河北省承德市2025~2026学年高一下册7月期末巩固训练（一）数学试卷【附解析】

数学考试时间120分钟．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知空间向量，，若，则实数的值为（）A. B.2 C. D.42.已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列命题正确的是（）A.若，，则 B.若，，则C.若，，则 D.若，，则3.已知，则（）A. B. C. D.4.已知函数，则下列关于该函数图象的对称性描述正确的是（）A.该函数图象关于直线对称 B.该函数图象关于直线对称C.该函数图象关于点对称 D.该函数图象关于点对称5.已知向量，，在方向上的投影向量为，则（）A.2 B.3 C.4 D.56.在平行六面体中，，，，且与的夹角为，与的夹角为，与的夹角为，则体对角线的长度为（）A. B. C. D.7.在中，，，若点满足，则的最小值为（）A. B. C. D.8.在边长为1的正方形中，点为边的中点，点为线段上的动点，点为的中点，则线段长的最小值为（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.在△中，角，，的对边分别为，，．已知，，，则下列说法正确的是（）A. B.C.外接圆半径 D.的面积10.已知函数，则下列说法正确的是（）A.的最小正周期为B.将的图象上所有点的横坐标缩短为原来的，再向右平移个单位长度，可得到的图象C.在区间上单调递增D.在区间上的最大值与最小值的乘积为11.如图，在矩形中，，，点在边上，且，将沿翻折至，使得平面平面．设点在平面内的投影为，连接，，则下列结论正确的是（）A.点在直线上B.直线与直线所成角的余弦值大于C.线段的长度为D.三棱锥的外接球的表面积为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.一个圆锥的高为2，母线长为3，则它的体积为_________．13.已知角的终边经过点，且，为第二象限角，则的值为_________．14.在平面直角坐标系中，已知点，，，点在内部（含边界）一点，且满足，则的最小值为________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知两个不共线的向量，，设，，．（1）若，求实数，的值；（2）设，且，，三点共线，其中，，，为坐标原点，求实数的值．16.已知角为锐角，且满足方程．（1）求的值；（2）求的值；（3）求的值．17.如图，四棱锥的底面是以为中心的矩形，，，侧棱底面，且，点为棱的中点，点为棱的中点．（1）求证：平面平面；（2）点是线段上的动点（不与端点重合），若二面角的大小为，若，求的值．18.已知函数的图象经过点，且轴右侧图象与轴相邻两个交点的距离为．（1）求的解析式，并写出在区间上的单调递增区间；（2）当时，的值域为，求实数的取值范围；（3）若函数在区间上单调递增，求实数的最大值．19.在凸四边形中，对角线平分，，，，．（1）证明：；（2）求；（3）求；（4）点为的中点，线段的垂直平分线交于点，求的面积．

数学考试时间120分钟．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知空间向量，，若，则实数的值为（）A. B.2 C. D.4答案：C解析：解答过程：由，得，使得，则，，解得.2.已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列命题正确的是（）A.若，，则 B.若，，则C.若，，则 D.若，，则答案：B解析：解答过程：A选项，若，，则平面内存在直线，因为直线与直线不一定平行，直线与直线不一定平行，所以A选项不正确；B选项，因为垂直于同一平面的两条直线平行，故B选项正确；C选项，若，，则平面与平面也可能相交，例：正方体中，平面，平面，而平面.故C选项不正确；D选项，若，，则或，故D选项不正确，3.已知，则（）A. B. C. D.答案：A解析：解答过程：因为，得到，所以.4.已知函数，则下列关于该函数图象的对称性描述正确的是（）A.该函数图象关于直线对称 B.该函数图象关于直线对称C.该函数图象关于点对称 D.该函数图象关于点对称答案：A解析：解答过程：令，其中，所以，当时，，的图像关于直线对称，故A正确；因为无整数解，故直线不是函数图像的对称轴，故B错误；令，其中，所以，因为无整数解，故点不是函数图像的对称中心，同理也不是函数图像的对称中心.故CD错误.5.已知向量，，在方向上的投影向量为，则（）A.2 B.3 C.4 D.5答案：B解析：解答过程：由题意得，向量在方向上的投影向量公式为，，，，，代入投影向量公式得：

由y分量相等列方程：

，解得或.代入x分量等式验证：当x=2时，左边为，舍去；当x=3时，左边为，符合条件。.6.在平行六面体中，，，，且与的夹角为，与的夹角为，与的夹角为，则体对角线的长度为（）A. B. C. D.答案：C解析：解答过程：，所以，所以体对角线的长为.7.在中，，，若点满足，则的最小值为（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：建立平面直角坐标系，根据设出点坐标，根据向量的数量积及辅助角公式求解即可.解答过程：由题意知，为等边三角形.以点为原点，以为轴建立平面直角坐标系，则，，，因为，所以点在以点为圆心，1为半径的圆上，设，则，，所以.因为，所以的最小值为.8.在边长为1的正方形中，点为边的中点，点为线段上的动点，点为的中点，则线段长的最小值为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：通过向量数乘表示动点位置，将线段长度最值转化为含参数的向量模长最值问题，利用函数单调性求解，核心考查平面向量的线性运算及模长公式的应用.解答过程：以为坐标原点，、的方向分别为轴、轴正方向建立平面直角坐标系.∵正方形边长为，∴.∵为的中点，∴.∴.∵为线段上的动点，设，，∴.∵为的中点，∴.∴.令，∵，∴.代入化简得.∵，∴随的增大而增大，∴当时，取得最小值，最小值为.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.在△中，角，，的对边分别为，，．已知，，，则下列说法正确的是（）A. B.C.外接圆半径 D.的面积答案：ABC解析：解答过程：对于A，由正弦定理可得，所以，因为，所以，A正确；对于B，由余弦定理可得：，即，解得（舍去），B正确；对于C，由正弦定理可得外接圆半径为，C正确；对于D，的面积为，D错误.10.已知函数，则下列说法正确的是（）A.的最小正周期为B.将的图象上所有点的横坐标缩短为原来的，再向右平移个单位长度，可得到的图象C.在区间上单调递增D.在区间上的最大值与最小值的乘积为答案：BCD解析：思路：结合正切函数的周期、图象平移规则、单调区间、最值计算等知识点逐一判断选项.

解答过程：选项A：函数的最小正周期为，A错误；选项B：将的横坐标缩短为原来的，得到；再向右平移个单位，得到，即的图象，B正确；选项C：当，则.因为函数在单调递增，所以在区间上单调递增，C正确；选项D：当时，，在该区间单调递增，因此最小值为，最大值为，则乘积为，D正确.11.如图，在矩形中，，，点在边上，且，将沿翻折至，使得平面平面．设点在平面内的投影为，连接，，则下列结论正确的是（）A.点在直线上B.直线与直线所成角的余弦值大于C.线段的长度为D.三棱锥的外接球的表面积为答案：AD解析：思路：翻折类立体几何问题需优先明确翻折前后不变的长度、角度关系，结合面面垂直性质确定投影点位置；求解多面体外接球时，可通过底面外接圆圆心的垂线定位球心，利用球心到各顶点距离相等列方程求解.解答过程：∵平面平面，交线为，在平面内的投影为，即平面，∴由面面垂直的性质定理得在交线上，故选项A正确.B选项：∵原矩形中，，，∴.翻折后，，为斜边上的高，由直角三角形射影定理，∴.又，且，∴.∵，∴直线与直线所成角等于直线与直线所成角.过作于，在中，，∵，∴，，∴，，∴，在中，，∴.在中，由余弦定理代入数值计算，，∴，故B错误.C选项：过作于，∵四边形为矩形，∴，，在中，，∴，故C错误.D选项：为直角三角形，其外接圆圆心为中点，，故到三点距离相等，均为.已知，平面中，∵在矩形中，，，前已得，，∴由余弦差角公式：，在中，由余弦定理，代入数值得，∴.设外接球球心在过且垂直于平面的直线上，到平面的距离为，由得，代入，，，解得，∴外接球半径，外接球表面积，故D正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.一个圆锥的高为2，母线长为3，则它的体积为_________．答案：解析：解答过程：由题意得，圆锥的高，母线长，则半径为，体积.13.已知角的终边经过点，且，为第二象限角，则的值为_________．答案：解析：思路：先根据θ的象限和的值求，得到点P的坐标，再利用任意角三角函数的定义计算.解答过程：已知θ为第二象限角，，得：故，，故则原点到点P的距离，故.14.在平面直角坐标系中，已知点，，，点在内部（含边界）一点，且满足，则的最小值为________．答案：．解析：思路：根据题意化简可得点在以为圆心，半径为1的圆及其内部，同时点是内部（含边界），化简，可将问题转化为求的最小值，结合图形分析即可求解.解答过程：设，则,由，即，所以点在以为圆心，半径为1的圆及其内部，同时点在内部（含边界），的边界为，由于，且的最小值，即求的最小值，令，则，所以当与圆相切时，取得最值，则，解得：，结合点是内部（含边界），取时，取得最小值，最小值为四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知两个不共线的向量，，设，，．（1）若，求实数，的值；（2）设，且，，三点共线，其中，，，为坐标原点，求实数的值．答案：（1）,.（2）.解析：思路：（1）根据向量的运算以及平面向量基本定理运算求解即可；（2）根据三点共线的推论结合平面向量基本定理运算求解即可.（1）由已知得结合与不共线，得，

解得，.（2）由

三点共线，存在实数使，即.因不共线，得，故.16.已知角为锐角，且满足方程．（1）求的值；（2）求的值；（3）求的值．答案：（1）（2）（3）解析：（1）因为为锐角，所以，所以方程两边同除以，得，解得或，由为锐角知.（2），，故.（3）.17.如图，四棱锥的底面是以为中心的矩形，，，侧棱底面，且，点为棱的中点，点为棱的中点．（1）求证：平面平面；（2）点是线段上的动点（不与端点重合），若二面角的大小为，若，求的值．答案：（1）因为点，分别为，的中点，则，且平面，平面，所以平面，在矩形中，为中心，则为的中点，因为为的中点，则，且平面，平面，所以平面，又因为，，平面，所以平面平面．（2）解析：思路：（1）可证平面，平面，结合面面平行的判定定理分析证明；（2）利用三垂线法作二面角的平面角，可知为二面角的平面角，分和两种情况，结合几何性质运算求解即可.（1）略（2）如图，连接，过点作于点．因为底面，点在线段上，所以底面．在底面内过点作于点，连接．因为，，，所以平面，由平面可得，故为二面角的平面角，即．设，，则，因为，则，在矩形中，，，则，，点到的距离，因为，，当时，点在线段上，由相似三角形可得，在中，，由得，解得；若，则点落在线段上，二面角为钝角，与矛盾；故，即的值为．18.已知函数的图象经过点，且轴右侧图象与轴相邻两个交点的距离为．（1）求的解析式，并写出在区间上的单调递增区间；（2）当时，的值域为，求实数的取值范围；（3）若函数在区间上单调递增，求实数的最大值．答案：（1），单调递增区间为，（2）（3）解析：思路：（1）由题意先求出周期，从而可求出，再将点的坐标代入可求出的值，则可得到函数解析式，进百可求出函数的单调增区间；（2）由，求出的范围，再结合正弦函数的性质和函数的值域可求出的取值范围；（3）令，再结合正弦函数的单调性求解.（1）由题知周期为，，，代入点，得，则，因为，所以，的解析式为：，令，解得，故在区间上的单调递增区间为：.（2）若，则，，，故，解得，即的取值范围是.（3），，令，因为函数的增区间为，所以，解得，则的最大值为1.19.在凸四边形中，对角线平分，，，，．（1）证明：；（2）求；（3）求；（4）点为的中点，线段的垂直平分线交