高中信息技术一年级《用穷举法求解问题的基本过程》教学设计

高中信息技术一年级《用穷举法求解问题的基本过程》教学设计教材分析本课选自粤教版高中信息技术选修1《算法与程序设计》第四章第二节第一课时。教材在前面章节中引导学生认识了算法的概念、了解了算法的描述方法、掌握了顺序结构、选择结构和循环结构等三种基本控制结构，学生对程序设计已经有了初步的感性体验和动手经验。本节内容在此基础上，向学生介绍用穷举法求解问题的基本过程，是学生从"会用程序"走向"会用算法思想解决问题"的关键一步。穷举法又称枚举法，是人类最古老也最朴素的一种算法策略。它的核心思想是：根据问题中的部分已知条件，确定答案的大致范围，在此范围内逐一列举所有可能的情况，并对每一种情况进行验证，把符合问题条件的解保留下来。穷举法看似"笨拙"，却因为计算机强大的运算能力而大放异彩——人算一小时的工作，机器瞬间即可完成。教材选择"鸡兔同笼""百钱买百鸡"等经典问题作为载体，既贴近学生的数学认知基础，又能让学生在对比中体会算法设计对问题求解效率的影响，为后续学习递推法、分治法、查找与排序算法奠定思想基础。普通高中信息技术课程标准强调，本模块要使学生"体验算法思想，了解算法和程序设计在解决问题过程中的地位和作用；能从简单问题出发，设计解决问题的算法，并能初步使用一种程序设计语言编制程序实现算法解决问题"。本节教学正是落实这一要求的具体载体。教学中应当避免把穷举法讲成一道数学题的解法，而应当把它作为算法思维的启蒙课，让学生在"分析问题—确定穷举范围和验证条件—设计算法—编写调试程序—优化改进"的完整过程中，建构起算法求解问题的一般方法论。学情分析授课对象为高一年级学生。经过必修模块和本选修模块前几章的学习，学生已经具备以下基础：能够使用流程图描述简单算法，掌握了VB语言（或Python语言，视学校选用的语言环境而定）中变量、赋值语句、输入输出语句、If选择结构和For循环结构的基本语法，能够独立运行和简单调试程序。同时，学生的困难也相当明显。第一，部分学生习惯于"先看出答案，再写程序"，对于穷举这种"把答案试出来"的思维方式感到陌生，甚至产生"这也算聪明办法吗"的疑问，这说明学生对算法的理解还停留在操作层面，尚未上升到思想层面。第二，学生在确定穷举范围和验证条件时容易出错，比如百钱买百鸡问题中，公鸡、母鸡、小鸡的取值范围如何界定、三重循环能否简化、判断条件中整数除法与实数除法的区别等，都是易错点。第三，学生的抽象概括能力处于发展阶段，从具体问题中提炼出穷举法的一般解题模式，需要教师搭设阶梯、逐步引导。基于上述分析，本课教学策略确定为：以经典问题情境激趣，以人手运算与机算对比制造认知冲突，以任务驱动贯穿探究过程，以思维导图和流程图为支架帮助学生抽象建模，以分层任务照顾差异，最后通过变式练习促成迁移。教学目标信息意识方面：学生能够认识到，面对有确定解空间的问题，穷举是一种可靠而普遍的解题策略；能够初步判断一个问题是否适合用穷举法求解，体会算法思想在问题解决中的价值。计算思维方面：学生经历分析鸡兔同笼、百钱买百鸡问题的完整过程，能够归纳出用穷举法求解问题的基本步骤，即明确问题的解空间、确定穷举对象与取值范围、确定验证条件、逐个列举并检验、输出所有满足条件的解；能够用流程图表达穷举算法，并将其转化为可运行的程序；能够通过对循环次数的统计和比较，初步感知算法优化的方向，形成"缩小范围、减少重举、降低重数"的优化意识。数字化学习与创新方面：学生能够在编程环境中独立完成程序的编写、调试与改进，尝试修改参数探究算法效率，养成用实验数据说话的习惯。情感态度方面：学生在与古代数学名题的对话中感受中华数学文化的魅力，在"笨办法"与"巧办法"的辩证讨论中理解算法设计没有最好只有更适合，建立严谨、求实、敢于试错的科学态度。教学重点与难点教学重点：理解穷举法的基本思想；掌握用穷举法求解问题的基本过程；能够用流程图和程序实现简单的穷举算法。教学难点：穷举范围与验证条件的准确界定；从具体实例中抽象出穷举法求解问题的一般模式；初步形成算法优化的意识。教学方法与课前准备教学方法采用问题驱动法、任务驱动法、讲授点拨法与小组协作相结合。教学环境为配备多媒体广播系统的网络机房，学生人手一机，预装编程环境，教师机安装极域电子教室软件以便广播演示、分发任务和收集作品。课前准备包括：制作教学课件，内含鸡兔同笼古题动画、穷举过程动态演示、流程图模板；准备分层任务单打印稿；准备记录循环次数的对比实验表格；在服务器上布置好学生素材文件夹。教学过程第一环节：情境导入，设疑激思（约6分钟）上课伊始，教师在大屏幕上呈现《孙子算经》中的名题：今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何。教师简要介绍这道题出自一千五百多年前的中国数学典籍，曾漂洋过海传到日本，被称为"龟鹤算"，引发学生的民族自豪感与探究兴趣。教师提问：不用方程，不用假设法，你能不能得到答案？学生凭小学奥数的经验，多数能报出答案：鸡23只，兔12只。教师追问：如果笼子里不是35个头，而是3500个头、9400只脚，你还能快速算出来吗？学生面露难色。教师再追问：如果题目变成"三位数中，各位数字之和等于15且能被7整除的数有哪些"，你打算怎么找？在学生沉思之际，教师点拨：人的聪明之处在于寻找巧劲，计算机的聪明之处在于它从不知疲倦。今天我们换一条路，不追求"妙解"，而让计算机把所有可能的答案挨个试一遍——凡是被检验为真的，就是我们要找的答案。这就是本节课的主角：穷举法。教师板书课题，并出示本节课的学习目标。设计意图：以经典古题创设文化情境，通过"数字变大、巧法失灵"的认知冲突，让学生产生对穷举策略的真实需求，使新知学习水到渠成，避免空讲道理。第二环节：初试身手，感知思想（约10分钟）教师布置小任务一：同桌两人一组，用笔和纸，找出1到100之间所有能被7整除且个位数字是3的两位数以外的数是否存在，并把寻找过程记录下来。若干学生很快写出63。教师请两名学生描述寻找过程，有的说"把7的倍数背了一遍"，有的说"从13、23、33……看下去，打头的带3的数中看谁能被7除尽"。教师抓住学生的原生态回答进行提炼：你们刚才都不约而同地做了三件事。第一件，划定了搜索的地盘——范围；第二件，把地盘里的候选者一个个请出来——列举；第三件，对每个候选者做体检，合格的留下——检验。教师顺势给出穷举法的定义：穷举法就是在可能的解空间中，按照某种顺序不重复、不遗漏地列举出每一个候选解，并用问题的条件逐一检验，从而求得全部解的方法。教师特别强调"不重复、不遗漏"这六个字，它是穷举法可靠性的生命线，也是穷举法区别于"碰运气瞎试"的本质特征。接着，教师演示：如果把这个任务交给计算机，代码只需要一个For循环套一个If判断，几秒钟算出结果，而且绝对不会因为粗心漏掉任何一个数。学生在对比中初步体会到穷举法与计算机之间的天然默契。设计意图：让学生亲历一次"手工穷举"，从自己的真实行为中归纳出穷举三要素，使定义从经验中生长出来，而非从书本上灌下去。这一环节也为后面的抽象建模埋下伏笔。第三环节：任务驱动，探究新知（约20分钟）教师出示核心任务：用程序求解鸡兔同笼问题，头数h和脚数f由用户从键盘输入。教师将探究分解为四个递进的子问题，组织全班边议边做。子问题一：明确已知与所求。设鸡的数量为x只，兔的数量为y只，已知总头数h和总脚数f，要求所有满足条件的x和y。学生容易写出两个关系：x＋y＝h，2x＋4y＝f。子问题二：确定穷举范围。教师提问：鸡的数量x可能取哪些值？学生讨论后明确：x最小为0，最大为h，所以x在0到h之间；相应的，y＝h－x也随之确定。教师强调：范围划得太小会漏解，划得太大浪费运算，"正好包住所有可能解"是最理想的状态。子问题三：确定验证条件。对每一个候选的（x，y），检验的表达式是2x＋4y＝f是否成立。教师提醒学生注意程序语言中判断相等用的是"="或"=="运算符，不能写成赋值语句。子问题四：画流程图、写程序。学生在任务单的流程图模板上完成设计，教师巡视并用实物投影展示两份有代表性的作品（一份正确，一份循环终值写错），组织全班诊断纠错。随后学生上机编程，参考代码框架如下：用输入语句读入h和f；用For循环令x从0变化到h；循环体内计算y＝h－x；用If语句判断条件2x＋4y＝f是否成立，成立则输出x和y。调试过程中，教师重点辅导三类典型错误：循环边界错误导致的漏解或越界、输出语句位置放错、把判断条件误写成赋值。程序正确运行的学生，教师鼓励他们多做几组数据测试，包括无解的情形，引导学生发现：若没有任何一组（x，y）满足条件，程序什么提示都没有，用户体验不好，能否加一个计数变量统计解的个数，输出"无解"的友好提示？这一改进让学有余力的学生先"吃饱"。学生在完成程序后，教师组织简短交流：刚才的程序里，循环体一共执行了h＋1次，每次只做一次判断，这就是穷举。无论题目数字多大，这个套路都不变——变的只是范围和条件，不变的是"列举加检验"的灵魂。设计意图：把一个完整的问题解决过程切成"分析—定范围—定条件—画流程图—编程序—再改进"的台阶，让学生每一步都走得稳、看得见，从而真切体验用穷举法求解问题的基本过程，同时渗透程序健壮性的工程意识。第四环节：模式抽象，建构方法（约6分钟）教师引导学生回头看刚才走过的完整路程，共同提炼用穷举法求解问题的基本过程，并在黑板上以思维导图的形式呈现：第一步，分析问题，明确什么是解，解由哪些要素构成；第二步，确定穷举范围，即每个解要素的取值区间，做到不重不漏；第三步，确定检验条件，把题目中的约束翻译成程序能判断的逻辑表达式；第四步，设计算法，用循环结构实现逐一枚举，循环体内嵌选择结构实现检验；第五步，编写程序并上机调试，用多组数据验证正确性；第六步，审视算法，思考范围能否缩小、检验能否提前，寻求改进。教师总结：这六步中，前三步是"想清楚"，第四步是"说明白"，第五步是"做出来"，第六步是"做得巧"。想清楚永远比动手写更重要，这是算法课的铁律。设计意图：帮助学生把零散的操作经验上升为稳定的方法论，形成可迁移的认知图式，落实课程标准"能设计解决问题的算法"的要求。第五环节：变式迁移，分层拓展（约14分钟）教师布置分层任务，学生根据自己的进度选择完成。基础层任务：百钱买百鸡。公鸡5文钱一只，母鸡3文钱一只，小鸡三只1文钱，用100文钱买100只鸡，问公鸡、母鸡、小鸡各买多少只？输出所有方案。教师提示三个关键信息：设公鸡x只、母鸡y只、小鸡z只，则x＋y＋z＝100且5x＋3y＋z÷3＝100；注意z必须是3的倍数，否则会陷入除不尽的麻烦，可以让z按步长3递增；巧妙的学生甚至可以利用z＝100－x－y把三重循环降为二重循环。提高层任务：统计并对比。在你的百钱买百鸡程序中加入计数器，分别用"三重循环暴力版"和"二重循环改进版"两个方案求解，记录各自循环体执行的次数，填入实验表格，并写一句话说明你发现的规律。挑战层任务：寻找"水仙花数"的全部三位数（各位数字立方和等于其本身的数，如153），并尝试把解题流程图与鸡兔同笼的流程图并排比较，用红笔圈出两份流程图中结构相同的部分。学生上机实践，教师巡视，对基础薄弱的学生优先保证其完成基础任务，对进度快的学生个别点拨优化思路。收集几份不同层次的程序在屏幕上展示，请作者讲解自己的设计取舍。交流环节中，教师结合学生的对比实验数据点拨：三重循环执行了几百万次判断，二重循环只有几千次，结果完全一样。可见穷举不是蛮干，缩小范围、消去变量、剪去不可能的分支，立刻换来数量级的提速。这就是我们下一节课要深入探讨的穷举法优化问题，今天的数据就是最好的预告片。设计意图：分层任务尊重差异，基础任务保底、提高任务启思、挑战任务拔尖；对比实验让学生用数据实证算法优化的价值，为第二课时埋下伏笔；流程图并排比较直指穷举模式的迁移运用，深化结构性理解。第六环节：归纳小结，情智共育（约3分钟）教师引导学生用"三个一"回顾本课：一种思想——穷举，以不变应万变，让计算机的烦恼替我们分忧；一个过程——分析问题、确定范围、确定条件、设计算法、编程调试、审视优化；一份启示——笨办法遇上快机器就是好办法，而聪明人能在这个好办法上再锦上添花。教师结语：一千五百年前，古人用智慧解开了鸡兔同笼；今天，你们用几行代码让计算机替自己思考。工具在变，问题求解的思维方式一脉相承。愿你们既会算得快，更会想得深。第七环节：布置作业必做题：完成百钱买百鸡程序并保存工程，把程序流程图誊画在作业本上，标注每一步对应的穷举法基本过程。选做题：探究"将一张100元钞票换成面值为50元、20元、10元、5元的零钱，共有多少种换法"，先独立确定穷举范围和检验条件，再编程验证。思考题：同样是穷举思路，"密码破解软件逐个尝试所有可能的密码组合"与我们今天的解题有什么相同和不同？查阅资料，谈谈你对技术伦理的看法，下节课课前分享。板书设计主板书分为三栏。左栏呈现课题与穷举法定义，突出"不重复、不遗漏"；中栏呈现用穷举法求解问题的六步基本过程，以横向箭头连接成流程；右栏以鸡兔同笼为例，纵向对应写出范围"0≤x≤h，y＝h－x"、条件"2x＋4y＝f"以及关键代码结构"For…If…Next"。屏幕侧预留副板书位置，用于即时生成学生讨论中出现的典型错误与优化数据，使板书成为课堂思维的动态档案。教学评价设计本课采用过程性评价与结果性评价相结合的方式。过程性评价依托任务单完成质量、上机调试记录、对比实验表格和课堂发言，重点考查学生是否能独立确定穷举范围与检验条件、是否形成规范的调试习惯；结果性评价通过分层作业的完成情况进行，基础层看程序正确性，提高层看实验结论的科学性，挑战层看方法迁移的灵活性。评价主体兼顾教师点评、组内互评与学生自评，让学生在多元反馈中校