河北省唐山市2025~2026学年高二下册期末学业水平测试数学试卷【附解析】

数学本试卷共4页，总分150分，考试时间120分钟.一、选择题：本题有8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.设全集是小于等于8的正整数}，集合，，则（）A. B. C. D.2.设复数，且满足是纯虚数，则（）A. B. C. D.3.某项比赛共有10个评委评分，若去掉一个最高分与一个最低分，则与原始数据相比，一定不变的是（）A.极差 B.45百分位数 C.平均数 D.众数4.曲线在点处的切线方程为（）A. B. C. D.5.5名同学去听同时举行的3个课外知识讲座，每名同学可自由选择听其中的1个讲座，不同选择的种数是（）A.20 B.60 C.125 D.2436.已知向量，，且，则的值为（）A. B. C. D.7.如图是体现中国古代数学智慧的“赵爽弦图”，它由4个全等直角三角形和中心小正方形构成.若，则（）A. B.C. D.8.已知双曲线的左、右焦点分别为，离心率为，过的直线与C的右支交于A，B两点．若，则的值为（）A. B.3 C. D.2二、选择题：本题有3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，只有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.记为等差数列的前n项和，若，则（）A. B.C.为等比数列 D.为等差数列10.给出下列命题，其中正确的命题是（）A.若，则或B.若向量是向量的相反向量，则C.在正方体中，D.若空间向量、、满足，，则11.设函数，则函数（）A.最小正周期为 B.最大值为3C.图象关于直线对称 D.在区间上单调递增三、填空题：本题有3个小题，每小题5分，共15分.把答案写在题中横线上.12.展开式中的第5项的系数为______．13.已知抛物线：和：均经过点，则抛物线的焦点与原点组成三角形的面积=____.14.某中学高二年级学生有人，在某次数学考试中，数学成绩近似服从正态分布．已知，则本次考试数学成绩大于分的人数约为______．四、解答题：本题有5个小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15.记的内角的对边分别为，已知.（1）求；（2）设，求边上的高.16.OpenClaw（俗称“龙虾”）是一个以龙虾为图标的开源智能体平台、一种能操作电脑的执行层工具.某单位为了解员工是否喜欢使用OpenClaw，对不同年龄段的100名员工进行了调查统计，得到如下列联表：年龄是否喜欢使用OpenClaw合计是否不超过45岁4060超过45岁30合计100（1）完成列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为“是否喜欢使用OpenClaw”与年龄有关联；（2）若以本次调查的频率估计概率，从该单位所有超过45岁和不超过45岁的员工中各随机抽取1人，求这两人中至少有1人喜欢使用OpenClaw的概率.参考公式：，其中.17.已知函数，且曲线在点处的切线与直线垂直.（1）求实数的值，并求的单调区间与极值；（2）若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围.18.如图，在四棱锥中，底面为正方形，边长为1，，为等边三角形.（1）求证：平面；（2）若M为棱的中点，求直线与平面所成角的正弦值.19.已知点，分别是椭圆：的左、右顶点，且的离心率为．（1）求的方程；（2）若点P是上与，不重合的点，直线，与直线分别交于点G，H，求的最小值．

数学本试卷共4页，总分150分，考试时间120分钟.一、选择题：本题有8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.设全集是小于等于8的正整数}，集合，，则（）A. B. C. D.答案：C解析：解答过程：由题意可知，全集为小于等于8的正整数构成的集合，因此.而是所有属于但不属于A的元素构成的集合，代入，可得.而是所有既属于又属于B的元素构成的集合，代入，可得.2.设复数，且满足是纯虚数，则（）A. B. C. D.答案：A解析：解答过程：复数，则，由是纯虚数，得，所以.3.某项比赛共有10个评委评分，若去掉一个最高分与一个最低分，则与原始数据相比，一定不变的是（）A.极差 B.45百分位数 C.平均数 D.众数答案：B解析：思路：根据题意将10个数据去掉最高分和最低分后45百分位数不变.解答过程：对A，若每个数据都不相同，则极差一定变化，故A错误；对B，由，所以将10个数据从小到大排列，45百分位数为第5个数据，从10个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到8个有效评分，，所以45百分位数为8个数据从小到大排列后第4个数据，即为原来的第5个数据．对C，去掉一个最高分一个最低分，平均数可能变化，故C错误；对D，去掉一个最高分一个最低分，众数可能变化，故D错误.故选：B.4.曲线在点处的切线方程为（）A. B. C. D.答案：D解析：解答过程：可知，当时，，所以在点处的切线方程为，化简得.5.5名同学去听同时举行的3个课外知识讲座，每名同学可自由选择听其中的1个讲座，不同选择的种数是（）A.20 B.60 C.125 D.243答案：D解析：思路：根据5名同学每名都可以有3种选择按照分步乘法计数原理进行相乘即可.解答过程：5名同学去听同时举行的3个课外知识讲座，每名同学可自由选择听其中的1个讲座，由于这5名同学每名都可以有3种选择，所以共有种选择.故选：D.6.已知向量，，且，则的值为（）A. B. C. D.答案：D解析：解答过程：，，且，，即，得，，..7.如图是体现中国古代数学智慧的“赵爽弦图”，它由4个全等直角三角形和中心小正方形构成.若，则（）A. B.C. D.答案：C解析：解答过程：因为该图由4个全等直角三角形和中心小正方形构成，且，所以，故，所以，所以.8.已知双曲线的左、右焦点分别为，离心率为，过的直线与C的右支交于A，B两点．若，则的值为（）A. B.3 C. D.2答案：B解析：思路：根据双曲线的定义，在直角三角形中利用勾股定理计算即可求解.解答过程：因为双曲线的离心率为，不妨设，则，设，，则，，在中，由勾股定理可得，解得，则，同理，在中，由勾股定理可得，解得，所以.二、选择题：本题有3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，只有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.记为等差数列的前n项和，若，则（）A. B.C.为等比数列 D.为等差数列答案：BCD解析：解答过程：设等差数列的公差为，由，得，所以，即，所以，由条件无法确定的值，故A错误；因为，所以，故B正确；因为（常数），所以为等比数列，故C正确；因为数列是等差数列，所以，所以，所以（常数），所以为等差数列，故D正确.10.给出下列命题，其中正确的命题是（）A.若，则或B.若向量是向量的相反向量，则C.在正方体中，D.若空间向量、、满足，，则答案：BC解析：思路：根据空间向量的概念可判断A选项；利用相反向量的概念可判断B选项；利用相等向量的概念可判断C选项；利用共线向量的定义可判断D选项.解答过程：对于A：模相等的两个向量，它们的方向是任意的，A错误；对于B：向量是向量的相反向量，则，B正确；对于C：在正方体中，四边形是矩形，故，C正确；对于D：若，则，，但、不一定共线，D错误.故选：BC.11.设函数，则函数（）A.最小正周期为 B.最大值为3C.图象关于直线对称 D.在区间上单调递增答案：AD解析：思路：先说明是的一个正周期，然后利用反证法证明是函数的最小正周期判断A；根据三角函数的有界性及正余弦函数取最大值的条件判断B；根据对称性的定义列式验证判断C；求出导函数，利用导数法判断单调性判断D.解答过程：对于选项A，显然成立，若存在，使得成立，则必有，，即，，化简得，．又，故不存在，因此是函数的最小正周期，故A正确．对于选项B，根据三角函数的有界性，，当且仅当且时等号成立，其中，显然取不到等号，故B错误．对于选项C，由于，则函数的图象不关于直线对称，故C错误．对于选项D，由于，则当时，，则在区间上单调递增，故D正确．故选：AD．三、填空题：本题有3个小题，每小题5分，共15分.把答案写在题中横线上.12.展开式中的第5项的系数为______．答案：240解析：思路：由二项式定理通项公式即可求解.解答过程：展开式通项公式为所以展开式中的第5项的系数为．13.已知抛物线：和：均经过点，则抛物线的焦点与原点组成三角形的面积=____.答案：解析：解答过程：依题意，，解得，则抛物线的焦点，抛物线的焦点，所以的面积.14.某中学高二年级学生有人，在某次数学考试中，数学成绩近似服从正态分布．已知，则本次考试数学成绩大于分的人数约为______．答案：解析：思路：根据正态分布，明确分布关于均值对称，结合已知条件计算，再利用对称转化求出，进而求出实际人数．解答过程：已知数学成绩，则分布关于对称，，已知，则，，根据正态分布的对称性可知：，正态分布是连续分布，，故，已知总人数为，数学成绩为分以上的人数为：．故答案为：．四、解答题：本题有5个小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15.记的内角的对边分别为，已知.（1）求；（2）设，求边上的高.答案：（1）（2）解析：思路：（1）利用正弦定理得，结合同角三角函数平方关系即可求解；（2）先求，由正弦定理得，进而得，再由平方关系求，利用两角和的正弦公式求，进而求解.（1）由和正弦定理，可得，因为，所以，两边取平方，可得，解得，因，则得；（2）由（1）可得.由和正弦定理，可得，，又，故为锐角，则.所以.因，则.边上的高为.16.OpenClaw（俗称“龙虾”）是一个以龙虾为图标的开源智能体平台、一种能操作电脑的执行层工具.某单位为了解员工是否喜欢使用OpenClaw，对不同年龄段的100名员工进行了调查统计，得到如下列联表：年龄是否喜欢使用OpenClaw合计是否不超过45岁4060超过45岁30合计100（1）完成列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为“是否喜欢使用OpenClaw”与年龄有关联；（2）若以本次调查的频率估计概率，从该单位所有超过45岁和不超过45岁的员工中各随机抽取1人，求这两人中至少有1人喜欢使用OpenClaw的概率.参考公式：，其中.答案：（1）年龄是否喜欢使用OpenClaw合计是否不超过45岁402060超过45岁103040合计5050100认为“是否喜欢使用OpenClaw”与年龄有关联．（2）解析：思路：（1）通过列联表数据补全表格，再利用卡方检验公式计算统计量，通过与临界值对比，判断出“是否喜欢使用OpenClaw”与年龄存在显著关联，核心是卡方独立性检验的步骤应用．（2）以调查频率估计概率，先分别算出不同年龄段员工喜欢使用OpenClaw的概率，再利用对立事件的概率公式，求出两人中至少有1人喜欢使用的概率，关键是对立事件思想的运用．（1）根据卡方检验公式，代入：年龄是否喜欢使用OpenClaw合计是否不超过45岁402060超过45岁103040合计5050100，由于，故拒绝原假设，认为“是否喜欢使用OpenClaw”与年龄有关联．（2）设从不超过45岁员工中抽到喜欢使用者的概率为，从超过45岁员工中抽到喜欢使用者的概率为，则两人中至少有1人喜欢使用的概率为：．17.已知函数，且曲线在点处的切线与直线垂直.（1）求实数的值，并求的单调区间与极值；（2）若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围.答案：（1）；单调递增区间为和，单调递减区间为；极大值为，极小值为（2）解析：思路：（1）

先求函数导数，结合导数的几何意义和两直线垂直的斜率关系求出，再通过导数符号判断单调性，进而求解极值.（2）将存在性不等式成立问题转化为不大于在上的最大值，计算区间内的最大值即可得到的取值范围.（1）函数的定义域为，.曲线在处的切线斜率为，直线的斜率为.由两直线垂直斜率乘积为，得，解得.将代入得，令，解得，.当或时，，单调递增；当时，，单调递减.则极大值为，极小值为.（2）存在使得成立，等价于.由（1）可知，，因此在上单调递增，在上单调递减.因此在上的最大值为，故，即的取值范围为.18.如图，在四棱锥中，底面为正方形，边长为1，，为等边三角形.（1）求证：平面；（2）若M为棱的中点，求直线与平面所成角的正弦值.答案：（1）证明见解析（2）解析：思路：（1）利用已知求出棱长，然后利用勾股定理证明，，然后可证；（2）以A为原点建立空间直角坐标系，用向量法直接计算可得.（1），则，取中点为H，连接，，∵为等边三角形，∴，，又，，平面，平面，∴面，∴，H为中点，AH为PB的垂直平分线，∴，∴，∴，同理由，得，又，平面，平面，∴平面.（2）底面是是正方形，由（1）可知，，两两垂直，分别以，，所在的直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．则有B(1，0，0)，C(1，1，0)，P(0，0，1)，D(0，1，0)，M(0，0，)设平面的法向量为，∵，，则有：，取得，又有设直线与平面所成角为，∴.19.已知点，分别是椭圆：的左、右顶点，且的离心率为．（1