.

【复习导入】

根据菱形的定义，有一组邻边相等的平行四边形是菱形。除此之外，你认为

还有什么条件可以判定一个四边形是菱形?

【合作探究】

探究点1:四条边相等的四边形是菱形

思考-交流

由菱形的性质定理可知，如果一个四边形是菱形，那么它的四条边相等。反过来,

四条边相等的四边形一定是菱形吗？为什么？与同伴进行交流。

证一证

已知：如图，四边形ABCD中，AB=BC=CD=AD.

求证：四边形ABCD是菱形.

知识要点

菱形的判定定理2

几何语言描述:

典例精析

例1如图，在^ABC中，AD是角平分线，点E、F分别在AB、AD上，且

AE=AC,EF=ED.

求证：四边形CDEF是菱形.

练一练

1.如图，OABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD,BC分别交于点E、卜,

求证：四边形AFCE是菱形.

方法一：

探究点2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形

问题上节课我们已经知道“菱形的对角线相互垂直”，反过来，小明猜想对角线垂直的

四边形是菱形，你觉得对吗？

我们用一长一短两根细木条,在它们的中点处固定一个小钉,做成一个可以转动

的十字，四周围上一根橡皮筋，可得到一个平行四边形.那么转动木条，这个平行四边

形什么时候变成菱形？对此你有什么猜想？

证一证

已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC与BD相交于点O,AC_LBD.

求证：DABCD是菱形.

知识要点

菱形的判定定理:

几何语言描述:

典例精析

例2已知：如图，在口ABCD中，对角线AC与BD相交于点O,AB=小,OA=2,

OB=1.求证：Z7ABCD是菱形.

练一练

1.如图，OABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD,BC分别交于点E、F,

求证：四边形AFCE是菱形.

方法二:

2.如图，△ABC中，AC的垂直平分线MN交AB于点D,交AC于点O,CE/AB

交MN于点E,连接AE、CD.求证：四边形ADCE是菱形.

尝试•交流

（1）如图，已知线段a,请用尺规作菱形ABCD,使它的对角线AC=ao

（2）满足（1）中条件的菱形唯一吗？如果不唯一，

那么你认为添加怎样的条件，就可以使作出的菱形是唯一的？与同伴进行交流。

当堂反馈

1.如图，在中，对角线AC与3。交于点。若增加一个条件，使成为菱

形，下列给出的条件不正确的是（）

A.AB=AD

B.AC1BD

C.AC=BD

D.N8AC=NOAC

2.如图，。ABCD的对角线交于点0,且A8=13,AC=24,当BD=时，四边形ABCD

是菱形，理由是.

3,推理通关］如图，在AABC中，A8=AC,点。，E,

连接。E,。汇求证：四边形4EQ尸是菱形.

证明：・・・。，E分别是8C,的中点，

ADE//且DE==AC.

同理DF//且DF==AB.

又・・・AB=AC,

DE=.

・•・四边形八。尸是菱形（）.

4.如图，在口ABC。中，对角线4C,8。相交于点O,AC=6,8。=8,4。=5,求A8

的长.

判定方法：.

参考答案

【合作探究】

探究点1：四条边相等的四边形是菱形

证一证

证明：AB=BC=CD=AD,

；・AB=CD,BC=AD.

，四边形ABCD是平行四边形.

又,:AB=BC,

・•・四边形ABCD是菱形.

典例精析

例1证明：VZ1=Z2,AE=AC,AD=AD,

，△ACD^AAED(SAS).

同理，aACF乡△AEF.

ACD=ED,CF=EF.

又〈EF=ED,

・•・CD=ED=CF=EF.

・•・四边形CDEF是菱形.

练一练1.方法一：证明：•・•四边形ABCD是平行四边形，・・・AE〃CF.AZ1=Z2.

又ZA0E=ZC0F,A0=0C,A△AOE^ACOF.AAE=CF.

又TEF是AC的垂直平分线，I.EC=EA,AF=CF.

.\AE=EC=CF=AE.\四边形AFCE是菱形.

探究点2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形

证一证

证明：•・•四边形ABCD是平行四边形，

:.0A=0C.

又•:AC1BD,

・•・BD是线段AC的垂直平分线.

/.BA=BC.

・•・门ABCD是菱形（菱形的定义）.

典例精析

例2证明：在△A08中，

'：AB=小，0A=2,OB=1,

：.AB2=AO2+OB2.

••.△AOB是直角三角形，ZAOB是直角.

：.AC.LBD.

/.DABCD是菱形（对角线垂直的平行四边形是菱形）.

练一练1.方法二：

证明：二四边形ABCD是平行四边形,

・•・AE〃CF.AZ1=Z2.

又ZAOE=ZCOF,AO=OC,

/.△AOE^ACOF,

AEO=FO.

・•・四边形AFCE是平行四边形.

又AC1EF,/.四边形AFCE是菱形.

练一练2.证明：•・.MN是AC的垂直平分线,

AAE=CE,AD=CD,OA=OC,A

ZAOD=ZEOC=90°.L\

VCE/7AB,AZDAO=ZECO./\f/N

，△ADO^ACEO(ASA).AAD=CE./W

BC

・•・四边形ADCE是平行四边形.

XVDEXAC,

・•・四边形ADCE是菱形.

尝试•交流

(1)分别以A、C为圆心，以大于\AC的长为半径作弧，两条弧分别相交于点B,D,

依次连接A、B、C、D四点.

(2)不唯一。

埋由：垂直平分线上B、D两点的位置可以任意选取(只要OB=OD),

因此菱形的边长和角度会随OB长度的变化而变化.

添加条件使菱形唯一，如：

①指定另一条对角线长度：

例如“对角线BD=b(给定长度厂,此时OB=b/2,可唯一确定例D的位置。

②指定菱形的一个内角：

例如“NBAD=60。”，结合AC=a可唯一确定菱形的形状和大小。

③指定菱形的边长。

当堂反馈

1.C2.1()对角线互相垂直的平行四边形是菱形.

A8AE1

3.ACAF；2-

DF=AF=AE.四边相等的四边形是菱形

4.解：•・•四边形A8CQ是平行四边形，AC=6,BD=8,

，AO=;AC=3,DO=BD=4.

22

*：AD=5,

・・・402+。£>2=4》.・・・/\40。是直角三角形，且/4。。=90。.

・•・四边形ABCD是菱形.二AA=AO=5.

对角线互相垂直的平行四边形是菱形.

第1章特殊平行四边形

1.3矩形的性质与判定

第1课时矩形的性质

【学习目标】

1.会证明矩形的性质，会用矩形的性质解决简单的问题；

2.掌握直角三角形斜边中线的性质，并会简单的运用.

学习重点：会证明矩形的性质，会用矩形的性质解决笥单的问题.

学习难点：掌握直角三角形斜边中线的性质，并会简单的运用.

【复习导入】

问题：如果给平行四边形加一个条件“有一个角为直角“，会得到什么特殊图形?

【合作探究】

探究点一：矩形的性质

思考：因为矩形是平行四边形.所以它具有平行四边形的所有性质.但由于它有一个角

为直角，它是否具有一般平行四边形不具有的一些特殊性质呢？

角特殊化

活动；准备素材；直尺、量角器、橡皮擦、课本、铅笔盒等.

(1)请同学们以小组为单位，测量身边的矩形(如书本，课桌，铅笔盒等)的四条边的

长度、四个角的度数和对角线的长度及夹角度数，并记录测量结果.

y惺

物东'ADACBD/BAD/-ADCLAODZ.AOB

橡皮擦

课本

桌子

(2)根据测量的结果，你有什么猜想？

证一证

(1)如图，四边形ABCD是矩形，ZB=90°.

AI)

求证：ZB=ZC=ZD=ZA=90°.

13

(2)如图，四边形ABCD是矩形，/ABC=90。，对角线AC与DB相交于点0.

求证：AC=DB.

知识要点：

矩形除了具有平行四边形的所有性质，还具有性质:

几何语言描述：

典例精析

例1如图，在矩形ABCD中，两条对角线相交于点O,ZAOD=120°,AB=2.5,

求这个矩形对角线的长.

例2如图，在矩形ABCD中，E是BC上的点，AE=AD,DFJ_AE,垂足为F.

求证：DF=DC.

练一练

1.如图，在矩形ABCD中，对角线AC,BD交干点0,下列说法错误的是（）

A.AB〃DCB.AC=BD

C.AC1BDD.OA=OB

探究点二；直角三角形斜边上的中线的性质

观察•思考

如图⑴，在矩形纸片ABCD中，对角线AC与BD相交于点E。将矩形纸片沿AC剪

开，得到图（2）所示的图形，BE是R2ABC中一条怎样的线段？它与AC有什么大

小关系？由此你能得到K么结论？

证一证

如图，在RtAABC中，NABC=9（T,BE是AC上的中线.求证：BE=|AC.

例3如图，在4ABC中，AD是高，E、F分别是AB、AC的中点.

⑴若AB=10,AC=8,求四边形AEDF的周长；

(2)求证：EF垂直平分AD.

练一练

2.如图，已知BD,CE是△ABC的高，点G,F分别是BC,DE的中点，试说明

GF1DE.

归纳：在直角三角形中，遇到斜边中点常作斜边中线，进而可将问题转化到等腰三角形

中，然后利用等腰三角形“三线合一”的性质解题.

归纳总结

直角三角形斜边上的中线的性质常见模型:

1.矩形具有而菱形不具有的性质是()

A.对角线相等B.两组对边分别平行

C.对角线互相平分D.两组对角分别相等

2.如图，在矩形A8C。中，对角线AC,80相交于点O.

(1)若48=6,AO=8,MBD=；

第2题图

(2)若A0=l,则AC=,BD=；

(3)若N4CB=30。，则NA0B=°,△A08的形状是三角形.

3.如图,在RsAAC中，NABC=90。,3为AC的中点.

(1)若3。=5,贝ijAC=；

(2)若A8=4,BC=3,则80=；

(3)若NC=5()。，则NA8。的度数为.第3题图

4.如图，在矩形A8CO中，对角线AC,B。交于点0,过点O的直线分别交ADBC

于点E,E若AB=4cm,BC=6cm,则图中阴影部分的面积之和为cm2.

4ED

HFC

5.如图，矩形A8CZ＞的对角线AC,8。相交于点0.过点A作A石〃8。，交C8的延长线

于点£

(1)求证:AC=AE；

(2)若NAO〃=120。，AE=S,求BC的长.

参考答案

【合作探究】

探究点一：矩形的性质

证一证

(1)证明：•・•四边形ABCD是矩形，

AZB=ZD,ZC=ZA,AB〃DC.

/.ZB+ZC=180°.

又・・・NB=90B

・•・ZC=90°.

・•・ZB=ZC=ZD=ZA=90°.

(2)证明：•・・四边形ABCD是矩形，

・•・AB二DC,ZABC=ZDCB=90°.

在△ABC和△DCB中，

VAB=DC,ZABC=ZDCB,BC=CB,

AAABC^ADCB.

:.AC=DB.

典例精析

例1

解：•・•四边形ABCD是矩形，

・•・AC=BD(矩形的对角线相等)

OA=OC=1AC,OB=OD=1BD,

.•.OA=OD.

VZAOD=120°,

AZODA=ZOAD=1(180°-120°)=30°.

ABD=2AB=2x2.5=5.

例2证明：连接DE.

VAD=AE,AZAED=ZADE.

•・•四边形ABCD是矩形，

・•・AD〃BC,ZC=90°.

AZADE=ZCED.

ZCED=ZAED.

又;DF±AE,

?.DF=DC.

练一练

1.答案：C

探究点二：直角三角形斜边上的中线的性质

证明：证明：延长BE至D,使ED=BE,连接AD,CD.

VAE=EC,BE=ED,

・•・四边形ABCD是平行四边形.

VZABC=90°,

・•・平行四边形ABCD是矩形.

AC=BD.

11

BE--BD-C

2

2A1

，四边形AEDF的周长为AE+DE+DF+AF=5+5+4+4=18.

（2）证明：*.*DE=AE.DF=AF,

・•・E、F在线段AD的垂直平分线上，

EF垂直平分AD.

练一练2.解：连接EG,DG.由题意知/BDC=NBEC=90。.

•・•点G是BC的中点，EG=1BC,DG=|BC.

EG=DG.又•・•点F是DE的中点,GF1DE.

直角三角形斜边上的中线的性质常见模型:

CD.BE为三角形中

（单一三角形）D为（共斜边,同侧）E为（共斜边,异侧）E为

的两条高,F为BC

结AB中点，则CD=AB中点，则CE=AB中点，则CE=

论中点•则DF=EF=

AD=BD=yAB.DE=yAB.DE=jAB.

Jj-BC.

当堂反馈

I.A

2.(1)10；

(2)2,2；

⑶60,等边.

3.(1)10：(2)2.5；(3)40°.

4.12.

5.(1)证明：•・•四边形A8C。是矩形，

:.AC=BD,40〃3c.又

・•・四边形AE8O是平行四边形.

:.I3D=AE.：.AC=AE.

(2)解:・.・/4。8=120。，

・•・Z/?OC=60°.

•.•四边形A8CD是矩形，

OC=\AC,OB=BD,AC=BD.

・・・08=0C..・・408C是等边三角形.

・・・8C=OC=/C由(1)可知AC=AE=8,

・・・8。=枭8=4.

第1章特殊平行四边形

1.3矩形的性质与判定

第2课时矩形的判定

【学习目标】

1.经历矩形判定定理的猜想与证明过程，理解并掌握矩形的判定定理；

2.能应用矩形的判定解决简单的证明题和计算题.

学习重点：经历矩形判定定理的猜想与证明过程，理解并掌握矩形的判定定理.

学习难点：能应用矩形的判定解决简单的证明题和计算题.

【复习导入】

问题1矩形的定义是什么？

问题2矩形有哪些性质？

【合作探究】

探究点1：对角线相等的平行四边形是矩形

如图，是一个平行四边形活动框架，拉动一对不相邻的顶点时，平行四边

形的形状会”小亦人

(1)随着Na的变化两条对角线的长度将发生怎样的变化?

（2）当两条对■角线的长度相等时平行四边形有什么特征？由此你能得到一个怎样的猜

想？

证一证

己知：如图，在口ABCD'I',AC,DB是它的两条对角线，且AC=DB.

求证：口ABCD是矩形.

知识要点

矩形的判定定理1：

几何语言描述:

议一议

你有什么方法检查你家（或教室）刚安装的门框是不是矩形？如果仅有一根较长的

绳子，你怎样检查？请说明检查方法的合理性，并与同伴交流.

典例精析

例1如图，在DABCD中，对角线AC,BD相交于点O,且OA=OD,

ZOAD=5（）°.求NOAB的度数.

练一练

1.如图，在oABCD中，AC和BD相交于点O,则下面条件能判定ABCD是矩形

的是（）

A.AC=BDB.AC=BC

C.AD=BCD.AB=AD

2.如图，LJABCD中，Z1=Z2,此时四边形ABCD是矩形吗？为什么？

例2如图，在口ABCD中，对角线AC与BD相交于点O,△ABO是等边三角形,

AB=4,求「ABCD的面积。

探究点2：有三个角是直角的四边形是矩形

想一想

至少有一个角是直角的四边形是矩形吗？

(1)有一个角是直角的四边形是矩形吗？

(2)有两个角是直角的四边形是矩形吗？

(3)有三个角是直角的四边形是矩形吗？

证一证

已知：如图，在四边形ABCD中，ZA=ZB=ZC=90°.

求证：四边形ABCD是矩形.

An--------------------------

8b------------------------

知识要点

矩形的判定定理:

几何语言描述:

思考一个木匠要制作矩形的踏板.他在一个对边平行的长木板上分别沿与长边垂直

的方向锯了两次，就能得到矩形踏板.为什么？俞

练一练

3.如图，DARCD的四个内角的平分线分别相交于E、F、G、H,求证：四边形EFGH

为矩形.

当堂反馈

1.如图，要使。ABC。成为矩形，需添加的条件是（

A.AB=BC

B.ACA.BD

C.N4BC=90°

D.Z1=Z2

2.判断(对的打W"，错的打“x”)：

(1)内角都相等的四边形是矩形.—

⑵对角线相等的四边形是矩形.—

(3)对角线互相平分且相等的四边形是矩形.—

(4)一组邻角相等的平行四边形是矩形.—

(5)对角互补的平行四边形是矩形.—

3.如图，点。是菱形八3CQ对角线的交点，DE"NC,CE//BD,连接0E.若4c=12,

80=16,则0E的长为.

4.如图，已知BA=AE=QC,AD=EC,CELAE,垂足为E.

(1)求证：

(2)只需添加一个条件，即—，可使四边形A8CQ为矩形.请说明理由.

5.如图，口ABCD中，尸是A3边上的一点(不与点A,B重合),CP=CD,过点P作PQ1CP,

交AD于点Q,连接C。.

(1)若C0平分NQCP,求证：四边形48c力是矩形；

(2)在(1)的条件下，当AP=2,C8=4时，求CO的长.

APB

参考答案

【合作探究】

探究点1:对角线相等的平行四边形是矩形

证一证

证明：•・•四边形ABCD是平行四边形，

AAB=DC,AB//DC.

又YBC=BC,AC=DB,

・•・△ABC^ADCB.AZABC=ZDCB.

•・•AB〃CD,AZABCZDCB=180°.

...ZABC-90°.

・•・□ABCD是矩形（矩形的定义）.

典例精析

例1解：•・•四边形ABCD是平行四边形，

・•・OA=OC=1AC,OB=OD=5BD.

又＜OA=OD,

:.AC=BD.

・•・四边形ABCD是矩形.

.\ZBAD=90°.

又・・・NOAD=50。,

ZOAB=40°.

练一,练1.答案：A

2.解：四边形ABCD是矩形.

理由如下：

•・•四边形ABCD是平行四边形,

AAO=CO,DO=BO.

又・・・/l=Z2,

:.AO=BO.AAC=BD.ADABCD是矩形.

例2

解：•四边形ABCD是平行四边形，AOA=OC,OB=ODo

又「•△ABO是等边三角形，

:.OA=OB=AB=4o

・•・OA=OB=OC=OD=4。

・•・AC=BD=2OA=2x4=8c

・・・。ABCD是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）。

・・・NABC=90。（矩形的四个角都是直角）。

在RsABC中，由勾股定理，得AB2+BC2=AC?,

.\BC=>JAC2-AB2=V82-42=4百。

•''SaABCD-AB•BC=4X4\/3=16A/3O

探究点2：有三个角是直角的四边形是矩形

证一证

证明：VZA=ZB=ZC=90°,

An----------------------xD

AZA+ZB=180°,ZB+ZC=180°.

，AD〃BC,AB//CD.

・•・四边形ABCD是平行四边形.

・•・四边形ABCD是矩形.

练一练3.

证明：在□ABCD中，AD〃BC,

AZDAB+ZABC=180\

丁AE与BG分别为NDAB,ZABC的平分线,

AZBAF+ZABF=|zDAB+jzABC=90°.

ZAFB=90°.AZGFE=90°.

同理可得NFEH=ZEHG=90°,

.•・四边形EFGH为矩形.

当堂反馈

I.C

2.(1)「⑵x(3)«(4)7⑸d

3.10.

(DC=EA.

4.(1)证明：在△DC4和AEAC中，\AD=CE,

\AC=CA,

•・.△OCA❷△E4C(SSS).

(2)解：理由如下：-：AB=DC,AD=BC,

・•・四边形AI3CD是平行四边形.丁CE1AE,

・•・ZE=90°.

,/△OCA/△E4C,JZD=ZE=90°.

・•・四边形ABCD为矩形(答案不唯一).

5.(1)证明：・；PQ_LCP,，/。2。=90。.・・・。。平分NOCP,/.ZDCQ=ZPCQ.

又•：CD=CP,CQ=CQ,：・4DCQq4PCQ(SAS).：・/D=NQPC=900.

又•・•四边形ABCD是平行四边形，，四边形ABCD是矩形.

(2)解：•:CP=CD,.••设CP=CQ=x,则P8=x—2.

在RsBCP中，BP2+BC=CP2,・・・a-2)2+42=f.・・・x=5.・・.CO=5.

第1章特殊平行四边形

1.4正方形的性质与判定

第1课时正方形的性质

【学习目标】

1.通过观察、比较、动手操作探究正方形边、角、对角线、对称的性质，培养学生的归

纳探究能力和数学表达能力.(重点、难点)

2.利用正方形的性质定理进行计算或证明，培养学生分析问题和解决问题的能力.(难点)

学习重点：通过观察、比较、动手操作探究正方形边、角、对角线、对称的性质，培养

学生的归纳探究能力和数学表达能力.

学习难点：利用正方形的件质定理进行计算或讦明,培养学牛分析问题和解决问题的能

力.

【复习导入】

平行四边形矩形特殊性质菱形特殊性质

边对边平行且相等

性质角对角相等，邻角互补

对角线对角线互相平分

【合作探究】

探究点：正方形的性质

观察•思考

(1)正方形是矩形吗？是菱形吗？

(2)你认为正方形具有哪些性质？与同伴交流.

总结：正方形是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形.也是特殊的菱形.所以矩形、菱

形有的性质，正方形都有.

平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系:

探究：从正方形的边、角、对角线出发，写出正方形的性质，并证明其中的一些结论。

正方形的性质

定理正方形的四个角都是直角，四条边相等.

定理正方形的对角线相等且互相垂直平分.

证一证

(1)已知：如图，四边形ABCD是正方形.

求证：正方形ABCD匹边相等，四个角都是直角.

(2)已知：如图，四边形ABCD是正方形.对角线AC、BD相交于点O.

求证：AO=BO=CO=DO,AC_LBD.

判一判

根据图形所具有的性质，在下表相应的空格中打'H'.

性质'图形平行四边形矩形菱形正方形

对边平行且相等

边

四边相等

角四个角都是直角

对角线相互平分

对角线相互垂直

对角线

对角线相等

每条对角线平分一组对角

典例精析

例1如图，在正方形ABCD中，E为CD上一点，F为BC边延长线上一点,

旦CE=CF.BE与DF之间有怎样的关系？请说明理由.

例2如图，在正方形ABCD中，△BEC是等边三角形,

求证：ZEAD二/EDA=15°.

变式题1:四边形ABCD是正方形，以正方形ABCD的一边为边作等边△ADE,求

ZBEC的大小.

变式题2：如图，在正方形ABCD内有一点P满足AP=AB,PB=PC,

连接AC、PD.

(1)求证：△APB^ADPC；

(2)AR证：ZBAP=2ZPAC.

尝试•交流

如图，四边形ABCD是正方形。

(1)在图中画一个菱形，使菱形的两个顶点分别与点A,C重合，则菱形的另外两个顶

点需要满足怎样的条件？试一试，并与同伴交流你画图的理由。

⑵在图中画一个矩形EFGH,使矩形的四个顶点E,F,G,H依次在正方形ABCD的

边AB,BC,CD,AD上，则矩形EFGH的四个顶点需要满足什么条件？试一试，并

与同伴交流你画图的理由。

当堂反馈

1.正方形具有而菱形不具有的性质是()

A.对角线互相垂直平分

B.内角之和为360。

C.对角线相等

D.一条对角线平分一组对角

2.如图，在正方形A8CO中,对角线AC,8。相交于点O.

第2题图

(1)NABO=°,ZAOB=°；

(2)若正方形A8CO的面积为9,则AB=,对角线8。的长为

(3)图中共有个等腰直角三角形.

3.如图，正方形A8CQ的顶点&C都在x轴上，若点4的坐标是(一2,8),点。的坐

标是(6,0),则点。的坐标是.

4.如图，E是正方形A8C。内一点，且△£48是等边三角形，则NAOE='

第4题图

5.如图，直线/过正方形A8CO的顶点8,点A,C到直线/的距离分别为3和5,则正

方形ABCD的面积为.

第5题图

6.如图，过正方形ABC。的对角线8。上一点P,作P£_L8C于点£,PFLCD于点F,

连接AP,EEAR证：AP=EF.

参考答案

证一证

（1）证明：:四边形ABCD是正方形.

AZA=90°,AB=AD（正方形的定义）.

又：正方形是平行四边形，

・•・正方形是矩形（矩形的定义），

正方形是菱形（菱形的定义）.

・•・ZA=ZB=ZC=ZD=90°,

AB=BC=CD=AD.

(2)证明：:正方形ABCD是矩形,

JAO=BO=CO=DO.

・・・正方形ABCD是菱形，

:.AC1BD.

判一判

根据图形所具有的性质，在下表相应的空格中打7”.

性质'图形平行四边形矩形菱形正方形

对边平行且相等V

边VVV

四边相等VV

角四个角都是直角VV

对角线相互平分V

对VVV

角对角线相互垂直VV

线对角线相等VV

每条对角线平分一组对角VV

典例精析

例1解：BE=DF,且BE1DF.理由如下:

①;四边形ABCD是正方形.

ABC=DC,ZBCE=90°,

，ZDCF=1800-ZBCE=180°-90°=90°.

AZBCE=ZDCF.

又•・•CE=CF,

，△BCE^ADCF(SAS).

BE=DF.

②延长BE交DF于点M.

VABCE^ADCF,

ZCBE=ZCDF.

•・•/DCF=90。，

/CDF+NF=90。.

・•・ZCBE+ZF=90°.

.\ZBMF=90o,ABEIDF.

综和①②可知，BE=DF,且BE±DF.

例2证明：•・•△BEC是等边三角形，

:.BE=CE=BC,ZEBC=ZECB=60°.

,/四边形ABCD是正方形，

AAB=BC=CD,ZABC=ZDCB=90°.

AB=BE=CE=CD,ZABE=ZDCE=30°.

•二△ABE,△DCE是等A三角形.

，ZBAE=ZBEA=ZCDE=ZCED=75°.

，ZEAD=ZEDA=90°-75°=15°.

【变式题1】

解：当点E在正方形ABCD外部时，

如图①,AB=AE,ZBAE=900+60°=150°.

AZAEB=15O.

同理可得NDEC=15。.图①

AZBEC=60°-15°-15°=3O°；

当点E在正方形ABCD内部时.如佟

AB=AE,ZBAE=90°-60°=30°,

.*.ZAEB=75°.图②

同理可得NDEC=75。.

，NBEC=360。-75。-75。-60。=150°.

综上所述，ZBEC的大小为30°或150。.

【变式题2】

(1)证明：四边形ABCD是正方形，

.,.ZABC=ZDCB=90°.

•・•PB=PC,

AZPBC=ZPCB.

...ZABC-ZPBC=ZDCB-ZPCB,

即/ABP=/DCP.

又TAB=DC,PB=PC,

AAAPB^ADPC.

(2)

证明：:四边形ABCD是正方形，

/.ZBAC=ZDAC=45°.

,/△APB^ADPC,AAP=DP.

又YAP二AB=AD,

，DP=AP=AD,

即△APD是等边三角形.

ZDAP=60°.

:.ZPAC=ZDAP-ZDAC=15°,

ZBAP=ZDAB-ZDAP=30°.

AZBAP=2ZPAC.

尝试•交流

(1)条件：另外两个顶点在正方形对角线BD上，且关于AC对称(或到AC与BD交

点的距离相等)C

理由：菱形对角线互相垂直平分，

正方形中BD1AC且互相平分，满足菱形性质。

(2)条件：AE=CG、AH=CF

(或邻边互相