第十四章 全等三角形 全章同步练习-2026-2027学年人教版八年级数学上册

第十四章全等三角形

14.1全等三角形及其性质

知识要点分类练夯实基础

知识点1全等形的概念

1.下列图形是全等形的是()

□口令令

ABCD

图14-1-1

2.对于两个图形，有下列结论：①两个图形的周长相等；②两个图形的面积相等；③两个图形的周长和面积都

相等；④两个图形的形状相同，大小也相同.其中能得到这两个图形全等的结论是—（填序号）.

知识点2全等三角形及其相关概念

图14-1-2图14-1-3

4.1教材练习T2变式）如图14-1-3所示,△AOC//M3OD,点A和点13.点C和点D是对应顶点，则NA的对应

角是一，NC的对应角是,AC的对应边是—.

5.如图14-1-4,△ABCg^AED,点B和点E,点C和点D是对应顶点，则/B的对应角是—,AC的对应边是一

图14-1-4

知识点3全等三角形的性质

6.嗷材习题14.1T2变式）如图1Q1-5AABEgZXACD,点B和点C,点E和点D是对应顶点，则下列结论中,

不一定成立的是（）

A.AB=ACB.ZBAE=ZCAD

C.BE=CDD.AD=DE

图14-1-5

7.1教材习题14.1T3变式）图14-1-6中有两个全等三角形，其中的字母表示三角形的边长，那么N1的度数为一

8.（教材习题14.1T5变式）如图14-1-7,AABC丝4CDE,点A和点C,点B和点D是对应顶点.若ND=35Q,/AC

B=45。,则NDCE的度数为一.

9/教材习题14.1T4变式）如图14-1-8点B,F,C,E在一条直线上,△ABC空4DEF,点A和点D,点B和点E是对

应顶点.BC=5cm,CE=2cm,NB=45o,NACB=30。.求线段FC的长和ND的度数.

A

D

图14-1-8

10如图14-1-9,AABCgZ\DEB点A与点D,点B与点E是对应顶点，点E在AB上,DE与AC相交于点F,ZD

=30°,ZC=65°.

（I）ZEBD的度数为

（2）求NDBC的度数.

训练思维

II如图14-1-10,已知△ABCgZ\DCB,AC和DB,AB和DC是对应边,/A=84o,Nl=28。,则N2的大小是()

A.38。B.40°C.42°D.44°

12如图14-1-11.在平面直角坐标系中.ZiOAB的顶点坐标分别是A(60)、B(0.4QOABgZ\AOB.OA与AO.A'

B与0B是对应边.若点A在x轴上，则点的坐标是,

13如图14-1-12,在AABC中.ADJ_BC于点D,点F在AD上,△ABD@Z\CFD,点A与点C,点B与点F是对

应顶点，CF的延长线交AB于点E.

(l)^<iiE：CE±AB;

(2)若BC=7,AD=5,求AF的长.

14如图14-1-13,AABC^ADBE,AC与DE,AB与DB是对应边，点D在AC上,BC与DE交于点P.

(l)SZABE=162°,ZDBC=30。、求/CBE的度数;

(2席AD=DC=2.4,BC=4.1,^<ADCP与aBPE的周长和.

提升素养

15如图14-1-14,在锐角三角形ABC中,D,E分别是AB,AC边上的点,^ADC^△ADC',AAEB^AAEB',SC

D〃EB，〃BC,BE,CD交于点F.若NBAC=35。,求NBFC的大小.

图14-1-14

14.2第1课时判定三角形全等的“边角边”方法

知识要点分类练夯实揄出

知识点1判定两个三角形全等的基本事实——“边角边”

1根据图14-2-1中所给定的条件，可知全等三角形是（）

图14-2-1

A.①和②B.②和③

C①和③D.①和④

2.如图1422，已知/ABC=NDCB,则添加下列条件能直接利用“SAS”判定aABC且ZXDCB的是（）

A.AB=DCB.ZA=ZD

C.ZACB=ZDBCD.AC=DB

图14-2-3

3.如图14-2-3所示点D在AB上点E在AC上,AB=AC,AD=AE,则gAAEB,理由是.

4.如图14-2-4,AB=AD,AC平分NBAD.求证:NB=/D.

5.如图1425,D是AABC的边BC延长线上一点,BD=AB,DE〃AB.DE=BC.求证:BE=AC.

图14-2-5

知识点2全等三角形的判定（SAS）的简单应用

6.1教材习题14.2T3变式）如图1生2-6所示AA；BB，表示两根长度相同的木条若0是AA'BB，的中点羟测量A

B=9cm,则容器的内径AB为)

A.8cmB.9cmC.10cmD.l1cm

7.如图14-2-7所示，小阳同学为电力公司设计了一个安全用电的标识，点A,D,C,F在一条直线上，且AF=DC,B

C=EF,BC〃EF.求证:AB=DE.

规律方法综合练训练思维

8.如图14-2-8,在△ABC中,/B=/C,BE=CD,BD=CF,NEDF=a,则下列结论正确的是（）

A.2a+NA=180cB.a+NA=9()c

C.2a+ZA=90°D.a+ZA=180°

图14-2-8

9.如图14-2-9,把长度确定的两根木棍AB,AC的一端固定在A处，固定AB,使木棍AC绕点A转动彳导到

△ABC和AABD（点C,D在射线BM上），这个实验说明了.

10在校内劳动课上，小明所在小组的同学们设计了如图14-2-10所示的风筝框架.已知点B,F,C,E在一条

直线上2B=/E,AB=DE,BF=EC.若4ABC的周长为24cm,FC=3cm,则制作该风筝框架需用材料的总长度至少是

多少?

AD

图14-2-10

11如图14211,在四边形ABCD中,E为BC边的中点,AE平分/BAD,NAED=90°,F为AD上一点AF=AB,连

接EF.

求证:(l)Z\ABEg^AFE;

(2)AD=AB+CD.

BA

图14-2-11

拓广探究创新练提升素养

12如图14-2-12,ffiAABC+,ZBAC=ZB=60°,AB=AC,D,E分别是边BC,AB所在直线上的动点，且BD=AE,直

线AD与EC交于点F.

(1)当点口上分别在边1^48上运动时，NDFC的度数是否发生变化?若不变，求出其度数；若变化，写出其

变化规律.

(2)当点D,E分别运动到CB,BA的延长线上时，(1)中的结论是否改变?请说明理由.

图14-2-12

专题训练(三)倍长中线法构造全等三角形

典型图形:

AD是△ABC的中线，延长AD至点E,使DE=AD,连接B

E.结论：

倍长中线

C你、①△ACDMEBD;

V®AC=BE.ZCAD=ZBED;

E

③AC〃BE

在AABC中,D是BC的中点，延长ED至点F,使DF=DE,

VA

i车接CF.

倍长类中线

结论：

BD\

、、■/①4BEDgZ^CFD;

②CF=BE/CFD=NBED;③CF〃BE

要典例精讲

如图3-ZT-l,ffiAABC中若AB=8,AC=6,D是BC的中点，试探究BC边上的中线AD的取值范围.

⑴小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法:延长AD到点E,使DE=AD,连接BE请补充完整证明”△

ADCgZXEDB”的推理过程.

证明:如图.延长AD到点E,使DE=AD,连接BE.

VADSAABC的中线,・•・CD=BD.

在AADC?QAEDB中，

42ADDECPERORS.),

:.AADC^AEDB().

(2试探究AD的取值范围.

图3-ZT-1

应用练习

I.在△ABC中,AC=6,中线AD=7,则AB的长度不可能是()

A.7B.9C.17D.19

2.如图3-ZT-2,点D在BC上,CD=AB,ZBDA=ZBAD,AEgAABD的中线.

求正NC=NBAE.

图3-ZT-2

3.如图3-ZT-3,AB=AE,AB±AE.AD=AC,AD±AC,M为BC的中点.

求证:DE=2AM.

图3-ZT-3

第2课时判定三角形全等的''角边角"角角边”方法

知识要点分类练夯实基础

知识点1全等三角形的判定(ASA)的应用

1.如图14213所示在AABC和4DEF中点A,E,B,D在一条直线上,NA=ND,AC=DF,添加下列条件能直

接利用“ASA”判定△ABCgZXDEF的是()

A.AE=DBB.ZC=ZF

C.BC=EFD.ZABC=ZDEF

2.如图14-2-14所示、AB与CD相交于点0,/人=/840=80.又,.,,/.△AOCg△BOD、其依据

是

3.如图14-2-15户局.已矢口NDAB=NCAB,NDBA=NCBA.求证:Z\ADB咨ZXACB.

图14-2-15

4.如图14-2-16,C是线段AB的中点,/B=NACD,AD〃CE.求证:ZXACDgZXCBE.

知识点2仝等三角形的判定(AAS)的应用

5.如图14-2-17,已知/人。记=NACD,要直接利用“AAS”判定AABC丝△ADC,还需要增加的T条件是

图14-2-17

6.如图14-2-18,AB与CD相交于点O,AC=BD,NC=ND.

训练思维

7.如图14-2-19,已知△ABC的六个元素、则图14-2-20甲、乙、丙三个三角形中和AABC全等的是()

图14-2-19

A,甲和乙

C.只有乙D.只有丙

8.如图14-2-21,书架两侧摆放了若干本相同的书籍，左右两摞书中竖直放入一个等腰直角三角形纸片AI3C,

其直角顶点C在书架底部DE上，当顶点A落在右侧书籍的上边沿时，顶点B恰好落在左侧书籍的上边沿.已知每

本书长20cm,厚度为2cm,则两摞书之间的距离DE为

A.24cmB.23cmC.22cmD.21cm

9.如图14-2-22,在AABC中,BD是△ABC的中线，分别过点A,C作BD的垂线，垂足为E,F.若DE=6,CF=8,B

F=10厕4ABC的面积是____.

1()(教材例2变式)如图14-2-23,已知点D在AC上点E在AB±,AABDg△ACE,BD,CE交于点O,则△OBE

与△OCD全等吗?请说明理由.

11.已知:如图14-2-24,AD与BE相交于点F,BD与CE相交于点G,ND=NE,/A=NC,BA=BC.求证:AF=CG.

图14-2-24

拓广探究创新练提升素养

12如图14-2-25,AE与BD交于点C,AC=EC,BC=DC,AB=6cm,点P从点A出发，沿A—B—A的方向以3cm/s

的速度运动;点Q从点D出发，沿D-E的方向以1cni/s的速度运动点P,Q同时出发，当点P回到点A时，P,Q两

点同时停止运动.设点P.Q的运动时间为ts.

⑴直接写出线段BP的长；（用含l的式子表示）

（2涟接PQ,当线段PQ经过点C时，求t的值.

图14-2-25

第3课时判定三角形全等的•边边边一方法

知识要点分类练夯实基础夯实基础

知识点1用“SSS”判定三角形全等

1我国传统工艺中，油纸伞制作非常巧妙，其中蕴含着数学知识.如图14-2-26是油纸伞的张升示意图,AE=A

F,GE=GF,则aAEGg/XAFG的依据是（）

BGC

D

图14-2-26

A.SASB.ASAC.AASD.SSS

2.如图14-2-27,已知AC=DB,要根据“SSS”判定aABC也△DCB,还需要添加的一个条件是.

图14-2-27图14-2-28

3.如图14-2-28耐，在4ABC和4ADC中,AB=AD,BC=DC,NB=13()oWND='

4.如图14229点A,D,B,E在同一条直线上,AD=BE,AC=DF,BC=EF.⑴求证:△ABC^^DEF;

⑵若NA=55o,NE=45。,求NF的度数

图14-2-29

知识点2有关尺规作图

5.如图14230,已知线段a,b,c.求作△ABC,使BC=2a,AB=c,BC边上的中线AD=b（不写作法，保留作图痕迹）.

b

图14-2-30

知识点3全等三角形的判定和性质的综合应用

6.如图14-2-31,点F,A,D,C在一条直线上、AB=DE,AB〃DE,添加下列条件，仍不能判定△ABCgZXDEF的

是（）B

A.BC=EFB.AC=DF

C.AF=DCD.BC〃EFE

7.按照下列条件，能画出唯一三角形的是（）

A.三边长分别为3cm,5cm,8cm

B.AC=5,BC=7,ZA=60°

CA.B=5,BC=6,ZB=60°

D.ZA=40°,ZB=90°,ZC=50°

8.如图14-2-32,在由4个相同的小正方形组成的网格中,N1与N2的和为（）

A.45°B.6O0\.....

C.75°D.90°

9.如图14-2-33,已知AB=AC,AD=AE,BD=|CE,且B,D,E三点共线.

图14-2-32

求正N3=N1+N2.

训练思维

10如图14-2-34,MP=MQ,PN=QN.MN交PQ于点O,则下列结论不一定成立的是（）

A6MPN名△MQNB.ZPMN=ZQMN

C.MQ=NQD.NMPN=NMQN

图14-2-34

11如图14-2-35,在aABC中,人8=人€：出口=0/8人口=20。,口£_£人（3于点£,则/£口©=.

12如图14-2-36,在4x4的正方形网格中，点A,B,C均为小正方形的顶点.

(1在图①中作△ABD与△ABC全等(点D与点C不重合)；

(2衽图②中作AABC的高BE.

图14-2-36

13在ZSABC中,AB=CA,D,E分别是边AC,BC上一点，连接AE,BD交于点G.

(1)如图14-2-37@,F是AE上一点，连接CF.若/BAC=NBGE=/EFC,求证:AG=CF;

(2)如图②,/BAC=9()o,AE_LBD于点G,CF_LAC,交AE的延长线于点F,连接DE.若NADB=NCDE,求证:AD=C

D.

图14-2-37

第4课时作一个角等于已知角及其应用

知识要点分类练夯实基础

知识点1作一个角等于已知角

1.如图14-2-38是作一个角等于已知角的尺规作图的方法，它的依据是（）

2.如图14-2-39是用尺规作NNHB=NAOC所留下的作图痕迹，下列说法错误的是（）

A.弧MD是以点0为圆心，任意长为半径的弧

B弧NE是以点H为圆心，0D长为半径的弧

C.弧FG是以点E为圆心，0D长为半径的弧

D.弧FG是以点E为圆心，DM长为半径的弧

3.如图14240,已知NAOB和Na,利用直尺和圆规在NAOB内作射线OC,使得NBOC=Na.（不写作法，保留

作图痕迹）

，A

知识点2利用作一个角等于已知角完成平行线与三角形尺规作图

4.如图14-2-41是小明用尺规过点C作AB的平行线所留下的作图痕迹，其中正确的是()

ABCD

图14-2-41

5.如图14242,已知线段a和/a.求作△ABC,使AB=AC=a,ZA=Za.

.___2__.L

图14-2-42

规律方法综合练训练思维

6.下列尺规作图中，不能判定直线a〃直线b的是()

丰:立丰与

ABCD

图14-2-43

7如图14-2R4在RtZXABC中,NA=9()o,NACB=62。,按以下步骤作图：⑴以点B为圆心，适当长为半径作弧，

分别交线段BA,BC于点M,N;(2)以点C为圆心，BM的长为半径作弧，交线段BC于点D；(3)以点D为圆心，MN

的长为半径作弧，与(2)中所作的弧相交于点E；(4)过点E作射线CE,与AB相交于点F.则NAFC=

8.如图14-2-45,已知△ABC,NB=45。,用直尺与圆规作AD,使得AD_LBC(不写作法，保留作图痕迹).

B

图14-2-45

第5课时判定直角三角形全等的“斜边、直角边”方法

A知识要点分类练夯实基础

知识点I用“HL”判定直角三角形全等

1.如图14-2-46,P是NBAC内一点，且点P到AB,AC的距离相等厕△PEAWZXPFA的理由是（）

A.HLB.AASC.SSSD.ASA

图14-2-46图14-2-47

2.如图14-2-47,已知点A,D,C,F在一条直线上,/8=/£=90。八8=口£,若添加一个条件后.能利用、爪”判定RtAA

BC^RiADEF,则添加的条件可以是____（只需写一个，不添加辅助线）.

3.如图14-2-48,ffiAABC+>,CB=AB,ZABC=90°,F为AB延长线上一点，点E在边BC上，且AE=CF.

（1球证:RtZ\ABEgRlZ\CBF;

⑵若NCAE=30。,求NACF的度数.

知识点2直角三角形全等的灵活运用

4.如图14-2-49,有两个长度相同的滑梯靠在一面竖直的墙上.已知左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长

度DF相等.若NABC=32。.则NDFE的度数是（）

A.32°B.62。C.580D.68°

5/教材练习T1变式）如图1425。,小明和小芳以相同的速度分别同时从点C,B出发，小明沿CD行走，小芳

沿BA行走，并同时到达点D,A.若AC_LBC,DBJ_BC,则AC与DB相等吗?为什么？

困14-2-50

规律方法综合练训练思维

6.（2025天津红桥区期中）2025年9月9日，常泰长江大桥正式通车.这座公铁合建双层复合型过江通道创下了最

大跨度斜拉桥和最大跨度公铁两用钢桁梁拱桥的世界纪录.其斜拉桥部分侧面示意图如图所示，其中ABLCD,添

加以下条件后，不能判定△ABC0ZXABD的是（）

A.ZABC=ZABDB.ZACB=ZADB

C.AC=ADD.BC=BD

A

7.如图14-2-52,在四边形AB-CD中,NA=90°,连接BD,CE±BD于点E,AB=CE,BD=CD.若AD=5,CD=7,则BE

8.如图14-2-53所示,C,D两地分别位于路段AB的端点的正北方向与正南方向，现有两辆汽车分别从E,F两

地出发，以相同的速度沿直线行驶，相同时间后分别到达C,D两地，休整一段时间后又以原来的速度直线行

驶，最迩同时到达A,B两点，那么CE与DF平行吗?为什么？

图14-2-53

9.如图14-2-54,AD是4ABC的角平分线,ADJ_BC,CE_LBC于点C,且AB=BE,CD=CE.求证:

(1)AB=AC;

(2)RtAABD^RtABEC.

图14-2-54

10如图14-2-55,在4ABC中,AB=AC,DE是过点A的直线,BD_LDE于点D,CE1DE于点E.

（1诺点B,C在DE的同侧（如图①所示）.且AD=CE,求证:AB_LAC.

（2诺点B,C在DE的两侧（如图②所示）且AD=CE,其他条件不变则AB与AC仍垂直吗?若垂直，请给出证

明；若不垂直，请说明理由.

拓广探究创新练提升素养

11如图14-2-56,在RtAABC中.NC=9（）o,AC=I2cm,BC=6cm,一条线段PQ=AB,P,Q两点分别在直线AC和A

C的垂线AX上移动，点P从点A开始移动，且移动的速度为3cm/s.设点P移动的时间为ts,若以点A,B,C

为顶点的三角形与以点A,P,Q为顶点的三角形全等，则t的值为

专题训练（四）全等三角形常见模型

模型一平移模型

(1)求证:△DASZXECB;

（2连接DE,若AB=16,求DE的长.

B

图4-ZT-l

模型二翻折模型

2.（2025南充）如图4-ZT・2,在五边形ABCDE中,AB=AE,AC=AD,NBAD=/EAC.

求证:⑴Z\ABC"AED;

（2）ZBCD=ZEDC.

模型三旋转模型

3.（2025广州）如图4-ZT-3,BA=BE,N1=N2,BC=BD.求证:△ABCgAEBD.

图4-ZT-3

模型四一线三等角模型

类型——线三垂直

方法点睛

4.如图4-ZT-4,在Z\ABC中,NACB=9(r,AC=CB,将4ABC放在平面直角坐标系中，C(-l,O)B(2,1),点A在第

二象限，则点A的坐标为

5.如图4-ZT-5耐，在四边形ABCD中，AB=AD,AB_LAD,AC_LDC.过点B作BE_LAC,垂足为E.若CD=2,C

E=6,则四边开乡ABCD的面积是.

图4-ZT-5

6.如图4-ZT-6①所示在AABC+，ZACB=90°,AC=BC,过点C在AABC外作直线MN,AM1MN于点M,BN

1MN于点N.

(1球证:MN=AM+BN;

(2)如图②，若过点C作直线MN与线段AB相交,AM_LMN于点M,BN±MN于点N,(1)中的结论是否仍然成

立’?请说明理由.

①②

图4-ZT-6

类型二一线三斜角

方法点睛

典型图形图形特征典型结论

A

点B,C,E在一条直线上，Z只要题目再出现一组等边(BE=CA或

B=ZAEF=ZC.EF=AE或BF=CE),则ABEF且ZXCAE.

BEC

B只要题目再出现一组等边(AE=CF

点E,C,F在一条直线上2AE

或EC=FB或AC=CB),则AAEC^AC

C=ZACB=ZBFC.

ECFFB.

7.如图4-ZT-7,在aABC中,D为AB上一点,DE=FD=6,NA=NEDF=NB,四边形CEDF的周长为20,AABC的

周长为36,求AB的长.

C

ADB

图4-ZT-7

8.如图4ZT8,在4ABC中,AB=CA,D,A,E三点都在直线m上并且有ZBDA=NAEC=NBAC=a,其中a为任

意锐角或钝角.求证:DE=BD+CE.

图4-ZT-8

14.3第1课时作一个角的平分线、角的平分线的性质

知识要点分类练夯实基础

知识点1角的平分线的作法

1.如图14-3-1,已知NAOB,求作射线0C,使0C平分NAOB,那么作法的合理顺序是（）

①作射线0C

②以点0为圆心，适当长为半径作弧，交0A于点D,交0B于点E;

③分别以点D,E为圆心，大于!DE的长为半径作弧，两弧在/AOB的内部相交于点C.

,

A.①②③B.②©③C.②③①D.③①②

2.如图14-3-2,已知E是NAOB的边0A上一点，EF〃OB.请用尺规在EF上求作一点P,连接0P,使得

图14-3-2

知识点2角的平分线的性质

3如图14-3-3QC平分NAOB,点P在0C上.PD_LOB于点D,PD=2厕点P到0A的距离是（）

A.4B.3C.2D.1

4.如图1434,在RtAABC中,/C=9（）o,NB=40。以点A为圆心，适当长为半径作弧，交AB于点E,交AC于点F;

再分别以点E,F为圆心，大于;EF的长为半径作弧，两弧（所在圆的半径相等）在NBAC的内部相交于点P；作射

线AP,与BC相交于点D,则NADC的大小为（）

A.60°B.65°C.70°D.75°

5.如图14-3-5,在AABC中,AB=5,AD平分NBAC,交BC于点D,DEJ_AC,垂足为E.gAABD的面积为5,

则DE的长为（）

A.IB.2C.3D.5

6.如图14-3-6,CD_LAB,BE_LAC,垂足分别为D,E,BE与CD相交于点0,且N1=/2.求证:0B=0C.

图14-3-6

规律方法综合练训练思维

7.如图14-4-7.在Rt/\ARC中、/090。以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交AR,AC于点D,F,再分别以

点D,E为圆心，大于;DE的长为半径作弧，两弧交于点F,作射线AF,交BC于点G.若AB=12,CG=3,则△ABG

的面积是()

A.I2B.I8C.24D.36

8.如图14-3-8,在RtAABC中,NC=90°,AC=4cm,BC=3cm,AB=5cm,0是NCAB与/CBA的平分线的交点，

则点O到AB的距离为.

A

9把两个相同的含有3()。角的三角尺按如图14-3-9所示方式放置其中M是AD与BC的交点MC=4.若AB=m,

则SATML—•(用含m的式子表示)

1。命题“有两角及其中一角的平分线对应相等的两个三角形全等”的已知是_______________________________,

结论是___________________.

11如图14-3-1(),在RtAABC中,NC=9()o,AD平分NBAC,交BC于点D,DE±AB于点E,点F在边AC上，且DF

=DB.

⑴求证:CF=EB;

(2诺AB=20,AF=8,求EB的长.

拓广探究创新练提升素养

12.【发现】如图14-3-11①在四边形ABCD中,NB=NC=90o,E为BC的中点,DE平分NADC过点E作EF_LA

D,垂足为F,连接AE.

(I球证:AE是NDAB的平分线；

【拓展】如图②,AB〃DC,NBAD和NADC的平分线AE和DE相交于点E,过点E的直线与AB.DC分别相

交于点B,C(点B,C在AD的同侧|).

(2涉I」断E是不是线段BC的中点，并说明理由;

(3)若四边形ABCD的面积为16KABE的面积为2,则ACDE的面积是

图14-3-11

第2课时角的平分线的判定

知识要点分类练夯实基础

知识点1角的平分线的判定

1.下列作图中，点M到AC,BC两边的距离相等的是()

图14-3T2

2.如图14-3-13,ZAOB=70°,QC±OA,QDOB、垂足分别为C,D.若QC=QD,则/AOQ=

ODB

图14-3-13

3.1教材练习T1变式)如图14-3-14,BF±AC于点F,CE1AB于点E,BF和CE交于点D,且BE=CF.求证:AD平

分NBAC.

图14-3-14

知识点2三角形内外角的平分线

4.如图14-3-15,为了促进当地旅游业的发展，某地要在三条公路围成的一块三角形平地ABC上修建一个度假

村.要使这个度假村到三条公路的距离相等，则它应该修在)

A.AABC的三条中线的交点处

B.AABC的三条角平分线的交点处

C.AABC的三条高所在直线的交点处

D.AABC的三边的垂直平分线的交点处

图14-3T6

5.如图14-3-16,AE与BF交于点0.连接CO并延长，交AB于点G,根据尺规作图的痕迹，判断下列说法中

不正确的是()

A.AE,BF是4ABC的角平分线

D.CG是AABC的角平分线

C.AO=BO=CO

D.点O到AABC三边的距离相等

6.如图14-3-17,点0在AABC内，且它到三边的距离相等.若NA=60。厕NBOC=—0.

7/教材练习T2变式）如图14-3-18,ZABC的平分线与AABC的外角NACP的平分线相交于点D,连接AD.求

证:AD是aABC的外角NCAQ的平分线.

图14-3-18

规律方法综合练训练思维

8.如图14-3-19,在aABC中,AB=9,AC=3,BC=7,点D在边BC上点D到边AB,AC的距离相等，且AE=AC厕△

9.如图14-3-20,AABC的三边AC,BC,AB的长分别是8,12/6,。是4八8。的三条角平分线的交点，则SAOAB：

OBC：SAOAC的值为（）

A.4:3:2B.5:3:2

C.2:3:4D.3:4:5

10如图14321是三条两两相交的笔直公路，某物流公司现要修建一个货物中转站，使它到三条公路的距离

相等，则这个货物中转站可选的位置有（）

A.3个B.4个C.5个D.1个

图14-3-21图14-3-22

11如图14-3-22所示,△ABC是一个正在修建的口袋公园.要在公园里修建一座凉亭H,使该凉亭到公路AB,

AC的距离相等，且使得S△相叶丛品"则凉亭H的位置是)

A.ZBAC的平分线与AC边上的中线的交点

B.ZBAC的平分线与AB边上的中线的交点

C.ZABC的平分线与AB边上的中线的交点

D.ZABC的平分线与BC边上的中线的交点

12如图14-3-23,在RtAABC中,/ACB=9O°,CD1AB于点D.

(1)尺规作图：在BC边上求作点Q,使得点Q到边AB的距离等于CQ的长(保留作图痕迹，不写作法);

(2芯(1)的条件下，连接AQ交CD于点P.若/ABC=56。,求NCPQ的度数.

图14-3-23

13如图14-3-24,ABC中，点D在BC边上,NBAD=8()o,NABC的平分线交AC于点E,过点E作EFJ_AB,交

BA的延长线于点F,且NAEF=40。.连接DE.

(1)求/CAD的度数；

(2)求证:DE平分NADC;

(3席AB=6,AD=3,CD=72且⑦=10.2，求AABE的面积.

图14-3-24

专题训练（五）与角平分线有关的全等证明的三种方法

方法点睛

如图5-ZT-1T是/MON的平分线上一点.过点P作PA10M于点A,PB±ON于点B.

结论:PB=PA.

BN

图5-ZT-1

1.如图5-ZT-2,在四边形ABCD中,NB=ZC=90°,E为BC的中点，且AE平分NBAD.求证:DE是NADC的平

图5-ZT-2

2.如图5-ZT3P为/ABC的平分线上的一点，点D和点E分别在AB和BC上且BD<BE,PD=PE,试猜想ZB

DP与/BEP的数量关系，并给予证明.

A

BE

图5-ZT-3

3.如图5-ZT-4,在四边形ABCD中,AC平分NBAD,CE_LAB于点E,ZB+ZD=180°.

⑴若CE=5,求点C到AD的距离:

(2)求证:AE=AD+BE.

图5-ZT-4

方法二作延长

方法点睛

如图5-ZT-5所示T是ZMON的平分线上的一点，AP10P于点P,延长AP交ON于点B.

结论:OA=OB.

4.如图5-ZT-6,在4ABC中,AD平分NBAC,交BC于点D,BE1AD于点E.探究/ABE,NDBE,/C之间的数量

关系.

图5-ZT-6

5.如图5-ZT-7,在aABC中,BD平分NABC,AD1BD于点D,ABCD的面积为45,AADC的面根为20.求4AB

D的面积.

图5-ZT-7

6.如图5-ZT-8,在AABC41,ZA=90o,AB=AC,BD平分NABC,交AC于点D,CE_LBD,交BD的延长线于点E.

求证:BD=2CE.

图5-ZT-8

方法三作对称（截长补短）

方法点睛

如图5-ZT-9,P是/MON的平分线上一点，A是射线OM上任意一点，在ON上截取OB=OA,连O接PB.

结论:ZXOPB四△OPA.

图5-ZT-9

7.如图5-ZT-10所示,AD是aABC的角平分线，P是AD上异于点A的任意一点，试比较PC-PB与AC-AB

的大小.并说明理由.

A

图5-ZT-10

8.如图5-ZT-ll,AB〃CD,BE平分NABC,CE平分NBCD,点E在AD上.

求证:(1)AE=DE;

(2)BC=AB+CD.

图5-ZT-11

第十四章全等三角形数学活动

活动1利用全等设计图案

如图14-S-1①，正方形被划分成16个全等的三角形，将其中若干个三角形涂黑，且满足下列条件：

（1）涂黑部分的面积是原正方形面积的一半；

⑵涂黑部分中存在全等图形.

如图②是一种涂法，请在图④⑤⑥中分别设计另外三种不同的涂法.（在所设计的图案中，若涂黑部分全等，则

认为是同一种涂法，如图②与图③视为同一种涂法）

①②③

图14-S-1

活动2用全等三角形证明拼图猜想

1.如图14-S-2,将等腰三角形（非直角三角形）对折，沿着中间的折痕剪开，得到两个形状和大小都相同的直角

三角形，将这两个直角三角形拼在一起，使得它们有一条相等的边是重合的，你能拼出多少种不同的平面图形（原

图除外门请你画出所拼的图形.

图14-$2

2.如图146-3,4人1^^4人8。.把4人13（2,4、139剪下来,用它们拼图,使边BC与边BC重合，顶点A与顶点

A，不重合，画出你拼出的图形.在你画出的图形中，连接AAL用测量、折纸等方法猜想BC,AA，有什么关系，然

后用全等三角形的知识证明你的猜想.

图14-S-3

第十四章全等三角形核心要点回顾

核心要点一全等三角形的性质与判定

1.如图14-X-1,已知AABC且△DEC,NA=60<>,NB=40。,则NDCE的度数为()

2.工人师傅常用角尺平分f任意角做法如下如图14-X-2/AOB是一个任意角，在边OAQB上分别取

OM=ON移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点M,N重合，即CM=CN,过角尺顶点C的射线0C便是/AOB

的平分线.这种做法的依据是（）

A.AASB.SASC.SSSD.ASA

3.如图14-X-3C是AB的中点.且CD=BE请添加一个条件：使得△ACDgZXCBE.

4.如图14-X-4,点B,F,C,E在同一条直线上,AC=DF,/A=/D,AB