2027年高考数学一轮复习：函数与方程（学生版）

第12讲函数与方程

知识梳理

一、函数的零点

对于函数)，=/")，我们把使〃x)=0的实数x叫做函数y=/(x)的零点.

二、方程的根与函数零点的关系

方程/(力=0有实数根。函数)，=/")的图像与X轴有公共点。函数y=/(x)有零

八占〉、・

三、零点存在性定理

如果函数y=在区间［。,句上的图像是连续不断的一条曲线，并且有

f(a)-f(b)<Ot那么函数)，=/(x)在区间(a,为内有零点，即存在cw(a,6),使得

/(c)=O,c也就是方程/(x)=0的根.

四、二分法

对于区间［4可上连续不断且<0的函数/(x),通过不断地把函数/⑴的

零占

所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点的近似值的方

法叫做二分法.求方程“X)=o的近似解就是求函数零点的近似值.

五、用二分法求函数/(X)零点近似值的步骤

(1)确定区间［〃,〃］,验证/(〃)•/(〃)<(),给定精度乙

(2)求区间(〃力)的中点玉.

⑶计算/(百).若/&)=0,则%就是函数/(x)的零点；若，则令

b=p(此时零点,e(a,%)).若/㈤•/(8)<0,则令>=看(此时零点/

(4)判断是否达到精确度£,即若卜-4<£,则函数零点的近似值为〃(或〃);否

则重复第(2)—(4)步.

用二分法求方程近似解的计算量较大，因此往往借助计算完成.

【解题方法总结】

函数的零点相关技巧：

①若连续不断的函数/。）在定义域上是单调函数，则/"）至多有一个零点.

②连续不断的函数/（X）,其相邻的两个零点之间的所有函数值同号.

③连续不断的函数/（幻通过零点时，函数值不一定变号.

④连续不断的函数/（%）在闭区间［。，加上有零点，不一定能推出/3）/S）<0.

必考题型全归纳

题型一：求函数的零点或零点所在区间

［例1］（2024•广西玉林•博白县中学校考模拟预测）己知函数”。）是奇函数，且

fM=h（x）+2f若3=2是函数y=fM的一个零点，则/（-2）=（）

A.-4B.0C.2D.4

【对点训练1】（2024•吉林・通化市第一中学校校联考模拟预测）已知凡是函数

/（幻=tanx-2的一个零点，则sin2x”的值为（）

A.--B.--C.-D.-

5555

【对点训练2】（2024-全国-高三专题练习）已知函数

f（x）=2'+乐8（人）=1082%+乂/?（X）=嚏2工一2的零点依次为。力,。，则（）

A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.b<a<c

【对点训练3】（2024•全国•高三专题练习）已知/（x）=e'+ln.E+2,若与是方程

/（x）-r（x）=e的一个解，则/可能存在的区间是（）

A.（0,1）B.（1,2）C.（2,3）D.（3,4）

【解题总结】

求函数/（X）零点的方法：

（1）代数法，即求方程/（犬）=（）的实根，适合于宜因式分解的多项式；（2）儿诃

法，即利用函数y=/（x）的图像和性质找出零点，适合于宜作图的基本初等函数.

题型二：利用函数的零点确定参数的取值范围

【例2】（2024•山西阳泉•统考三模）函数〃x）=log2X+/+，〃在区间0，2）存在零

点.则实数机的取值范围是（）

A.(-co,-5)B.(-5,-1)C.(1,5)D.(5,-f-oo)

3

【对点训练4】（2024•全国•高三专题练习）函数/（幻=2'-士-。的一个零点在区间

x

（1,3）内，则实数〃的取值范围是（）

A.（7,+co）B.（―co,-1）C.1）J（7,+cc）D.（—1,7）

【对点训练5】（2024•河北•高三学业考试）已知函数/（外=。-不二7是/?上的奇函数，

2+1

若函数y=/（x-2/〃）的零点在区间（-1,1）内，则〃?的取值范围是（）

A.B.（-14）C.（-2,2）D.（04）

【对点训练6】（2024•浙江绍兴•统考二模）已知函数/（x）=hu+加+6,若人力在区

间[2,3]上有零点，则而的最大值为.

【对点训练7]（2024•上海浦东新-高三上海市进才中学校考阶段练习）已知函数

/（*=311<a-4111在（0,2兀）上有零点，则实数〃的取值范围___________.

【解题总结】

本类问题应细致观察、分析图像，利用函数的零点及其他相关性质，建立参数关系，

列关于参数的不等式，解不等式，从而获解..

题型三：方程根的个数与函数零点的存在性问题

[例3]（2024•黑龙江哈尔滨-哈尔滨三中校考模拟预测）已知实数x,'满足

Inyj2y+i+y=2,e'+x=5，则x+2y=.

【对点训练8】（2024•新疆•校联考二模）已知函数/（同=加+3/—4,若/（“存在唯

一的零点/,且用<0,则“的取值范围是________.

x2+4x+a,x<0

【对点训练9】（2024•天津滨海新-统考三模）已知函数/（幻=1,若函

—+«+l,x>0

数g（x）=/（x）-以-1在R上恰有三个不同的零点，则。的取值范围是.

【对点训练10]（2024・江苏-校联考模拟预测）若曲线y=xlnx有两条过（e,〃）的切线，

则。的范围是______.

【对点训练H】（2024•天津北辰•统考三模）设acR,对任意实数1，记

/(x)=min{e'-2,e2、-ac'+a+24}.若/(x)有三个零点，则实数。的取值范围是

【对点训练12](2024•广东・统考模拟预测)已知实数例，〃满足

2O23-2m5-In2

-------m=-----ln/:-ln(2e2020)=0,则血〃=____________.

2nv7

【解题总结】

方程的根或函数零点的存在性问题，可以依据区间端点处函数值的正负来确定，但是

要确定函数零点的个数还需要进一步研究函数在这个区间的单调性，若在给定区间上是单

调的，则至多有•个零点；如果不是单调的，可继续分出小的区间，再类似做出判断.

题型四：嵌套函数的零点问题

/、x2+—x,x<0

【例4】(2024•全国•高三专题练习)己知函数〃力=2,若关于x的方

-|2x—1|+1,x>0

程.广⑴-仕+口叶⑴+^^有且只有三个不同的实数解，则正实数k的取值范围为

()

A.(0,B.g,l)u(l,2)C.(0,l)U(l,2)D.(2,+oo)

【对点训练13】(2024•全国•高三专题练习)已知函数/(力=巧-2卜1,则关于x的方

程尸(6+〃犷(»+〃=0有7个不同实数解，则实数满足()

A.7??>0KH>0B.〃?<0且〃>0

C.0<加<1且〃=0D.且〃=0

【对点训练14】(2024•四川资阳•高三统考期末)定义在R上函数/(工)，若函数

/、/\/x-X,XG(0,l),

y=/(x—1)关于点(L0)对称，且〃“二-。「、则关于x的方程

e—£[1,—ooj,

/2(耳_2〃矿(回=1(〃好/?)有〃个不同的实数解，则〃的所有可能的值为

A.2B.4

C.2或4D.2或4或6

【对点训练15】(2024•全国•高三专题练习)已知函数/(x)=(x2-x-l)ex,设关于工的

方程f(x)-mf(x)=-(meR)有〃个不同的实数解，则〃的所有可能的值为

A.3B.1或3C.4或6D.3或4或6

【解题总结】

1、涉及几个根的取值范围问题，需要构造新的函数来确定取值范围.

2、二次函数作为外函数可以通过参变分离减少运算，但是前提就是函数的基本功要扎

实.

题型五：函数的对称问题

1(\、

【例5】(2024•全国•高三专题练习)已知函数f(x)=2x+f的图象上存在点

x

P,函数g(x);级・3的图象上存在点Q,且P,。关于原点对称，则实数。的取值范围是

()

A.[-4,0]C.[0,4]D.|"1,4

oJ[_O

【对点训练16】(2024•全国•高三专题练习)已知函数/(x)=",函数g(x)与/⑶的图

象关于直线》'="对称，若%t)=g(x)-Z无零点，则实数k的取值范围是()

A.g，e]B.(ge)C.(e,+oo)D.g，+8

【对点训练17】(2024•全国•高三专题练习)已知函数)，=〃-2111X,(141«切的图象上

e

存在点函数)，=.5+1的图象上存在点N,且N关于x轴对称，则。的取值范围

是(〉

A.[1-e2,—2]B.-3-1，+8)

C.-34,-2D.l-e2.-3-4

_e-JLe__

【对点训练18](2024•全国•高三专题练习)已知函数。为自

e

然对数的底数)与妆x)=21nx的图象上存在关轴对称的点，则实数。的取值范围是

()

A.1,二+2B.|^1,6,2—2]

C.十+2,『一2D.已_2收)

【解题总结】

转化为零点问题

题型六：函数的零点问题之分段分析法模型

【例6】(2024•浙江宁波・高三统考期末)若函数/(©=♦—-Inx至少存在.

x

个零点，则加的取值范围为()

(11「21'(1]「11

A.-<»,，2+-B,/+—,+8C.-00,6+—D.6+—,+00

I。」LeJIe]LeJ

【对点训练19](2024•湖北•高三校联考期中)设函数/(幻=/一2"2+〃a-1打，记

g(x)=2J,若函数g(/)至少存在一个零点，则实数川的取值范围是

A.f-oo,r+-1B.fo,r+-1c.fo.r+-D.f-oo,r+-

l口ke)ke」Ie」

【对点训练20](2024•福建厦门•厦门外国语学校校考一模)若至少存在一个X,使得

方程hix-=x(x--2ex)成立.则实数加的取值范围为

A.m>e2+—B.m<e2+—C.，〃±e+—D.mWe+一

eeee

【对点训练21】(2024•湖南长沙-高三长沙一中校考阶段练习)设函数

/(X)=X2-2X-4+^(其中e为自然对数的底数)，若函数/(x)至少存在一个零点，则实

e

数〃的取值范围是()

A.(0,14—]B.(0,e+-]C.[ed—,+8)D.(—co,1H—]

eeee

【解题总结】

分类讨论数学思想方法

题型七：唯一零点求值问题

[例7](2024•全国-高三专题练习)已知函数/3=卜+2|+。计2+©2'+〃有唯一零点，

则实数”()

A.1B,-1C.2D.-2

【对点训练22】(2024•全国-高三专题练习)已知函数/")=，T+jr_a(siru+cosx)

有唯一零点，则。=()

A.-B.—C.y/2D.1

ee

【对点训练23】(2024•全国•高三专题练习)已知函数g(x),〃(力分别是定义在R上的

偶函数和奇函数，且g(x)+〃(x)="+sinx—x,若函数/(x)=?2网一.(工一2()20)-2万

有唯一零点，则实数2的值为

A.-1或;B.1或一！C.-1或2D.一2或1

22

【对点训练24】（2024•全国-高三专题练习）己知函数=-ga（2i+2"j—a

有唯一零点，则负实数。=

A.-2B.--C.-1D.」或-1

22

【解题总结】

利用函数零点的情况求参数的值或取值范围的方法：

（1）利用零点存在性定理构建不等式求解.

（2）分离参数后转化为函数的值域（最值）问题求解.

（3）转化为两个熟悉的函数图像的上、下关系问题，从而构建不等式求解.

题型八：分段函数的零点问题

【例8】（2024,天津南开•高三南开中学校考期末）已知函数八，若函

log2x,x>0

数g（x）=/（x）+〃z有两个零点，则，〃的取值范围是（）

A.[-1,0)B.c.y,o)D.(f1]

【对点训练25】（2024•全国•高三专题练习）已知〃7〉0,函数

(x-2)ln(x+l),-l<x<m.

f(x)=恰有3个零点，则m的取值范围是（）

cos3x+-,/H<x<7r,

I

n5nT_37兀rl）715兀

A.12‘12产’4。U2丹D.U24

4JB・1212（吟4喏4

e\x>0

【对点训练26】（2024•陕西西安・高三统考期末）已知函数/"）=，-3门<0'若的数

g（x）=/（f）-/（x），则函数g（x）的零点个数为（）

A.1B.3C.4D.5

【对点训练27】（2024•全国•高三专题练习）已知函数/（x）=

2sin2^[x-a+—

I2,x<a

,若函数人幻在。内）内恰有5个零点，则a的取值范围是

X2-(26/4-l)x+6/2+2,X>6/

()

5II1QJ5

A.23B.C.D.

H5彳22,~42

【解题总结】

已知函数零点个数（方程根的个数）求参数值（取值范围）常用的方法:

（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围;

（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决;

（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系

中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.

题型九：零点嵌套间题

【例9】（2024•全国•高三专题练习）已知函数/（x）=（x/）2+（〃-1）（M）+1—a有三个不

同的零点百肉，与.其中%<&，则（1一中"）（1一尤2*）（1-当*）2的值为（）

A.1B.3-1)2C.-1D.1-67

【对点训练28】（2024・全国•高三专题练习）已知函数f（x）=（"+lnx）（x-lnx）-x2,

有三个不同的零点，（其中不<与<为），则1-屿1.3

的值为

A.a—1B.\-aC.-1D.1

【对点训练29】（2024•辽宁-校联考二模）己知函数

/（x）=9（1nx『+（〃-3）xlnx+3（3-有三个不同的零点,巧，xy,且

2

Xj<I<X,<x3,则的值为（）

A.81B.-81C.-9D.9

【对点训练301（2024•重庆南岸-高三重庆市第十一中学校校考阶段练习）设定义在R

上的函数/（幻满足/（x）=9x2+（a-3）xer+3（3-a）e2x有三个不同的零点内,修，占，且

2

x<0<x<x,

t23则ETIE一裁3十)的值是（）

A.81B.-81C.9D.-9

【解题总结】

解决函数零点问题，常常利用数形结合、等价转化等数学思想.

题型十：等高线问题

—K2—2(

【例1。】(2024・全国・高三专题练习)设函数，(加扃/

①若方程/(工)=。有四个不同的实根,，与，与，/，则不•%2鹏飞的取值范围是(0」)

②若方程/(x)=。有四个不同的实根毛，%，小，/，则+&+%的取值范围是

(O,+a?)

③若方程/")=◎有四个不同的实根，则。的取值范围是(()*

④方程尸(6_卜+£|/5)+1=0的不同实根的个数只能是1,2,3,6

四个结论中，正确的结论个数为()

A.1B.2C.3D.4

*2

【对点训练31】(2024•全国•高三专题练习)已知函数/(%)二!"+?*"，，若方程

|Iog2x|,x＞0

/(x)=。有四个不同的解再，工，孙孙且再＜再＜七＜s，则&Qi+xl+wW■的取值范围是

()

A.(—1,1]B.[—lj]C.[一11)D.(—1,1)

【对点训练32】(2024•四川泸州-高一四川省泸县第四中学校考阶段练习)已知函数

|log,A：|,0＜x＜3

/(x)=1,10o」若方程/(x)=〃?有四个不同的实根七，x/七，巧，满足

-x----x+8,x＞3

b3

王＜七＜事＜几，则=-3)伍-3)的取值范围是()

中2

A.(0,3)B.(0,4]C.(3,4]D.(1,3)

【对点训练33】(2024•全国-高三专题练习)已知函数Ar)=«,若互不

—X+1,X>1

2

相等的实数K/，X2，X3满足/'(x/)=f(X2)=/'(X3)，则-1+f-+的取值范围