河南省洛阳市2025~2026学年高二下册7月期末质量检测数学试卷【附解析】

数学一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在等差数列中，，，则（）A. B. C. D.2.如图所示，从散点图的5个数据中去掉后，下列说法中正确的是（）A.变小，变大 B.相关系数r变小C.残差平方和变大 D.解释变量x与响应变量y的线性相关性变强3.设为两个事件，已知，，，则（）A. B. C. D.4.已知经过点的平面的法向量为，则点到平面的距离为（）A. B. C. D.5.若，则（）A. B. C. D.6.现有5名学生和3名老师排成一排合影，老师不排两端且恰有两位老师相邻的不同排法种数为（）A.21600 B.8640 C.4320 D.21607.若不等式对恒成立，则实数a的取值范围为（）A. B. C. D.8.已知抛物线C：的焦点为，过的直线l与C交于A，B两点，与圆交于M，N两点.若点A，M在第一象限，则的最小值为（）A. B. C. D.二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但选不全的得部分分，有选错的得0分.9.下列结论正确的有（）A.若离散型随机变量X服从两点分布，且，则B.若随机变量，则C.设随机变量，若，则D.为了解学生对足球的喜爱与性别是否有关，随机调查了110名学生，得到如下列联表，则有99%的把握认为“喜爱足球与性别有关”男生女生总计喜爱402060不喜爱203050总计6050110参考数据与公式：0.050.010.0013.8416.63510.82810.已知点P是圆O：（）上的动点，点，点，则（）A.当时，点P到直线的距离的最大值为B.当时，直线被圆O截得的弦长为C.当时，满足的点有2个D.当时，的最大值为811.已知，则（）A. B.C. D.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.某工厂为研究某种产品的产量x（吨）与所需某种原材料的质量y（吨）的相关性，在生产过程中收集4组对应数据：，，，，根据数据，得出y关于x的经验回归方程为，则c的值为________.13.已知双曲线与直线交于不同的两点A，B，若线段的中点在圆上，则________.14.学校分配包括A，B在内的6名实习教师到3个年级进行辅助教学，要求每个年级至少分配一名实习教师，每个实习教师只能分配到一个年级，则A，B两人被分配到同一年级的概率为________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.在一个不透明的箱中有7个形状相同的小球，其中白色小球3个，红色小球4个.（1）现在从箱中任取2个小球，求取到的小球颜色相同的概率；（2）现在从箱中任取3个小球，设取出的3个小球中白球的个数为X，求X的分布列以及数学期望.16.已知等差数列和等比数列的首项分别为1和2，的前n项和为，，且，，成等差数列，.（1）求数列、的通项公式；（2）设，，求数列的前n项和.17.如图，在三棱锥中，平面，，，D是的中点，于E.（1）求证：平面；（2）若，求平面与平面夹角的余弦值.18.已知椭圆C：（）的离心率，且椭圆C经过点.（1）求椭圆C的方程；（2）设P是椭圆C的上顶点，直线l交椭圆C于A，B两点（A，B均不与P重合），直线与的斜率之积为，探究：直线l是否过定点？若是，求该定点坐标；若不是，请说明理由.19.已知函数，其中a，b为常数.（1）若，曲线在点处的切线的倾斜角为，求b的值；（2）若，当时，，求a的取值范围；（3）证明：（）.

数学一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在等差数列中，，，则（）A. B. C. D.答案：A解析：解答过程：利用等差数列的性质可得.2.如图所示，从散点图的5个数据中去掉后，下列说法中正确的是（）A.变小，变大 B.相关系数r变小C.残差平方和变大 D.解释变量x与响应变量y的线性相关性变强答案：D解析：解答过程：由题设，均值x‾=1+2+4+3+105=4，去掉后，新均值x均值y‾=3+4+5+10+125=6.8，去掉后，新均值y由散点图可知，是偏离其余点的离群点，去掉后，剩余点更贴近一条直线，所以x和y为正相关且相关性变强，即相关系数的绝对值越接近1，故去掉后变大，B错误，D正确；线性相关性越强，模型拟合效果越好，残差平方和越小，因此去掉后残差平方和变小，C错误.3.设为两个事件，已知，，，则（）A. B. C. D.答案：C解析：解答过程：因为，得到，所以.4.已知经过点的平面的法向量为，则点到平面的距离为（）A. B. C. D.答案：D解析：解答过程：因为，，则，又平面的法向量为，则点到平面的距离为.5.若，则（）A. B. C. D.答案：C解析：解答过程：令可得，令可得，，令可得，，所以，所以.6.现有5名学生和3名老师排成一排合影，老师不排两端且恰有两位老师相邻的不同排法种数为（）A.21600 B.8640 C.4320 D.2160答案：B解析：思路：先将所有学生排列，然后将位老师中位捆绑一起，再与另一个老师插入到除两端剩余个空中，根据分步乘法原理即可计算结果.解答过程：将所有学生先排列，有种排法，然后将位老师中位捆绑一起，有种方法，再与另一个老师插入到除两端剩余个空中，有种方法，共有种排法.7.若不等式对恒成立，则实数a的取值范围为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：对给定的恒成立不等式进行同构变形，构造函数并利用单调性可得，再构造函数并利用导数求出最小值即可.解答过程：，不等式恒成立，令函数，求导得，函数在上单调递增，不等式恒成立，令函数，求导得，当时，；当时，，函数在上单调递减，在上单调递增，，因此，解得，所以实数a的取值范围为.8.已知抛物线C：的焦点为，过的直线l与C交于A，B两点，与圆交于M，N两点.若点A，M在第一象限，则的最小值为（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：设直线：，与抛物线方程联立，利用韦达定理，可得，，再求得，再结合抛物线的焦半径公式，用表示，结合基本不等式可求其最小值.解答过程：如图：因为，可设直线：，代入，整理得.设，，则，.所以，所以.又.因为，所以，当且仅当即时取等号.即.二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但选不全的得部分分，有选错的得0分.9.下列结论正确的有（）A.若离散型随机变量X服从两点分布，且，则B.若随机变量，则C.设随机变量，若，则D.为了解学生对足球的喜爱与性别是否有关，随机调查了110名学生，得到如下列联表，则有99%的把握认为“喜爱足球与性别有关”男生女生总计喜爱402060不喜爱203050总计6050110参考数据与公式：0.050.010.0013.8416.63510.828答案：BCD解析：思路：利用两点分布、二项分布、正态分布的性质和独立性检验分别判定各个选项.解答过程：选项A，因为X服从两点分布，所以，又，可得，，所以，故A错误；选项B，随机变量，则，故B正确；选项C，随机变量，所以，则，又，所以，故C正确；选项D，零假设：喜爱足球与性别无关，,根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为喜爱足球与性别有关，此推断犯错误的概率不大于0.01，即有99%的把握认为“喜爱足球与性别有关”，故D正确.10.已知点P是圆O：（）上的动点，点，点，则（）A.当时，点P到直线的距离的最大值为B.当时，直线被圆O截得的弦长为C.当时，满足的点有2个D.当时，的最大值为8答案：ABD解析：思路：根据圆的几何性质可以判断A选项与B选项；根据向量的坐标运算结合三角换元，可以判断C选项与D选项.解答过程：A选项，由，点可得满足直线方程，当时，为圆心为，半径为的圆.P到直线的距离的最大值，故A正确；B选项，当时，为圆心为，半径为的圆，故直线被圆O截得的弦长，故B正确；C选项，当时，为圆心为，半径为的圆.设,，则由，可知，化简得，其中，因为在只有一个解，故满足的点有1个，C错误；D选项，当时,为圆心为，半径为的圆，设,，，，其中，D正确.11.已知，则（）A. B.C. D.答案：AD解析：思路：将转化为，构造函数，利用函数单调性得到，再利用选项构造函数或反例对各个选项进行判断.解答过程：设函数，由，得，即.，令，则.令，即得.当时，，单调递减；当时，，单调递增；所以所以恒成立，即在上单调递增.所以，即.对于选项A，，当且仅当时等号成立，因为，所以，故A正确；对于选项B，当时，，故B错误；对于选项C，可化为，设，，令，则.所以在上单调递增.因为，所以当时，，单调递减；当时，单调递增.又因为，所以当时，，则，得，故C错误；对于选项D，设，则所以在上单调递增.由得，即.因为，，所以.故D正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.某工厂为研究某种产品的产量x（吨）与所需某种原材料的质量y（吨）的相关性，在生产过程中收集4组对应数据：，，，，根据数据，得出y关于x的经验回归方程为，则c的值为________.答案：4解析：解答过程：，，，解得．13.已知双曲线与直线交于不同的两点A，B，若线段的中点在圆上，则________.答案：2解析：思路：利用中点弦的性质代入原方程即可得解.解答过程：设，线段的中点，由,得，判别式，解得，由韦达定理，所以，.因为中点在圆上，故，解得.14.学校分配包括A，B在内的6名实习教师到3个年级进行辅助教学，要求每个年级至少分配一名实习教师，每个实习教师只能分配到一个年级，则A，B两人被分配到同一年级的概率为________.答案：解析：思路：根据给定条件，利用分组分配法，结合古典概率列式求解.解答过程：6名实习教师分配到3个年级，有三种情况，不同分组分别为，因此不同分配方案为，两人分到一组，含组有2人的分组方法为；含组有3人的分组方法为；含组有4人的分组方法为，因此两人被分配到同一年级的方案为，所以A，B两人被分配到同一年级的概率为.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.在一个不透明的箱中有7个形状相同的小球，其中白色小球3个，红色小球4个.（1）现在从箱中任取2个小球，求取到的小球颜色相同的概率；（2）现在从箱中任取3个小球，设取出的3个小球中白球的个数为X，求X的分布列以及数学期望.答案：（1）（2）解析：X0123P思路：（1）设“取到的小球颜色相同”记为事件C，根据古典概型求解相应概率即可；（2）依题意可得X的可能取值，求出所对应的概率，列出分布列，计算数学期望.（1）设“取到的小球颜色相同”记为事件C，则．（2）显然X的可能取值有0，1，2，3．，，，，所以X的分布列为：X0123P故．16.已知等差数列和等比数列的首项分别为1和2，的前n项和为，，且，，成等差数列，.（1）求数列、的通项公式；（2）设，，求数列的前n项和.答案：（1），（2）解析：思路：（1）应用等差数列及等比数列通项公式计算求解；（2）应用错位相减法结合等比数列求和公式计算求解.（1）设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，依题意得又，解得所以，．（2）设，所以，①，②得：．即数列的前n项和．17.如图，在三棱锥中，平面，，，D是的中点，于E.（1）求证：平面；（2）若，求平面与平面夹角的余弦值.答案：（1）平面，平面，，又，，平面，平面，平面，从而，又，D是的中点，则，由，平面，则平面，由平面，则，又，，平面，平面；（2）解析：思路：（1）根据已知条件，由线面垂直的性质、判定定理证明结论即可；（2）构建合适空间直角坐标系，标出相关点坐标，进而求出两个平面的法向量，应用向量法求面面角的余弦值.（1）略（2）由平面，平面，则，由平面，平面，则，在中，即，所以，，以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，依题意，得，，，，，即，，设平面的法向量，由，得，令，得，由（1）知平面的一个法向量为，设平面与平面的夹角为，则，即平面与平面夹角的余弦值为.18.已知椭圆C：（）的离心率，且椭圆C经过点.（1）求椭圆C的方程；（2）设P是椭圆C的上顶点，直线l交椭圆C于A，B两点（A，B均不与P重合），直线与的斜率之积为，探究：直线l是否过定点？若是，求该定点坐标；若不是，请说明理由.答案：（1）（2）过定点，解析：思路：（1）由离心率及过定点列方程组，解出与，得椭圆方程；（2）先讨论斜率不存在情形并排除，再设直线方程，联立椭圆由韦达定理及斜率条件化简，得直线过定点.（1）由题意可得，解得，所以椭圆C的方程为．（2）显然，当直线的斜率不存在时，设（且）则，．．即当直线l的斜率不存在时，不符合要求．当直线的斜率存在时，设直线的方程为（）．联立，消去得，则，设，，所以，，则，则，则，整理得，解得（舍去）．所以直线过定点．19.已知函数，其中a，b为常数.（1）若，曲线在点处的切线的倾斜角为，求b的值；（2）若，当时，，求a的取值范围；（3）证明：（）.答案：（1）（2）