河南省信阳市淮滨县2025~2026学年高二下册期期末考试数学试卷【附解析】

数学本试卷共4页，19题，满分150分，考试时间120分钟．一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.（）A.1 B.2 C.3 D.42.甲、乙、丙、丁四位同学各自对，两变量的线性相关关系做实验，并用回归分析方法求得相关系数与残差平方和如下表：甲乙丙丁0.830.790.910.88193201132167则哪位同学的实验结果体现，两变量有更强的线性相关性（）A.甲 B.乙 C.丙 D.丁3.设随机变量服从正态分布，若，则（）A. B. C. D.4.甲、乙、丙、丁等6人分成，两个小组，每组3人，要求甲乙必须在同一组，丙丁不能在同一组，则不同的分配方案有（）A.4种 B.6种 C.8种 D.12种5.袋中有10个同样大小的球，其中有4个红球，6个白球，从中任取3个球，用表示取出红球的个数，则（）A. B. C. D.6.我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有2个阳爻的概率是（）A. B. C. D.7.若函数在上单调递增，则的取值范围是（）A. B. C. D.8.已知抛物线的焦点为，点，在抛物线上，且满足，设弦的中点到轴的距离为，则的最小值为（）A.1 B.2 C.3 D.4二、多项选择题（本题共3题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.据央视财经报道，全国骑行人数已达到亿．某机构对爱好骑行者进行了研究．若将每周骑行小时及以上的人称为“骑行达人”，每周骑行小时以下的人称为“非骑行达人”．该机构随机调查了名骑行爱好者，得到如下数据：骑行达人非骑行达人男女附：，．0.1000.0500.0100.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828下列说法正确的是（）A.根据小概率值的独立性检验，认为“骑行达人”与性别无关联B.根据小概率值的独立性检验，认为“骑行达人”与性别有关联C.根据小概率值的独立性检验，认为“骑行达人”与性别有关联D.根据小概率值的独立性检验，认为“骑行达人”与性别有关联10.某出行平台为缓解X市高峰时段打车难问题，实行“动态调价”机制．平台根据历史数据发现，乘客是否接受调价与其出行目的密切相关．根据历史订单，X市高峰时段乘客出行目的可分为三类：工作通勤、接驳交通枢纽及其他，其占比分别为，，，且这三类出行目的的乘客接受动态调价的概率分别为，，．从X市高峰时段所有订单中随机抽取一单．（）A.该订单乘客接受动态调价的概率为B.已知该订单乘客接受动态调价，其出行目的是工作通勤的概率为C.已知该订单乘客接受动态调价，其出行目的是接驳交通枢纽的概率为D.已知该订单乘客接受动态调价，其出行目的是其他的概率为11.已知圆，，．圆过坐标原点，，，成等比数列，直线与圆相切，与圆交于，两点，过作圆的切线，为切点，若，则（）A.B.C.D.当面积最大时，的方程为三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12.双曲线的离心率为________．13.的展开式中常数项是________．14.设为平面16个点构成的集合，点，记样本空间．从中随机取一个点，定义随机变量如下：对中的每个点，令，则的数学期望为________．四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.如图，在四棱锥中，，，，，平面．（1）求证：；（2）若平面与平面夹角的余弦值为，求．16.一家医药研究所从中草药中提取并合成了甲、乙两种抗“病毒”的药物，经试验，服用甲、乙两种药物痊愈的概率分别为、，现已进入药物临床试用阶段，每个试用组由4位该病毒的感染者组成，其中2人试用甲种抗病毒药物，2人试用乙种抗病毒药物．如果试用组中，甲种抗病毒药物治愈人数超过乙种抗病毒药物的治愈人数，那么称该组为“甲类组”．（1）求一个试用组为“甲类组”的概率；（2）若，观察3个试用组，用表示这3个试用组中“甲类组”的个数，求的分布列及期望．17.已知函数．（1）当时，求曲线在处的切线方程；（2）求的极值．18.十七世纪荷兰数学家费朗斯·范·舒腾首次系统发明圆锥曲线机械规，其中的一种如图1所示，四根等长的杆用铰链首尾连接，构成菱形．带槽杆长为，，转动杆一周的过程中始终有，记点的轨迹为曲线．点在线段的延长线上，且．过的直线与曲线交于，两点．（1）建立如图2所示的平面直角坐标系，求的方程；（2）记直线，的斜率为，，求证为定值；（3）过点作直线垂直于直线，在上任取一点，证明：直线，，的斜率成等差数列．19.若数列共有项，对任意都有（为常数，且），则称数列是关于的一个积对称数列．已知数列是关于的一个积对称数列．（1）若，，，求的值；（2）已知是首项为9，公差为的等差数列，若，，求和．（3）已知是等比数列，若，，，对于（2）中的数列，求数列各项的和．

数学本试卷共4页，19题，满分150分，考试时间120分钟．一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.（）A.1 B.2 C.3 D.4答案：D解析：思路：根据组合数、排列数公式计算求解.解答过程：.2.甲、乙、丙、丁四位同学各自对，两变量的线性相关关系做实验，并用回归分析方法求得相关系数与残差平方和如下表：甲乙丙丁0.830.790.910.88193201132167则哪位同学的实验结果体现，两变量有更强的线性相关性（）A.甲 B.乙 C.丙 D.丁答案：C解析：思路：相关系数的绝对值越接近于1，相关性越强；残差平方和越小，相关性越强，即可得出选项.解答过程：相关系数的绝对值越接近于1，相关性越强，在四个选项中只有丙的相关系数最大；残差平方和越小，相关性越强，只有丙的残差平方和最小，综上可知丙的试验结果体现了，两变量有更强的线性相关性.3.设随机变量服从正态分布，若，则（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：根据正态分布的对称性求解即可.解答过程：因为随机变量服从正态分布，所以，，所以.4.甲、乙、丙、丁等6人分成，两个小组，每组3人，要求甲乙必须在同一组，丙丁不能在同一组，则不同的分配方案有（）A.4种 B.6种 C.8种 D.12种答案：A解析：思路：有指定名称的分组需分位置讨论；“两人不同组”可反向转化为“其中一人进入绑定组”快速筛选有效组合.解答过程：分类1：甲、乙同在A组A组已有甲、乙，还需1人，要求丙丁不同组，则丙、丁不能同时留在B组，因此第3人只能是丙或丁：选丙：A组{甲，乙，丙}，剩余丁、戊、己组成B组，满足丙丁不同组；选丁：A组{甲，乙，丁}，剩余丙、戊、己组成B组，满足丙丁不同组；此分类共种分配方案；分类2：甲、乙同在B组同理，B组已有甲、乙，第3人只能是丙或丁：选丙：B组{甲，乙，丙}，剩余丁、戊、己组成A组；选丁：B组{甲，乙，丁}，剩余丙、戊、己组成A组；此分类共种分配方案，总方案数：种5.袋中有10个同样大小的球，其中有4个红球，6个白球，从中任取3个球，用表示取出红球的个数，则（）A. B. C. D.答案：D解析：解答过程：6.我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有2个阳爻的概率是（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：分步算总事件与符合条件的组合数，套用古典概型公式直接求解.解答过程：计算所有重卦的总数，每一爻有阳爻、阴爻2种情况，一重卦有6个爻，总基本事件数：，计算恰有2个阳爻的重卦数，从6个爻里选2个位置放阳爻，剩下4个自动为阴爻，组合数为：，故所求概率.7.若函数在上单调递增，则的取值范围是（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：由函数单调递增推出导函数恒成立，再结合三角恒等变换和换元进行不等式转化，最后分类进行参数分离，并利用对勾函数的单调性求最值即可得到参数范围.解答过程：根据题意，，因为在上单调递增，所以在上恒成立，令，即在上恒成立.当时，不等式显然成立；当时，，由在上单调递减，得时，，所以；当时，，由在上单调递减，得时，，所以.故的取值范围是.8.已知抛物线的焦点为，点，在抛物线上，且满足，设弦的中点到轴的距离为，则的最小值为（）A.1 B.2 C.3 D.4答案：A解析：思路：设,利用余弦定理表示出，利用抛物线定义结合梯形中位线性质表示出，从而可得的表达式，进而利用基本不等式化简，可求得答案.解答过程：由抛物线可得准线方程为，焦点，设，因为点，在抛物线上，且满足由余弦定理可得,由抛物线定义可得到准线的距离等于，到准线的距离等于，设为的中点，由梯形的中位线定理可得到准线的距离为，则弦的中点到轴的距离，故，又，则，当且仅当时，等号成立，所以的最小值为1.二、多项选择题（本题共3题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.据央视财经报道，全国骑行人数已达到亿．某机构对爱好骑行者进行了研究．若将每周骑行小时及以上的人称为“骑行达人”，每周骑行小时以下的人称为“非骑行达人”．该机构随机调查了名骑行爱好者，得到如下数据：骑行达人非骑行达人男女附：，．0.1000.0500.0100.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828下列说法正确的是（）A.根据小概率值的独立性检验，认为“骑行达人”与性别无关联B.根据小概率值的独立性检验，认为“骑行达人”与性别有关联C.根据小概率值的独立性检验，认为“骑行达人”与性别有关联D.根据小概率值的独立性检验，认为“骑行达人”与性别有关联答案：AC解析：思路：根据题目进行零假设，然后整理出列联表，进行卡方计算，即可根据独立性检验下结论来判断选项.解答过程：由题知，零假设：“骑行达人”与性别无关联，则整理列联表如下：骑行达人非骑行达人合计男女合计则，因为，所以零假设不成立，根据小概率值的独立性检验，认为“骑行达人”与性别有关联，C正确，因为，所以零假设成立，根据小概率值的独立性检验，认为“骑行达人”与性别无关，D错误，因为，所以零假设成立，根据小概率值的独立性检验，认为“骑行达人”与性别无关联，A正确，B错误.10.某出行平台为缓解X市高峰时段打车难问题，实行“动态调价”机制．平台根据历史数据发现，乘客是否接受调价与其出行目的密切相关．根据历史订单，X市高峰时段乘客出行目的可分为三类：工作通勤、接驳交通枢纽及其他，其占比分别为，，，且这三类出行目的的乘客接受动态调价的概率分别为，，．从X市高峰时段所有订单中随机抽取一单．（）A.该订单乘客接受动态调价的概率为B.已知该订单乘客接受动态调价，其出行目的是工作通勤的概率为C.已知该订单乘客接受动态调价，其出行目的是接驳交通枢纽的概率为D.已知该订单乘客接受动态调价，其出行目的是其他的概率为答案：ABD解析：思路：由全概率公式以及贝叶斯公式求解即可.解答过程：设事件表示“乘客接受动态调价”，事件表示“出行目的为工作通勤”，事件表示“出行目的为接驳交通枢纽”，事件表示“出行目的为其他”，由题意可得，，，，，，对于A选项，，故A正确；对于B选项，，故B正确；对于C选项，，故C错误；对于D选项，，故D正确.11.已知圆，，．圆过坐标原点，，，成等比数列，直线与圆相切，与圆交于，两点，过作圆的切线，为切点，若，则（）A.B.C.D.当面积最大时，的方程为答案：ACD解析：思路：先利用圆过原点、等比数列和弦长公式求出三个圆的半径，再借助直角三角形等面积法求出垂线段长，最后结合定点到圆切线的距离最值，即可确定三角形面积最大时的切线方程.解答过程：对于A：过坐标原点，所以，则，故A正确；对于B：，，成等比数列，所以①，设直线到的距离为，因为直线与圆相切，所以，又因为直线与圆相交，弦长，所以②，将②代入①得：，解得，所以，故B错误；对于C：是的切线，为切点，故，又因为，，则，在中，，根据等面积法：，即，所以，故C正确；对于D：，其中为到的距离，因为为定值，故最大时，面积最大.当时，达到最大值为，因为，所以，所以设的方程为，即，因为与相切，所以，解得或，如图可得，所以的方程为，故D正确.三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12.双曲线的离心率为________．答案：解析：思路：将双曲线方程转换成标准方程，确定，即可求解.解答过程：由，得，即，故，所以双曲线的离心率.13.的展开式中常数项是________．答案：解析：思路：先写出二项式展开通项并化简的指数式，令的指数为求出的值，再将代回通项，结合组合数与系数运算算出常数项．解答过程：的展开式的通项是，根据题意，得，解得，所以，的展开式中常数项为．14.设为平面16个点构成的集合，点，记样本空间．从中随机取一个点，定义随机变量如下：对中的每个点，令，则的数学期望为________．答案：##解析：思路：由题意可知，根据古典概型求相应的概率，进而可得期望.解答过程：由题意可知：，且随机变量的取值为，，，，0，1，2，3，4，依题意，可得，，，，，所以，所以，的数学期望为.四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.如图，在四棱锥中，，，，，平面．（1）求证：；（2）若平面与平面夹角的余弦值为，求．答案：（1）连接，，，所以，均在的垂直平分线上，即垂直平分．又平面，平面，所以，因为平面，所以平面，因为平面，所以．（2）．解析：思路：（1）求证平面，再利用线面垂直的定义即可；（2）以为坐标原点建系，利用法向量计算面面角即可.（1）略（2）设，交于，，，为正三角形，，，又，所以．以为坐标原点，分别以，为，轴，以平行于的直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，设，则，因为，所以，则，，设平面的法向量为，则，设，则．又，，设平面的法向量为，则，设，则．因为平面与平面夹角的余弦值为，所以，解得．故．16.一家医药研究所从中草药中提取并合成了甲、乙两种抗“病毒”的药物，经试验，服用甲、乙两种药物痊愈的概率分别为、，现已进入药物临床试用阶段，每个试用组由4位该病毒的感染者组成，其中2人试用甲种抗病毒药物，2人试用乙种抗病毒药物．如果试用组中，甲种抗病毒药物治愈人数超过乙种抗病毒药物的治愈人数，那么称该组为“甲类组”．（1）求一个试用组为“甲类组”的概率；（2）若，观察3个试用组，用表示这3个试用组中“甲类组”的个数，求的分布列及期望．答案：（1）；（2）的分布列为：0123．解析：思路：（1）先分别求出甲种抗病毒药物治愈人数1、2人的概率，以及乙种抗病毒药物治愈人数为0、1人的概率，再根据“甲类组”的定义，计算出一个试用组为“甲类组”的概率；（2）先根据（1）的结果求出时一个试用组为“甲类组”的概率，再根据二项分布的定义确定服从的分布，最后求出的分布列和期望.（1）设表示事件“一个试用组中，服用甲种抗病毒药物治愈的有人”，，表示事件“一个试用组中，服用乙种抗病毒药物治愈的有人”，．依题意有，，，．故一个试用组为“甲类组”的概率．（2）由（1）可得，当时，一个试用组为“甲类组”的概率为，所以，当时，，当时，，当时，，当时，，所以的分布列为：0123根据二项分布的性质，．17.已知函数．（1）当时，求曲线在处的切线方程；（2）求的极值．答案：（1）（2）①当时，，无极大值；②当时，无极值；③当时，，；④当时，，.解析：思路：（1）本题考查导数几何意义，先代入参数得到具体函数，求导计算切点处导数值即切线斜率，再求出切点纵坐标，最后用点斜式求直线方程.（2）先求导，对导数通分和因式分解，根据定义域，比较分界点与的大小关系，分别按、、、四类分类讨论单调性，结合函数单调区间判断极大值点、极小值点，代入原函数求出极值.（1）当时，，，，．所以，在处的切线方程为，即．（2）函数的定义域为，，①当时，由，得，由，得，故在上递增，在上递减，所以，当时，取极小值，，无极大值；②当时，由，在上递增，无极值；③当时，由，得或，由，得，故在，上单调递增，在上单调递减，所以，当时，取极大值，，当时，取极小值，；④当时，由，得或，由，得，故在，上单调递增，在上单调递减，当时，取极大值，．当时，取极小值，．综上所述，①当时，，无极大值；②当时，无极值；③当时，，；④当时，，.方法提示：（1）题：方法归纳：求切线方程通常分三步：求导得斜率、代值求切点、点斜式化简.易错归纳：对数运算化简出错；点斜式移项整理常数项符号失误.（2）题：方法归纳：含参导数极值通用步骤：求导因式分解、找导数零点、依据定义域对参数分段讨论单调性、判定极值点并求值.易错归纳：忽略舍去负零点；分类讨论边界易遗漏；代入原函数计算极值时对数、二次项化简出错.18.十七世纪荷兰数学家费朗斯·范·舒腾首次系统发明圆锥曲线机械规，其中的一种如图1所示，四根等长的杆用铰链首尾连接，构成菱形．带槽杆长为，，转动杆一周的过程中始终有，记点的轨迹为曲线．点在线段的延长线上，且．过的直线与曲线交于，两点．（1）建立如图2所示的平面直角坐标系，求的方程；（2）记直线，的斜率为，，