七升八数学暑假提升预习-三角形的概念

第01讲三角形的概念（学生版）

知识归纳

［函示茬同二素直短面）=蔡媛隹音闻成次柏接访函就画胸口后函彩1

三

角

形

的

概:组成三角形的线段叫作三角形的边，

念;相邻两边的公共端点叫作三角形的顶点，

;相邻两边所组成的角叫作三角形的内角，简称三角形的角,

—顶点是A,B,C的三角形，记作"ABC”

三角形的概念

一边都不相等的三角形

•・角形底边和腰不相等的三角形

三按边分等腰•:角形

等边三角形

角

形

的

分

类

【知识点1三角形的概念】

1.定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫作三角形.

2.基本元素：组成二角形的线段叫作三角形的边,相邻两边的公共端点叫作三角形的顶点,相邻两

边所组成的角叫作三角形的内角,简称三角形的角,例如，在图中，线段48,BC,。是三角形

的边;点力，B,C是三角形的顶点；〃，/B,NC是三角形的角.

3.表示：顶点是4B,C的三角形，记作“△ABC”，读作“三角形力3C”，△45C的三边有时也

用mb,。来表示：如图，顶点/所对的边BC用。表示，顶点8所对的边/C用力表示，顶点C

所对的边AB用c表示.

【知识点2三角形的分类】

三边都不相等的三角形等膝

L按边分类：三角形＜底边和腰不相等的三角形三边都三角形

等腰三角形不相等

等边三角形/等才'

的三角

、三角形,

形

剖析：①方两边相等的三等形叫作等腰三角形;

②三边都相等的三角形叫作等边三角形;

③等边三角形一定是等腰三角形,但等腰三角形不一定是等边三角形:

④可以用画图的方式表示（如右图）

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第01讲三角形的概念（学生版）

举一反三

【题型1判断是否为三角形】

【例1】观察下列图形，其中是三角形的是（

A.B.

【变式1-1]F列由三条线段组成的图形是三角形的是（)

B

A.B.C.D.

【变式1・2】如图，下列图形中是三角形的有（

AA

(1)⑵⑶(5)

A.1个B.2个C.3个D.4个

【题型2判断三角形的基本元素】

【例2】如图，△力BC中，48与"的夹角是,,乙4的对边是，乙4,

的公共边是,

【变式2・1]如图，图中三角形的个数为；以为边的三角形是,以2C为一

个内角的三角形是；在△40E中，乙4OE的对边是.

【变式2・2】（1）如图，点。在△48C内，写出图中所有三角形:

（2）如图，线段8。是4和4的边;

（3）如图，△ABO的3个内角是,三条边是

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第01讲三角形的概念（学生版）

【变式2・3】如图，在△4BC中，D,E分别是边BC,4c上的点，连接4。，DE.

（1）图中共有多少个以线段48为边的三角形？用符号表示这些三角形.

（2）图中共有多少个以点E为顶点的三角形？用符号表示这些三角形.

【题型3三角形的计数问题】

【例3】如图，以点4为顶点的三角形有（）

A.4个B.3个C.2个D.1个

【变式如图，在△/AC中，AD.BF、CE相交于。点，则图中的三角形的个数是（）

A.7个B.10个C.15个D.16个

【变式3・2】如图在△4BC的8C边上取三个点0,E,F,连接40,AEfAFf则BC边上有条线

段，UA为顶点的角有个，图中共有个三角形.

【变式3・3】观察以下图形，回答问题:

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第01讲三角形的概念（学生版）

（1）图②有一个三角形；图③有个三角形；图④有个三角形；…猜测第七个图形中共

有个三角形.

（2）按上面的方法继续下去，第〃个图形中有个三角形（用含〃的代数式表示结论）.

【题型4三角形的分类】

【例4】下面给出的四个三角形都有一部分被遮挡，其中不能判断三角形类型的是（）

【变式4・1】用下面的图表示三角形的分类，其中不正确的是（）

【变式4・2】下列说法：①三角形按边分类可分为三边不相等的三角形、等腰三角形和等边三角形;

②等边三角形是特殊的等腰三角形；③三角形按边分类可分为等腰三角形、直箱三角形、锐角三角

形；④有两边相等的三角形一定是等腰三角形，其中正确的是.（请填写序号）

【变式4・3】把下列二角形进行分类，并把序号填入到正确的位置.

⑴按边分类：

三边均不相等的是不等边三角形;

两条边相等的是等腰三角形；

三条边相等的是等边三角形.

（2）按角分类：

都是锐角的是锐角三角形；

有直角的是直角三角形；

有钝珀的是钝角三角形.

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第01讲三角形的概念（学生版）

能力提升

1.下面是用三根火柴组成的图形，其中符合三角形概念的是（）

2.若如图表示三角形分类，则下列说法正确的是（）

A.M表示等边三角形B.M表示锐角三角形

C.尸表示等腰三角形D.N表示三边都不相等的三角形

3.将一个三角形纸片剪开分成两个三角形，这两个三角形不可能（）

A.都是直角三角形B,都是钝角三角形

C.都是锐角三角形D.是一个直角三角形和一个钝角三角形

4.我们知道一副三角板的三个内角分别是9是,45。,45。和90。，60。,30。，老师把这两块三角板

叠在一起，得到如图所示的图形，其中以4B为边的三角形共有（）

A.4个B.5个C.3个D.2个

5.线段BC上有3个点P/,P2,P3,直线BC外有一点儿把/和&P],P2,匕，C连接起来，可

以得到的三角形个数为（）

A.8个B.10个C.12个D.20个

6.如图，在△A8C中，D是BC边上.一点、,E是40边上一点.在△4CE中，4G4E的对边是

7.如图，图①中有/个三角形，在图①中的三角形内部（不含边界）取一点，连接该点与三角形

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第01讲三角形的概念(学生版)

的3个顶点得到图②，图②中共有4个三角形.若在图②中的一个小三角形内部(不含边界)取一

点，连接该点与该小三角形的3个顶点得到图③.在虚线框中画出图③，图③中共有个三

角形.(写出所有可能的值)

△△

①②③

8.如果依次用Q/,a2fa3,&分别表示图3中(1)、(2)、(3)、(4)内三角形的个数，那么臼=3,。2=

8,Q3=/5,0-4=__________•

一

(1)(2)(3)(4)

9.如图所示：

A

'G

(1)图中有几个三角形？把它们一一说出来.

⑵写出△4B0的三个内角.

(3)含4B边的三角形有哪些？

10.如图，在△ABC中，D,E分别是边BC,4C上的点,连接BE,AD,相交于点反

企

(1)图中共有多少个三角形？用符号表示这些三角形.

(2)请写出ABOF的三个顶点、三条边及三个内角.

(3)以线段48为边的三角形有哪些？

(4)以NC为内角的三角形有哪些？

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第01讲三角形的概念（解析版）

知识归纳

［函示茬同二素直短面）=蔡媛隹音闻成次柏接访函就画胸口后函彩1

三

角

形

的

概:组成三角形的线段叫作三角形的边，

念;相邻两边的公共端点叫作三角形的顶点，

;相邻两边所组成的角叫作三角形的内角，简称三角形的角,

—顶点是A,B,C的三角形，记作"ABC”

三角形的概念

一边都不相等的三角形

•・角形底边和腰不相等的三角形

三按边分等腰•:角形

等边三角形

角

形

的

分

类

【知识点1三角形的概念】

1.定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫作三角形.

B

2.基本元素：组成二角形的线段叫作三角形的边,相邻两边的公共端点叫作三角形的顶点,相邻两

边所组成的角叫作三角形的内角,简称三角形的角,例如，在图中，线段48,BC,。是三角形

的边;点力，B,C是三角形的顶点；〃，/B,NC是三角形的角.

3表.示：顶点是4B,C的三角形，记作“△ABC”，读作“三角形力3C”，△45C的三边有时也

用mb,。来表示：如图，顶点/所对的边BC用。表示，顶点8所对的边/C用力表示，顶点C

所对的边AB用c表示.

【知识点2三角形的分类】

三边都不相等的三角形

L按边分类：三角形＜底边和腰不相等的三角形

等腰三角形

等边三角形

剖析：①方两边相等的三等形叫作等腰三角形;

②三边都相等的三角形叫作等边三角形;

③等边三角形一定是等腰三角形,但等腰三角形不一定是等边三角形:

④可以用画图的方式表示（如右图）

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第01讲三角形的概念（解析版）

举一反三

【题型1判断是否为三角形】

【例1】观察下列图形，其中是三角形的是（）

【答案】B

【分析】本题考查三角形的定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接而组成的图形是三角

形.据此即可解答.

【详解】解：图形中是三角形的是八'；故选：B.

【变式1-1］下列由三条线段组成的图形是三角形的是（）

【答案】C

【分析】本题考查了三角形的定义，掌握“在同一平面内,由三条线段首尾顺次连接形成的封闭图形

叫做三角形”是解题关键.

【详解】解：由三角形的定义可知，只有C选项的图形是三角形，故选：C.

【变式1-2】如图，下列图形中是三角形的有（）

AA

(I)(2)O)

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】A

【分析】根据三角形的定义，即可求解.由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所构成的图形

是三角形.

【详解】解：依题意，只有（1）是三角形，故选：A.

【题型2判断三角形的基本元素】

【例2】如图，△/BC中，48与BC的夹角是,4力的对边是,乙4,乙C

的公共边是.

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第01讲三角形的概念(解析版)

【答案】乙BBCAC

【分析】根据图形即可解答.

【详解】解：4B与BC的夹角是乙4的对边是BC,乙4,乙。的公共边是4a

故答案为：乙B,BC,AC.

【点睛】本题主要考查了三角形的相关概念，熟练掌握相关内容是解题的关健.

【变式2・1］如图，图中三角形的个数为；以为边的三角形是,以2C为一

个内角的三角形是；在△AOE中，乙4OE的对边是.

【答案】6△4BD,AABE,△ABCAACE,△46,AACBAE

【分析】此题主要考查了三角形，关键是掌握三角形的相关概念.

根据三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾J顺次相接所组成的图形叫做三角形可得图

中三角形的个数；根据组成三角形的线段叫做三角形的边；根据相邻两边组成的角叫做三角形的内

角进行分析.

【详解】图中的三角形有△ABO、AABE.△ABC、AADE.AADC.△4EC,共6个；以AB为边

的三角形有△ABD、△4BE、AABC,以乙C为一个内角的三角形是△4CE、△4CD、△4C&△力OE

中〃。E的对边是4E

故答案为：6；△ABD,AABE,2ABC；△ACE,△ACD,△4C8；AE.

【变式2・2】(1)如图，点。在△A8C内，写出图中所有三角形：；

(2)如图，线段8。是4和4的边；

(3)如图，△4B0的3个内角是,三条边是.

【答案】(1)△ABD,△ADC,△8DC,ZiABC；(2)BCD；ACB；(3)匕BAD,^ABDf乙ADB；

AB,AD,BD

【分析】根据三角形的定义，三角形的边与内角，进行作答即可

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第01讲三角形的概念（解析版）

【详解】（1）解：由题意知，图中所有三角形为，△AOC,△BOC,AABC,

故答案为：4ABD,△4DC,△BDC,△ABC；

（2）解：由题意知，线段8C是ABC。和△4C8的边，

故答案为：BCD,ACB；

（3）解：由题意知，的3个内角是乙4BO,乙408；

三条边是AB,ADfBD,

故答案为：Z.BAD,乙ABD,乙ADB；AB,AD,BD.

【点睛】本题考查了三角形的定义，三角形的边、内角等知识.解题的关键在于对知识的熟练掌握.

【变式2・3】如图，在△ABC中，D,E分别是边BC,4c上的点，连接力D,DE.

（1）图中共有多少个以线段4B为边的三角形？用符号表示这些三角形.

（2）图中共有多少个以点E为顶点的三角形？用符号表示这些三角形.

【答案】（1）2个；△AB0丛ABC

（2）2个；ZIMOE,△EOC

【分析】本题考查认识三角形，解题的关键是根据三角形的定义及角和边的概念进行解答.

（1）由题意观察图形，结合三角形的特征进行以线段48为边计数即可；

（2）由题意依据三角形顶点为£结合图形进行观察即可

【详解】（1）解：以线段48为边的三角形有2个，分别为△4BD,AABC.

（2）解：以点E为顶点的三角形有2个，分别为△4DE,XEDC.

【题型3三角形的计数问题】

【例3】如图，以点力为顶点的三角形有（）

【答案】A

【分析】本题考查三角形的定义：由不共线的三条线段首尾相连围成的封闭图形是三角形.根据三

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第01讲三角形的概念（解析版）

角形的定义即可解答.

【详解】解：以点力为顶点的三角形有△ABC,△ABD,^ACE,4ADE、共4个.故选：A

【变式3・1】如图，在△ABC中，AD.BF、CE相交于。点，则图中的三角形的个数是（）

A.7个B.10个

【答案】D

【分析】本题主要查了三角形的个数.根据三角形定义解答即可.

【详解】解：图中的三角形有：XABC,△ABD,△AOE,△BOE,△BOD,△AOB,△ACD,△AOF,△

COF,△COD,△AOC,△ACE,ABCE,△BOC,△ABF,△BCF,共16个，故选：D

【变式3・2】如图在△4BC的BC边上取三个点D,E,F,连接40,AE,AF,则BC边上有条线

段，以4为顶点的角有个，图中共有个三角形.

【答案】101010

【分析】本题主要考瓷线段数量、角度的数量和三角形的个数，利用固定点可得到线段，上述线段

都与点彳组成角，即以A为顶点的角有10个；以A为顶点的角即组成对应的三角形.

【详解】解：根据题意得，线段有BD,BE,BF,BC,DE,DF,DC,EF,EC,FC共10条线段：

以A为顶点的角NABD,/.ABE,/.ABF,Z.ABC,^ADE,Z.ADF,

Z.ACD,Z.AEFfZ.AEC,Z.AFC,

三角形有△力BO,AABE,AABF,AABC,AADE,△40尸，△4C0,AAEF,△

AEC,AAFC,

上述线段都与点力组成交，即以A为顶点的角有10个；

以A为顶点的角即组成对应的三角形.故答案为：10,10,10.

【变式3・3】观察以下图形，回答问题：

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第01讲三角形的概念（解析版）

（1）图②有一个三角形；图③有个三角形；图④有个三角形；…猜测第七个图形中共

有个三角形.

（2）按上面的方法继续下去，第〃个图形中有个三角形（用含〃的代数式表示结论）.

【答案】35713（2几一/）/（-/+2/）

【分析】本题主要考查了图形的变化类规律型、三角形个数问题等知识点，通过分析找到各部分的

变化规律后用一个统一的式子表示出变化规律是解题的关键.

（1）根据观察可得：图②有3个三角形；图③有5个三角形；图④有7个三角形；由比可以猜测第

七个图形中共有13个三角形即可；

（2）按照（1）中规律如此画下去，三角形的个数等于图形序号的2倍减去1,据此求得第〃个图

形中的三角形的个数即可.

【详解】解：（1）・・♦图②有3个三角形，3=2x2-1；

图③有5个三角形，5=2x3-/；

图④有7个三角形，7=2x4—1；

・•・图②有3个三角形；图③有5个三角形；图④有7个三角形；…猜测第七个图形中共有13个三

角形.

（2）由（1）可知，第〃个图形中有（2n-1）个二角形.

故答案为：3,5,7,13,（2n-/）.

【题型4三角形的分类】

【例4】下面给出的四个三角形都有一部分被遮挡，其中不能判断三角形类型的是（）

【答案】C

【分析】此题主要考查了三角形的分类.根据三角形的分类：直角三角形、锐角三角形、钝角三角

形进行判断即可.

【详解】解：A、知道两个角，可以计算出第三个角的度数，因此可以判断出三角形类型；

B、露出的角是直角，因此是直角三角形；

C、露出的角是锐角，其他两角都不知道，因此不能判断出三角形类型；

D、露出的用是钝角，因此是钝角三角形；故选：C.

【变式4・1】用下面的图表示三角形的分类，其中不正确的是（）

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第01讲三角形的概念（解析版）

【分析】本题考查了三角形的分类.根据三角形的分类，正行判定作答即可.

【详解】解：由题意知，三角形包括等腰三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形，A、C正确，

故不符合要求：

三角形按照角度分类包括锐角三角形，直角三角形，钝角三角形，B正确，D错误，故选：D.

【变式4・2】下列说法：①三角形按边分类可分为三边不相等的三角形、等腰三角形和等边三角形;

②等边三角形是特殊的等腰三角形；③三角形按边分类可分为等腰三角形、直角三角形、锐角三角

形；④有两边相等的三角形一定是等腰三角形，其中正确的是.（请填写序号）

【答案】②④/④②

【分析】木题考查了三角形的分类，以及等腰三角形和等边三角形的关系.理解等边三角形是特殊

的等腰三角形，但等腰三角形不一定是等边三角形是解题的关键.

根据三角形的分类方法逐项判断即可；

【详解】解：①因为等边三角形是特殊的等腰三角形，应归类于等腰三角形，故原说法错误；

②等边三角形是特殊的等腰三角形，原说法正确；

③三角形按角分类可分为钝角三角形、直角三角形、锐角三角形，按照边分类可分为三边不相等的

二角形、等腰二角形，故原说法错误；

④有两边相等的三角形一定是等腰三角形，该说法正确.

综上所述：说法正确的有②④.答案为：②④.

⑴按边分类：

三边均不相等的是不等边三角形;

两条边相等的是等腰三角形；

三条边相等的是等边三角形.

（2）按比分类：

都是锐角的是锐角三角形；

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第01讲三角形的概念（解析版）

有直角的是直角三角形；

有钝角的是钝角三角形.

【答案】（1）②④⑤⑦，①③⑥⑧，①

（2）①④⑥，③⑤⑦，②⑧

【分析】本题考查了三角形的分类，熟练掌握三角形的分类标准是解题的关键：主要有两种分类标

准，一是按角分类，分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形；二是按边分类，分为不等边三角

形、等腰三角形和等边三角形.

（1）由三角形的分类（按边分类）即可直接得出答案；

（2）由三角形的分类（按角分类）即可直接得出答案.

【详解】（1）解：按边分类，由图可知：

三边均不相等的②④⑤⑦是不等边三角形，

两条边相等的①③⑥⑧是等腰三角形，

三条边相等的①是等边三角形，

故答案为：②④⑤⑦，①③⑥⑧，①；

（2）解：按角分类，由图可知：

都是锐角的①④⑥是锐角三角形，

有直角的③⑤⑦是直角三角形，

有钝角的②⑧是钝角三角形，故答案为：①④⑥，③⑤⑦，②⑧.

能力提升

1.下面是用三根火柴组成的图形，其中符合三角形概念的是（）

【答案】C

【分析】根据三角形的定义：平面上不共线的三点及其每两点连接的线段所组成的封闭图形，即可

进行解答.

【详解】解：符合三角形概念的是，故选：C.

【点睛】本题主要考查了三角形的定义，解题的关键是掌握：平面上不共线的三点及其每两点连接

的线段所组成的封闭图形是三角形，这三点称为三角形的顶点；三条线段称为三角形的边.

2.若如图表示三角形分类，则下列说法正确的是（）

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第01讲三角形的概念（解析版）

A.M表示等边三角形B.M表示锐角三角形

C.P表示等腰三角形D.N表示三边都不相等的三角形

【答案】C

【分析】本题主要考查了三角形的分类，根据三角形按边的分类可直接选出答案.

【详解】解：三角形根据边分类如下:

不等边三角形

三角形等角形|底和腰不相等的等腰三角形

一“I等边三角形

由图可知，M表示三边均不相等的三角形，N表示等边三鱼形，尸表示等腰三角形；故选：C.

3.将一个三角形纸片剪开分成两个三角形，这两个三角形不可能（）

A.都是直角三角形B.都是钝角三角形

C.都是锐角三角形D.是一个直角三角形和一个钝角三角形

【答案】C

【分析】分三种情况讨论，即可得到这两个三角形不可能都是锐角三角形.

【详解】如图，沿二角形一边上的高剪开即可得到两个直角二角形.

如图，钝角三角形沿虚线剪开即可得到两个钝角三角形.

如图，直角三角形沿虚线剪开即可得到一个直角三角形和一个钝角三角形.1\

因为剪开的边上的两个角互补，故这两个三角形不可能都是锐角三角形.故选：C

【点睛】本题主要考查了三角形的分类，理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，结合对应几何

图形的性质和基本作图的方法作图.

4.我们知道一副三角板的三个内角分别是9俨,45。,45。和90。，60。,30。,老师把这两块三角板

叠在一起，得到如图所示的图形，其中以4B为边的三角形共有（）

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第01讲三角形的概念（解析版）

A.4个B.5个C.3个D.2个

【答案】C

【分析】根据三角形的定义（由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角

形）找出图中的三角形.

【详解】解：以A8为边的三角形有△ABE,△48C,AABD,共3个，故选：C.

【点睛】本题考查了三角形的定义，解题关键是注意：题目要求找“图中以A8为边的三角形的个数、

而不是找“图中三角形的个数”.

5.线段8。上有3个点P/,匕，「3，直线BC外有一点4把4和3,P/,P2,P3fC连接起来，可

以得到的三角形个数为（）

A.8个B.10个C.12个D.20个

【答案】B

【分析】根据题意可得，点4和其他任意两个点连接，可得到三角形，点8,P1,匕，匕，C中的

每一个点可与4个点组合，再除以2（去掉重复的）即可.

【详解】解：根据题意得：浮=10.故选：R.

【点睛】本题主要考查了三角形的定义，解题的关键是掌握不在同一直线上的三个点的连线围成的

图形是三角形.

6.如图，在△4?。中，D是BC边上一点,E是40边上一点.在△力CE中，4C4E的对边是.

【答案】CE/EC

【分析】此题主要考查了三角形.关键是掌握三角形边角间的关系.利用三角形边、角间的关系可

得答案.

【详解】解：在△4CE中，乙C4E的对边是CE.故答案为：CE.

7.如图，图①中有/个三角形，在图①中的三角形内部（不含边界）取一点，连接该点与三角形

的3个顶点得到图②，图②中共有4个三角形.若在图②中的一个小三角形内部（不含边界）取一

第16页共19页

第01讲三角形的概念（解析版）

点，连接该点与该小三角形的3个顶点得到图③.在虚线相中画出图③，图③中共有个三

角形.（写出所有可能的值）

【答案】7或9

【分析】本题考查了画三角形，根据题意画出图形即可求解,理解题意是解题的关键.

【详解】解：如图所示，共有两种情况:③

由图可知，图③中共有7或9个三角形，故答案为：7或9.

8.如果依次用巧,。2，%，。4分别表示图3中（1）、（2）、（3）,（4）内三