华中科技大学《高等代数》试题集及解答

华中科技大学《高等代数》试题集及解答考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、填空题（每题4分，共20分）1.若向量组α₁,α₂,α₃线性无关，则向量组2α₁-α₂,α₂+α₃,α₁-2α₂+α₃的秩为_______。2.设A是n阶可逆矩阵，B是n阶零矩阵，则矩阵|A-B|=_______。3.矩阵A=[[1,2],[3,4]]的特征值为λ₁和λ₂，则|λ₁λ₂|=_______。4.设V是R⁴的一个二维子空间，α₁=[1,0,1,0]ᵀ,α₂=[0,1,0,1]ᵀ是V的一组基，向量β=[1,1,1,1]ᵀ，则β在基α₁,α₂下的坐标为_______。5.二次型f(x₁,x₂,x₃)=x₁²+2x₂²+3x₃²+2x₁x₂+2x₁x₃+4x₂x₃经正交变换x=Pz可化为标准形f=5z₁²+z₂²-z₃²，则矩阵A=_______。二、选择题（每题5分，共25分）1.下列向量组中，线性无关的是（）。A.[1,2,3]ᵀ,[2,4,6]ᵀ,[3,6,9]ᵀB.[1,0,1]ᵀ,[0,1,1]ᵀ,[1,1,0]ᵀC.[1,1,1]ᵀ,[1,2,3]ᵀ,[1,3,5]ᵀD.[1,-1,0]ᵀ,[0,1,-1]ᵀ,[-1,0,1]ᵀ2.设A,B是n阶矩阵，且AB=O，则下列结论中必正确的是（）。A.A或B至少有一个是零矩阵B.A和B的秩之和小于nC.A和B都有非零特征向量D.A和B的行列式都为零3.n阶矩阵A可逆的充分必要条件是（）。A.A有n个非零特征值B.A的行向量组线性无关C.A的每个顺序主子式都非零D.A可表示为若干个初等矩阵的乘积4.设T是Rⁿ到Rᵐ的线性变换，α是Rⁿ中的一个非零向量，若T(α)=0，则称α是T的一个（）。A.特征向量B.根向量C.核向量D.像向量5.设A是n阶实对称矩阵，则下列结论中正确的是（）。A.A的特征值都是正数B.存在正交矩阵P，使得PᵀAP为对角矩阵C.A的不同特征值对应的特征向量正交D.A可逆当且仅当A的特征值全不为零三、计算题（每题10分，共40分）1.计算四阶行列式D=|abcdefghijklmno|，其中a,b,c,d位于行列式的第1行，且a=b=c=d=1，其余元素均为0。2.设矩阵A=[[0,1,2],[1,0,3],[2,3,0]]，求A的逆矩阵A⁻¹（若存在）。3.求线性方程组{x₁+2x₂+x₃=1{2x₁+x₂+3x₃=2{x₁+x₂+2x₃=1的全部解。4.设线性变换T:R³→R³在基β₁=[1,0,1]ᵀ,β₂=[0,1,1]ᵀ,β₃=[1,1,0]ᵀ下的矩阵为T=[[1,1,1],[1,2,1],[1,1,3]]，求T在基α₁=[1,0,0]ᵀ,α₂=[1,1,0]ᵀ,α₃=[1,1,1]ᵀ下的矩阵。四、证明题（每题15分，共30分）1.设A是n阶矩阵，且满足A²=A。证明：A的特征值只能是0或1。2.设V是数域F上一个3维向量空间，α₁,α₂,α₃是V的一组基。证明：存在V中的一个非零向量β，使得β不能被α₁,α₂,α₃线性表出。---试卷答案一、填空题1.32.|A|3.44.[1,-1,1,-1]ᵀ5.[[1,1,1],[1,2,2],[1,2,3]]二、选择题1.B2.D3.B4.C5.C三、计算题1.解：利用行列式的性质，将第2,3,4行分别加到第1行，得D=|411100000000000||103010000000000||230010000000000||230010000000000|将第2,3,4行分别减去第1行，得D=|411100000000000||-3-12-110000000000||-22-1-110000000000||-22-1-110000000000|继续对第2,3,4行进行行变换，将第3行加到第2行，第4行加到第2行，得D=|411100000000000||-511020000000000||-22-1-110000000000||000020000000000|此时行列式为上三角行列式，其值为对角线元素的乘积。计算得D=4*(-5)*1*2=-402.解：计算行列式|A|=-5≠0，故A可逆。利用伴随矩阵法求逆，计算各代数余子式：A₁₁=(-1)^(1+1)*|[[0,3],[3,0]]|=-9A₁₂=(-1)^(1+2)*|[[1,3],[2,0]]|=6A₁₃=(-1)^(1+3)*|[[1,0],[2,3]]|=3A₂₁=(-1)^(2+1)*|[[1,2],[2,0]]|=-4A₂₂=(-1)^(2+2)*|[[0,2],[2,0]]|=-4A₂₃=(-1)^(2+3)*|[[0,1],[2,3]]|=-2A₃₁=(-1)^(3+1)*|[[1,2],[0,3]]|=3A₃₂=(-1)^(3+2)*|[[0,2],[1,3]]|=-2A₃₃=(-1)^(3+3)*|[[0,1],[1,2]]|=-1伴随矩阵A*=[[-9,6,3],[-4,-4,-2],[3,-2,-1]]ᵀ。故A⁻¹=(1/|A|)*A*=(-1/5)*[[-9,6,3],[-4,-4,-2],[3,-2,-1]]ᵀ=[[9/5,-6/5,-3/5],[4/5,4/5,2/5],[-3/5,2/5,1/5]]ᵀ3.解：增广矩阵为[[1,2,1|1],[2,1,3|2],[1,1,2|1]]对行进行初等行变换：R₂->R₂-2R₁=>[[1,2,1|1],[0,-3,1|0],[1,1,2|1]]R₃->R₃-R₁=>[[1,2,1|1],[0,-3,1|0],[0,-1,1|0]]R₂->(-1/3)R₂=>[[1,2,1|1],[0,1,-1/3|0],[0,-1,1|0]]R₃->R₃+R₂=>[[1,2,1|1],[0,1,-1/3|0],[0,0,2/3|0]]R₃->(3/2)R₃=>[[1,2,1|1],[0,1,-1/3|0],[0,0,1|0]]R₁->R₁-R₃=>[[1,2,0|1],[0,1,-1/3|0],[0,0,1|0]]R₂->R₂+(1/3)R₃=>[[1,2,0|1],[0,1,0|0],[0,0,1|0]]R₁->R₁-2R₂=>[[1,0,0|1],[0,1,0|0],[0,0,1|0]]故通解为x₁=1,x₂=0,x₃=0.即(1,0,0)ᵀ。4.解：设T(αᵢ)=[x₁ᵢ,x₂ᵢ,x₃ᵢ]ᵀ(i=1,2,3)。则T(α₁)=T([1,0,0]ᵀ)=[1,1,1]ᵀ=x₁₁[1,0,1]ᵀ+x₁₂[0,1,1]ᵀ+x₁₃[1,1,0]ᵀT(α₂)=T([1,1,0]ᵀ)=[1,2,1]ᵀ=x₂₁[1,0,1]ᵀ+x₂₂[0,1,1]ᵀ+x₂₃[1,1,0]ᵀT(α₃)=T([1,1,1]ᵀ)=[1,1,3]ᵀ=x₃₁[1,0,1]ᵀ+x₃₂[0,1,1]ᵀ+x₃₃[1,1,0]ᵀ写成矩阵形式：[[1,1,1],[1,2,1],[1,1,3]]*[[x₁₁,x₂₁,x₃₁],[x₁₂,x₂₂,x₃₂],[x₁₃,x₂₃,x₃₃]]=[[1,1,1],[1,2,1],[1,1,3]]令B=[[x₁₁,x₂₁,x₃₁],[x₁₂,x₂₂,x₃₂],[x₁₃,x₂₃,x₃₃]]ᵀ，则(T-I₃)B=0[[0,1,1],[1,1,1],[1,1,2]]*B=0对增广矩阵进行行变换：[[0,1,1|0],[1,1,1|0],[1,1,2|0]]R₁<->R₂=>[[1,1,1|0],[0,1,1|0],[1,1,2|0]]R₃->R₃-R₁=>[[1,1,1|0],[0,1,1|0],[0,0,1|0]]R₁->R₁-R₂=>[[1,0,0|0],[0,1,1|0],[0,0,1|0]]R₂->R₂-R₃=>[[1,0,0|0],[0,1,0|0],[0,0,1|0]]得B=0，即[[0,0,0],[0,0,0],[0,0,0]]ᵀ。故T(α₁)=0α₁+0α₂+0α₃=0。T在基α₁,α₂,α₃下的矩阵为T=T(α₁)α₁⁻¹+T(α₂)α₂⁻¹+T(α₃)α₃⁻¹=0=[[0,0,0],[0,0,0],[0,0,0]]四、证明题1.证明：设λ是A的特征值，α是对应的特征向量，即Aα=λα,α≠0。两边左乘A，得A²α=A(λα)=λ(Aα)=λ²α。又因为A²=A，所以A²α=Aα=λα。因此λ²α=λα。由于α≠0，故λ²=λ。解得λ(λ-1)=0，所以λ=0或λ=1。故A的特征值只能是0或1。2.证明：假设对任意β∈V，β都可以被α₁,α₂,α₃线性表出，即存在c₁,c₂,c₃∈F使得β=c₁α₁+c₂α₂+c₃α₃。令W=L{α₁,α₂,α₃}，则β∈W。但W的维数为3（因为α₁,α₂,α₃是基），所以W=V。因此，任意β∈V都可以被α₁,α₂,α₃线性表出。现在假设存在一个非零向量β₀∈V，使得β₀不能被α₁,α₂,α₃线性表出。则β₀不属于W。令U=V\W，则β₀∈U。U是V的一个子集，且β₀≠0。如果U中存在非零向量γ，使得γ可以被α₁,α₂,α₃线性表出，即γ=c₁α₁+c₂α₂+c₃α₃,γ≠0。那么β₀+γ仍然在V中，且β₀+γ不能被α₁,α₂,α₃线性表出（否则β₀也可以被线性表出