河北省邯郸市永年区第二中学等校联考2025~2026学年高一下册7月期末质量检测数学试卷【附解析】

数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.在复平面内，复数对应的点与复数对应的点关于x轴对称，则（）A. B. C. D.2.样本数据的平均数为4，则（）A.6 B.7 C.8 D.93.在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，则（）A. B. C. D.4.已知向量，，若且，则（）A.28 B.32 C.36 D.405.某高中学校共有学生2700人，其中高一900人，高二1000人，其余为高三学生．该校为了调查学生的睡眠情况，采用分层随机抽样的方式，从高一与高二的学生中共抽取38人，则应从高三学生中抽取（）A.20人 B.18人 C.16人 D.12人6.在中，点在线段上，且，则（）A. B. C. D.7.如图，在棱长为2的正方体中，E是的中点，F是上的动点，则的最小值为（）A. B. C. D.8.已知点P在矩形的边及其内部运动，且，，，若的最小值为，则（）A.3 B.4 C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.设，是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则下列命题正确的是（）A.若，，，则 B.若，，，则C.若，，，则 D.若，，，则10.已知复数，则（）A. B.复数在复平面内对应的点在第二象限C. D.11.连续两次抛掷一枚质地均匀的骰子，x表示第一次抛掷骰子的点数，y表示第二次抛掷骰子的点数．记事件，，，，则（）A.与互斥 B.与互斥 C.与相互独立 D.与相互独立三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.某校高二（1）班有30名女生，其身高数据（单位：）按从小到大排序如下：151152154154154155156156158158160160161161162162162163163164164165165166166167168169170171则这30名同学身高数据的第70百分位数为________．13.已知向量与的夹角为，，，则________．14.已知是正实数，复数，，若的实部与虚部相等，则的最小值为________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知a，b，c分别为的内角A，B，C所对的边，且，，．（1）求a的值；（2）求的面积．16.某中学为普及学生的人工智能知识，组织高一学生开展使用方法培训，并为每位学生发放《使用学习手册》．培训结束后，学校组织了针对高一学生使用能力的测试，并随机抽取100名学生的测试成绩（单位：分）整理后分成5组：，，，，，并绘制成如下的频率分布直方图．（1）求频率分布直方图中x的值．（2）现设置一道测试题，从成绩区间中随机抽到学生甲作答，其答对该题的概率为0.7，从成绩区间中随机抽到学生乙作答，其答对该题的概率为0.8，从成绩区间中随机抽到学生丙作答，其答对该题的概率为0.9．已知甲、乙、丙三人是否答对该题相互独立，求甲、乙、丙三人中恰有两人答对该题的概率．17.如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，底面，，点E在棱上，且．（1）求证：平面平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值；（3）已知点F在棱上，且平面，证明：F为中点．18.如图，已知正三棱柱的外接球球心为O，底面边长，三棱锥为正四面体，P为侧棱的中点，点M，N在棱上，且，为正三角形．（1）求四棱锥的体积；（2）求四棱锥的外接球的表面积．19.在平面直角坐标系中，对于非零向量，，定义．（1）若，证明：；（2）已知向量，的夹角为，向量，的夹角为，若，证明：；（3）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，D在边上，为角A的平分线，，，，，求．

数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.在复平面内，复数对应的点与复数对应的点关于x轴对称，则（）A. B. C. D.答案：A解析：解答过程：在复平面内，复数对应的点为，因此复数对应的点为，所以.2.样本数据的平均数为4，则（）A.6 B.7 C.8 D.9答案：A解析：解答过程：因为样本数据的平均数为4，所以，解得，故A正确.3.在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，则（）A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：在中，由正弦定理得，则，因为，所以，解得，而，可得，故B正确.4.已知向量，，若且，则（）A.28 B.32 C.36 D.40答案：D解析：解答过程：因为，，，所以，解得或（舍去），则，，得到.5.某高中学校共有学生2700人，其中高一900人，高二1000人，其余为高三学生．该校为了调查学生的睡眠情况，采用分层随机抽样的方式，从高一与高二的学生中共抽取38人，则应从高三学生中抽取（）A.20人 B.18人 C.16人 D.12人答案：C解析：思路：据按比例分配的分层随机抽样的特点确定抽样的比例即可求解.解答过程：由题意可得，高一900人，高二1000人，则高一高二总占总人数占比为，高三占总人数比例为，又因为高一与高二的学生中共抽取38人，设高三学生抽取人，则，解得.6.在中，点在线段上，且，则（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：根据向量的线性运算公式化简可得.解答过程：由题意可知，如图所示，已知，所以，即，所以，所以，故D正确.7.如图，在棱长为2的正方体中，E是的中点，F是上的动点，则的最小值为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：把与展开到同一平面,此时取得最小值为,再由余弦定理求解.解答过程：把与展开到同一平面,此时取得最小值为.如图，，,所以是中点，，，中，由余弦定理得,所以所以的最小值为.8.已知点P在矩形的边及其内部运动，且，，，若的最小值为，则（）A.3 B.4 C. D.答案：C解析：思路：利用向量的加法运算及数量积运算可得，当与反向共线时，取得最小值为，再利用坐标法结合数量积运算列式求解即可.解答过程：，,所以，当与反向共线时，取得最小值为，此时，如图，以为原点，所在直线分别为轴建立平面直角坐标系，则，所以，又，所以，解得.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.设，是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则下列命题正确的是（）A.若，，，则 B.若，，，则C.若，，，则 D.若，，，则答案：ABD解析：思路：根据线面平行、垂直关系与面面垂直、平行关系的判定与性质定理逐项判断即可.解答过程：A项：由，，得,又，则，故A正确；B项：由，，得.又，则内存在直线，所以，即内有一条直线垂直于，故，B正确.C项：由，得或，结合，可得或，无法推出，故C错误.D项：由，，得.又，则，故D正确.10.已知复数，则（）A. B.复数在复平面内对应的点在第二象限C. D.答案：AC解析：解答过程：对A，，故A正确；对B，，则其在复平面内所对应的点的坐标为在第一象限，故B错误；对C，，故C正确；对D，，故D错误.11.连续两次抛掷一枚质地均匀的骰子，x表示第一次抛掷骰子的点数，y表示第二次抛掷骰子的点数．记事件，，，，则（）A.与互斥 B.与互斥 C.与相互独立 D.与相互独立答案：BCD解析：思路：利用互斥事件和独立事件的定义进行判断即可.解答过程：由已知可记抛掷结果为，共有种结果.对于A：存在公共事件，所以与不互斥，故A错误；对于B：两次点数和不可能同时为5和7，所以与互斥，故B正确；对于C：，，，所以，即与相互独立，故C正确；对于D：事件含有样本点为共6个，则，事件含有样本点为共2个，则，又因为所以，即与相互独立，故D正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.某校高二（1）班有30名女生，其身高数据（单位：）按从小到大排序如下：151152154154154155156156158158160160161161162162162163163164164165165166166167168169170171则这30名同学身高数据的第70百分位数为________．答案：164.5##解析：解答过程：由题意得，则第70百分位数为第和第个数字的平均数，则第70百分位数为.13.已知向量与的夹角为，，，则________．答案：解析：解答过程：由题意得，则.14.已知是正实数，复数，，若的实部与虚部相等，则的最小值为________．答案：7解析：思路：结合复数的性质与题意得到，再利用基本不等式求解最值即可.解答过程：由题意得，若的实部与虚部相等，可得，整理可得，而，当且仅当时取等，此时解得，则的最小值为7.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知a，b，c分别为的内角A，B，C所对的边，且，，．（1）求a的值；（2）求的面积．答案：（1）或（2）解析：（1）由已知得，且，由余弦定理得，解得或.（2）因为，，所以，当时，，，同理当时，，，综上，的面积为．16.某中学为普及学生的人工智能知识，组织高一学生开展使用方法培训，并为每位学生发放《使用学习手册》．培训结束后，学校组织了针对高一学生使用能力的测试，并随机抽取100名学生的测试成绩（单位：分）整理后分成5组：，，，，，并绘制成如下的频率分布直方图．（1）求频率分布直方图中x的值．（2）现设置一道测试题，从成绩区间中随机抽到学生甲作答，其答对该题的概率为0.7，从成绩区间中随机抽到学生乙作答，其答对该题的概率为0.8，从成绩区间中随机抽到学生丙作答，其答对该题的概率为0.9．已知甲、乙、丙三人是否答对该题相互独立，求甲、乙、丙三人中恰有两人答对该题的概率．答案：（1）（2）0.398解析：（1）由题可知，解得．（2）设“学生甲答对”，“学生乙答对”，“学生丙答对”，则，，，设“甲、乙、丙三人中有且仅有两人答对”，则.17.如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，底面，，点E在棱上，且．（1）求证：平面平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值；（3）已知点F在棱上，且平面，证明：F为中点．答案：（1）因为平面，平面，所以，又因为是正方形，所以，又，平面，所以平面，又平面，则，因为，且，平面，所以平面，又平面，所以平面平面．（2）（3）如图，连接交于点O，连接，由勾股定理知，，．因为平面，平面，平面平面，所以，所以．因为，所以，所以F为的中点．解析：思路：（1）利用线面垂直的判定定理得到平面，再结合面面垂直的判定定理求解即可.（2）结合已知找到线面角，再结合三角函数的定义求解即可.（3）利用线面平行的性质得到，进而得到，最后结合相似三角形的性质证明即可.（1）略（2）由等面积公式得，．由（1）知平面，所以即为与平面所成角，且，在中，．（3）略18.如图，已知正三棱柱的外接球球心为O，底面边长，三棱锥为正四面体，P为侧棱的中点，点M，N在棱上，且，为正三角形．（1）求四棱锥的体积；（2）求四棱锥的外接球的表面积．答案：（1）（2）解析：思路：（1）结合题意求出高和底面积，再结合体积公式求解即可.（2）结合题意确定外接球的球心，再利用定义确定半径，最后利用表面积公式求解即可.（1）设三棱柱上、下底面的中心分别为，，连接，，则O为的中点，由题意得，，则，所以，因为是正三角形，所以，所以四棱锥的体积．（2）取和的中点D，E，由题意得面，而面，则平面平面，且是正三角形，设中点为Q，连接，则平面．在上取的中心G，则，过G作平面的垂线，则该垂线在平面内，且该垂线上任意一点到三顶点的距离相等，所以四棱锥的外接球球心在该垂线上．设该垂线交于点H，所以，则，，，可得，得到，所以点H到B，M，N，四点的距离相等，又点H到P，M，N的距离也相等，所以H为四棱锥的外接球球心，所以四棱锥的外接球的表面积．19.在平面直角坐标系中，对