16.1.1　同底数幂的乘法

数学八年级上册(RJ)第十六章整式的乘法16．1幂的运算16．1.1同底数幂的乘法教师备课素材示例●复习导入复习旧知识、引入新课题：由学生独立完成下列题目，教师引导学生复习乘方的相关知识．(1)求n个相同乘数的积的运算，叫作乘方，乘方的结果叫作幂，则写成乘方的形式为an，其中a叫作底数，n叫作指数，an读作“a的n次方”或“a的n次幂”；(2)a3表示3个a相乘，把a3写成乘法的形式为a3＝a·a·a；(3)a3，a4，a，a2，它们的指数相同吗？它们的底数相同吗？(4)式子102×103的意义是什么？这个积中的两个因式有何特点？(5)怎样计算102×103？谈谈你的想法；(6)怎样计算a2·a3？谈谈你的想法；(7)通过以上例子你有何发现？你能用字母来表示吗？谈谈你的想法．【教学与建议】教学：通过乘方概念的形成过程推导出同底数幂的乘法性质．建议：分小组讨论后完成解答，在教学时教师要充分利用实例．●归纳导入填空：（学生完成）(1)52×53＝(5×5)×(5×5×5)＝5×5×5×5×5＝55；(2)102×103＝(10×10)×(10×10×10)＝10×10×10×10×10＝105；(3)a3·a2＝(a·a·a)·(a·a)＝a·a·a·a·a＝a5.猜想：(1)a4·a5＝＝＝a9；(2)10m×10n＝＝＝10m＋n；(3)am·an＝am＋n（m，n都是正整数）.我们可以这样想：am·an＝＝＝am＋n.【归纳】同底数幂相乘，底数不变，指数相加.【教学与建议】教学：教学时教师运用归纳、类比思想进行讲解．建议：教师提出问题让学生大胆探索，以此引起学生的求知欲并引导学生归纳总结．·命题角度1直接利用同底数幂的乘法法则进行计算熟练运用am·an＝am＋n计算．【例1】计算x3·x6的结果是(C)A．x2B．x3C．x9D．x18【例2】计算(－x2)·(－x)4的结果是－x6.·命题角度2同底数幂的乘法法则的逆运算当一个幂的指数中含有加法运算时，可逆用am＋n＝am·an.【例3】设am＝4，an＝6，则am＋n等于(D)A．4B．6C．10D．24【例4】若3a＝2，3b＝5，则3a＋b+1的值为(A)A．30B．10C．6D．38【例5】已知am＝3，am＋n＝9，则an＝3.幂的含义及其历史在我国古代，“幂”字的早期含义是泛指方形的东西，到了三国时代，刘徽给《九章算术》作注时第一次在数学中使用幂表示乘积，到明朝徐光启翻译《几何原本》时，用“自乘之数曰幂”来解释幂，明确地给幂下了定义．在西方，作为数学术语的幂，在英语里是power，原意是权力、威力或能力，后来引申为数学术语，1591年法国数学家韦达的代数名著《分析方法入门》中已有现代意义的幂的概念了．20世纪初，五四运动前后，我国数学逐渐学习西方，译名很不统一.1935年，当时的教育部公布《数学名词》，确定将“involution”译为乘方，“power”译为幂或乘幂.1956年中国科学院编订《数学名词》，重新明确“involution”为乘方，而“power”确定为幂或乘方，为了与“involution”相区别，通常认为“power”（幂）作为乘方的结果，而不是乘方．高效课堂教学设计1．会运用法则，熟练进行同底数幂的乘法运算．2．经过知识点的专题训练，培养学生逆向思维能力．▲重点运用同底数幂的乘法法则进行计算．▲难点逆用同底数幂的乘法法则．◆活动1新课导入复习乘方的意义，师生共同回忆．an表示n个a相乘，这种运算叫乘方，其结果叫作幂，a叫作底数，n叫作指数，即an＝◆活动2探究新知1．教材P98问题．提出问题：(1)电子计算机工作103s可以进行多少次运算？能用学过的知识来解决这个问题吗？(2)式子1016×103表示的意义是什么？(3)你会计算1016×103吗？怎样计算？学生完成并交流展示．2．教材P98探究．提出问题：(1)探究中的式子与1016×103有何共同点？(2)根据乘方的意义计算探究中的算式，观察计算结果，你能找出计算前后底数和指数的变化规律吗？(3)你能用简洁的语言总结你发现的规律吗？学生完成并交流展示．3．已知3m＝5，3n＝4，求3m＋n的值．提出问题：上面已经学习了同底数幂的乘法运算法则，你能否根据同底数幂的乘法运算法则将3m＋n转化成3m·3n，再对其进行计算吗？学生完成并交流展示．◆活动3知识归纳1．同底数幂的乘法运算法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即am·an＝am＋n（m，n都是正整数）．2．同底数幂的乘法运算法则的逆用：am＋n＝am·an（m，n都是正整数）．◆活动4例题与练习例1教材P99例1.例2计算：(1)a2·a5·a7；(2)102×103×105；(3)(b＋1)2·(b＋1)3；(4)xm·x2n+1·xn.解：(1)原式＝a14；(2)原式＝1010；(3)原式＝(b＋1)5；(4)原式＝xm+3n+1.例3计算：(1)(－a6)·(－a)3·(－a2)·(－a)4；(2)(p－q)2·(q－p)3·(p－q)4；(3)1000×100×10m.解：(1)原式＝－a15；(2)原式＝(q－p)9；(3)原式＝105+m.例4已知am＝2，an＝3，求am＋n的值．解：am＋n＝am·an＝2×3＝6.练习1．教材P99练习第1，2题．2．化简(－x)3·(－x)2，结果正确的是(D)A．－x6B．x6C．x5D．－x53．下列算式中，结果等于a6的是(D)A．a4＋a2B．a2＋a2＋a2C．a2·a3D．a2·a2·a24．计算：(1)a·a9；(2)x3n·x2n+2；(3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))eq\s\up12(2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))eq\s\up12(3)；(4)(x－y)3·(x－y)2.解：(1)原式＝a10；(2)原式＝x5n+2；(3)原式＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(5)；(4)原式＝(x－y)5.5．已知4x＝8，4y＝32，求x＋y的值．解：4x·4y＝4x＋y＝8×32＝256＝44，∴x＋y＝4.◆活动5课堂小结1．同底数幂的乘法运算法则．2．同底数幂的乘法运算法则的逆用：am＋n＝am·an（m，n都是正整数）．1．作业布置(1)教材P101习题16.1第1题；(2)对应课时练习．2．教学反思综合训练一、选择题1.下列计算正确的是()A.(a3)2=a5 B.(-ab3)3=-ab6C.(a+2)2=a2+4 D.2x12÷x6=2x62.下列等式从左到右的变形,属于因式分解的是()A.a(x-y)=ax-ayB.x2+2x+1=x(x+2)+1C.(x+1)(x+3)=x2+4x+3D.x3-x=x(x+1)(x-1)3.把多项式x2+ax+b分解因式,得(x+1)·(x-3),则a,b的值分别是()A.a=2,b=3 B.a=-2,b=-3C.a=-2,b=3 D.a=2,b=-34.(xn+1)2(x2)n-1=()A.x4n B.x4n+3 C.x4n+1 D.x4n-15.把多项式x3-2x2+x分解因式正确的是()A.x(x2-2x) B.x2(x-2)C.x(x+1)(x-1) D.x(x-1)26.计算(72x3y4-36x2y3+9xy2)÷(-9xy2)的结果为()A.-8x2y2+4xy-1 B.-8x2y2-4xy-1C.-8x2y2+4xy+1 D.-8x2y2+4xy7.如图①,一个长方形的长为2m,宽为2n(m>n),用剪刀沿图中虚线(对称轴)剪开,把它分成四块形状和大小都一样的小长方形,然后按图②那样拼成一个正方形,则中间空白部分的面积是()A.2mn B.(m+n)2C.(m-n)2 D.m2-n28.如图,正方形卡片A类、B类和长方形卡片C类各若干张,如果要拼一个长为(a+3b),宽为(2a+b)的大长方形,则需要A类、B类和C类卡片的张数分别为()A.2,3,7 B.3,7,2 C.2,5,3 D.2,5,7二、填空题9.若多项式x2+kx+16是一个完全平方式,则k的值是.10.设a=192×918,b=8882-302,c=10532-7472,则a,b,c按从小到大的顺序排列,结果是.

11.若a+3b-2=0,则3a·27b的值是.

12.将4个数a,b,c,d排成2行、2列,两边各加一条竖直线记成abcd,定义abcd=ad-bc.若-三、解答题13.计算:(1)2a5·(-a)2-(-a2)3·(-7a);(2)(x-4y)·(2x+3y)-(x+2y)·(x-y).14.先化简再求值:(1)2x-23y-((2)(3x-y)2-(2x+y)2-5x(x-y),其中x=2,y=1.15.(14分)观察下列三个算式的特点:52-32=8×2,92-72=8×4,152-32=8×27.(1)请你再写两个具有同样规律的算式;(2)用文字写出反映上述算式的规律;(3)验证这个规律的正确性.综合训练一、选择题1.D2.D3.B∵(x+1)(x-3)=x2-2x-3,∴x2+ax+b=x2-2x-3.∴a=-2,b=-3.4.A5.D6.A7.C拼成的正方形的边长为(m+n),它的面积为(m+n)2=m2+2mn+n2.原长方形的面积为4mn,故中间空白部分的面积为m2+2mn+n2-4mn=m2-2mn+n2=(m-n)2.8.A长为(a+3b),宽为(2a+b)的大长方形的面积为(a+3b)·(2a+b)=2a2+7ab+3b2.因为一张A类卡片的面积为a2,一张B类卡片的面积为b2,一张C类卡片的面积为ab,所以需要A类卡片2张,B类卡片3张,C类卡片7张.故选A.二、填空题9.±810.a<c<b因为a=192×918=361×918,b=8882-302=(888-30)(888+30)=858×918,c=10532-7472=(1053+747)(1053-747)=1800×306=600×918,所以a<c<b.11.912.-6由新定义知,-53x2+52x2-3=-5(x2-3)-2(3x2+5)=-5x2+15-因为-5所以-11x2+5=6.故11x2-5=-(-11x2+5)=-6.三、解答题13.解(1)原式=2a5·a2-7a6·a=2a7-7a7=-5a7.(2)原式=(2x2+3xy-8xy-12y2)-(x2-xy+2xy-2y2)=2x2-5xy-12y2-x2-xy+2y2=x2-6xy-10y2.14.解(1)原式=2x=x+=x2+19y2+23xy-=x2+19y2当x=1,y=9时,原式=12+19×92=1+9=10(2)原式=(3x-y+2x+y)(3x-y-2x-y)-5x2+5xy=5x·(x-2y)-5x2+5xy=5x2-10xy-5x2+5