第1课时　角的平分线的性质

数学八年级上册(RJ)14.3角的平分线第1课时角的平分线的性质教师备课素材示例●置疑导入如图是小勋制作的风筝，他根据AB＝AD，BC＝DC，不用度量就知道AC是∠DAB的平分线，你知道其中的道理吗？【教学与建议】教学：以风筝为例导入，充分调动学生的学习兴趣．建议：引导学生利用三角形“SSS”判定全等，得到AC是∠DAB的平分线．●置疑导入用折纸的方法作角平分线时，将∠AOB对折，再折成直角三角形，然后展开（如图所示），观察两个直角三角形全等吗？两条直角边PD，PE与该角的两边有什么关系？你能归纳角平分线的性质吗？你能证明这个性质吗？请用数学符号描述此性质．【教学与建议】教学：动手折纸使学生从实践中发现角平分线的作图方法及性质．建议：运用教具（或动画）直观地进行讲述，提出探究的问题．·命题角度1角的平分线的作图根据题目要求，利用尺规作图的方法作一个角的平分线，其依据是全等三角形的判定方法“SSS”．【例1】如图，铁路OA和铁路OB交于O处，河道AB与铁路分别交于A处和B处，试在河岸上建一座水厂M，要求M到铁路OA，OB的距离相等，则该水厂M应建在图中什么位置？请在图中标出M点的位置．解：作∠AOB的平分线交AB于点M，即M处为水厂的位置．·命题角度2利用角平分线的性质解决有关问题利用角的平分线的性质解决问题的关键：寻找角的平分线上的一点到角两边的垂线段，利用角平分线的性质计算线段长度或面积．【例2】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，CD＝4，AB＝11，则△ABD的面积等于(B)A．30B．22C．44D．10eq\o(\s\up7(),\s\do5(（例2题图）))eq\o(\s\up7(),\s\do5(（例3题图）))【例3】如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直．若AD＝7，则点P到BC的距离是3.5.【例4】如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥AB于点E，BD＝DF，求证：CF＝EB.证明：∵AD平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥AB，∴DE＝DC.在Rt△CDF和Rt△EDB中，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(DF＝DB，,DC＝DE，))∴Rt△CDF≌Rt△EDB(HL).∴CF＝EB.高效课堂教学设计1．让学生学会用尺规作一个已知角的平分线．2．探索并证明角平分线的性质．3．让学生学会用角平分线的性质解决有关问题．▲重点掌握角平分线的性质．▲难点灵活运用角平分线的性质解决问题．◆活动1新课导入如图是一个平分角的仪器，其中AB＝AD，BC＝DC.将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE，AE就是这个角的平分线．你能说明它的道理吗？◆活动2探究新知1．教材P48探究．提出问题：(1)当OM＝ON时，PM与PN有什么关系？(2)当OM≠ON时，PM与PN有什么关系？(3)反过来，当已知OM＝ON，PM＝PN时，点P在什么位置？学生完成并交流展示．2．教材P48思考．提出问题：(1)你知道怎么画一个角的平分线吗？(2)在作图过程中为什么要以大于eq\f(1,2)MN的长为半径画弧？(3)为什么OC是∠AOB的平分线？理论依据是什么？学生完成并交流展示．3．教材P49探究．提出问题：(1)观察图形14.3－4，比较P1D1与P1E1，P2D2与P2E2，P3D3与P3E3…，你有什么发现？(2)通过上面的探索你能归纳出角的平分线的性质吗？(3)你能证明这个性质吗？学生完成并交流展示．◆活动3知识归纳1．作已知角的平分线的方法有很多，主要有折叠法和尺规作图法.2．角的平分线上的点到角两边的距离相等.3．一般情况下，要证明一个几何命题时，可以按照以下的步骤进行：(1)明确命题中的已知和求证；(2)根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证；(3)经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程.◆活动4例题与练习例1如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，且BD＝CD，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F.求证：∠B＝∠C.证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF，∠BED＝∠CFD＝90°.在Rt△BDE和Rt△CDF中，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(DB＝DC，,DE＝DF，))∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL)，∴∠B＝∠C.例2如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB于点E，且CD＝CB，∠ABC＋∠ADC＝180°.求证：AE＝eq\f(1,2)(AB＋AD).证明：过点C作CF⊥AD，交AD的延长线于点F.∵AC平分∠BAD，CE⊥AB，CF⊥AD，∴CE＝CF.又∵CD＝CB，∴Rt△CEB≌Rt△CFD(HL)，∴DF＝BE.∵CE＝CF，AC＝AC，∴Rt△AEC≌Rt△AFC(HL)，∴AF＝AE，∴DF＝AF－AD＝AE－AD.∵BE＝AB－AE，DF＝BE，∴AE－AD＝AB－AE，∴AE＝eq\f(1,2)(AB＋AD).练习1．教材P50练习第1，2题．2．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB交BC于点D，DE⊥AB于点E，且AB＝6cm，则△DEB的周长为(B)A．4cmB．6cmC．8cmD．10cmeq\o(\s\up7(),\s\do5(（第2题图）))eq\o(\s\up7(),\s\do5(（第3题图）))3．如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P且与AB垂直．若AD＝8，则点P到BC的距离是(C)A．8B．6C．4D．24．如图，已知OD平分∠AOB，P是OD上一点，在OA，OB边上取OA＝OB，PM⊥BD，PN⊥AD，垂足分别为M，N.求证：PM＝PN.证明：∵OD平分∠AOB，∴∠1＝∠2.又∵OA＝OB，OD＝OD，∴△AOD≌△BOD(SAS)，∴∠3＝∠4，∴PD平分∠BDA.∵PM⊥DB，PN⊥DA，∴PM＝PN.◆活动5课堂小结角的平分线的性质及应用．1．作业布置(1)教材P52～53习题14.3第1，4，5题；(2)对应课时练习．2．教学反思综合训练一、选择题1.下列说法正确的是()A.有三个角对应相等的两个三角形全等B.有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等C.有两个角与其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等D.有两个角对应相等,还有一条边也相等的两个三角形全等2.如图,△ABC≌△AEF,AC与AF是对应边,则∠EAC等于()A.∠ACBB.∠CAFC.∠BAFD.∠BAC3.如图,给出下列四组条件:①AB=DE,BC=EF,AC=DF;②AB=DE,∠B=∠E,BC=EF;③∠B=∠E,BC=EF,∠C=∠F;④AB=DE,AC=DF,∠B=∠E.其中,能使△ABC≌△DEF的条件共有()A.1组 B.2组 C.3组 D.4组4.如图,将两根钢条AA',BB'的中点O连在一起,使AA',BB'能绕着点O自由转动,就做成了一个测量工具,则A'B'的长等于内槽宽AB,其中判定△OAB≌△OA'B'的理由是()A.SAS B.ASA C.SSS D.HL5.如图,AC=BD,AB=CD,图中全等的三角形共有()A.2对 B.3对 C.4对 D.5对6.如图,AB∥CF,DE=EF,AB=10,CF=6,则DB等于()A.3 B.4 C.5 D.67.要测量河两岸相对的两点A,B间的距离,先在AB的垂线BF上取两点C,D,使CD=BC,再定出BF的垂线DE,使A,C,E在一条直线上,如图,可以证明△EDC≌△ABC,得到DE=AB,因此测得ED的长就是AB的长.判定△EDC≌△ABC的理由是()A.SAS B.ASA C.SSS D.HL8.如图,在△ABC中,已知AD⊥BC,CE⊥AB,垂足分别为点D,E,AD,CE交于点H.若EH=EB=3,AE=4,则CH的长是()A.1 B.2 C.3 D.4二、填空题9.如图,已知△ABC≌△A'B'C,点B'在边AB上,若∠A=40°,∠B=60°,则∠A'CB的度数为.

10.如图,在△ABC中,AD⊥BC,CE⊥AB,垂足分别为D,E,AD,CE交于点H,请你添加一个适当的条件:,使△AEH≌△CEB.

11.雨伞开闭过程中某时刻的截面图如图所示,伞骨AB=AC,支撑杆OE=OF,AE=13AB,AF=13AC.当O沿AD滑动时,雨伞开闭.雨伞开闭过程中,∠BAD与∠CAD12.如图,在直角三角形ABC中,∠C=90°,AC=10cm,BC=5cm,一条线段PQ=AB,P,Q两点分别在AC和AC的垂线AX上移动,则当AP=cm时,才能使△ABC和△QPA全等.

三、解答题13.如图,C为线段AB上一点,AD∥EB,AC=BE,AD=BC.求证:△ACD≌△BEC.14.如图,BD平分∠ABC交AC于点D,DE⊥AB于E,DF⊥BC于F,AB=6,BC=8,若S△ABC=28,求DE的长.15.已知△ABN和△ACM位置如图所示,AB=AC,AD=AE,∠1=∠2.求证:(1)BD=CE;(2)∠M=∠N.16.如图,已知Rt△ABC≌Rt△ADE,∠ABC=∠ADE=90°,BC与DE相交于点F,连接CD,EB.(1)图中还有几对全等三角形,请你一一列举;(2)求证:CF=EF.综合训练一、选择题1.C2.C3.C4.A5.B根据全等三角形的判定可得图中全等的三角形有:△ADB和△DAC;△ABC和△DCB;△ABO和△DCO.6.B7.B8.A二、填空题9.140°∵△ABC≌△A'B'C,∴∠A'=∠A=40°,∠A'B'C=∠B=60°,CB=CB',∠A'CB'=80°,∴∠BB'C=∠B=60°,∴∠BCB'=180°-60°-60°=60°,∴∠A'CB=∠A'CB'+∠BCB'=140°.10.AH=CB(或EH=EB或AE=CE)根据“AAS”需要添加AH=CB或EH=EB;根据“ASA”需要添加AE=CE.11.相等∵AE=13AB,AF=13AC,∴AE=AF.又OE=OF,OA=OA,∴△AOE≌△AOF(SSS).∴∠BAD=∠CAD.12.5或10三、解答题13.证明∵AD∥BE,∴∠A=∠B.在△ACD和△BEC中,∵AC∴△ACD≌△BEC.14.解∵BD平分∠ABC交AC于点D,DE⊥AB,DF⊥BC,∴DE=DF.∵S△ABC=28,AB=6,BC=8,∴12×6×DE+12×8×∴DE=DF=4.15.证明(1)在△ABD和△ACE中,AB∴△ABD≌△ACE(SAS).∴BD=CE.(2)∵∠1=∠2,∴∠1+∠DAE=∠2+∠DAE,即∠BAN=∠CAM.由(1),得△ABD≌△ACE,∴∠B=∠C.在△ACM和△ABN中,∠∴△ACM≌△ABN(ASA),∴∠M=∠N.16.(1)解2对,分别为△ADC≌△ABE,△CDF≌△EBF.(2)证法一∵Rt△ABC≌Rt△ADE,∴AC=AE,