人教八年级数学上册 重点几何模型-将军饮马

重点几何模型•将军饮马

【模型1将军饮马-两定一动求线段和的最小值】

【模型探究】A,3为定点，机为定直线，尸为直线机上的一个动点，求AP+BP的最小。

A

4\K..一

•---------------------•m•---------------------•m,:/

P\•：/

\«!/'

・、•

BB•-------------------•mA•

图1图2

（1）如图1,点4、B在直线"2两侧：

辅助线：连接A8交直线〃7于点户，则AP+BP的最小值为A8.

（2）如图2,点A、3在直线同侧：

辅助线：过点A作关于定直线〃7的对■称点/,连接45交直线〃7于点P,则AP+8尸的最小

值为4B.

例1.（2022・福建・八年级期末）如图，在心ZkABC中，NAC8=90。，AC=8C,点。在直

线MN上,N8CN=30。，点尸为MN上一动点，连结HP,BP.当AP+8P的值最小时，

/CBP的度数为.

例2.（2022・江苏•八年级专题练习）如图，等边三角形ABC的边3。上的高为6,A。是8c

边上的中线，M是线段AO上的-一个动点，七是4C中点，则EA/+CM的最小值为

例3.（2022•河南濮阳•八年级期末）如图，等边三角形ABC的边长为5,A、3、4三点在

一条直线上，且“8C&A5G.若。为线段g上一动点，则A"+c。的最小值是

例4.（2023.浙江八年级期中）如图，等边△ABC的边长为4,AD是BC边上的中线，F是

AD边上的动点，E是AC边上一点，若AE=2,当EF+CF取得最小值时，则NECF的度数

为多少？

【模型2将军饮马.•两动一定求线段和的最小值】

【模型探究】已知定点A位于定直线myn的内侧，在直线"I、n分别上求点P、。点PA+PQ+QA

周长最短.

辅助线：过点A作关于定直线相、〃的对称点4,、4"，连接力N”交直线〃2、〃于点P、Q,

则B4+PQ+Q4的最小值为AN”.

例1.（2022.江苏.无锡市八年级期末）如图，己知NAOB的大小为a,P是NAOB内部的一

个定点，且OP=4,点£/分别是OA、03上的动点，若△PEE周长的最小值等于4,则a

()

A.30°B.45°C.60°D.90°

例2.（2022・湖北十堰•八年级期末）如图，在四边形中，

Z^D=100°,ZB=ZD=90°.在BC,CD上分别找一点N,使4AMN周长最小，则

ZAMN+ZANM的度数为.

C

例3.（2022•江苏九年级一模）如图，RQA8c中，ZC=90°,AC=3,BC=4,D,E,尸分别

是AB,BC,AC边上的动点，则ADE/的周长的最小值是（）

例4.（2023春・贵州毕节•七年级统考期末）如图所示，404=30,点P为N408内一点,

QP=8,点M,N分别在。108上，求APMN周长的最小值.

0NB

【模型3将军饮马一一两动两定求线段和的最小值】

【模型探究】A,B为定点、,在定直线机、〃上分别找两点P、Q,使以+PQ+QB最小。

（1）如图1,两个点都在直线外侧：

辅助线『连接AB交直线机、〃于点P.Q,贝IR1+PQ+Q8的最小值为4B.

（2）如图2,一个点在内侧，一个点在外侧：

辅助线：过点8作关于定直线〃的对称点夕，连接4r交直线〃7、〃于点P、Q,则B4+PQ+Q8

的最小值为AZT

图1图2

（3）如图3,两个点都在内侧：

辅助线：过点A、4作美于定直线/〃、〃的对称点I、夕，连接X7T交直线〃?、〃于点P、

Q,则PA+PQ+QA的最小值为A'夕.

（4）如图4,台球两次碰壁模型：

辅助线：同图3辅助线作法。

图3图4

例1.（2022・和平区•八年级期末）如图，ZAOA=25。，点M,N分别是边。A,08上的定

点，点P，Q分别是边。8,QA上的动点，记NMPQ=a,"QN=0,当MP+PQ+QN的值最

小时，力一。的大小=.

A

Q

\

OPB

例2.(2022・湖北武汉市•九年级期中)如图，点A在y轴上，G、B两点在x轴上，且G

(-3,0),B(-2,0),HC与GB关于y轴对称，NGAH=6()。，P、Q分别是AG、AH

上的动点，则BP+PQ+CQ的最小值是()

例3.(2022•湖北青山•八年级期中)如图，在RSA3C中，N4C8=90。，ZABC=30°,AC

=2,以为边向左作等边△BCE,点。为A3中点，连接CO,点P、Q分别为CE、CD

上的动点.

(1)求证：ZiAOC为等边三角形；(2)求PD+PQ+QE的最小值.

【模型4将军饮马一线段差的最大值】

【模型探究】A,8为定点，在定直线机上分别找两点P,使以与P8的差最大。

(1)如图1,点A、3在直线同侧：

辅助线：延长A8交直线〃2于点P,根据三角形两边之差小于第三边，P'A—P'BVAB,而出一

PB二AB此时最大，因此点P为所求的点。

(2)如图2,点A、〃在直线，72异侧：

辅助线：过B作关于直线〃2的对称点3',连接A3'交点直线m于P.此时PB=PB，,PA-PB最大

值为AB'

B'

»、、

例1.例022•福建福州•八年级期中）如图,在等边.ABC中，£是AC边的中点，P是，ABC

的中线AO上的动点，且A8=6,则解一所的最大值是_______.

例2.（2022・广东•八年级专题练习）如图，AB=AC=5f4AC=110°,是N8AC内的一

条射线，且/丛。=25。，P为4。上一动点，则|PA-P。的最大值是______.

B/DJ

例3.（2022・湖北・武汉八年级期末）如图，ABUDP,E为。P上一动点，AB=CB=CD,过

A作AN_LEC交直线EC于N,过。作OM_LEC交直线氐于点M,若4=114。，当AN-DM

的值最大时，则NACE=_______.

课后专项训练

1.（2022.河南七年级期末）如图，在锐角二角形ABC中，A8=4,乂蛇的面积为10,8。平

分4BC,若“、N分别是瓦）、上的动点，则CM+MN的最小值为（）

A.4B.5C.4.5D.6

2.（2022.甘肃白银•七年级期末）如图，在43C中，ABLACtA8=3,BC=5,AC=4,

E尸垂直平分BC,点尸为直线E尸上的任意一点，则AA5P周长的最小值是（）

A.7B.6C.12D.8

3.（2022•江西宜春.八年级期末）如图，在一/WC中，OE是边AC的垂直平分线，交AC于

点。，交4/3于点E,点P是直线OE上的一个动点，若A8=5,贝U依+PC的最小值为

A.5B.6C.7D.8

4（2022•绵阳八年级期末）如图，在四边形ABCO44,ZC=70°,NB=ND=90。,E、F分

别是8C、OC上的点，当的周长最小时，NE4F的度数为（）

D

B

A.30°B.40cC.50°D.70°

5.（2022・江苏・无锡八年级期末）如图，已知NAO3的大小为a,P是NAO3内部的一个定

点，且。尸=4,点从/分别是。4、03上的动点，若APE/周长的最小值等于4,则。=

（）

A.30°B.45°C.60°D.90°

6.（2023云南八年级期末）如图，在等边,A8C中，8c边上的高AO=6,七是高AQ上的

一个动点，尸是边A8的中点，在点E运动的过程中，团+厮存在最小值，则这个最小值是

)

A.5B.6C.7D.8

7.（2022.河南安阳市.八年级期末）如图，在△入4c中，AC=BC,AB=6,人人3。的面

积为12,。。_148于点。，直线E/垂直平分交AB于点E,交BC于点F,尸是线段

石尸上的一个动点，则△P8Q的周长的最小值是（）

A.6B.7C.10D.12

8.（2022•芜湖期末）如图，在锐角三角形ABC中,AB=4,△ABC的面积为8,3。平分乙钻C.若

M、N分别是a）、上的动点，则CM+MN的最小值是（）

C.6D.8

9.（2022.河南・安阳市八年级期末）如图，在A8C中，AB=ACf边AC的垂直平分线MV

分别交A8,AC于点M,N,点。是边8c的中点，点户是MN上任意一点，连接PD,PC,

若4=a,NCPD=0,-PCQ周长最小时，％夕之间的关系是（）

B.a<DC.a=DD.a=9（尸一夕

10.（2022•广东广州•八年级期末）如图，点。是/加B内的定点且4>2,若点C、£分别

是射线AR上异于点A的动点，且△C0E周长的最小值是2时，N胡8的度数是

C.60°D.90°

11.（2022・湖南雨花•初二期末）如图,N4OB=3南，点P是它内部一点,8=2,如果点

点R分别是04、OB上的两个动点，那么PQ+QR+RP的最小值是

12.（2022•福建•莆田二中八年级期末）如图，在放ZkABC中，ZACB=90°,AC=8C,点

。在直线MN上，NBCN=30。，点P为MN上一动点，连结AP,BP.当4P+BP的值最小

时，NCB尸的度数为

A

B

13.（2022・广东•八年级专题练习）如图,AB=AC=5fZBAC=110°,AO是N3AC内的一条

射线，且NbAZ）=25。，尸为AD上一动点,则|依-PC|的最大值是

14.（2022.福建福州•八年级期中）如图,在等边A8C中，E是AC边的中点，户是.48C的

中线AO上的动点，且AB=6,则8P-PE的最大值是

15.（2022•河南八年级期末）如图，在■△ABC中，Z4CT=90°,AC=3,Z?C=4,AB=5,

4）平分/C钻交8c于点。，E,尸分别是AO,AC边上的动点，则CE+E尸的最小值为

16.（2022.四川成都.七年级期末）如图，分别以线段的两个端点为圆心，以大于^48

长为半径作弧，两弧交于点M和点M在直线MN上取一点C,连接C4,CB,点。是线

段AC的延长线上一点，且CO=：AC,点尸是直线MN上一动点，连接尸。，PB,若BC=

4,则PD+PB的最小值为

17.（2022.安徽芜湖市.八年级期末）如图，在RtZviBC中.AC1BC,若AC=5,8c=12,

A8=13,将为△ABC折叠，使得点C恰好落在AB边上的点E处，折痕为AD,点P为AD

上一动点，则△PE8的周长最小值为.

18.（2022・湖北•八年级）如图，AB//DPf石为/»上一动点，AB=CB=CD,过A作

胡_LEC交直线比于N,过。作DW_L£C交直线出于点若N4=I14。，当4V-OM的值

最大时，则ZACE=.

19.（2022•湖北十堰•八年级期末）如图，在四边形ABCO中，

/射。=100。,/8=/。=90。.在BC,CQ上分别找一点M,M使周长最小，则

ZAMN+ZANM的度数为.

A

D

/RN

/

7c

20.（2022•河南濮阳•八年级期末）如图，等边三角形A8C的边长为5,A、B、A三点在一

条直线上，且一次冬.、48c.若。为线段BG上一动点，则AO+CO的最小值是

21.（2023•山东青岛市•八年级期末）如图，等边AABC（三边相等，三个内角都是60。的三

角形）的边长为10cm,动点。和动点E同时出发，分别以每秒1cm的速度由A向B和由。向A

运动，其中一个动点到终点时，另一个也停止运动，设运动时间为/，0</<10,OC和陋交

于点尸.

（1）在运动过程中，8与巫始终相等吗？请说明理由；（2）连接。以求/为何，直时，

DE/tBC-

（3）若8M_LAC于点M,点P为上的点，且使尸ZHPE最短.当1=7时，9+收的最小

值为多少？请直接写出这个最小值，无需说明理由.

B

B

重点几何模型•将军饮马

答案全解全析

模型1、将军饮马-两定一动求线段和的最小值

【模型探究】48为定点，机为定直线，户为直线，〃上的一个动点，求AP+BP的最小。

A

\\K..

\i\

...'\_\：X一•w

•------------*w*------------*'〃.i/

\B：/

•、•

BB----------------------mAf

图1图2

（1）如图1,点A、3在直线〃［两侧：

辅助线：连接A3交直线〃，于点P,则4P+8尸的最小值为A8

（2）如图2,点A、B在直线同侧：

辅助线：过点A作关于定直线，〃的对称点力‘，连接A'B交直线m于点P,则AP+BP的最

小值为AB.

例1.（2022・福建•八年级期末）如图，在放ZkABC中，ZACB=90°,AC=Z?C,点C在直

线MN上，N8CN=30。，点P为MN上一动点，连结AP,BP.当4P+8P的值最小时，

/CBP的度数为.

【答案】15。或15度

【分析】作点3关于MN的对称点。，连接交MN于P,连接BP,CD,先证明△

是等边二角形，从而得至|JAC=C。，ZACD=ZACB+ZZ?C£>=150°,进而求得NC£>P=

15°,据轴对称性可得NCBP的度数.

【详解】如图，作点8关于MN的对称点。，连接AO交于P,连接8P,CD,

•・•点8与点。是关于MN的对称点，NBCN=30。,

:.BC=CD,/BCD=60。,...△8C。是等边三角形，

VZACB=90°,AC=BCt:,AC=CD,ZACD=ZACB+ZBCD=150°,：.ZCDP=\5°t

・.,点5与点。是关于MN的对称点，，且△BCD是等边三角形，

・•・由等边三角形的轴对称性可知:NCBP=NCDP=15。,故答案为：15。.

【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形和等边三角形的性质，轴对称最短线路问题等知

识，明确AP+8P的最小值为A。长是解题的关键.

例2.（2022•江苏•八年级专题练习）如图，等边三角形A4C的边6c上的高为6,是6c

边上的中线，M是线段AO上的-一个动点，E是4C中点，则石河+CM的最小值为

【答案】6

【分析】连接BE交A。于M,则BE就是EM+CM的最小值，通过等腰三角形的“三线合

一”，可得BE二A。即可得出结论.

【详解】解：连接8E,与AQ交于点M.

a：AB=AC,A。是笈。边上的中线，：.B.。关丁A。对称，则EM+CM=EM+

则BE就是E历+CM的最小值.•・•£：是等边△48。的边AC的中点，4。是中线

：.BE=AD=6,・・・EM+CM的最小值为6,故答案为：6.

【点睛】此题主要考查了等腰三角形的性质一“三线合一，等边三角形的性质和轴对称等知

识的综合应用，解题关键是找到M点的位置.

例3.（2022•河南濮阳•八年级期末）如图，等边三角形ABC的边长为5,A、B、4三点在

一条直线上，且4A8CM*3G.若。为线段4G上一动点，则AD+C。的最小值是

c

ABAx

【答案】10

【分析】连接CA/交6G于点七，C、A/关于直线6C/对称，推出当点。与3重合时，

AD+CO的值最小，最小值为线段A4/的长=1().

【详解】解：连接CA/交3。于点石，过点8作直线LL4B,如图，

9：/\ABC是等边三角形，ABC^^BC.：.VA产G是等边三角形，AB=A/B=5

•••A、B、A三点在一条直线上，・•・△ABC与△A/B。关于直线/对称，

o

*.*/ARC=/4/C=60。，/C/?C;=60,/「"=/gRC,

■:BA尸BC,：.BDVCAhCD=DAh,C、4/关于直线3G对称，

・•・当点。与8重合时，AO+C。的值最小，最小值为线段A4的长=10,故答案为：10.

【点睛】本题考查轴对称-最短问题，等边三角形的性质等知识，解题的关键是学会找对称

点，形成两点之间的线段来解决最短问题，属于中考常考题型.

例4.(2023.浙江八年级期中)如图，等边△ABC的边长为4,AD是BC边上的中线，F是

AD边上的动点，E是AC边上一点，若AE=2,当EF+CF取得最小值时，则NECF的度数

为多少？

【答案】ZECF=30°

【解析】过E作EM〃BC,交AD于N,如图所示:

VAC=4,AE=2,/.EC=2=AE,AM=BM=2,/.AM=AE,

•；AD是BC边上的中线，△ABC是等边三角形,AADIBC,VEM/7BC,AADXEM,

VAM=AE,・・・E和M关于AD对称，连接CM交AD于F,连接EF,则此时EF+CF的值

最小，

•・•△ABC是等边三角形，・•・/ACB=60。，AC=BC,・・・AM=BM,AZECF=|ZACB=30°.

模型2、将军饮马.•两动一定求线段和的最小值

【模型探究】已知定点A位于定直线〃解的内侧，在直线m、n分别上求点P、。点PA+PQ+QA

周长最短.

m

辅助线：过点4作关于定直线〃2、〃的对称点力‘、，’，连接4为”交直线〃2、〃于点P、

。，则%+PQ+Q4的最小值为A'A

例1.(2022・江苏・无锡市八年级期末)如图，已知NAOB的大小为a,P是N4OB内部的

一个定点，且。尸=4,点E、E分别是04、03上的动点，若尸周长的最小值等于4,

贝ija=()

A.30°B.45°C.60°D.90°

【答案】A

【分析】设点P关于。A的对称点为C,关于。3的对称点为3,当点E、尸在CO上时，

△PEF的周长为PE+EF+FP=CD,此时周长最小，根据CD=4可得出△COD是等边三角

形，进而可求出。的度数.

【详解】解：如图，作点P关于0A的对称点C,关于。B的对称点。，连接CQ,交0A于

E,0B于产.

此时，△尸EE的周长最小.连接OC,OD,PE,PF.

・.,点P与点C关于Q4对称，・・・。4垂直平分PC,：.ZCOA=ZAOPfPE=CE,OC=OP,

同理，可得NDOB=NBOP,PF=DF,OD=OP.

：.NCOA+NDOB=NAOP+/BOP=/AOB=a,OC=OD=OP=4f：.ZC0D=2a.

XV/XPEF^^=PE+EF+FP=CE+EF+FD=CD=4f

：・OC=OD=CD=4,•••△C。。是等边三角形，・・・2a=60。，Aa=30°.故选：A.

【点睛】本题主要考查了最短路径问题，本题找到点£和厂的位置是解题的关键.要使

△PER的周长最小，通常是把三边的和转化为一条线段，运用三角形三边关系解决.

例2.(2022.湖北十堰.八年级期末)如图，在四边形力中，

/朋。二100。,/3=/。=90。.在BC,CO上分别找一点M,N,使4AAW周长最小，则

ZAMN+ZANM的度数为.

【答案】160°

【分析】要使“MN周长最小，即利用点的对称，使三角形的三边在同一直线上，咋点A关

于5。和8的对称点A,A",即可得到ZA，+"=80。,进而求得

Z1AMN4-Z1ANM=2(Z/V+ZA"),即可得到答案.

【详解】作点人关于8c和CD的对称点4,4〃，连接AW,交3c于"，交CD千N,

4=〃=90。贝ljAA"即为&AMN周长最小值•・•/BAD=100°/.Z/V+ZA〃=80°

ZA'=/MAB,ZA〃=/NAD,ZAMN=ZA'+NMAB,ZANM=NA〃+/NAD

£AMN+ZANM=ZA'+ZMAB+ZA"+/NAD=2（ZAf+乙4〃）=2x80。=160。故答案为：160°.

【点睛】本题考查的是轴对称一最短路线问题，涉及平面内最短路线问题求法以及三角形的

外角的性质和垂直平分线的性质，熟练掌握知识点是解题的关键.

例3.（2022•江苏九年级一模）如图，RAABC中，ZC=90°,AC=3,BC=4,D,E,尸分别

是AB,BC,AC边上的动点，则的周长的最小值是（）

A.2.5B.3.5C.4.8D.6

【答案】C

【分析】如图作。关于直线AC的对称点M,作。关于直线8c的对称点N,连接CM,CN,

CD,EN,FM,DN,DM.由NMC4=NOCA,/BCN=/BCD,NACO+N8c0=90。，推出

ZMCD+ZNCD=\S00,可得M、B、N共线，由DF+DE+EF=FM+EN+EF,

FM+EN+E史MN,可知当M、F、E、N共线时，且。O_A8时，。七+£/+尸。的值最小，最

小值=2CO,求出CD的值即可解决问题.

【详解】解：如图，作。关于直线4C的对称点M,作。关于直线BC的对称点M连接

CM,CN,CD,EN,FM、DN,DM.:・DF=FM,DE=EN,CD=CM,CD=CN,

：,CD=CM=CN,

A

•・・/MCA=NOC4,/BCN=NBCD,/ACD+/BCD=90°,

・・.NMCQ+NNCO=180。，：.M.C、N共线，*：DF+DE+EF=FM+EN+EF,

•：FM+EN+EF^MN,・••当M、F、E.N共线时，且CO_AB时，QE+EF+产。的值最小，最

小值为MN=2CD,

*：CD±AB,・・・；・A8・CO=；・d8・4C,二CQ二一甯。*=2.4,

.•・Z)E+EF+”。的最小值为4.8.故选：C.

【点睛】本题考查了轴对称-最短问题、两点之间线段最短、垂线段最短等知识，解题的关键

是灵活运用轴对称以及垂线段最短解决最短问题，属于中考选择题中的压轴题.

例4.(2023春•贵州毕节•七年级统考期末)如图所示，ZAO3=30,点、P为/AOB内一点,

0尸=8,点忆N分别在OAO3上，求APMN周长的最小值.

【答案】APMN周长的最小值为8

【分析】作P关于OA、OB的对称点不连结。R、OP2t即可快速找到解题思路.

【详解】如图，作P关于OA、OB的对称点小鸟，连结。[、OP2fq鸟交OA、OB于M、

N,此时APMN周长最小，根据轴对称性质可知PM="九PN山,

:.NPMN=P\M+MN+P)N=PR,且Z4OP=NAO[,2B0P=/BOP],/《。4=2Z4O5=60。，

OP]=OP2=OP=^tAP退0为等边三角形,利二。《=8即APMV周长的最小值为8.

【点睛】本题应用知识比较隐晦，分别考查了轴对称图形和等边三角形，需要认真分析，充

分联系所学知识，方可正确解答.

模型3、将军饮马..两动两定求线段和的最小值

【模型探究】A,B为定点,在定直线〃?、〃上分别找两点P、Q,使%+PQ+Q8最小。

(1)如图1,两个点都在直线外侧：

辅助线：连接A3交直线相、〃于点尸、Q,则%+PQ+QB的最小值为

(2)如图2,一个点在内侧，一个点在外侧：

辅助线：过点B作关于定直线〃的对称点夕，连接/夕交直线〃?、〃于点P、Q,则a+PQ+QB

的最小值为月夕.

图1图2

(3)如图3,两个点都在内侧：

辅助线：过点A、B作关于定直线机、〃的对称点4、B；连接力'夕交直线机、〃于点P、

。，则PA+PQ+QA的最小值为AB.

(4)如图4,台球两次碰壁模型：

辅助线：同图3辅助线作法。

图3图4

例1.（2022.和平区八年级期末）如图，N4O9=25。，点M,N分别是边。4,08上的定

点，点P，Q分别是边。8，04上的动点，记NMPQ=a,〃QN="，当MP+PQ+QV的值最

小时，/一。的大小二一（度）.

【答案】50

【分析】作M关于OB的对称点”，N关于OA的对称点N,连接,交OB于点P,交

OA于点Q,连接MP,QN,可知此时MP+PQ+QN最小，此时

=N。产”=NNPQ,WQP=&QN=,再根据三角形外角的性质和平角的定义即

可得出结论.

【详解】作M关于OB的对称点AT,N关于OA的对称点连接MM,交OB于点P,交

OA于点Q,连接MP,QN,如图所示.根据两点之间，线段最短，可知此时MP+PQ+QN

最小，即MP+PQ+QN=/WM,

40PM=40PM'=/NPQ,ZOQP=ZAQN=ZAQN",

NMPQ=a,4PQN=B,，NQPN=g（180。-a）,NOQP=g（l80。一［）,

■:NQPN=ZAOB+NOQP,ZAOB=25。,J.g（180。-a）=25。+；（180。一夕）,

・•・£-a=50。.故答案为：50.

【点睛】本题考查轴对称-最短问题、三角形内角和，三角形外角的性质等知识，灵活运用所

学知识解决问题是解题的关键，综合性较强.

例2.（2022.湖北武汉市.九年级期中）如图，点A在），轴上，G、B两点在x轴上，且G

（-3,0）,B（-2,0）,HC与GB关于），轴对称，ZGAH=60°,P、Q分别是AG、AH

上的动点，则BP+PQ+CQ的最小值是（）

【答案】B

【分析】分别作B、C关于AG和AH对称的点夕、C,连接BP、CQ、B（、C。，PQ,得

出BP+PQ+CQ的最小值为6C',再依据等边二角形的性质和判定和轴对称的性质分别求得

B'P+PN和CQ+QN即可求得.

【详解】解：分别作B、C关于AG和AH对称的点夕、C,连接BP、CQ、B'C、C'Q,PQ

THC与GB关于），轴对称，・・・GO=HO,BO=CO「・,x轴J_y轴，AAG=AH,&、C关于y轴

对称，

・•・当C,P、Q在同一条直线上时，如+「什。。=g+22+00=*C最小，此时"C"/x

轴，

VZGAH=60°,•••△AGH为等边三角形，AZAGO=60°,

•・・B'C7/x轴，B、"关于AG对称，，BPG=ZBPG=/PGB=0f,BP=BP,

•••△BPG为等边三角形，过作PM_LGO交x轴与M,

VG(-3,0),B(-2,0),.\BG=1,BO=2,PH=PB=BG=1,BM=?BG=]

22

177

：・B'P+PN=BP+MB+BO=l+；+2=3,同理可得C'Q+QN=5,即笈C=7.故选：B.

【点睛】本题考查轴对称的性质，等边三角形的性质和判断，坐标与图形变化.能借助轴对称

的性质正确变形将折线的长化成一条线段的长是解题关键.

例3.（2022•湖北青山•八年级期中）如图，在RSA5C中,NACB=90。,ZABC=30°,AC

=2,以8c为边向左作等边△8CE,点。为A8中点，连接C。，点P、。分别为CE、CD

上的动点.

（1）求证：AAOC为等边三角形；（2）求PO+PQ+0E的最小值.

【答案】（1）证明见解析；（2）4.

【分析】（1）先根据直角三角形的性质可得乙弘。=60。.4）=8,再根据等边三角形的判定即

可得证；（2）连接PAQ'先根据等边三角形的性质可得NACE-g/ACQ,再根据等腰三角

形的三线合一可得CE垂直平分AO,然后根据线段垂直平分线的性质可得叫=尸。，同样的方

法可得。4=。七，从而可得PO+PQ+QE=PA+PQ+Q5,最后根据两点之间线段最短即可得出

答案.

【详解】证明：（1）,.在R匕ABC中，ZACB=90°,ZABC=30°,AC=2,

N84C=60°.人4=2AC=4,

丁点。是用力/纪斜边A8的中点，.•.AOnACuZ,是等边三角形；

（2）如图，连接尸AQB,

QVBCE和...AOC都是等边三角形，/.ZBCE=60°,ZACD=60°,

ZACE=ZACB-ZBCE=30°=^ACD,..CE垂直平分AO,:.PA=PD,

同理可得：C。垂直平分叫:'QB=QE,;.PD+PQ+QE=PA+PQ+QB,

由两点之间线段最短可知，当点AP，。/共线时，PA+P0+Q8取得最小值AB,

故户。+PQ+QE的最小值为4.

【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质、含秘角的直角三角形的性质等知识点，熟练

掌握等边三角形的性质是解题关键.

模型4、将军饮马-线段差的最大值

【模型探究】A,B为定点，在定直线〃z上分别找两点P,使%与的差最大。

(1)如图L点A、B在直线加同侧：

辅助线：延长交直线加于点P,根据三角形两边之差小于第三边，产A—P'BVAB,而以一

此时最大，因此点P为所求的点。

(2)如图2,点4、B在直线加异侧：

辅助线：过B作关于直线机的对称点町连接48咬点直线加于P,此时尸B=P夕，%-PB最大

值为

图1图2

例1.(2022•福建福州•八年级期中)如图，在等边.ABC中，E是人C边的中点，户是二ABC

的中线AQ上的动点，且48=6,则2P一席的最大值是________.

【答案】3

【分析】连接PC,则3P=CP，BP-PE=CP-PE,当点P与点A重合时，CP-PE=CEt进而即

可求解.

【详解】解：连接PC,

A

•・•在等边中，A8=6,尸是「ABC的中线AD上的动点，

・・・A。是8c的中垂线，:.BP=CP,:・BP-PE=CP-PE,

・・•在△CPE中，CP-PEVCE,J当点P与点A重合时，CP-PE=CE,

•；E是AC边的中点，・・・HP-PE的最大值二6：2=3.故答案是：3.

【点睛】本题主要考查等边三角形的性质，三角形三边长关系，连接CP,得到BP-PE=CP-

PE,是解题的关键.

例2.(2022•广东•八年级专题练习)如图，AB=AC=5fZBAC=110°,AO是N84C内的一

条射线，且/瓦b=25。，P为4。上一动点，则|P8-P。的最大值是______.

【答案】5

【分析】作点8关于射线4。的对称点"，连接AZT、CB\B'P,则A8=A&,PB=PB,

VAB'C是等边三角形，在APZTC中，|P/r-PC|4QC,当P、*、。在同一直线上时，

|PB-P。取最大值8C,即为5.所以|P8—PC|的最大值是5.

【详解】解：如图，作点8关于射线A。的对称点9,连接CB\B'P.

则48=48',PR=PB,Z^AD=ZBAD=25°,ZB1AC=ZBAC-ZBAB1=11()°-25°-25°=6()°.

,**AB=AC=5,AB1=AC=5,V/A4C是等边二角形，••・B'C=5,

在d&c中,附「pqwac,当°、夕、。在同一直线上时，|p»-cq取最大值-c,即为

5.

・・・|P夕-PC|的最大值是5.故答案为：5.

【点睛】本题考查了线段之差的最小值问题，正确作出点8的对称点是解题的关键.

例3.（2022・湖北・武汉八年级期末）如图，AB//DPtE为OP上一动点，AB=CB=CD,过

A作AN_LEC交直线EC于N,过。作。M_LEC交直线EC于点M,若N8=114。，当AN-DM

的值最大时，则ZACE=.

【分析】当。M与。尸重合，4N与重合时，HN-OM的值最大，此时|/W-OM|=A8,画出

相应的图形，根据条件，利用三角形的内角和、邻补角的意义，求出结果.

【详解】解：当。“与。。重合，AN与人"重合时，|ANOM的值最大，此时IANDM二八以

VZ/4BC=114°,.,.ZCDE=180o-ll4°=66o,AZMCD=90°-66°=24°,

又・・・A5=BC,AZACB=（180°-114°）4-2=33°,

AZACE=1800-ZACB-ZDCM=180°-33°-24°=123°,故答案为：123°.

【点睛】本题考查了平行线的性质、三角形内角和、直角三角形、等腰三角形的性质等知

识，根据题意画出相应图形是解决问题的关键.

课后专项训练

1.（2022•河南七年级期末）如图，在锐角三角形A8C中，48=4,d8C的面积为10,BD

平分Z/\BC,若M、N分别是BD、上的动点，则CMlMV的最小值为（)

A.4B.5C.4.5D.6

【答案】B

【分析】作N关于BD的对称点，根据轴对称性质、两点之间线段最短和垂线段最短的定理

可以得到CM+MN的最小值即为C点到AB的垂线段，因此根据面积公式可以得解.

【详解】解：如图，作N关于BD的对称点M,连结NM,与BD交于点O,过C作

CE_LAB于E,则

「BD平分ZABC,・・・M在AB上，且MN=MM,ACM+MN=CM+W,

・・・根据两点之间线段最短可得CM+MN的最小值为CM,即C点到线段AB某点的连线，

・・・根据垂线段最短，CM+MN的最小值为C点到AB的垂线段CE的长度，

VAABC的面积为10,,,.gx4xCE=10,ACE=5,故选B.

【点睛】本题考查轴反射的综合运用，熟练掌握轴反射的特征、两点之间线段最短及垂线段

最短等性质是解题关键.

2.（2022・甘肃白银•七年级期末）如图，在.ABC中，AB1AC,A8=3,BC=5,AC=4f

EF垂直平分BC,点尸为直线ER上的任意一点，则AA8尸周长的最小值是（）

A.7B.6C.12D.8

【答案】A

【分析】根据题意知点B关于直线EQ的对称点为点C,故当点P与点D重合时，AP+8P的

值最小，即可得到周长最小.

【详解】解：YE尸垂直平分8C,，仄。关于E1尸对称，设AC交七产于。，

・••当P和。重合时，即A、P、C三点共线时，AP+8P的值最小，

;七尸垂直平分8C,：.AD=CDf：.AD+BD=AD+CD=AC=4,

・・・/\48。周长的最小值是人/?+人。=3+4=7,故A正确.故选：A.

【点睛】本题主要考查了勾股定理，轴对称-最短路线问题的应用，解此题的关键是找出P的

位置.凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多

数情况要作点关于某直线的对称点.

3.（2022.江西宜春.八年级期末）如图，在“8C中，。七是边AC的垂直平分线，交AC于

点。，交A3于点E,点尸是直线OE上的一个动点，若AB=5,则PA+PC的最小值为

A.5B.6C.7D.8

【答案】A

【分析】由条件可得点A是点C冠以ED的对称点，即求PB+PC的最小值就是求PB+PA的

最小值，在点P运动的过程中，P与E重合时有最小值.

【详解】解：:ED是AC的垂直平分线，・・・PC+PB=PA+PB,

TP运动的过程中，P与E重合时有最小值，

・・・PB+PC的最小值=AB=5.故选：A

【点睛】本题主要考直动点最短路径问题，结合对称，寻找对称点，判断最值状态是解题的

关键.

4（2022•绵阳八年级期末）如图，在四边形A8CD中，NC=70。，NB=ND=9。。,E、F分

别是8C、OC上的点，当△4E户的周长最小时，NE4F的度数为（）

A.30°B.40cC.50°D.70°

【分析】据要使尸的周长最小，即利用点的对称，使三角形的三边在同一直线上，作出A

关于8c和CO的对称点即可得出/AVE+NA"=/HA4=70。,进而得出NAEF+NAFE

=2（NA4E+NA"）,即可得出答案.

【答案】解：作A关于3C和CO的对称点4,A",连接AR”,交BC于E,交CD于F,则

即为△AEF的周长最小值.作DA延长线AH,

VZC=70°,：.ZDAB=]]0\.・・/HAA'=70。，NA4'E+/4"=N"A4'=70。，

,,

ZEAA=ZEAAfN必。=NA",；・产=70。,

：.ZEAF=\\00-70°=40°,故选：B.

【点睛】本题考查的是轴对称-最短路线问题，涉及到平面内最短路线问题求法以及三角形的

外角的性质和垂直平分线的性质等知识，根据已知得出E,”的位置是解题关键.

5.(2022•江苏•无锡八年级期末)如图，已知NAOB的大小为a,。是NAOB内部的一个定

点，且。0=4,点从/分别是OA、OB上的动点，若APE尸周长的最小值等于4,则“=

()

A.30°R.45°C.60。D.90°

【答窠】A

【分析】设点P关于。4的对称点为C，关于。B的对称点为。，当点&歹在CQ上时，

△PEFPE+EF+FP=CD,此时周长最小，根据CD=4可得出△C。。是等边三角

形，进而可求出a的度数.

【详解】解：如图，作点P关于OA的对称点C,关于08的对称点。，连接CQ,交OA于

E,OB于F.

D

此时，△PEE的周长最小.连接。C,OD,PE,PF.

•・•点P与点。关于OA对称，・・・OA垂直平分PC,：.ZCOA=ZAOP,PE=CEfOC=OP,

同理，可得/DOB=/BOP,PF=DF,OD=OP.

:・/COA+/DOB=NAOP+/BOP=/AOB=a,OC=OD=OP=4,：.ZCOD=2a.

又丁/XPEF的周长二尸七十七尸+尸「二CE+石/+")=CD=4,：.OC=OD=CD=4,

•••△COD是等边三角形，・・・2a=60。，Aa=30°.故选：A.

【点睛】本题主要考查了最短路径问题，本题找到点E和厂的位置是解题的关键.要使

△PER的周长最小，通常是把三边的和转化为一条线段，运用三角形三边关系解决.

6.（2023云南八年级期末）如图，在等边A8C中，边上的高AO=6,E是高上的

一个动点，”