河南省信阳市商城县2025~2026学年高一下册期末教学质量检测数学试卷【附解析】

数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数满足（i为虚数单位），则的虚部为（）A.3 B. C. D.42.已知向量，满足，，则在上的投影向量为（）A. B. C. D.3.已知a，b，c是空间中的三条直线，下列说法中错误的是（）A.若，，则B.若a与b垂直，b与c垂直，则a与c可能相交、平行或异面C.若a，b分别在两个相交平面内，则这两条直线可能平行、相交或异面D.若a与c相交，b与c异面，则a与b异面4.如图所示，观察四个几何体，下列选项中，错误的是（）A.①是棱台 B.②不是圆台 C.③是棱锥 D.④是棱柱5.若非零向量与满足，且，则为（）A.三边均不相等的三角形 B.直角三角形C.底边和腰不相等的等腰三角形 D.等边三角形6.《九章算术》中，将底面为长方形，且一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马.如图，在阳马中，若平面，且，则异面直线与所成角的余弦值为（）A. B. C. D.7.已知锐角的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，，则的取值范围是（）A.（0,9） B.（0,27） C. D.8.已知底面半径为1，轴截面为正三角形的圆锥体内放一棱长为的正四面体，若正四面体可以在圆锥体内任意转动，则正数的最大值是（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列结论正确的是（）A.若复数满足，则B.若复数与在复平面内分别对应向量与，则向量对应的复数为C.若复数在复平面内对应的点为，则复数在复平面内对应的点在第一象限D.若复数满足，则复数在复平面内对应的点所构成的图形的面积为10.中国载人航天技术飞速发展，神舟二十三号载人飞船发射前夕，某学校举行了一次航天知识竞赛活动，有100名学生进入决赛，把他们的决赛成绩（均为整数）分成六组得到如下频率分布直方图.则下列说法中，正确的有（）A.频率分布直方图中m的值为0.010B.在参加学校决赛的100名学生中，成绩落在区间内的有60人C.根据此频率分布直方图可计算出这100名学生成绩的上四分位数为80分D.如果规定90分以上学生获得一等奖，估计有15%的学生获得一等奖11.已知，为非零向量，且满足，，则下列说法正确的有（）A.，夹角的取值范围是B.的取值范围是C.的取值范围是D.的取值范围是三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若，，，且A，B，C三点共线，则实数k的值为____.13.记的三个内角的对边分别为，且，，若是的外心，则_____.14.如图，在正四棱台中，，，若该四棱台的体积为，则该四棱台的外接球表面积为________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知复数，，是虚数单位．（1）若复数z是纯虚数，求m的值：（2）当时，复数是关于x的方程的一个根，求实数p，q的值．16.如图，在中，，，与的交点为M，过M作动直线分别交线段，于E，F两点.（1）用，表示.（2）设，.①求的值，②求的最小值.17.已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.（1）求B；（2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围.18.某市为普及文明城市创建知识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六组：，，，，，，得到如图所示的频率分布直方图.（1）求频率分布直方图中a的值与样本成绩的平均数；（2）在样本答卷成绩为，，的三组市民中，用分层随机抽样的方法抽取12人，则样本的答卷成绩在中的市民应抽取多少人?（3）若落在的平均成绩是65，方差是4，落在的平均成绩为75，方差是4，求这两组成绩的总平均数和总方差.19.如图1，在矩形中，，，将沿翻折至，且，如图2所示.（1）求证：平面平面；（2）求点到平面的距离；（3）求二面角的余弦值.

数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数满足（i为虚数单位），则的虚部为（）A.3 B. C. D.4答案：C解析：解答过程：，故，所以故的虚部为.2.已知向量，满足，，则在上的投影向量为（）A. B. C. D.答案：C解析：解答过程：因为，，则，，所以在上的投影向量为.3.已知a，b，c是空间中的三条直线，下列说法中错误的是（）A.若，，则B.若a与b垂直，b与c垂直，则a与c可能相交、平行或异面C.若a，b分别在两个相交平面内，则这两条直线可能平行、相交或异面D.若a与c相交，b与c异面，则a与b异面答案：D解析：解答过程：对于A，由平行的传递性知A正确；对于B，如图①，在正方体中，当，时，与相交；当，时，；当，时，与异面；所以由，可得a与c可能相交、平行或异面，故B正确；对于C，若a，b分别在两个相交平面内，如图所示，可知这两条直线可能平行、相交或异面，故C正确；对于D，如图①，在正方体中，与相交，与异面，此时与平行；与相交，与异面，此时与相交；与相交，与异面，此时与异面；所以a与c相交，b与c异面，则a与b可能相交、平行或异面，故D错误.4.如图所示，观察四个几何体，下列选项中，错误的是（）A.①是棱台 B.②不是圆台 C.③是棱锥 D.④是棱柱答案：A解析：解答过程：图①不是由棱锥截到的，所以①不是棱台；图②上、下两个面不平行，所以②不是圆台；图③是棱锥．图④前、后两个面平行，其他面是平行四边形，且每相邻两个四边形的公共边平行，所以④是棱柱．5.若非零向量与满足，且，则为（）A.三边均不相等的三角形 B.直角三角形C.底边和腰不相等的等腰三角形 D.等边三角形答案：C解析：思路：由可得，由可得，即可得结果.解答过程：设的中点为，连接，因为，即，则，可得，又因为，即，且，则，所以为底边和腰不相等的等腰三角形．6.《九章算术》中，将底面为长方形，且一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马.如图，在阳马中，若平面，且，则异面直线与所成角的余弦值为（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：根据异面直线所成角的定义，结合线面垂直的性质、余弦定理及勾股定理求解即可.解答过程：因为平面，，平面，所以，.长方形中，，在中，，同理可得.取，，，中点，，，连接，，，，.则，；；，；，.所以与所成的角即为异面直线与所成角.因为平面，所以底面.又底面，所以，所以.在中，.所以异面直线与所成角的余弦值为.7.已知锐角的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，，则的取值范围是（）A.（0,9） B.（0,27） C. D.答案：B解析：思路：余弦定理结合向量的数量积定义求解即可解答过程：由余弦定理知．又是锐角三角形，所以且，得所以，则，又，令，因为在单调递增，又，.故的取值范围是．8.已知底面半径为1，轴截面为正三角形的圆锥体内放一棱长为的正四面体，若正四面体可以在圆锥体内任意转动，则正数的最大值是（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：当正四面体的外接球为圆锥的内切球时，的值最大，根据已知条件求出两个球的半径，解不等式即可.解答过程：当正四面体的外接球为圆锥的内切球时，的值最大.因为圆锥的底面半径为1，轴截面为正三角形，所以正三角形的边长为2，如图（一），圆锥轴截面内切圆的半径即为圆锥内切球的半径，，即内切球的半径为.因为正四面体的边长为，则补全为正方体时其棱长为，如图（二）所示，所以正四面体的外接球半径，所以，故选：B.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列结论正确的是（）A.若复数满足，则B.若复数与在复平面内分别对应向量与，则向量对应的复数为C.若复数在复平面内对应的点为，则复数在复平面内对应的点在第一象限D.若复数满足，则复数在复平面内对应的点所构成的图形的面积为答案：BCD解析：解答过程：对于A，也满足，A错误．对于B，因为，，所以，B正确．对于C，复数对应的点为，则复数对应的点为，该点在第一象限，C正确．对于D，复数对应的点构成的图形为圆环，它的面积为，D正确．10.中国载人航天技术飞速发展，神舟二十三号载人飞船发射前夕，某学校举行了一次航天知识竞赛活动，有100名学生进入决赛，把他们的决赛成绩（均为整数）分成六组得到如下频率分布直方图.则下列说法中，正确的有（）A.频率分布直方图中m的值为0.010B.在参加学校决赛的100名学生中，成绩落在区间内的有60人C.根据此频率分布直方图可计算出这100名学生成绩的上四分位数为80分D.如果规定90分以上学生获得一等奖，估计有15%的学生获得一等奖答案：ABC解析：思路：根据频率分布直方图中所有小矩形的面积之和为1，求出的值，即可判断A；求出成绩在内的频率，乘以总人数即可判断B；根据上四分位数的定义，结合频率分布直方图计算即可判断C；求出90分以上的频率即可判断D.解答过程：选项A：由频率分布直方图可知，，解得，故A正确；选项B：成绩落在区间内的频率为，所以人数为人，故B正确；选项C：前三组的频率之和为，前四组的频率之和为，所以上四分位数为分，故C正确；选项D：90分以上的频率为，估计有的学生获得一等奖，故D错误.11.已知，为非零向量，且满足，，则下列说法正确的有（）A.，夹角的取值范围是B.的取值范围是C.的取值范围是D.的取值范围是答案：BC解析：解答过程：对于A：因为，，即，所以，设，夹角为，则，当且仅当即时取等号，所以，故A错误；对于B：因为，，，所以，解得，故B正确；对于C：因为，所以，，故C正确；对于D：，所以，故D错误.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若，，，且A，B，C三点共线，则实数k的值为____.答案：解析：思路：先求出，由三点共线得到，再结合平行的坐标表示求解．解答过程：因为向量，，，，三点共线，，.13.记的三个内角的对边分别为，且，，若是的外心，则_____.答案：解析：思路：利用三角形外心向量投影性质，求出与，再把拆为，展开数量积作差得到结果．解答过程：作于，于，在圆中，，所以，所以，同理，所以．14.如图，在正四棱台中，，，若该四棱台的体积为，则该四棱台的外接球表面积为________.答案：解析：思路：由正四棱台的体积公式求出四棱台的高，再分正四棱台外接球球心在直线上和直线的延长线上两种情况，根据，即可求出该四棱台的外接球半径，最后由外接球的表面积公式即可得出答案.解答过程：设棱台的上下底面中心分别为，设正四棱台的高为，则正四棱台的体积为，则，，，若该正四棱台外接球球心在直线上，设球的半径为，，则，由可得，因为，则无解；若该正四棱台外接球球心在直线的延长线上，设球的半径为，，则，由可得，解得，故，因此，该四棱台的外接球表面积为.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知复数，，是虚数单位．（1）若复数z是纯虚数，求m的值：（2）当时，复数是关于x的方程的一个根，求实数p，q的值．答案：（1）1（2）解析：思路：（1）若复数是纯虚数，则其实部为0，且虚部不为0，据此列出方程组即可求出m的值；（2）根据实系数一元二次方程虚根互为共轭求出另外一个根，再利用韦达定理即可求出p，q的值.（1）因为复数是纯虚数，所以.由，解得或.当时，，符合要求；当时，，不符合要求，舍去，所以m的值为1；（2）当时，复数，由题意知复数是关于x的方程的一个根.因为方程的系数为实数，所以方程的另外一个根是的共轭复数.所以由韦达定理可得，解得.16.如图，在中，，，与的交点为M，过M作动直线分别交线段，于E，F两点.（1）用，表示.（2）设，.①求的值，②求的最小值.答案：（1）（2）①；②解析：思路：（1）利用三点共线列出方程，求解即可；（2）①利用三点共线，结合（1）的结论可得；②利用基本不等式1的妙用即可求解.（1）因为三点共线，所以可设，又，所以.因为三点共线，所以，解得.所以.（2）设，，则.由（1）知，，所以.又三点共线，所以，①②，当且仅当，即，时，等号成立.所以当时，取得最小值，最小值为.17.已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.（1）求B；（2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围.答案：（1）（2）解析：思路：(1)直接利用正弦定理边化角进行运算；(2)运用正弦定理将面积转化成角的正切值，再根据锐角三角形求出角的范围，从而求出三角形面积的范围.（1）因为，，所以，即，根据正弦定理得，因为，，所以，根据二倍角公式得，因为，，所以，即，.（2）因为，，所以面积，根据正弦定理，代入得，又，所以，所以面积，因为，所以，即，又为锐角三角形，所以，代入解得，，所以面积.18.某市为普及文明城市创建知识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六组：，，，，，，得到如图所示的频率分布直方图.（1）求频率分布直方图中a的值与样本成绩的平均数；（2）在样本答卷成绩为，，的三组市民中，用分层随机抽样的方法抽取12人，则样本的答卷成绩在中的市民应抽取多少人?（3）若落在的平均成绩是65，方差是4，落在的平均成绩为75，方差是4，求这两组成绩的总平均数和总方差.答案：（1），平均数为（2）6人（3）解析：思路：（1）根据频率和为1求得的值，由各组中点值与频率乘积的和求得样本成绩的平均数；（2）计算样本答卷成绩为，，的频率的比，按比例计算在中的市民应抽取的人数；（3）根据平均数及方差公式