河北省邢台市质检联盟2025~2026学年高一下册期末学业水平调研数学试卷【附解析】

数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.（）A. B. C. D.2.数据2，3，5，7，9，m的极差为8，则（）A.1 B.10 C.1或10 D.-6或173.已知向量，，.若，则（）A.-2 B.2 C.-1 D.14.某智能园林水肥一体化设备共有6个水肥浓度调节档位，依次编号为1，2，3，4，5，6.养护人员先后随机独立选定两个档位（档位可重复选择）调试浇灌，则选定的两个档位的数字之和为6的概率为（）A. B. C. D.5.一个菱形的边长为4，它的一个内角为60°，将菱形水平放置并且使较长的对角线所在直线为轴，则用斜二测画法画出的这个菱形的直观图的面积为（）A. B. C. D.6.掷两枚质地均匀的骰子，设事件“第一枚朝上的点数是奇数”，“第二枚朝上的点数是2的倍数”，则A与B的关系是（）A.互斥 B.对立 C.相互独立 D.相等7.在三棱锥中，平面，底面为正三角形，，，二面角为，则（）A. B. C. D.8.如图，某同学为了测量千寻塔的高度，在千寻塔的正东方向找到一座相邻的古建筑，高约为46m，在两建筑之间的地面上取点E（B，E，N三点在同一水平面上且共线），在E处测得楼顶A与塔顶M的仰角分别为45°和60°，在楼顶A处测得塔顶M的仰角为15°，则千寻塔的高度约为（）A.66m B.69m C.72m D.75m二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.甲、乙、丙在某次测试中射箭20次，三人的测试成绩如下表所示，则（）甲的成绩环数78910频数5555乙的成绩环数78910频数6446丙的成绩环数78910频数4664A.甲这20次测试成绩的方差最大B.丙这20次测试成绩的标准差最小C.甲、乙、丙这20次测试成绩的平均数相等D.甲、乙、丙这20次测试成绩的中位数相等10.设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，且，则（）A. B. C. D.11.（多选题）如图1，在直角梯形中，，，，，，在上，E，H均在上，.将矩形沿翻折至四边形的位置，将沿直线翻折至的位置，如图2所示，连接，，，且，在上，则（）A.平面平面 B.的最小值为C.几何体共有8个面 D.几何体外接球的半径为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若复数的模为5，且，则_____.13.设，是两个单位向量，且在上的投影向量为，则与的夹角为_____.14.已知某圆锥的底面直径为6，母线长为5，在该圆锥内放入一个球，则该球的表面积的最大值为_____.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.如图，在正四棱台中，，，.（1）证明：平面.（2）求该正四棱台的体积.16.某古代冶金工艺研究院专注于研究商周青铜器块范铸造技术，并对外开展研习活动.在新一期研习活动中，研究院对100名参训人员进行专业修习质量百分制打分，依据得分绘制频率分布直方图（分组区间为，，，），已知.（1）求a，b的值.（2）估计此次修习评分在内的参训人数.（3）将评分77分及以上视为修习效果合格，若合格人数频率大于60%，则判定本期研习活动达标，试问本期活动是否达标?并阐述理由.17.如图，在四棱锥中，平面，底面为梯形，，，，，为棱的中点.（1）求异面直线与所成角的大小.（2）证明：平面.（3）求直线与平面所成角的正弦值.18.设整数，质检员对一批产品进行抽样质检，每次抽检件产品，至多抽检次，当且仅当抽到件次品或n件产品均为正品时，停止抽检.已知每件产品是次品的概率为，各件产品是否为次品相互独立.记为停止抽检时抽检的产品件数.（1）当，时，求质检员停止抽检时抽检的产品件数小于的概率；（2）当时，质检员停止抽检时抽检的产品件数为3的概率，求p；（3）当时，记停止抽检时抽检的产品件数大于的概率为，停止抽检时抽检的产品件数大于的概率为，证明：.19.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，点D在内，，，.（1）证明：平分.（2）证明：且.（3）若，证明：.

数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.（）A. B. C. D.答案：D解析：解答过程：.2.数据2，3，5，7，9，m的极差为8，则（）A.1 B.10 C.1或10 D.-6或17答案：C解析：解答过程：根据题意可得或，解得或.3.已知向量，，.若，则（）A.-2 B.2 C.-1 D.1答案：D解析：思路：由向量平行的坐标表示求解即可.解答过程：根据题意可得，因为，所以，解得.4.某智能园林水肥一体化设备共有6个水肥浓度调节档位，依次编号为1，2，3，4，5，6.养护人员先后随机独立选定两个档位（档位可重复选择）调试浇灌，则选定的两个档位的数字之和为6的概率为（）A. B. C. D.答案：A解析：解答过程：先后随机独立选定两个档位调试浇灌，共有6×6=36种选择，其中事件“选定的两个档位数字之和为6”所包含的样本点为（1，5），（2，4），（3，3），（4，2），（5，1），共5种，故所求概率.5.一个菱形的边长为4，它的一个内角为60°，将菱形水平放置并且使较长的对角线所在直线为轴，则用斜二测画法画出的这个菱形的直观图的面积为（）A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：画出菱形的原图，如图1，设两条对角线交于点，则.用斜二测画法画出菱形的直观图，如图2所示，过点作，垂足为，则，，所以该菱形的直观图的面积为.6.掷两枚质地均匀的骰子，设事件“第一枚朝上的点数是奇数”，“第二枚朝上的点数是2的倍数”，则A与B的关系是（）A.互斥 B.对立 C.相互独立 D.相等答案：C解析：解答过程：因为事件“第一枚朝上的点数是奇数”，“第二枚朝上的点数是2的倍数”，，不是整个样本空间，故不互斥不对立，也不相等，，，，A与B相互独立.7.在三棱锥中，平面，底面为正三角形，，，二面角为，则（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：作出辅助线，得到线线垂直，为二面角的平面角，，进而求出各边长，由勾股定理求出答案解答过程：取的中点，连接，.因为为正三角形，所以.因为底面，平面，所以⊥，⊥，因为，平面，所以平面，因为平面，所以，则为二面角的平面角，所以.因为，所以，则.因为，所以为的中点，则，由勾股定理得.8.如图，某同学为了测量千寻塔的高度，在千寻塔的正东方向找到一座相邻的古建筑，高约为46m，在两建筑之间的地面上取点E（B，E，N三点在同一水平面上且共线），在E处测得楼顶A与塔顶M的仰角分别为45°和60°，在楼顶A处测得塔顶M的仰角为15°，则千寻塔的高度约为（）A.66m B.69m C.72m D.75m答案：B解析：解答过程：由题意知，，，所以，在中，.在中，由，得.在中，.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.甲、乙、丙在某次测试中射箭20次，三人的测试成绩如下表所示，则（）甲的成绩环数78910频数5555乙的成绩环数78910频数6446丙的成绩环数78910频数4664A.甲这20次测试成绩的方差最大B.丙这20次测试成绩的标准差最小C.甲、乙、丙这20次测试成绩的平均数相等D.甲、乙、丙这20次测试成绩的中位数相等答案：BCD解析：解答过程：根据表中数据的对称性可得甲、乙、丙这20次测试成绩的平均数均为8.5，甲、乙、丙这20次测试成绩的中位数均为，C正确，D正确.根据数据分布，乙的分布最分散，丙的分布最集中，所以乙的方差最大，丙的方差最小，标准差也最小，A错误，B正确.10.设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，且，则（）A. B. C. D.答案：AC解析：思路：根据正弦、余弦定理逐项分析.解答过程：已知，由二倍角公式，代入得：，根据正弦定理，可得，代入，得，将代入上式：，化简提取公因式：，因为是三角形内角，，因此：，又，故，B错误；根据余弦定理，代入：，整理为一元二次方程：，解得：，边长为正，故，A正确；根据正弦定理，代入：，C正确；由余弦定理，代入：，D错误.11.（多选题）如图1，在直角梯形中，，，，，，在上，E，H均在上，.将矩形沿翻折至四边形的位置，将沿直线翻折至的位置，如图2所示，连接，，，且，在上，则（）A.平面平面 B.的最小值为C.几何体共有8个面 D.几何体外接球的半径为答案：ABD解析：思路：对于选项A，根据翻折前后，位于同一平面内的位置关系不变，可知，，利用面面垂直的判定判断；对于选项B，将平面与平面展开至同一平面，问题转化为求的长；对于选项C，观察图形可判断；对于选项D，将原图形补成长方体，长方体的体对角线长即为外接球的直径.解答过程：几何体共有7个面，C错误；因为四边形为矩形，所以，，翻折后，，因为，所以平面，因为平面，所以平面平面，A正确；因为，，，所以，所以，则，同理可证，可将几何体补全为长为、宽为3、高为4的长方体，其外接球即为长方体的外接球，外接球的半径为，D正确；连接，，将平面与平面展开至同一平面，如图3所示，当F，K，P在同一直线上时，取得最小值.因为，，，所以平面，则，在图3中过作，与的延长线交于点，则，，所以，B正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若复数的模为5，且，则_____.答案：解析：思路：先设复数，再结合模长公式计算求解.解答过程：设，则，解得（负根舍去），所以，.13.设，是两个单位向量，且在上的投影向量为，则与的夹角为_____.答案：解析：解答过程：因为在上的投影向量为，所以，因为，是两个单位向量，所以，即，即，即与的夹角为.因为，都是单位向量，所以，因为，，所以与的夹角为.14.已知某圆锥的底面直径为6，母线长为5，在该圆锥内放入一个球，则该球的表面积的最大值为_____.答案：9解析：解答过程：画出该圆锥的轴截面，如图所示，取的中点，连接，则.根据题意可知所求球即为半径最大的球，设所求球的球心为O，则O在上，设球O与切于点E，连接，则.设球的半径为，则，由题意可得，，所以.由，得，即，解得，所以该球的表面积的最大值为.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.如图，在正四棱台中，，，.（1）证明：平面.（2）求该正四棱台的体积.答案：（1）根据正四棱台的性质可得.因为平面，平面，所以平面.（2）解析：思路：（1）根据正四棱台的性质可得，再利用线面平行的判定证明平面.（2）求出正四棱台的高，代入体积公式求解.（1）略（2）如图，过作，垂足为，过作，垂足为，则，所以，根据正四棱台的性质可得平面，则，因为在正四棱台中，，所以，，所以，该正四棱台的体积为.16.某古代冶金工艺研究院专注于研究商周青铜器块范铸造技术，并对外开展研习活动.在新一期研习活动中，研究院对100名参训人员进行专业修习质量百分制打分，依据得分绘制频率分布直方图（分组区间为，，，），已知.（1）求a，b的值.（2）估计此次修习评分在内的参训人数.（3）将评分77分及以上视为修习效果合格，若合格人数频率大于60%，则判定本期研习活动达标，试问本期活动是否达标?并阐述理由.答案：（1）（2）75（3）超过60%的人的修习评分在77分及以上，即为40%分位数大于或等于77，因为修习评分在内的频率为，修习评分在内的频率为，所以40%分位数在内.所以，可以估计40%分位数为，所以有超过60%的人的修习评分在77分及以上，本期活动达标.解析：思路：（1）根据频率分布直方图中，所有小矩形的面积和为这一性质进行求解即中；（2）根据频率和频数之间的关系进行求解即可；（3）根据百分数位的性质进行求解即可.（1）由题意知解得（2）此次修习评分在内的频率为，所以估计此次修习评分在内的参训人数为.（3）略.17.如图，在四棱锥中，平面，底面为梯形，，，，，为棱的中点.（1）求异面直线与所成角的大小.（2）证明：平面.（3）求直线与平面所成角的正弦值.答案：（1）（2）证明：因为，，所以，所以.因为平面，平面，所以.又，平面所以平面.（3）解析：思路：（1）平移求异面直线的夹角.（2）通过线线垂直证明线面垂直.（3）等体积法求点到平面的距离，再结合直角三角形求线面夹角.（1）取的中点，连接，，则，且.因为，，所以四边形为平行四边形，则.因为平面，所以平面，又平面，所以.异面直线与所成的角为，，所以，即异面直线与所成的角为.（2）略（3）.因为平面，为棱的中点，所以点到平面的距离为，所以，因为平面，平面，所以，由（2）可得，所以，所以，设点到平面的距离为，则，即，解得.设直线与平面所成的角为，则，故直线与平面所成角的正弦值为.18.设整数，质检员对一批产品进行抽样质检，每次抽