等边三角形及含30°角的直角三角形的性质（人教版）原卷版+解析

第13讲等边三角形及含30。角的直角三角形的性质

【人教版】

等边三角形

（1）定义：三条边都相等的三角形，叫做等边三角形.

（2）等边三角形性质：等边三角形的三个角相等，并且每个角都等于60,

（3）等边三角形的判定：

①三条边都相等的三角形是等边三角形；

②三个角都相等的三角形是等边三角形；

③有一个角为60。的等腰三角形是等边三角形.

考点剖析

【考点1等边三角形的性质】

【例1.1］如图是三个等边三角形随意摆放组成的图形，则乙1+42+43的度数为（）

C.180°D.无法确定

【例1.2］己知直线〃|也将等边三角形△48C按如图所示的位置摆放，若，1=35。，则22的度数为（）

A.95"B.85"C.75"D.7U"

【例1.3］如图，点C在线段48上，△0A。和△OBE都是等边三角形，试说明：△048=△DCF.

【变式1.1］如图，一个等边三角形纸片，剪去一个角后得到一个四边形，则图中Nn+N/?的度数是（）

A.220°B.180°C.270°D.240°

【变式1.2］如图，4B,。三点在同一直线上，△ABC^L8DE均为等边三角形，连结HE,CD,若乙BAE=39°,

那么N/EB=.

【变式1.3］如图，在等边△力BC中，点E为4?.上一点，点尸为4c上一点，且力£=CE求证：CE=BF.

A

E

【考点2等边三角形的判定】

【例2.1］下列说法不正确的是（）

A.有一个角为60。的三角形是等边三角形；B.三边相等的三角形是等边三角形

C.三个角相等的三角形是等边三角形D.有一个角是60。的等腰三角形是等边三角形

【例2.2］如图，已知乙408=30。，点户在乙4。8内部，点P］与点P关于OB对称，点P?与点Pi关于。4对称，则

A.含30。角的直角三角形B.等边三角形

C.顶角是30。的等腰三角形D.视点P的位置而定

【例2.3］如图，在RtAABC中，Z.ACB=90°,=30°,4E是乙8AC的平分线，CD是AB边」二的高，请从

图中找出一个等边三角形，并说明理由.

【变式2.1】下列图形中，一定是等边三角形的是（）

5°

【变式2.2］如图，在△ABC中，Z,C=60°,。为48边的中点，DELAC^^,E,DF上BC于点F,DE=DF.求

证：△A8C是等边三角形.

AB||DE,EC=ED,求证：△DEC为等边三角形.

【考点3等边三角形的性质与判定的综合应用】

【例3.1］如图，△ABC中，BC=8,4D是中线，LADB=60°,将△ADB沿4D折叠至△AD8',则点C到8'的

C.3D.2V2

【例3.2］如图，在仆ABC中，AB=AC,。为线段8c上一动点（不与点8、C重合），连接4D,作W.4E=乙BAC,

11/1O=/E,连接CE.若CEIIAB,/.BAD=40°,则4DEC的度数为

【例3.3］如图所示，△A8C和△AOE都是等边三角形，且点B、A、E在同一直线上，连接交AC于M,

⑴求证：BD=CE；

(2)求证：△ABMgZXACN；

(3)求证：△/1MN是等边一：角形.

【变式3.1】将两个直角三角形如图放置，其中==90。，ZD=60°,AB=AC,DA=DC,CE^

AB交于点F,则48FC=.

【变式3.2］已知：如图，点D在等边三角形ABC的边A8上，延长BC至点正使CE=4D,连接DE交AC与点

F.

BE

(I)求证:FD=FE；

(2)过点。作DGJ.AC于G,若等边三角形48c的边长为6,求FG的长.

［变式3.3】已知△力BC是等边三角形,点P在力8上，过点P作PD1力C,垂足为D,延长3。至点Q,使CQ=AP,

连接PQ交AC于点E,如图所示.如果等边△ABC的边长为4,那么线段DE的长为()

C.1.8D.2.5

卜含30。角的直角三角形的性质

直角三角形的性质定理

在直角三角形中，如果一个锐角等于30。，那么它所对的直角边等于斜边的一半.

考点剖析

【考点1含30。角的直角三角形的性质】

【例1.1】在△ABC中，乙A=30°,ZC=90°,AB=8,则BC=()

C.16

【例1.2］如图，在RtaABC中，Z.ACB=90°,CD1AB,BD=1,^A=30°,则

CA

【例1.3］如图，△48。是等边三角形，D,E分别是边AC,8C上的点，BD,AE交于点R,BFJ.AE于点F,

若4D=CE.求证：BR=2FR.

【变式1.1］如图，乙力。8=60。，以点。为圆心，以适当长为半径作弧交OA于点C,交OB于点D：分别以C,

。为圆心，以大于；CD的长为半径作弧，两弧在立408内部相交于点P；画射线OP,在射线OP上截取线段OM=

8,则点M到。8的距离为()

A.6B.5C.4D.3

【变式1.2］如图，已知乙408=60。，点P在边04上，OP=16,点M、N在边。8上，PM=PN,若MN=2,

则0M=•

【变式1.3］如图，△/18C是等边三角形，8。是中线，延长8。至E,使CE=CO,DF1BE,垂足为点凡

(1)求证：CE=2CF；

(2)若CF=2,求A48c的周长.

【考点2含30。角的直角三角形的性质的应用】

【例2.1］如图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图.其中718、CD分别表示一楼、二楼地面的水平线,

/.ABC=150°,BC的长是8m,则乘电梯从点B到点C上升的高度力是()

B

o——

A.-V3mB.4mC.4v3mD.8m

3

【例2.2】如图，CD是平面镜，光线从点4出发经CD上点。反射后照射到点8,若入射角为反射角为口（反

射角等于入射角），/C1CD于点C,BDLCD于点D,且Na=60。，OB=10,则BD=.

【例2.3】如图，早上8:00,一艘轮船以20海里/小时的速度由南向北航行，在4处测得小岛。在北偏西15。方

向上，到上午10:00,轮船在B处测得小岛P在北偏西30。方向上，在小岛P周围18海里内有暗礁，若轮船继

续向前航行，有无触礁的危险？

【变式2.1］如图，数学活动课上，为测显学校人与河对岸农场8之间的距离，在学校附近选一点C,用测量

仪器测得/4=60。，ZC=90°,AC=2km,则学校与农场之间的距离AB为（）

A.8kmB.6kmC.4kmD.2km

模块三[课后作业。|

1.在△ABC中，AB=AC=6,=60°,贝U△48c的周长为()

A.24B.18C.12D.6

2.若一个三角形的每一个外角都等于一个不相邻的内角的2倍，那么这个三角形是（）

A.等边三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.钝角三角形

3.如图，直线，述%，△是等边三角形，=40。，则N2的大小为（）

A.50°B.60°C.70°D.80°

4.在△4BC中，4A=60。，若使AH8C为正三角形，请你再添一个条件：.

5.如图，在△力BC中，AB=AC,LA=120。,BC=18cm.4B的垂直平分线交48于点。，交BC于点E；AC的

垂直平分线交AC于点G,交BC于点立EF的长为.

6.如图，在△ABC中，AB=6,BC=8,48=60。，将△4BC沿射线BC方向平移2个单位后得到△OEF,

连接DC,则DC的长为

7.已知人108=60。，0c是乙4OB的平分线，点。为OC上一点，过。作直线Z）E1。4垂足为点£,且直线DE

交0B于点心如图所示.若DE=2,则。F=

8.如图，乙48c=60。,48=4,动点。从点4出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线BC运动，设点。

的运动时间为，秒Q>0），当AABP为锐角三角形时，，的取值范围是.

A

C

9.已知：如图，在A/BC中，AB=AC,LB=15°,CD是腰AB上的高，若AB=4,求C。的长度.

10.如图，已知在△48C中，8D平分4ABC,CE=CD,DB=DE,ZE=30°.求证：A/18C是等边三角形.

11.如图，AABC是等边三角形，8。是中线，过点。作DE14B于点E且交8C边的延长线于点F,力£=2,

BF的长.

12.如图，已知某船于上午8点在4处观测小岛C在北偏东60。方向上.该船以每小时40海里的速度向东

航行到B处，此时测得小岛C在北偏东30。方向上.船以原速度再继续向东航行2小时到达小岛C的正南

方D点.

(1)求B处到小岛C相距多少海里？

(2)求船从A到。一共走了多少海里?

第13讲等边三角形及含30。角的直角三角形的性质

【人教版】

等边三角形

<1)定义：三条边都相等的三角形，叫做等边三角形.

(2)等边三角形性质：等边三角形的三个角相等，并且每个角都等于60。.

(3)等边三角形的判定：

①三条边都相等的三角形是等边三角形；

②三个角都相等的三角形是等边三角形；

③有一个角为60。的等腰三角形是等边三角形.

考点剖析

【考点1等边三角形的性质】

【例1.1］如图是三个等边三角形随意摆放组成的图形，则41+乙2+43的度数为()

A.90°B.120°C.180°D.无法确定

【答案】C

【分析】先根据图中是三个等边三角形可知三角形各内角等于60。,用Nl,Z2,N3表示出△人各角的

度数，再根据三角形内角和定理即可得出结论.

【详解】解：•・•图中是三个等边三角形，

.*.Zl=180°-60°-ZAZ?C=120c-ZABC,Z2=180°-60°-ZACB=1200-ZACB,Z3=180°-60°-

ZBAC=\20°-NBAC,

•・•ZABC+ZACB+ZBAC=180°,

.,.Zl+Z2+Z3=360°-(/A8C+NAC8+N84C)=180°,

【点睛】本题考杳的是等边二角形的性质，二角形的内角和，熟知等边二角形各内角均等于60。是解答此题

的关键.

【例1.2］已知直线〃怙，将等边三角形△48。按如图所示的位置摆放，若乙1=35。，则乙2的度数为（）

A.95°B.85°C.75°D,70°

【答案】B

【分析】如图，根据平行线的性质得N2=N5,由等边三角形的性质得NC=60。，再由对顶角性质得

Z3=Z1=35°,Z4=Z5,最后由三角形内角和定理求解即可.

【详解】解：如图,

・・・N2=N5,

•••△/IBC是等边三角形，

:.ZC=60°,

VZ3=Z1=35°,Z4=Z5,Z3+Z4+ZC=180°,

/.Z1+Z2+ZC=18O°,

AZ2=85°,

故选：B.

【点睛】本题考查等边三角形的性质，平行线的性质，对顶角的性质，三角形内角和定理，熟练掌握等边三

角形的性质，平行线的性质，对顶角的性质是解题的关键.

【例1.3】如图，点C在线段上，△。力。和△DBE都是等边三角形，试说明：ADAB=△DCF.

【答案】见解析

【分析】由△ZX4C和AOBE都是等边三角形，利用等边三角形的性质得到两对边相等，两个角为6()度，利用

等式的性质得到夹角相等，利用SAS即可得证.

【详解】解：证明：・••△ZMC和△D8E都是等边三角形，

DA=DC,DB=DE,Z.ADC=乙BDE=60°,

•••乙ADC+乙CDB=乙BDE+乙CDB,

BPz/lDF=乙CDE,

在A和△/)<?£中，

(DA=DC

\^.ADB=Z.CDE

(DB=DE

.••△/MBDCF(SAS).

【点睛】此题考查了全等三角形的判定，以及等边三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本

题的关键.

【变式1.1］如图，一个等边三角形纸片，剪去一个角后得到一个四边形，则图中Na+N4的度数是()

A.220°B.180°C.270°D.240°

【答案】D

【分析】如图(见解析)，先根据等边三角形的定义可得Z_B=/C=60。，再根据四边形的内角和即可得.

【详解】解：如图，•••△ABC是等边三角形，

:.乙B=Z.C=60°,

•••NQ+4夕+4口+4C=180°x(4-2)=360°,即4Q+乙夕+60°+60°=360°,

•••Za+Z./?=240°,

故选：D.

【点睛】本题考查了多边形的内角和、等边三角形，熟练掌握多边形的内角和是解题关健.

【变式1.2］如图，4B,。三点在同一直线上，△ABC^L80E均为等边三角形，连结4E,CO,^LBAE=39。,

那么乙力E8=.

A

B,

DE

【答案】21°

【分析】由等边三角形的性质得出乙QBE=60。，m^DBE=/-BAE+^AEB可求出答案.

【详解】解：•・•△BOE是等边三角形，

/.DBE=60°,

•••乙DBE=Z.BAE+LAEB,

:./.AEB=60°-乙BAE=60°-39°=21°,

故答案为：21°.

【点睛】本题考查了等边二角形的性质，二角形外角的性质，熟练掌握等边二角形的性质是解题的美键.

【变式1.3］如图，在等边ZiABC中，点E为AB上一点，点尸为4C上一点，且AE=CF.求证：CE=BF.

【答案】证明见解析

【分析】只需要利用SAS证明△ACEC8/即可证明CE=BF.

【详解】证明：•••△48C是等边三角形，

：,LCAE=Z-BCF=60°,AC=C8,

又tAE=CF,

：.LACE=△CBF(SAS),

:・CE=BF.

【，点睛】本题主要考杳了等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，熟知等边三角形的性质是解题的关

键.

【考点2等边三角形的判定】

【例2.1］下列说法不正确的是（）

A.有一个角为60。的三角形是等边三角形；B.三边相等的三用形是等边三角形

C.三个角相等的三角形是等边三角形D.有一个角是60。的等腰三角形是等边三角形

【答案】A

【分析】根据等边三角形的判定方法进行判断即可.

【详解】解：A、有一个角是60。的三角形，其他两个角度数不能确定，这样的三角形不一定是等边三角形，

本选项符合题意；

B、三边相等的三角形是等边三角形，正确，本选项不符合题意；

C、三个角都相等的三角形是等边三角形，正确，本选项不符合题意；

D、有•个角是60。的等腰三角形是等边三角形，正确，本选项不符合题意；

故选：A.

【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定，解题的关键是熟练掌握等边三角形的判定方法，三条边都相等

的三角形为等边三角形；三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角是60。的等腰三角形是等边三角形.

【例2.2］如图，已知44OB=30。，点P在N40B内部，点心与点P关于。8对称，点与点Pi关于。4对称，则

Pi，0,P2三点所构成的三角形是（）

A.含30。角的直角三角形B.等边三角形

C.顶角是30。的等腰三角形D.视点P的位置而定

【答案】B

【分析】点Pi与点P关于。8对称，点尸2与点匕关于。人对称，推出。P=。。1=。02,“。尸=^AGP2,乙BOP=

乙B9P、,推出匕P1OP2=60。，由此即可判断.

【详解】解：如图，

B

•・•点Pi与点P关于。B对称，点P2与点Pi关于。力对称，

：.0P=0P1=OP?,Z-AOP=乙AOP2,乙BOP=乙BOP],

*：LAOB=30°,

:.乙P1OP2=24力OP+2480P=2（乙40P+乙BOP）=2乙AOB=60°,

•••AP1OP2是等边三角形.

故选:B.

【点睛】本题考查轴对称的性质、等边三角形的判定，解题的关键是灵活运用对称的性质解决问题.

【例2.3】如图，在内△ABC中，£ACB=90°,乙8=30。，AE是的平分线，CD是AB边上的高，请从

图中找出一个等边三角形，并说明理由.

【答案】见解析

【分析】结论：ACEF为等边三角形,想办法证明〃方=乙"。=60。即可.

【详解】解：结论：4CE尸为等边三角形，

理由：在RtAACB中，vAACB=90°,乙8=30°,

Z.CAB=60°,

•.TE平分皿8,

••・Z.CAE=-Z-CAB=30°,

2

・•・LAEC=90°-Z.CAE=60°,

•••CD1AB,

：・"DB=90°,

乙BCD=90°一乙B=60°

:/.CEF=Z.ECF=Z.CFE=60°,

•・.△CEF是等边三角形.

【点睛】本题考查三角形内角和定理、角平分线的定义、三角形的高、等边三角形的判定等知识，解题的关

键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型.

【变式2.1】下列图形中，一定是等边三角形的是（）

【分析】根据等边三角形的判定可得，含有60。的等腰三角形是等边三角形，据此即可求解.

【详解】解：•・•含有60。的等腰三角形是等边三角形，A、B、C、D都是等腰三角形，只有B选项有一个内

角是60。，则B选项是等边三角形，

故选B

【点睛】本题考查了等边三角形的判定，掌握“含有60。的等腰三角形是等边三角形”是解题的关键.

【变式2.2］如图，在△力BC中，2c=60。，。为48边的中点，于点从DFJ.BC于点F,DE=DF.求

证：A/IBC是等边三角形.

【答案】见解析

【分析】由线段中点的性质得出AD=3。，进而可利用"HL”证明RtAAOEzRtABOF,得山乙4=进而

可证。8=。儿再结合4。=60。，即得出△218。是等边三角形.

【详解】证明：・・・0为A8的中点，

：,AD=BD,

•「DEI力C,DF1BC,

：.LAED=乙BFD=90°

在Rt△ADE^Rt△BD/7中，

(AD=BD

(DE=DF

:.Rt△ADE^Rt△BDF(HL),

LA=乙B,

：,CB=CA,

'：LC=60°,

・•・AABC是等边三角形.

【点睛】本题考查线段中点的性质，三角形全等的判定和性质，等角对等边，等边三角形的判定，熟练掌握

三角形全等的判定定理和性质定理是解题关键.

【变式2.3］已知，如图，乙B=〃：，AB||DE,EC=二ED,求证：△DEC为等边三角形.

4______Q

8EC

【答案】见解析

【分析】根据平行线的性质和乙8="可得/DEC=N.C,得到DE=CD,再由EC=E。可得DE=CD=EC,

即可证明.

【详解】证明：•.MBIIOE,

:.乙DEC=乙B,

v乙B=",

:.乙DEC=Z.C»

:.DE=CD,

•••EC=ED,

DE=CD=EC,

：•AOEC为等边三角形.

【点睛】本题主要考查等边三角形的判定，平行线的性质，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握等边三:角

形的判定方法.

【考点3等边三角形的性质与判定的综合应用】

【例3.1］如图，△ABC中，BC=8,力。是中线，LADB=60°,将△4DB沿折叠至△AD8',则点。到8'的

C.3D.2V2

【答案】A

【分析】先由中线的定义得到BD=CD=4,再由折叠的性质得到8'。=BD=4,^ADB1=Z.ADB=60°,

进而证明△CDe是等边三角形，得到8'C=CD=4,由此即可得到答案.

【详解】解：・・ND是中线，

:,BD=CD=-2BC=4,

由折叠的性质可得夕O=BD=4,乙ADB'=4ADB=60°,

/.B'D=CD=4,Z-B'DC=180°-（ADB-乙ADB'=60°,

・•・ACO"是等边三角形，

・・・B'C=CD=4,

，点C到夕的距离是4,

故选A.

【点睛】本题主要考查了折叠的性质，等边三角形的性质与判定，证明△CDB，是等边三角形是解题的关健.

【例3.2］如I图，在△ABC中，48=AC,。为线段BC上一动点（不与点8、C重合），连接40,作NOAE=484C,

且＜O=4E,连接CE.若CEIIAB,Z.BAD=40°,则乙OEC的度数为.

E

【答案】z(r

【分析】证明A/IBO三△4CE(SAS〕，可得乙B=4/1CE,可证△43C是等边三角形，可得4B4C=4D4E=

Z.ACB=Z.ACE=60°,即可求解.

【详解】解：vZ-DAE=Z.BAC,

•••Z.BAC-Z.CAD=Z.DAE-Z.CAD,

^LBAD=/.CAE,

在△A8D和△力CE中

AB=AC

CBAD=Z.CAE♦

AD=AE

•••△ABD三△4CE(SAS),

•••NB=Z.ACE,

vCEWAB,

:*Z.BAC=Z-ACEi

•••LBAC—乙B,

•••AC=BC,

・•.△ABC是等边三角形，

:.Z.BAC=Z-DAE=4ACB=Z.ACE=60°,

••.△D4E是等边三角形，

:.Z.AED=60°,

二Z.DEC=180°-40°-60°-60°=20°,

故答案为：20°.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，证明△H8C是等边三角形是解题

的关键.

【例3.3］如图所示，△A3C和A/AOE都是等边三角形，且点8、A、E在同一直线上，连接8D交AC于M,

连接CE交AO于M连接MN.

⑴求证：BD=CE；

(2)求证：△ABMg/XACN；

(3)求证：△人用N是等边三角形.

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

(3)证明见解析

【分析】(1)由已知条件等边二角形，可知A"=AC,AD=AE,/BAC=/DAE,进一步求证

从而△ABD^/\ACE(SAS),所以BD=CE.

(2)由(1)知△ABQg/XACE,得/A8M=NC4N,由点B、A、E共线，得/。心60。=/84。，进一步求证

△ABMdACMASA).

(3)由△/WMgAACM得AM=/W,而NCAN=60。，所以△人MN是等边三角形.

【详解】(1)•••△ABC和△〃)£：都是等边三角形，

：,AB=AC,AD=AE,NZMC=NQAE=60。，

：.ZBAD=ZCAE.

AB=AC

在A八B。和^ACE中，^BAD=/.CAE

AD=AE

,A/1BD^A>4CE(SAS),

：,BD=CE.

(2)由(1)知△ABDg△ACE,

工/ABM=/ACN.

VA13.A、E在同一直线上，且/ZMC=NDAE=60。，

・•.ZCAN=600=ZBAC.

Z.BAM=乙CAN

在AABM和△ACN中，AB=AC

LABM=Z.ACN

:.gZMCMASA).

(3)由(2)知△A5Mg△ACM

：.AM=AN,

•・•NC4N=60。，

•••△AMN是等边三角形.

【点睛】本题主要考查等边三角形的性质和判定、全等三角形判定和性质；将等边一:角形的条件转化为相等

线段和等角，选择合适的方法判定三角形全等是解题的关键.

【变式3.1］将两个直角三角形如图放置，其中乙84c=Z.ECD=90°,ZD=60°,AB=AC,DA=DC,CE与

AB交于点F,则4BFC=.

【答案】120°

【分析】先证明△O4C是等边三角形，再根据平角的定义求出NF4E的度数，再根据三角形内角和定理求出

结果.

【详解】解：•••0/l=OC,Z.D=60°,

是等边三角形，

•••Z.DAC=60°,

•••Z.BAC=90°,

Z.EAF=180°-/-BAC-LDAC=30°,

•••Z.D=60°,乙ECD=90°,

Z.E=30°,

Z.BFC=Z.EFA=1800-Z,E-LFAE=180°-30°-30°=120°,

故答案为:120°.

【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，三角形内角和定理，证明△O4C是等边三角形是解题的关键.

【变式3.2］已知：如图，点。在等边三角形48c的边力8上，延长BC至点£使西=A。，连接CE交AC与点

F.

⑴求证：FD=FE；

（2）过点。作DGJ_4C于G,若等边三角形4BC的边长为6,求FG的长.

【答案】（1）证明见解析（2）3

【分析】（1）如图所示，过点。作。HII8C交AC于点H,由等边三角形的性质得到乙4=48=60。，由平行

线的性质得到//OH=LB=60°,Z.HDF=4E,乙DHF=乙ECF,则440H为等边三角形，证明Cf=DH,

即可证明△三△WJFD=FZ7；

（2）由全等三角形的性质得到HF=CF,由三线合一得到4G=HG,这可推出FG=\AC=3.

【详解】（1）证明：如图所示，过点。作DHIIBC交AC于点〃，

•••△48。是等边三角形，

二Z.A=Z-B=60°,

vDG||BC,

Z.ADH=Z.B=60°,Z.HDF=ZF,乙DHF=Z-ECF

••.△ADH为等边三角形，

AZD=DH,

•；CE=AD,

CE=DH,

:ADHFECF（ASA）,

：•FD=FE.

BE

（2）解：由（1）得&DHFWAECF,△力DH为等边三角形,

：.HF=CF,

\'DG1AH,

：.AG=HG,

：.FG=GH+HF=AG+CF,

,「

.・AG+GH+HF+CF1o

•FG=--------2--------=-2AC=3.

【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定及性质、等边三角形的性质与判定，平行线的性质，解题的关键

是掌握等边三角形的性质于判定条件.

［变式3.3】已知△力8c是等边三角形,点P在4?上，过点。作P。1力C,垂足为D,延长3C至点Q,使CQ=AP,

连接PQ交AC于点£,如图所示.如果等边△ABC的边长为4,那么线段0E的长为（）

A

A.1B.2C.1.8D.2.5

【答案】B

【分析】如图，过点P作PFII8C,交AC于点凡利用已知条件可以得到△力P尸是等边三角形，然后可以证明

△PEFQEC,接着利用等边三角形的性质即可解决问题.

【详解】解：如图，过点P作P/18C,交力C于点立

贝IJ/EP/=4Q,Z.APF=/.ABC,

•・N48。是等边三角形，

：.LABC=Z.ACB=60°,

：.LAPF=Z-AFP=60°,

.)AAPF也是等边三角形，而CQ=AP,

：.PF=AP=CQ,

又•：乙PEF=“EC,

:•公PEFEAQEC,

：,EF=EC.

•••PDJLAC于。，△4PF是等边三角形,

*»AD=DF,

•\AD+EC=DF+EF=DE=|.4F+1cF=^(AF+CF)=^AC,

：.DE=-2AC=2.

故选:B.

【点睛】本题主要考杳了等边三角形的性质与判定，同时也利用了全等三角形的性质于判定，解题的关键是

灵活运用所学知识解决问题.

直角三角形的性质定理

在直角三角形中，如果一个锐角等于30。，那么它所对的直角边等于斜边的一半.

考点剖析

【考点1含30”角的直角三角形的性质】

【例1.1］在^ABC中，乙力=30°,ZC=90°,AB=8,则BC=()

A.8B.4C.16D.2

【答案】B

【分析】根据在直角三角形中，30。角所对的直角边等于斜边的一半计算即可.

【详解】解：•••N4=30。，ZC=90°,

BC=-AB,

2

vAB=8,

・•・BC=4,

故选：B.

【点睛】本题考查了在直角三角形中，30。角所对的直角边等于斜边的一半，此题的关键是熟练掌握“30。角所

对的直角边等于斜边的一半”来求边的长度和角的度数.

【例1.2］如图，在RtZk/lBC中，/4C8=90。，CDLAB,80=1,z/l=30°,则BC=

【答案】2

【分析】依据Rt△力8c中，〃CB=90。，CDLAB,可得乙BCD为30。，再根据含30度角的直角三角形的性

质，即可得出结论.

【详解】・・・Rt△力BC中，Z-ACB=90°,CDLAB

:•乙BCD+=+48=90。

：.ABCD=/.A=30°

，Rt△力BC中，BC=2BD=2

故答案为：2.

【点睛】本题主要考台了含30度角的直角三角形的性质，在直角三角形中，30。角所对的直角边等于斜边的

一半.

【例1.3】如图，△/!"是等边三角形，D,E分别是边力C,BC上的点，BD,4E交于点/?,神,/^于点尸,

若/O=CE.求证：BR=2FR.

［分析］先根据SAS证明△ABD业&4E得至iJzABD=Z&4E,进而利用三角形外角的性质得到=60°,

由此求出NRBF=30。，即可证明3R=2FR.

【详解】证明：•••△AEC是等边三角形，

AB=AC,Z.BAC=Z.C=60°,

又•；AD=CE,

•••△ABD^AMF(SAS),

:，Z.ABD=Z.CAE,

•••Z.BRF=Z-ABD+Z.BAE=Z.CAE+Z-BAE=Z-BAC=60°,

vBF1AE,

.•.△BRF为直角三角形，

乙RBF=30°,

BR=2FR.

【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，三角形外角的性质，三角形内角和

定理，含30。角的直角三角形的性质，正确求出NBRF=60。是解题的关键.

【变式1.1］如图，4408=60。，以点。为圆心，以适当长为半径作弧交。4于点C,交OB于点D；分别以C,

D为圆心，以大于肘。的长为半径作弧，两孤在乙4。8内部相交于点P；画射线OP,在射线OP上截取线段OM=

8,则点M到。8的距离为（）

oiD

【答案】C

【分析】过点M作ME±"于点E,由角平分线的定义可得乙M08=^AOB=30。，在Rl△EOM中，可得ME=

：OM=4,即可得出答案.

【详解】解：过点M作ME_L08于点E,

OiDEB

由题意得，OP为乙AOB的平分线,

乙MOB=-LAOB=30°,

在RtAEOM中，0M=8,/-E0M=30°,

:.ME=：0M=4,

即点M到。8的距离为4.

故选：C.

【点睛】本题考查尺规作图、角平分线的定义、含30。角的直角三角形，熟练掌握角平分线的定义以及作图

步骤是解答本题的关键.

【变式1.2］如图，已知NA08=6U。点尸在边04上，0P=16,点M、N在边。8上，PM=PN,若MN=2,

则0M=.

【答案】7

【分析】作PC_LMN于C,根据等腰三角形的性质求出MC,根据直角三角形的性质求出。酊计算即可.

【详解】解：过点P作PC_L0B,垂足为C,

AMC=NC=-MN=1,

2

•••Z.A0B=60°,

:.Z.0PC=30°,

0C=-0P=8,

2

0M=0C-MC=7,

故答案为：7.

【点睛】本题考查的是含30度直角三角形的性质，等腰三角形的性质等知识，根据题意添加适当辅助线是解

本题的关键.

【变式1.3］如图，AABC是等边三角形，8。是中线，延长8c至E,使CE=CO,DF1.BE,垂足为点E

(1)求证：CE=2CF；

(2)若CF=2,求△ABC的周长.

【答案】(1)见解析

⑵24

【分析】(I)根据等边三角形的性质可知=60°,再由DF18E可知乙DFC=90°,zFDC=90°-zC=

30%由直角三角形的性质即可得出结论；

(2)由CF=2可得出OC=2CF=4,故可得出AC的长，进而可得出结论.

【详解】(1)证明：•••△48C为等边三角形，

/.2.ACB=60°,

,:DF1BE,

：./.DFC=90。，Z.FDC=90°-zC=30°,

：,DC=2CF.

'：CE=CD

：,CE=2CF；

(2)解：\'CF=Z,由(1)矢UCE=2C几

：.DC=2CF=4.

•・・ZM8C为等边三角形，8。是中缘

：,AB=BC=AC=2DC=8,

AABC的周长=AB+力C+BC=8+8+8=24.

【点睛】本题考查的是等边三角形的性质，熟知边三角形的三个内角都相等，且都等于60。是解题的关键.

【考点2含30。角的直角三角形的性质的应用】

【例2.1］如图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图.其中48、分别表示一楼、二楼地面的水平线,

^ABC=150°,BC的长是8m,则乘电梯从点B到点C上升的高度力是（）

A.1x/3mB.4mC.4-73mD.8m

【答案】B

【分析】过。作CM148于M,求出4CBM=30。，根据含30度的直角三角形性质求出CM即可.

【详解】解：过C作CM148于M,

,"ABC=150°,

:.Z.CBM=30°,

h=CM=-2BC=4m,

故选:B.

【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形性质的应用，构造直角三角形是解此题的关键所在，题目比较好,

难度也不大.

【例2.2】如图，CD是平面镜，光线从点A出发经CD上点0反射后照射到点8,若入射角为口，反射角为/?（反

射角等于入射角），4cle。于点C,BDJLCD于点。，且Na=60。，OB=10,则BD=.

【分析】根据反射角等于入射角可知乙/?=〃=60°,进而得出=90。一4二30°,再根据含30度角

的直角三角形的性质即可求解.

【详解】解：由题意知//?==60。，

•••BD1CD,

・•・乙BOD=90。一乙夕二30。，

•••OB=10,

：

•BD=-2OB=5,

故答案为：5.

【点睛】本题考查含3。度角的直角三角形的性质，解题的关键是掌握：直角三角形中，3U度角所对的直角

边等于斜边的一半.

【例2.3】如图，早上8:00,一艘轮船以20海里/小时的速度由南向北航行，在4处测得小岛P在北偏西15。方

向上，到上午10:00,轮船在8处测得小岛尸在北偏西30。方向上，在小岛产周围18海里内有暗礁，若轮船继

续向前航行，有无触礁的危险？

A

【答案】轮船继续向前航行，无触礁的危险

【分析】过点P作PD14。于点。，利用三角形外角可求出，P，利用角的度数可判断为等腰三角形，利

用时间和速度可求的长度，也就求出尸8的长，再利用PD即可求得P。的长度，与18比较即可得

出结论.

【详解】解：轮船继续向前航行，无触礁的危险.

过点P作PD14c于D,

A

依题意得48=2X20=40海里，Z.PAB=15°,乙PBC=30°,

：.LAPB=LPBC-Z.PAB=15°,

:.Z.A=匕APB=15°,

.•.P8=AB=40（海里）.

在AtaPBD中，LPBD=30°,

PD=\PB=20（海里）＞18（海里），

二轮船继续向前航行，无触礁的危险.

【点睛】本题考杳了含30。的直角三角形，行船遇暗礁问题，关键是把实际问题转化为数学问题，利用等腰

三角形和直角三角形的性质来解决.

【变式2.1］如图，数学活动课上，为测量学校力与河对岸农场8之间的距离，在学校附近选•点C,用测量

仪器测得N4=60°,ZC=90°,AC=2km,则学校与农场之间的距离4B为（）

A.8kmB.6kmC.4kmD.2km

【答案】C

【分析】直接利用直角三角形的性质得出匕B=30。，进而利用直角三角形中30。所对直角边是斜边的一半，

即可得出答案.

【详解】解：Vz/1=60°,Z.C=90°,AC=2km,

：.LB=30°,

：,AB=2AC=4（km）.

故选:C.

【点睛】此题主要考查了直角三角形的性质，正确掌握含30度的直角三角形的边角关系是解题关键.

【变式2.2］如图，某山的山顶£处有一个观光塔E凡已知该山的山坡面与水平面的夹角4EAB为30。，山高E8

为120米，点C距山脚A处180米，CDWAB,交EB于点D,在点C处测得观光塔顶端F的仰角4/TZ）为60。，则

观光塔EF的高度是米.

【分析】根据/EAB=30。，可得N4EB=60。，AE=2EB,即可得4E=2EB=240,进而有CE=AE—4C=

60,根据CDII/18,可得NECO=4巴48=30。，即可得NFCE=/CFE=30。，问题随之得解.

【详解】解：根据题意有：^ABE=90°,

*：LEAB=30%

：.LAEB=60°,AE=2EB,

,:EB=120,

：.AE=2EB=240,

'：AC=180,

：,CE=AE-AC=60,

,：CD\\AB,

工乙CDE=Z.ABE=90°,乙ECD=Z.EAB=30°,

VzFCD=60°,Z.FCE=Z.FCD-Z.ECD=30°,

：,LFCE=乙CFE=30°,

：,EF=CE=60,

即塔高60米,

故答案为：60.

【点睛】本题主要考查了平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，含30。角的直角三角形的性质等知识，

掌握含30。角的直角三角形的性质是解答本题的关键.

【变式2.3］如图，海岸边有A,犷两个观测点，点B在点A的正东方，海岛。在观测点A的正北方，海岛

。在观测点B的正北方.如果观测点人看海岛C,。的视角〃力。与从观测点B看海岛C,。的视角“8。相

等.

AR

⑴请说明海岛C，。到观测点A,8所在海岸的距离CA,相等吗？

(2)若测得从A到C距离1200m,乙48c=30。，求C,8两点间的距离.

【答案】(1)相等，理由见解析

(2)2400111

【分析】(1)证明△ABCwaBAD即可得出结论；

(2)利用30。的直角三角形的特点得出8C=2/1。即可得出答案.

【详解】(1)证明：由题意&4_L48,DB1AB,Z.CAD=Z.CBD,

：.LCBA=乙DAB,4CAB=4DBA=90°,

在么ABC与ABAD,

\LCBA=/LDAB

VAB=BA,

Z.C/1F=乙DBA

，公ABC三△BAD(ASA),

：.CA=DBx

(2)解：\'^ABC=30°,AC=1200m,

：.BC=2AC=2x1200=2400m,

故C,8两点间的距离为2400m.

【点睛】本题考杳全等三角形的判定与性质以及30。的直角三角形的特点，熟练掌握30。的直角三角形所对的

直角边是斜边的•半是解题的关键.

模块三I课后作业O

1.在△力BC中，AB=AC=6,乙8=60°,则△48C的周长为1)

A.24B.18C.12D.6

【答案】B

【分析】先判定A/18C是等边三角形，进而即可求解.

【详解】解：I•在△48C中，AB=AC=6,48=60°,

・・・ZM8C是等边三角形,

A8C的周长=6x3=18.

故选B.

【点睛】本题上要考查等边三角形的判定，掌握有一个角为60。的等腰三角形是等边三角形是关键.

2.若一个三角形的每一个外角都等于一个不相邻的内角的2倍，那么这个三角形是（）

A.等边三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.钝角三角形

【答案】A

【分析】直接根据三角形外角的性质进行解答即可.

【详解】解：•••三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，

•••若一个三角形的每一个外角都等于一个不相邻的内角的2倍，则与之不相邻的两个内角相等，

・•・这个三角形是等边三角形.

故选:A.

【点睛】本题考查的是三角形外角的性质，等边三角形的判定，熟知三角形的一个外角等于和它不相邻的两

个内角的和是解答此题的关键.

3.如图，直线，/%，△48C是等边三角形，41二40。，则/2的大小为（）

A.50°B.60°C.70°D,80°

【答案】D

【分析】根据等边三角形的性质及外角性质可求43,再根据平行线的性质即可得到结论.

【详解】解•：如图，

•••△力也是等边三角形,

•••Z.A=60°,

vZ1=40°,

•••/3=+44=40°+60°=100°,

•••直线，11电，

:.Z2+Z3=180°,

:.Z2=180°—43=80°,

故选：D.

【点睛】本题考查了等边三角形的性质和平行线的性质，熟记等边三角形的性质和平行线的性质是解题的关

键.

4.在△ABC中，4/1=60。，若使AABC为正三角形，请你再添一个条件：

【答案】4B=AC1答案不唯一）

【分析】根据等边三角形的判定定理解答即可.

【详解】解：添加的条件是：AB=AC1答案不唯一）.

故答案为：AB=AC（答案不唯一）.

【点睛】本题考查的是等边三角形的判定，熟知三条边都相等的三角形是等边三角形；三个角都相等的三角

形是等边二角形；有一个角是60。的等腰二角形是等边二角形是解题的关键.

5.如图，在△ABC中，AB=AC/A=120。,8。=18cm.4B的垂直平分线交4B于点。，交BC干点E；AC的

垂直平分线交4c于点G,交BC于点