第1课时 角的比较与运算

6.3.2角的比较与运算第1课时角的比较与运算教学目标课题6.3.2第1课时角的比较与运算授课人素养目标1.能比较两个角的大小，会计算角的和、差.2.会利用三角尺拼角，锻炼动手动脑能力，培养合作交流意识.教学重点学会比较角的大小的方法，并且能够进行简单的角度加减运算.教学难点含度、分、秒的角度的和、差运算.教学活动教学步骤师生活动活动一：创设情境，导入新课【情境引入】有一天李明和王芳各带了一把折扇（状态如下）.同学们有办法帮他们进行判断吗？学习完今天这节课，大家就能轻松找到答案了！【教学建议】教师可准备好道具，现场示范，让学生有更生动的认识.设计意图从生活中的情境引入，激发学生的兴趣，为本节课的学习奠定基础.活动二：实践探究，获取新知探究点1角的大小比较问题我们已经知道了比较两条线段长短的方法，怎样比较两个角的大小呢？类比线段长短的比较，你能得出哪些比较方法？度量法和叠合法.（1）现有如图两个角∠1和∠2，请你用量角器量出它们的度数，并比较它们的大小.通过用量角器进行度量，得到∠1＝55°，∠2＝40°.因为55°＞40°，所以∠1＞∠2.（2）下面是用叠合法比较两个角的大小所得到的不同情况，请你结合图形，判断两个角的大小.【教学建议】（1）教师可适当引导学生回顾用量角器进行度量的步骤.（2）叠合法是教学的重点.教学时可先让学生观察一些角，如三角尺（也称三角板）上的角，使学生明确角是有大小的.教学中可利用一些硬纸板作成角的模型，安排一些操作，通过学生动手实验，掌握叠合法的步骤.设计意图类比线段的大小比较方法探究角的大小比较方法，渗透类比思想，加深学生对度量法和叠合法的理解.教学步骤师生活动【对应训练】如图，射线OC，OD分别在∠AOB的内部、外部，下列各式错误的是④（填序号）.①∠AOB＜∠AOD；②∠BOC＜∠AOB；③∠COD＜∠AOD；④∠AOB＜∠AOC.解析：根据用叠合法比较两个角的大小分析可知①②③正确，④错误.设计意图探究点2角的和、差运算回顾：问题1（教材P173思考）类比两条线段的和与差，你能结合右图说明什么是两个角的和与差吗？教师总结：共顶点的几个角，可进行加减.问题2（教材P173探究）参考下图，借助一副三角尺的角，结合角的和、差运算，可以画出哪些度数的角？列表总结：【教学建议】这里对于角的和、差，主要是从形上说明它的意义，并用符号表示，在图形和等式之间建立一种关系，可让学生了解两个角的和或差仍是一个角.教学中，可要求学生能结合图形来分析数量关系，把几何意义与度数的数量表示结合起来，说明角的和、差的度数，就是它们度数的和、差，达到形与数的结合.【教学建议】教师给学生充足的讨论时间，并鼓励学生动手验证，尝试着多画些角.为避免在实操过程中存在问题，教师可用列表方式予以提示.（1）类比线段的和、差计算得到角的和、差计算.（2）设置让学生用一副三角尺画出一些特殊角，除了复习巩固角的和、差外，也可以使他们对这些角有直观的认识，有利于培养对角的大小的估计能力.教学步骤师生活动追问画出的角的度数有什么规律吗？教师总结：（1）用三角尺画特殊角，关键在于把它写成30°，45°，60°，90°角的和或差.（2）凡是15°的整数倍的角，都能用三角尺画出，而能用三角尺画出的，也只限于这样的角.【对应训练】教材P174练习第1，2题.活动三：典例精析，巩固提升例（教材P174例2）如图，O是直线AB上一点，∠AOC＝53°17′，求∠BOC的度数.分析：AB是直线，∠AOB是平角，∠BOC与∠AOC的和是∠AOB.解：由题意可知，∠AOB是平角，∠AOB＝∠AOC＋∠BOC，所以∠BOC＝∠AOB－∠AOC＝180°－53°17′＝126°43′.【对应训练】教材P174练习第3题.【教学建议】教师强调：①同单位加减（度与度、分与分、秒与秒分别相加、减）；②度、分、秒是六十进制（相加时逢60要进位，相减时，如不够减要借1作60）.本题中应借1°，先将180°化为179°60′再进行减法运算.设计意图设置例题是用来巩固角的和、差以及角度的加、减运算.活动四：随堂训练，课堂总结【随堂训练】见《创优作业》“随堂小练”册子相应课时随堂训练.【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：1.比较两个角大小的方法有哪些？2.借助三角尺利用角的和、差可以画出哪些角？3.如何进行度、分、秒的加、减运算？【知识结构】【作业布置】1.教材P178习题6.3第2（5），3（3），9题2.《创优作业》主体本部分相应课时训练.板书设计教学反思本节课的教学内容是角的大小的比较与角的和、差运算.可类比线段的学习方法引出角的大小的比较的两种方法：度量法、叠合法.对于本节教学要把握以下几点：1.首先在讲授知识的过程中，必须对旧的知识进行适当的复习，使学生能对角的知识有一个更深的记忆；2.在角的形象比较中，要努力引导学生的思维方向；3.叠合法是重点，但此法比较适用于实际中的比较；4.对于角度的计算要设计各个类型的教学.解题大招一角度的加、减运算方法进行角度的加、减运算时，要将度与度、分与分、秒与秒分别相加、减.分、秒相加时逢60要进位；相减时，如不够减要借1作60.例1计算：（1）52°20′＋39°58′21″；（2）180°－52°18′36″.解法一：（1）52°20′＋39°58′21″＝（52°＋39°）＋（20′＋58′）＋21″＝91°＋78′＋21″＝91°＋1°＋18′＋21″＝92°18′21″；（2）180°－52°18′36″＝179°59′60″－52°18′36″＝（179°－52°）＋（59′－18′）＋（60″－36″）＝127°41′24″.解法二：（1）解题大招二利用三角尺叠合进行角度的计算三角尺的90°，60°，30°，45°是已知角，当所求的角无法直接计算得出时，可把所求的角转化成三角尺已知角的和或差.例2如图，将一副三角尺叠放在一起，使直角的顶点重合于点O，则∠AOC＋∠DOB＝（D）A.120°B.135°C.150°D.180°解析：由图可得∠AOC＋∠DOB＝∠AOB＋∠BOC＋∠DOB＝∠AOB＋∠COD＝90°＋90°＝180°.故选D.培优点求折叠问题中的角度例请仔细观察如图所示的长方形纸片的折叠过程，回答下列问题：（1）∠2的度数为90°；（2）∠1与∠3的数量关系为∠1＋∠3＝90°；（3）∠1与∠AEC的数量关系为∠1＋∠AEC＝180°.解析：（1）由折叠的过程，知∠2＝∠1＋∠3.因为∠1＋∠2＋∠3＝∠BEC，B，E，C三点共线，所以∠2＝eq\f(1,2)∠BEC＝eq\f(1,2)×180°＝90°.（2）因为∠2＝90°，∠2＝∠1＋∠3，所以∠1＋∠3＝90°.（3）因为B，E，C三点共线，所以∠1＋∠AEC＝180°.技巧点拨：图形折叠前后，同顶点的对应角相等，折痕平分两个角所拼成的大角.综合训练一、选择题(在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的)1.高速公路是指专供汽车高速行驶的公路.高速公路在建设过程中,有时要从大山中开挖隧道穿过,把道路取直以缩短路程.其中的数学原理是()A.两点之间线段最短 B.两点确定一条直线C.平行线之间的距离最短 D.平面内经过一点有无数条直线2.淇淇想在自己房间的墙上钉一个直线型饰品挂架,用来挂自己喜欢的装饰物.为了固定饰品挂架,淇淇至少需要()钉子A.4根 B.3根 C.2根 D.1根3.下列说法与右边的几何图形相符的是()A.点D在线段CB的延长线上B.∠1可以表示成∠CC.射线BD与射线CD表示同一条射线D.∠1+∠ACD=180°4.如图,用5个大小相等的正方体搭成如图所示的三个立体图形,从哪个方向看这三个立体图形所看到的形状是一样的()A.前面 B.上面 C.左面 D.都不一样5.下图是学习小组设计制作长方体形状的包装盒后的余料,小明同学观察发现它恰好是由7个小正方形组成,现要将它折成一个正方体(相邻的两个小正方形之间至少有一条边相连),需要再剪去1个小正方形,则应剪去的小正方形的编号不能是()A.1 B.2 C.3 D.66.如图,C是线段AB上一点,D是AC的中点,E是CB的中点,若AD=3,AB=10,则DE=()A.2 B.5 C.6 D.87.若一个角的补角是它的余角的3倍,要求这个角的度数时,我们可以用方程思想去解决.设这个角的度数为x°,可得一元一次方程()A.x°-180°=3(x°-90°) B.90°-x°=3(180°-x°)C.180°-x°=3(90°-x°) D.x°-90°=3(x°-180°)8.如图,在直线PQ上找一点C,且使PC=3CQ,则点C应()A.在点P,Q之间 B.在点P左边C.在点Q右边 D.在点P,Q之间或在点Q右边9.下列度、分、秒运算中,正确的是()A.48°39'+67°31'=115°10' B.90°-70°39'=20°21'C.21°17'×5=185°5' D.180°÷7≈25°43'(精确到分)10.如图,在O点的观测站测得渔船A位于东北方向,渔船B位于南偏西30°方向,为了减少相互干扰并取得较好的捕鱼效益,渔船C恰好位于∠AOB的平分线上,则渔船C相对观测站O的方向为()A.南偏东52.5° B.南偏东37.5°C.南偏东53.5° D.南偏东82.5°二、填空题(将结果填在题中横线上)11.20.5°=°'.

12.如图,A,B,C三点共线,BD是∠ABE的平分线,BF是∠EBC的平分线.已知∠ABD=28°32',则∠FBC=.

13.如图,AB=20,点C,D,E在AB上,且CD=4,AE=13AC,则2BE+ED=.14.将一副三角尺按如图所示的方式摆放,测量得∠AOB是∠COD的4倍,那么∠1的大小为°.

15.如图,在直线AB上有一点C,AC=13BC=20cm.有两只蚂蚁分别以2cm/s、1cm/s的速度从A,C两点同时出发向B方向运动,经过s,两只蚂蚁与点C的距离相等.三、解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16.如图,点A,B,M,C,D在同一条直线上,M为AD的中点,BM=6cm,AB=CM,BM=2CM,求AD的长.解:因为BM=6cm,BM=2CM,所以CM=cm.

因为AB=CM,所以AB=cm.

所以AM=AB+=3+=cm.

因为M为AD的中点,所以AD=2=2×=cm.

17.按要求完成画图及作答:(1)如图,用适当的语句表述点M与直线l的关系:;

(2)如图,画射线PM,画直线QM;(3)如图,延长PN至D,使PD=2PN.18.把一副三角尺按如图所示的方式拼在一起(三角尺分别含30°,45°,60°,90°角,点A,C,D在一条直线上).(1)求∠ACE的度数;(2)若CF是∠BCE的平分线,求∠ECF的度数.19.钟表是我们日常生活中常用的计时工具.如图,在圆形钟面上,把一周等分成12个大格,每个大格等分成5个小格,分针OP和时针OQ均绕中心O匀速转动.(本题中的角均指小于180°的角)(1)分针每分钟转度,时针每分钟转度.当时间为3:30时,分针和时针的夹角为度.

(2)求2:00开始后几分钟分针第一次追上时针.综合训练1.A2.C3.D4.A解析:从前面看到的图形如下:从上面看到的图形如下:从左面看到的图形如下:故选A.5.D解析:根据只要有“田”字的展开图都不是正方体的表面展开图,故应剪去的小正方形的编号是1或2或3,故选D.6.B解析:因为D是线段AC的中点,所以DC=12AC因为E是线段BC的中点,所以CE=12BC因为AB=10,所以DE=DC+CE=12AB=5故选B.7.C解析:设这个角的度数为x°,则这个角的余角的度数为(90°-x°),这个角的补角的度数为(180°-x°),由题意,得180°-x°=3(90°-x°),故选C.8.D解析:如图,由图可知,当点C在点P的左边时,C3Q>PC3,不满足题意.当点C在点P,Q之间时,存在点C1,满足PC1=3C1Q.当点C在点Q右边时,存在点C2,满足PC2=3C2Q.综上所述,点C在点P,Q之间或在点Q右边.9.D解析:48°39'+67°31'=115°70'=116°10',故A选项错误;90°-70°39'=19°21',故B选项错误;21°17'×5=105°85'=106°25',故C选项错误;180°÷7≈25°43'(精确到分),故D选项正确.10.A解析:根据题意,可得∠AOB=180°-45°+30°=165°.因为OC平分∠AOB,所以∠BOC=12∠AOB=82.5°所以82.5°-30°=52.5°.可得渔船C位于观测站O的南偏东52.5°方向上.故选A.11.203012.61°28'解析:因为∠ABD=28°32',BD是∠ABE的平分线,所以∠ABE=2∠ABD=57°4'.由补角的性质,可得∠EBC=122°56'.因为BF是∠EBC的平分线,所以∠FBC=12∠EBC=61°28'13.44解析:设AC=3x,则AE=13AC=x因为AB=20,CD=4,所以BD=AB-CD-AC=20-4-3x=16-3x,BE=AB-AE=20-x,所以ED=AB-AE-DB=20-x-(16-3x)=2x+4,所以2BE+ED=2(20-x)+(2x+4)=44