第2课时　含30°角的直角三角形的性质

数学八年级上册(RJ)第2课时含30°角的直角三角形的性质教师备课素材示例●情景导入如图，一艘轮船从A处出发，以10nmile/h的速度向正北方向航行，从A处测得一礁石C在北偏西30°的方向上．如果这艘船上午8：00从A处出发，10：00到达B处，从B处测得礁石C在北偏西60°的方向上．(1)画出礁石C的大致位置；(2)轮船继续航行多久，测得礁石C在正西方向？【教学与建议】教学：通过实际问题情境引入本节课的课题，激发学生的学习兴趣．建议：教师注意引导学生观察、思考、描述、证明．●归纳导入用你的含30°角的直角三角尺，量一量同桌的含30°角的直角三角尺的斜边和30°角所对的直角边，你有什么发现？如果用两个全等的含30°角的直角三角尺，把相等的边拼在一起组成平面图形，有几种拼法呢？在这些图形中，轴对称图形有3个，其中三角形有2个，各是怎样的三角形？请说明理由.如图，在拼出的等边三角形ABD中，AB＝BD（选填“>”“<”或“＝”）；在Rt△ABC中，∠BAC＝30°，30°所对的直角边是BC，BC＝eq\f(1,2)AB.你能证明你所发现的结论吗？【教学与建议】教学：通过学生经历拼摆三角形和度量三角尺的活动，归纳结论．建议：注意引导学生意识到通过实际操作探索出来的结论还需要给予证明．·命题角度1利用含30°角的直角三角形的性质求有关线段的长(1)当图形中含有30°角时，通过作垂线构造含有30°角的直角三角形．(2)在有些题目中，若给出的角是15°角，将15°的角转化为30°的角后，再利用这个性质解决问题．【例1】等腰三角形的底角是15°，腰长为10，则腰上的高为5.【例2】如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝30°，AB⊥AD，AD＝2cm，则BC＝6cm.·命题角度2等边三角形、直角三角形的性质的综合运用在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．该性质的证明借助于等边三角形，所以它与等边三角形的联系密切．【例3】如图，在等边三角形ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，过点D作DE⊥BC于点E，且AB＝8，则EC的长为 (C)A．3B．6C．2D．4eq\o(\s\up7(),\s\do5(（例3题图）))eq\o(\s\up7(),\s\do5(（例4题图）))eq\o(\s\up7(),\s\do5(（例5题图）))【例4】如图，D为等边三角形ABC的边AB上一点，且DE⊥BC，EF⊥AC，FD⊥AB，垂足分别为E，F，D.若AB＝9，则BE＝3.【例5】如图，在等边三角形ABC中，D，E分别在边BC，AC上，且DE∥AB，过点E作EF⊥DE交BC的延长线于点F.若CD＝2，求DF的长．解：在等边三角形ABC中，∠ACB＝∠B＝∠A＝60°.∵DE∥AB，∴∠EDC＝∠B＝60°，∠CED＝∠A＝60°，∴△EDC是等边三角形，∴CD＝DE＝2.∵EF⊥DE，∴∠DEF＝90°，∴∠F＝90°－∠EDC＝30°，∴DF＝2DE＝4.高效课堂教学设计1．理解并掌握有一个角为30°的直角三角形的性质．2．有一个角为30°的直角三角形的性质的简单应用．▲重点含30°角的直角三角形的性质的发现与应用．▲难点1．含30°角的直角三角形性质的探索与证明．2．引导学生全面、周到地思考问题．◆活动1新课导入问题：(1)我们学习过直角三角形，直角三角形的角之间都有什么数量关系？今天，我们先来看一下特殊的直角三角形，看它的边具有什么性质．(2)用你的含30°角的直角三角尺，把斜边和30°角所对的直角边量一量，你有什么发现？◆活动2探究新知教材P83探究．提出问题：(1)观察图15.3－8，测量直角边BC与斜边AB，你发现了什么？(2)再画几个满足条件的三角形，测量BC与AB的长度，有什么发现？(3)通过测量，在Rt△ABC中，若∠A＝30°，则BC与AB的长度有什么关系？(4)如何证明你所得的结论？学生完成并交流展示．◆活动3知识归纳在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.◆活动4例题与练习例1教材P83例5.例2如图，∠ACB＝90°，CD是高，∠A＝30°.求证：BD＝eq\f(1,4)AB.证明：在Rt△ABC中，∵∠A＝30°，∴BC＝eq\f(1,2)AB.在Rt△BCD中，∵∠B＝90°－∠A＝90°－30°＝60°，∴∠BCD＝30°，∴BD＝eq\f(1,2)BC，∴BD＝eq\f(1,4)AB.例3如图，△ABC是等边三角形，BD平分∠ABC交AC于点D，过点D作EF⊥AB于点E，交BC的延长线于点F.若AE＝2，求BF的长．解：∵△ABC是等边三角形，BD平分∠ABC，∴∠A＝∠ACB＝60°，AC＝BC，AD＝CD＝eq\f(1,2)AC.∵DE⊥AB于点E，∴∠ADE＝90°－∠A＝30°.∴CD＝AD＝2AE＝4，∴BC＝AC＝2AD＝8.∵∠CDF＝∠ADE＝30°，∴∠F＝∠ACB－∠CDF＝30°.∴∠CDF＝∠F.∴DC＝CF＝4.∴BF＝BC＋CF＝8＋4＝12.练习1．教材P84练习第1，2题．2．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，∠B＝30°，点P是边BC上的动点，则AP的长不可能是(D)A．3.5B．4.2C．5.8D．7eq\o(\s\up7(),\s\do5(（第2题图）))eq\o(\s\up7(),\s\do5(（第3题图）))3．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，D是BC的中点，DE⊥AC，则AE∶EC＝1∶3.4．如图，在△ABC中，BD是AC边上的中线，∠ABD＝30°，∠CBD＝90°.求证：AB＝2BC.证明：延长BD至点E，使DE＝BD，连接AE.∵BD是AC边上的中线，∴AD＝CD.又∵∠ADE＝∠CDB，∴△ADE≌△CDB(SAS)，∴∠AED＝∠CBD＝90°，AE＝BC.∵在Rt△ABE中，∠ABD＝30°，∴AB＝2AE＝2BC.◆活动5课堂小结含30°角的直角三角形的性质及运用．1．作业布置(1)教材P85～86习题15.3第7，12题；(2)对应课时练习．2．教学反思综合训练一、选择题1.下列说法正确的是()A.如果两个三角形全等,那么它们必是关于某条直线成轴对称B.如果两个三角形关于某条直线成轴对称,那么它们是全等三角形C.等腰三角形是关于腰上的中线成轴对称的图形D.一条线段是关于经过该线段中点的直线成轴对称的图形2.下列“慢行通过,注意危险,禁止行人通行,禁止非机动车通行”四个交通标志图(黑白阴影图片)为轴对称图形的是()3.如图,把等腰直角三角形ABC沿BD折叠,使点A落在边BC上的点E处.下面结论错误的是()A.AB=BE B.AD=DCC.AD=DE D.AD=EC4.如图,△AOD与△BOC关于直线l成轴对称,则下列说法不正确的是()A.∠1=∠2B.∠3=∠4C.l垂直平分AB,CDD.AC,BD互相平分5.在平面直角坐标系中,若点P关于x轴的对称点在第二象限,且到x轴的距离为2,到y轴的距离为3,则点P的坐标为()A.(-3,-2) B.(-2,-3) C.(2,3) D.(3,2)6.如图,△ABC是等边三角形,AD是角平分线,△ADE是等边三角形,AB与ED相交于点F,有下列结论:①AD⊥BC;②EF=FD;③BE=BD.其中正确的有()A.0个 B.1个 C.2个 D.3个7.在Rt△ABC中,CD是斜边AB上的高,∠B=30°,AD=2cm,则AB的长是()A.2cm B.4cm C.8cm D.16cm8.如图,在平面直角坐标系中,△ABC位于第二象限,点A的坐标是(-2,3),先把△ABC向右平移4个单位长度得到△A1B1C1,再作△A1B1C1关于x轴对称的△A2B2C2,则点A的对应点A2的坐标是()A.(-3,2) B.(2,-3) C.(1,-2) D.(-1,2)二、填空题9.若等腰三角形有一个角是50°,则另两个角分别是.

10.如图,由镜子中的号码得出实际号码是.

11.如图,在△ABC中,DE垂直平分AC交AB于点E,∠A=30°,∠ACB=80°,则∠BCE的度数是.

12.如图,在△ABC中,AB=AC,AD是BC边上的高,点E,F是AD的三等分点.若△ABC的面积为12cm2,则图中阴影部分的面积是cm2.

三、解答题13.由边长为1的小正方形组成的方格图如图所示,AB=5.(1)请在方格图中建立平面直角坐标系,使点A的坐标为(3,3),点B的坐标为(-1,0);(2)在x轴上画点C,使△ABC是以AB为腰的等腰三角形,并写出所有满足条件的点C的坐标.(不写作法,保留作图痕迹)14.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,D是BC延长线上的一点,E是AB上的一点,且在BD的垂直平分线EG上,DE交AC于点F,求证:点E在AF的垂直平分线上.15.如图,△ABC和△BDE均为等边三角形,点E在线段AD上,求证:BD+CD=AD.16.如图,在四边形纸片ABCD中,AD∥BC,AD=2,BC=6,∠B=60°,将纸片沿AE折叠,点B恰好与点D重合,求CE的长.综合训练一、选择题1.B全等的三角形不一定成轴对称,而成轴对称的两个三角形一定是全等的.2.B3.B4.D因为成轴对称的两个图形全等,对应点的连线被对称轴垂直平分,所以选项A,B,C是正确的.5.A因为点P关于x轴的对称点在第二象限,所以点P在第三象限,由点P到x轴的距离为2,到y轴的距离为3,得P(-3,-2).6.D7.C8.B如图,点A的对应点A2的坐标是(2,-3).故选B.二、填空题9.50°,80°或65°,65°①当50°的角为顶角时,底角为(180°-50°)÷2=65°;②当50°的角为底角时,另一个底角是50°,顶角为180°-2×50°=80°.10.326511.50°12.6三、解答题13.解(1)所作图形如图所示.(2)以AB为腰的等腰三角形有△ABC1,△ABC2,△ABC3,其中点C的坐标分别为C1(-6,0),C2(4,0),C3(7,0).14.证明如图,∵点E在BD的垂直平分线EG上,∴EB=ED,∴∠1=∠B.又∠ACB=90°,∴∠1+∠3=90°,∠B+∠2=90°,∴∠3=∠2.又∠3=∠4,∴∠2=∠4,∴EA=EF,∴点E在AF的垂直平分线上.15.证明∵△ABC和△BDE均为等边三角形,∴AB=BC,BE=BD=DE,