高一升高二数学新知预习：空间向量及其运算（解析版）

知识点01空间向量的有关概念

1.空间向量

（1）定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量.（2）长度或模：空间向量的大小.（3）表示方法：

①几何表示法：空间向量用有向线段表示；

②字母表示法：用字母〃，瓦c,…表示:若向量。的起点是4,终点是B,也可记作：血其模记为⑷或注》

I.

【即学即练】

1.【多选】给出下列命题，其中正确的命题是（）

A.若4=W，则a=〃或B.若向量〃是向量力的相反向量，则4=代

C.在正方体中，AC=/\CjD.若空间向量〃?，〃，〃满足"?=〃，〃=〃，则〃?=〃

【解析】依据向量相等的概念，选项A判断错误；

若向量a是向量/?的相反向曷，则M=W•选项B判断正确；

依据向品相等的概念，在正方休4。。。-A/cq中，AC-选项C判断正确；

依据向量相等的概念，若空间向量心，〃，p满足〃?=〃，〃=〃，则〃up.选项D判断正确.

故选：BCD.

2.如图，在四棱柱的上底面4BCO中，第=方乙则下列向量相等的是（）

A.心与压B.后与次C.启与加D.力b与加

【解析】对于A,助与法的方向相反，因而不是相等向量，所以A错误;

对于B,温与求的方向相反，因而不是相等向量，所以B错误；

对•于C,祀与励的方向不同，因而不是相等向量，所以C错误；

对于D,帅与彷的方向相同，大小相等，是相等向量，因而DIE确.故选D

知识点02空间向量的线性运算

(1)向量的加法、减法

加法

空间向量的(MJ=()A-|-()C=a4-b

运算减法

CA=OA-OC=a-b0aX

①交换律：a+b=b+a

加法运算律

②结合律：(a+b)+c=a+(b+c)

⑵空间向量的数乘运算

①定义：实数入与空间向量〃的乘积版仍然是一个向量，称为向量的数乘运算.

当A0时，版与向量。方向相同；当入V。时，解与向量。方向相反；当入=0时，7^=0；Zzz的长度是。的长

度的同倍.

②运算律:结合律：必，。)=〃(2)=(〃，)〃•分配律：(，+〃)“=标+〃。，M”+5)=版+".

【即学即练】

已知正方体ABCQ-A/iG。，则下列各式运算结果不是混的为()

A.AB+AD+AXB.A有+A商+AIUI

C.AB+BC+CGD.AB+AC+CG

【解析】选项A中，不耳+而+常=*+常=招；选项B中，高+再后+耳耳=高+(再及+汨万)

=高+诟方=箱；选项C中，7^"+-fiC4-CG=7c+CG=AG;选项D中，~AB+~AC+~CC[=~AB

+(AC+CG)=A?+相彳温.故选D.

知识点()3共线问题

共线向量

(1)定义：表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量.

(2)方向向量：在直线/上取非零向量用与向量〃平行的非零向量称为直线/的方向向量.

规定：零向量与任意向量壬任，即对任意向量。，都有0〃”.

(3)共线向量定理：对于空间任意两个向量小加力和)，a"b的充要条件是存在实数%使。=必.

(4)0是直线/上一点，在直线/上取非零向量〃，则对于直线/上任意一点P,由数乘向量定义及向量共线的

充要条件可知，存在实数3使得加=教.

【即学即练】

1.已知空间四边形/WCD,点反尸分别是AB与人。边上的点，M、"分别是BC与C。边上的点，若=

AF=AAD,CM=yCB,CN=/JCD,则向量E尸与MN满足的关系为（）

A.EF=MNB.EF〃MNC.EF=MND.EFfMN

［解析］由AE=AAB>AF=AAD，得EF=AF—A£=4（AQ-,所以EF、DB共线，同理，由CM=〃C8,

CN=〃CD,得MN=〃DB,所以MMQB共线，所以ERMN共线,HPEF//MN.

故选：B.

2.在下列命题中：

①若向量4,〃共线，则出〃所在的直线平行；

②若向量。/所在的直线是异面直线，则。/一定不共面；

③若三个向量”,〃，。两两共面，则4,〃，C；三个向量一定也共面；

④已知三个向量〃,〃，C,则空间任意一个向量〃总可以唯一表示为〃=工。+）心+ZC，

⑤若4与万是平面。上互不平行的向量，点Aia,点B史a,则A8与》一定不共面.

其中正确命题的个数为（）

A.0B,1C.2D.3

【解析】此题考查向量的知识点；对于①：根据两向量共线定义知道，两向量共线有可能两向量所在的直线重

合，所以此命题错误；对于②：两个向量可以平移到一个平面内，所以此命题错误；对于③：若三个向量仁6C

两两共面，这三个向量有可能不共面，所以此命题错误；对于④：根据空间向量的基本定理知道，这三个向量

要不共面才可以，所以此命题错误，对于⑤，若〃与人是平面。上互不平行的向量，即〃与〃可以作为平面。上

的一组基底，点4ia,点3史a,但是直线A8可以平行平面々，则AB与〃共面，故⑤错误.

所以选A

知识点04向量共面问题

共面向量

（1）定义：平行于同一个平面的向量叫做共面向量.

⑵共面向量定理：若两个向量〃，》不共线，则向量p与向量〃，，共面的充要条件是存在唯一的有序实数对

（x,v）,使〃=xa+y瓦

⑶空间一点尸位于平面A8C内的充要条件：存在有序实数对（x,y）,使成=工薪+），/或对空间任意一点0,

有（7P=

【即学即练】

1.下列条件中，一定使空间四点P、A、B、C共面的是()

uuuiuuuuuimmiuuuuimurn

A.()A+()B+OC=-OPB.()A+OB+OC=()P

411ULUlllUUUUU

c.OA+OB+OC=2OPD.OA+OB+OC=3OP

【答案】D

【详解】对干A选项.OP^-OA-OB-OC(-1)+(-1)+(-1)=-3^1,所以点户与A、R、C二点不共面：

对于B选项，OP=OA+OB+OC1+14-1=3*1,所以点尸与A、B、C三点不共面；

对于C选项，0P=；O4+g08+g0C,5+i+i=所以点与A、B、C三点不共面；

对于D选项，0?=!。4+：05+!℃,：+!+:=1,所以点尸与A、B、C三点共面.故选：D.

333333

2.若k〃,c}构成空间的一个基底，则下列向量共面的是()

A.b+c>b»b-cB.a,a+b,a-b

C♦a+b,a—b，cD.ciyci—b，c

【答案】AB

【详解】S+c)+S-c)=28,A选项中向量共面；”+人+4-8=2〃，B选项中向量共面；假设“+。，a-b.

c共面，则存在实数乂丁使得c=x(a+〃)+y(a-〃)=(x+y)a+(x-y)力，则a,〃,c•共面，与已知矛盾，因此C选

项中向量不共面；同理D选项中向显也不共面.故选：AB.

知识点()5空间向量数量积的运算

空间向量的数量积

(1)定义：己知两个非零向量〃，6则⑷网cos〈a,b)叫做a,力的数量积，记作。•力.即〃•力=|a||/>|cos〈a,b).

规定：零向量与任何向量的数量积为0.

⑵常用结论(用)为非零向量)

①a_L)oaS=0.②a・a=|aM|cos{a,a)=|aF.③cos〈a,b}=77^.

⑶数量积的运算律

数乘向量与数量积的结合律(Xa)-b=X(a-b)=a-(Zb)

交换律ab=ba

分配律a(b+c)=ab+ac

【即学即练】

如图，在三棱锥P—A8C中，E4JL平面ABC,CB上AB,AB=BC=a,PA=b.

(1)确定PC在平面ABC上的投影向量，并求PCAB;

(2)确定PC在A6上的投影向量，并求PCAB.

【答案乂1)26在平面ABC卜•的投影向量为AC，=⑵PC在八8上的投影向量为PCAB=

(1)因为平面A8C,所以PC在平面ABC上的投影向量为4C，

因为如_L平面ABC,AB\面ABC,可得E4JLA8，所以抬A8=0，因为C8_LA8,所以8cA8=0,

所以PC•48=(丑八+人8+8。)八8=尸人人8+人8・48+8。-48=0+/+0=.2

U11D

⑵庄(1)知：PCAB=a2>AB=a,所以PC在A8上的投影向量为：

laiAAB"IPCABABPC-ABABa2AB

\PC\-cos(/P“C,AB»)\--|=PC-1--7-|~।=-；~j—•I-7=--------=A3,

II\/M1I网n网网网\AB\aa

由数量积的几何意义可得：PC-AB=\AB[\AB\=a2.

知识点06利用数量积证明空间垂直关系

当aLb时，a协=0.

【即学即练】

如图，正方体ABC。-A4GA的核长是“，CR和。G相交于点。.

(1)求C〃C£>；(2)求AO与C8的夹角的大小余弦值；(3)判断AO与CR是否垂直.

【解析】(1)正方体人BCO-A^CQ中，CD\=Oa,CD\、CD吟，故CQ

(2)庄题意知，ABAD=0,AI3AA}=0,AAyAD=0,AO=AD+DO=AD+^(AB+AA]),

IA0\=J[AD+-(AB+AA,)]2=—,故AOCB=-AOAD=-[AD+^-(AB+AA.)]AD=-a2,

V222

AHCR-AOCB-_巫77

故‘画画一百二一一7，故4。与CB的夹角的大小余弦值为苧；

2

(3)由题意，ABAD=0,AI3AA,=0,AA,AD=0,AOCDi=[AD+^AB+AAy)](AAi-AB)=0,

故AO与CR垂直.

知识点07夹角问题

1.定义：已知两个非零向量"、b,在空间任取一点D,作0A=a,03=〃，则NAOB叫做向量。与〃的夹

角，记作己,仍,如下图。

根据空间两个向量数量积的定义:力，那么空间两个向量〃、力的夹角的余弦

.,.ab

cos〈a,〃〉=------

\a\-\b\

2.利用空间向量求异面直线所成的角

异面直线所成的角可以通过选取直线的方向向量，计算两个方向句量的夹角得到。

在求异面直线所成的角时，应注意异面直线所成的角与向量夹角的区别：如果两向量夹角为锐角或直角，则

异面直线所成的角等于两向量的夹角；如果两向的夹角为钝角，则异面直线所成的角为两向量的夹角的补角。

【即学即练】

如图，在平行六面体人BS-A/CQ中，底面4BCO是边长为2的正方形，侧棱AA的长度为4,且

Z.A.AB=NAA。=120".用向量法求:

⑴肛的长;

(2)直线BQ与AC所成角的余弦值.

【答案】")2面(2)事

(I)BD、=BB1++，

40：=(+gA+Aq)2=2+44J+A+2BB1•4A+2Ml•AQ+2M4・4a

=164-44-4+2X4X2COS600+2X4X2COS120°+0=24,故,幺［二2"，所以的长为2痣；

(2)ACBD,=(AB++BA+AR)=AB•BB1+AB•+AB•AR+BC.BI%+BC.4A+BC.AR

=2x4cosl20°-4+0+2x4cosl20°+0+4=-8

日牛J(A8+BC『“AB'+2ABBC+BC，=2拉，由(1)知：忸"卜2",

luunuuir

设直线8。与AC所成角为0cos9=cos(AUI®C,也]，==

-275x276-3'

・・,直线82与AC所成角的余弦值为半

知识点08空间向量的长度

1.定义：在空间两个向量的数量积中，特别地政=同|水30。=，，所以向量〃的模：|〃|=>/7

将其推广：|a±引=«a±b)2=yja2±2ab+b2；\a+b+c\=+〃+c[=<a2+b2+c2+2a•b+2b•c+2c•a。

2.利用向量求线段的长度。

将所求线段用向量表示，转化为求向量的模的问题。一般可以先选好基底，用基向量表示所求向量，然后利

用—=不来求解。

【即学即练】

1.如图，校长为1的正四面体(四个面都是正三角形)OABC,A1是棱8C的中点，点N在线段0M上，点，

13

在线段AW上，且MN'ON,AP=-AN.

【答案】(1)AN=—OA+1O3+1OC.(2)^.

334

【解析】(1)解：AN=A0+0N=A0+20M=A0+2xL(08+0Cj=—0A+,08+」0C,所以

33233

AN=-OA+-OB+-OC；

33

aa]a

(2)解：因为OP=QA+AP=OA+-AN=OA+-(ON-QA)=-OA+-ON

44、744

=，0八+二乂20M=20八+>1又，(04+0(7)=1(74+工08+，℃.乂因为四血1本044(?是正叫曲体,

43422444

则10d=|。9=|。0=1,OAOB=OBOC=OAOC=\x\x^=^

记I/伊-2+。-82+"-2+2。4。8+2。8。。+2皿。。

+OB+

,所以|OP卜手

2.如图，在平行四边形ASCO中，A5=2AC=2且乙48=90。，将一A6C•沿AC折起，使AN与CO所成的角

为60。.

(1)求AaC。；(2)求点8,。间的距离.

【答案】(1)2或-2(2)J万或逐

(1)解：由己知得，翻折后A8与。所成的角为6()。，所以</lB,CD>=60。或12()。,

所以人4・CO=|人用C£>|cos60。=2,或AB•8=14fl||CD|cos120°=-2.

(2)解：连接B。，由已知得4。。。=0，8/VAC=()，

则网2=(BA+AC+CD)"=BA2+AC2+

+2a4AC+2/\CCD+2/MCD=22+l2+22+0+0+2x2x2cos(/M,C^>),

所以|8Q『二13或5,解得忸4=而或石，即点3,。间的距离为或逐.

题型01空间向量的有关概念及线性运算

【典例1】在长方体—中，AD+DB「CB1=（）

A.ADB.AB】C.ACD.DC

【答案】C

【分析】应用空间向量的线性运算结合向量相等即可求解.

【详解】AD+DI3]-CB}=AI3i+B]C=AC=A]Ci.

故选：C.

方法技巧

在用已知向量表示未知向量的时候，要注意寻求两者之间的关系，通常可将未知向量进行一系列的转化，将

其转化到与已知向量在同一四边形（更多的是平行四边形）或三角形中，从而可以建立已知与未知之间的关

系式.另外，在平行六面体中，要注意相等向量之间的代换.

【变式1】下列关于空间向量的说法中不氐触的是（）

A.方向相反的两个向量是相反向量

B.空间中任意两个单位向量必相等

C.若向量48，C力满足卜,>t£）|,则

D.相等向量其方向必相同

【答案】ABC

【分析】根据空间向量的定义直接判断.

【详解】A选项：长度相等，方向用反的两个向量是相反向量，A选项错误；

B选项：空间中任意两个单位向量的模长相等，但方向不一定一样，所以不一定相等，B选项错误；

C选项：向量模长可比较大小，向量不能比较大小；

D选项：两个向量相等，则方向相同，模长相等，D选项正确；

故选：ABC.

【变式2]已知正方体人8CO-A4GR的中心为O,则下列各结论中正确的是（)

A.04-0。与一OC］是一龙■相反向量

B.O8-OC与。是一对相反向量

c.OA+OB+OC+OO与出+。4+OC1+OA是一对相反向量

D.与OG-OC是一对相反向量

【答案】c

【分析】根据空间向量的加减运算法则和相反向量的概念判断即可

【详解】OA=-OC\.OB=-OD\,OC=-OA\,OD=-OB\

所以。4-00=-0€；+0与=0与一。6；,故A错误；

OB-OC=-OD^O\=O\-OD,,故B错误；

OA+OB+OC+OD——OCi—ODi~0A—OBi——(OA+0q+OC,+OR),故C正确；

OAi-OA=-OC+OCi=OCi-OC,故D错误.

故选:c

【变式3】下列说法正确的是()

A.向量八8与向量B4是相等向量

B.与实数类似，对于两个向量〃，b,有4=6，a>b,a<3三种大小关系

C.向量的模是一个正实数

D.若两个非零向量是共线向量，则这两个向量所在的直线可以平行，也可以重合

【答案】D

【分析】根据相等向量的概念判断A；根据空间向量的概念判断B；根据空间向量模的定义判断C；根据共线

向量的定义判断D.

【详解】对于A,向量A台与向量及是相反向量，不是相等向量，因此A不正确；

对于B,与实数不一样，两个实数可以比较大小，而两个向量不能比较大小，因此B不正确；

对于C,向量的模是一个非负实数，因此C不正确；

对于D,若两个非零向量是共线向量，则这两个向量所在的直线可以平行，也可以重合，D正确.

故选：D.

题型02共线向量定理的应用

[典例1]在棱长为2的正方体ABCD-ASC。中，点尸满足AP=A4,+2A3,点Q满足AQ=4AAi+AB+AD,

其中4w[0,2],〃w[0,2]当〃=时，DP工BQ.

【答案】1

【分析】将点夕和点。满足的向量式转化，分析得出P,Q的位置，然后利用线面垂直的判定以及性质即可求

得答案.

【详解】AP=AA,+AAI3^>AP-AJ\=AA13^>A}P=AAI3,XAG[(),2],

所以点P在射线A片上；

AQ=//A4)+AB+AD<=>AQ=+AC<=>A]Q-AC=/.lAAy<^>CQ=/.lAA^,又〃e[0,2],

所以点。在射线eqI-；

G(。)

因为当4变化时，DPu平面4片CD,故只需考虑过6且与平面44。。垂直的线,

因为正方体有A41•平面88CC，而8Gu平面所以

又BCJBG，旦,A8,8Cu平面4片。。，所以8。J.平面A&C。，

OPu平面A8C。，所以8G_LOP,

所以当点。在C|上时。P_L8Q,即〃=1时。P_L8Q,

故答案为；1.

方法技巧

利用共线向量定理可以判定两直线平行、证明三点共线.证平行时，先从直线上取有向线段来表示两个

向量，然后利用向量的线性运算证明向量共线，进而可以得到线线平行，此为证明平行问题的一种重要方法；

证明三点共线问题时，通常不用图形。直接利用向量的线性运算，但一定要注意所表示的向量必须有一个公

共点.

【变式1］已知A，B,C三点共线.。为空间任一点，则①04=204+〃。。；②存在三个不为0的实数人,

小，〃，使/IOA+/〃OB+〃OC=0，那么使①②成立的〃与的值分别为（）

A.1,-1B.-1,0C.0,1D.0,0

【答案】B

【分析】根据三点共线的推理即可求得〃=-1，4+m+”=0.

【详解】A,B,C三点共线，04=20B+〃OC,/.Z+vul,解得〃=一】，

乂由2OA+/〃OB+〃OC=0，得OA=-?OB-goC,

AA

由A,B,C三点共线知，一？一，=1,则4+/〃+〃=（）.

XA

故选：B

【变式2】如图，在正三棱柱ABOA用G中，。为空间一动点，若8P=48C+〃BS（4〃w［0,l］）,则（）

A.若4二",则点P的轨迹为线段3G

B.若2+4=1,则点尸的轨迹为线段B。

C.存在Z〃w（O」），使得AP_L8C

D.存在4，w（0』），使得AP〃平面A4G

【答案】ABC

【分析】利用向量的线性运算逐一计算判断即可.

【详解】对于A：由即=油C+〃网得点?在侧面3CCM内（含边界），

若％=〃，则8P=义（8。+8q）=2BG（4€［0』］）,故点尸的轨迹为线段8G，故A正确；

对于B：若2+4=1,则8尸=义8。+（1—/1）8用，所以BP_BBi=2（BC—BB）,即男尸二义4。,

又;1«0』，故点。的轨迹为线段"C，故B正确；

对于C：分别取楂BC4G的中点DE，连接。石，由题意易证BC_L平面AOEA，

当点P在线段OE上时，APVBC,故存在4〃«0』)，使得AP_L8C,故C正确；

对于D：若使公〃平面A4G，则点P必在棱8C1:,此时〃=0,故不存在Z〃e(O/),

使得”〃平面4第7故D错误.

故选：ABC.

【变式3】向量〃=(%%”)与非零向量匕=(々也也)平行的充要条件是()

aba.a,%

A,甲MB-厂厂另

C.存在实数火，使a+姐=0D.存在实数3使a=M

【答案】D

【详解】如果a=(2,2,29=(-2,-2,-2),则口=(1，口)，国=(—),甲恸不成立，故A错误，

如果a=(2,2⑼/=(1,1,0),则。=2〃，故a。平行，但?=*=，•不成立，因为，无意义，故B错误.

对于C,“+&〃=()不成立，因为a+幼是向量，而。是实数，故C错误.

对于D,由向量共线定理可得：

向量〃与非零向量〃=(4也也)平行等价于存在实数匕使。=必，

故D成立，故选：D.

题型03共面向量及应用

UUUuuUUUUU

【典例1】在三棱锥P-A8C中，M是平面A8C内一点，且9PM=8PA+，P8+5MC，则/=()

A.*B.1C.2D.3

【答案】B

uuir4inrrtur<uin

【分析】根据空间向量线性运算法则得到PM=：PA++再由空间共面定理的推论得到方程，解

771414

得即可.

uuiruiruiruuiruiruuruii!uuir

【详解】因为9PM=SPA+tPB+5MC=SPA+tPB+5z^PC-PMx\,

uuunuuummJU11'4皿「t皿15l,lB

所以14PM=SPA+tPB+5PC^即PM=-PA+—PB+—PC,

71414

4t5

又点M是平面4AC内一点,所以q+77+77=l,解得，=1•故选：B

?1414

方法技巧

1.解决向量共面的策略

⑴若己知点尸在平面A5C内，则有方或/5万+z/(x+y+z=l),然后利

用指定向量表示出已知向量，用待定系数法求出参数.

⑵证明三个向量共面(或四点共面)，需利用共面向量定理，证明过程中要灵活进行向量的分解与合成，将其中

一个向量用另外两个向量来表示.

2.证明空间四点P,M,A,B共面的等价结论

(1)~M?=xMA-^yMB；(2)对空间任一点O,~OP=~OM+x~MA+y~MB；

(3)对空间任一点O,~OP=x~OA(x+y+z=l);(^YPM//~AB(或京T〃丽或屈＞〃而?).

【变式1】在正四棱锥尸-"6中，已知E,尸分别为P8/D的中点，PG=zP/l(/le[Oj]),则下列说法正确

的有()

A.CGA.BD

B.不存在4,使得4CJ•平面GEF

C.若平面GE/〃平面A8CD,则/!=■!■

2

D.若G,E,£C四点共面，则4

【答案】ACD

【详解】对A,连接4c,8。交于点。，连接P0,因为在正四棱锥月-八4CD中，底面4BC。为正方形，

所以ACSB。，又因为心=尸。，0为中点，所以PO上BD,又因为AC”PO=O,4cp。匚平面尸AC,

所以6。上平面尸AC,又因为CGu平面PAC,所以CG_LBD,A正确；

对B,因为咫=尸。，0为BD中点、,所以PO_LAC,因为ABC。为正方形，所以AC_Z8O.

又因为=BD,POu平面PBD,所以AC_L平面?8。，

则ACJ_平面尸石尸，所以当4=0,即点G与/)重合时，AC_L平面GEE,B错误；

对C,连接GE,FF,因为平面G"〃平面ABCD,平面GEFc平面PAB=£G,平面ABCDc平面PAB=43

所以根据面面平行的性质定理可知AB//EG,

乂因为E分别为阳的中点，所以G为孙中点，所以a=!，C正确；

BC

对D,因为G,旦尸,C四点共面，所以四边形GEFC为平面四边形.所以连接EECG交于点〃,

在"CG中，因为G,〃,C共线，所以/7/=〃PC+(l—〃)PG=(l-〃)/lQ4+〃PC,

由「对称性可知，H为EF中点,

又因为EF//BD,EF=^80,所以P"=gPO=:PA+PC}\=-PA+-PC

44'

所以(1一〃)/lPA+〃PC=二%+上PC,

44

0I）"'解得/=；，D正确;

所以故选：ACD.

若满足（刈£=辆+（反?+且、

【变式2】已知空间中有5个点E、A、B、C、D,1-4/14）,AB、C、

。四点共面，则义的值为（）

7

A.—D.—

1212

【答案】B

【分析】根据空间共面向量定理的推论可求4的值.

【详解】由EA-AEA=-EB+-EC+AAIJ^EA=-EH+-EC+A^EA+AI^,即EA=-E8+-EC+ZElJ,

343434

由空间向量共面定理的推论可知，1+1+2=1,解得

J•JLL

故选：B.

【变式3】如图，三棱柱ABC-A4G中，E为8片的中点，/满足A〃=gAC，过4E产作三棱柱的截面

交4G于M,且与M=4MG，则实数4的值为（）

4G

23

C.一D.

55

【答案】A

【分析】由AE，EM四点共面，BiA=xBiE+yBiF-+（\-x-y）BiM,由qM=4MC；,求出入的值.

【详解】因为A/二；AG，E为BBi中点,4M=2”。；.

又因为A瓦尤加四点共面，设々4=*我£+＞耳/+（1-%一丁）4河,

1(：AG)+(i7-y)

即B/\+AA=-xBB+yBA+——BC

]2]\}14+1,1

=gH43+)，8八+；(乌。I―44)]+(1_/_)，)含3cl

।/71AJ

=-xB13+y/44+彳4。|+(1-J->')---BC

Z]IJ5)A+1}}

x=2

启+；所以，3

[yB|A+ygG+(l_x_y)~^yB[C]1=.x所以Jy=5.故选：A.

Z3J4+1L

-y+(l-x-y)—=0

[3,lU+l

题型04空间向量的数量积

【典例1】在空间四边形A3CO中，M、N分别是A3、C。的中点，且44_14。。3_1。。.设

AB=a.AC=b,AD=c,则下列结论正确的是（）

A.MN=-^a+c-b^B.MN=-^b+a-c^C.+=cD.〃•（《+4）=//

【答案】D

【分析】利用向量的线性运算可求得MN=g（-d+d+力），可判断AB；c•伍+a）=c6,可判断C；由C4JLCD,

可得//=〃.­〃，进而计算可得从化+々）=02,可判断D.

【详解】MN=M4+AO+ON=—：G+3+goC=—gd+3+；仅一4=3(—〃+3+〃)，故AB错误;

因为A8_LAD,所以c-a=O,所以c♦(〃+。)=c6+。。=。电不一定等于T,故C错误；

因为CBLCD,所以C8_LCO，所以C8CO=0，

所以(。一•卜一/，)二68-4〃—/?c+〃2=-。/一/”。+22=0,所以〃2=〃<+〃.〃，

所以/?•(<?+〃)=〃•(?+/?•〃=。2.故D正确.

方法技巧

向量的数量积运算除不满足乘法结合律外，其它都满足，所以其运算和实数的运算基本相同。求空间向

量数量积的运算同平面向量一样，关键在于确定两个向量之间的夹角以及它们的模，利用公式：

ah=同.同85储,6〉即可顺利计算.

【变式1】已知四面体4笈8,所有楼长均为2,点昆产分别为棱人仇人。的中点，贝U。尸.CE=（）

35

A.1B.-C.2D.-

22

【答案】D

【详解】因为点瓦尸分别为棱A8,AD的中点，且四面体A3co所有棱长均为2,

CF-CE={-CD+-CA\-[，CA+，CB]

(22"22)

=-(|CD|-|CA|-cos600+|CD|-|Cfi|-cos600+|C/4|2+|Cy4|-|Ci?|-cos600|=1[2x2xl+2x2xl+22+2x2xlj=1.

4T41222)2

故选：D

【变式2】已知A8C。-48cA为正方体，下列说法正确的是（）

A.(AA+AA+AB)=3A£B.AC(44-AA)=O

UUUUUU1/\

c.向量与向量AB的夹角是6(TD.正方体ABC。-A4CQ的体积为|(AB/UjAD

【答案】AB

【详解】

对于A,由向量的加法运算得到AA+AA+A4=AC，

•••4。2=34麻，.♦.4。2=3%旦2,故A正确；对于B,AiI3i-AiA=AI3l,AI3lLA.C.：.\CABX=^,故B正

确：对于C,4cA是等边三角形，NAOC=60。，又AWgC,.•.异面直线与A/所成的角为60。，但

是向量与向量的夹角是120。，故C错误；对于D,48_L4A,..ABAA.=0,则|（4比44,）4。=0,

故D错误.故选：AB.

【变式3】如图,在长方体A8C£>-A8]CQI中，设AD=1,则5£）1・AO=（）

DT

【答案】A

【详解】由长方体的性质知4。工人5，AQ_L8耳，AD//BC,AD=BC=\,BD]=BA+BC+BB],

所以3。；•八。=（胡+43+44）4方=函4万+3己从力+3司/\。=0+3。2+0=1.

故选:A

题型05利用空间向量的数量积求两向量的夹角

【典例1］如图，在平行六面体A8CD-AMGA中，向量M，八。，人8的模长均为2,且它们彼此的夹角都

是60。,动点尸在棱CG上，则（）

A.AC,=2x/6B.直线8。与直线4P所成角为90。

C.平面冏与平面.C。的夹角为60B多面体的外接球体积为辿兀

3

【答案】ABD

【详解】在平行六面体ABC。-ABCR中，AC^AB+AD+AA,.

向量AA，A。，A8的模长均为2,且它们彼此的夹角都是60。，

所以|46岛+|AO『+|州『+2A9AD+2ABA4,+2AD-AA,

=22+22+22+2x2x2x1+2x2x2x1+2x2x2x1=24,即|ACJ=2«,故A正确；

对于B,连接AC交8。于O,连接4。，

由题知A3=AO,N而。=60。，所以△AH拉为等边三角形，四边形A4C。为菱形，J.BD1.AC,

同理可得△ABA，△AD4,也为等边三角形，即△8”也为等边三角形，BDLAp,

又ACCAO=。，4cAOu平面A4C，401平面A4C，即4D/平面AAG。,

故B正确;

对于c,连接AC交4〃于Q，连接。。，o,c,

BD10a,

8。_1平面从4。(7,OO{u平面A4£C，

又8D_LAC,平面8。。蜴1平面A3CD=8D,所以/。。口就是平面也兄＞4与平面A8CO的夹角,

在平行六面体ABCO-AMGA中，Oq=A4.=2,^ABD^△BD41为等边三角形,

:.AO=OC=04°=m=6,NCOO\=OO：益：M二二与，故C错误;

对于D,连接AC交OQ于M,M为AC、0a中点,

又BBi=DD\=BD=B1D\=2,BD工0(1,所以四边形88QO为正方形,

MB=MD=MB\=MD\=C.,又ZA,AC=NQ0C,

所以AC=JAA：+AC2-244,ACCOS"AC=^4+12—8Gx等=2&，即MA,=MC=血,

所以多面体4加一88外接球球心在板中点“处’半径小后体积V=华’掖D正确;

故选：ABD.

方法技巧

1、求两个向量的夹角有两种方法:

①结合图形，平移向量，利用空间向量夹角的定义来求，但要注意向量夹角的范围;

a*b

②先求。人再利用公式cos(a,b)=丽求出cos(a,h)的值，最后确定(a,b)的值.

2、利用数量积求夹角或其余弦值的步骤

注：求两向量夹角，必须特别关注两向量方向，应用向量夹角定义确定夹角是锐角、直角还是钝角.

【变式1】已知空间向量A,c两两夹角均为60。，其模均为1,则|〃+)-2c|=.

【答案】G

［详解］,+0-2c卜y］(a+b-2c)l2=>la2+b2+4c2+2ab-4a-c-4bc

=+|/?|'+4|c|?+2p/|-|/?|cos600-4|a|-|c|cos60。-4|/?|-|c|cos600

l+l+4+2xlxlx--4x|xlx--4xlxlx—=73.

222

故答案为：6

【变式2】如图，在平行六面体43CQ-A4GR中，以顶点A为端点的三条棱长均为3,且它们彼此的夹角

都是60。，则对角线4G长为()

B.3a

C.3④D.6

【答案】A

【详解】如图，由已知，卜耳=，4=|例卜3,N044=NAA3=NAAO=60。,

222

^AC^AB+AD+AA,,B\AC^=AQ=^AB+AD+AA^=AB+Alf+AA.+2ABAD+2ABAAl+2ADAAi

=卜8『+卜。『+卜4『+2„卜。卜056()。+2卜用44卜0$60。+2卜川44*0560。

=9+9+9+2x3x3x；+2x3x3xg+2x3x3x：=54,E|^C1|=3>/6,ACi=3x/6.故选：A.

【变式3】已知直三棱柱ABC-A4G的底面ABC为正三角形，M=3且从片・8C+AG•C8=Y,则异面直

线AA,与8c的夹角余弦值为.

【答案】亚台历

1313

［详解】因为A4•BC+AC{CB=Ag•BC-AC1-8C=（A修-AC；）^C=C出•8C'=-4,

所以_5d=-4,所以|8C|=2,

由三棱柱的结构特，点