河南省许昌市襄城县部分学校2025~2026学年高二下册7月期末摸底数学试卷【附解析】

数学一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.1.记数列为等比数列，已知，，则（）A.32 B.34 C.38 D.312.二项式展开式中，系数最大值为（）A.280 B.448 C.560 D.6723.已知随机变量，且，则（）A.0.1 B.0.2 C.0.3 D.0.44.某班组织文艺晚会，准备从等7个节目中选出3个节目演出，要求两个节目中至少有一个被选中，且同时选中时，它们的演出顺序不能相邻，那么不同演出顺序的种数为（）A.84 B.72 C.76 D.1305.经统计，我市每年四月份降雨的概率为，出现四级以上大风天气的概率为，在出现四级以上大风天气条件下，降雨的概率为，则在已知降雨的条件下，出现四级以上大风天气的概率为（）A. B. C. D.6.已知定义在上的函数的导函数为.若对任意，都有，且，则不等式的解集为（）A. B. C. D.7.某体育用品仓库中有12个同款篮球，其中一等品有8个，二等品有3个，三等品有1个．现从中不放回地随机抽取5个篮球进行质量检测，记抽到的一等品的个数为，则当取得最大值时，（）A.2 B.3 C.4 D.58.已知椭圆的左､右焦点分别为，过的直线与椭圆交于两点，与轴交于点.若，则椭圆的离心率为（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（）A.数据1，3，3，5，5，5，7，9，11的第80百分位数为9B.样本数据的相关系数越大，成对数据的相关程度也越强C.随机变量，则方差D.随机变量，则当变化时，为定值10.已知数列满足，，设的前项和为，下列结论中正确的是（）A. B.数列是等比数列C. D.11.如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，点在线段上，则下列说法正确的是（）A.当点为的中点时，B.对于任意点，都有C.三棱锥体积的最小值为D.点到直线的距离的最小值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.的展开式中含的项的系数是___________.13.从不大于30的素数中，随机选取两个数，则被选取的两个数之和为30的概率是___________.14.在四棱锥中，平面平面，四边形是直角梯形，，在平面内，以的中点为坐标原点，所在直线为轴，的中垂线为轴，建立平面直角坐标系，且，则点的轨迹方程是___________.四、解答题15.已知曲线在点处的切线的斜率为3，且当时，函数取得极值.（1）求函数的极值；（2）若存在，使得不等式成立，求的取值范围.16.某航天机构执行行星探测任务，通过发射探测器来完成“地形勘测“和”大气成分分析“两项核心任务．已知每个某型号的探测器成功完成“地形勘测”任务的概率为0.8（受行星表面地形复杂度的影响），成功完成“大气成分分析”任务的概率为0.5（受大气浓度稳定性的影响），两项任务的完成情况相互独立，互不影响．（1）求该型号的某探测器至少完成一项核心任务的概率；（2）若同时发射2个该型号的探测器，记为这2个探测器中至少完成一项核心任务的个数，求的分布列与数学期望．17.如图所示，在四棱台中，底面，四边形为菱形，，.（1）若为中点，求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.18.已知某精密制造企业根据长期检测结果，得到生产的产品的质量差服从正态分布，并把质量差在内的产品称为优等品，质量差在内的产品称为一等品，优等品与一等品统称为正品，其余范围内的产品作为废品处理．现从该企业生产的正品中随机抽取1000件，测得产品质量差的样本数据统计如下：（1）根据大量的产品检测数据，检查样本数据的标准差s近似值为10，用样本平均数作为的近似值，用样本标准差s作为的估计值，记质量差服从正态分布，求该企业生产的产品为正品的概率P；（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，．（2）假如企业包装时要求把2件优等品和n（，且）件一等品装在同一个箱子中，质检员从某箱子中摸出两件产品进行检验，若抽取到的两件产品等级相同则该箱产品记为A，否则该箱产品记为B．①试用含n的代数式表示某箱产品抽检被记为B的概率p；②设抽检5箱产品恰有3箱被记为B的概率为，求当n为何值时，取得最大值．19.已知椭圆的长轴长为，且点在上．（1）求的方程．（2）若斜率为1的直线与交于A，B两点，求|AB|的最大值．（3）过点的直线交于P，Q（异于的左、右顶点）两点，直线PT，QT分别交直线于点M，N，试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.

数学一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.1.记数列为等比数列，已知，，则（）A.32 B.34 C.38 D.31答案：A解析：解答过程：设等比数列的公比为，，，所以，因为，而，，所以，所以，即，而，，所以.2.二项式展开式中，系数最大值为（）A.280 B.448 C.560 D.672答案：C解析：思路：利用二项式定理写出通项，再计算其奇数项的系数.解答过程：展开式通项公式为，且为整数，要想系数最大，则为偶数，是展开式中的奇数项，则第项的系数为，第项的系数为，第项的系数为，第7项的系数为，故二项式展开式中，系数最大值为.故选：C3.已知随机变量，且，则（）A.0.1 B.0.2 C.0.3 D.0.4答案：A解析：思路：根据正态分布的对称性即可求解.解答过程：随机变量，且,故，故选：A4.某班组织文艺晚会，准备从等7个节目中选出3个节目演出，要求两个节目中至少有一个被选中，且同时选中时，它们的演出顺序不能相邻，那么不同演出顺序的种数为（）A.84 B.72 C.76 D.130答案：D解析：思路：求出每种情况的数量，再利用分类加法计数原理相加即可.解答过程：依据题意分两类：第一类为：只有一个选中，则不同演出顺序有种情况；第二类为：同时选中，则不同演出顺序有种情况，故不同演出顺序的种数为，故选：D．5.经统计，我市每年四月份降雨的概率为，出现四级以上大风天气的概率为，在出现四级以上大风天气条件下，降雨的概率为，则在已知降雨的条件下，出现四级以上大风天气的概率为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：设为“每年四月份降雨”，为“四级以上大风天气”，则可由求出，从而可求.解答过程：设为“每年四月份降雨”，为“四级以上大风天气”，则，，故，故.故选：C.6.已知定义在上的函数的导函数为.若对任意，都有，且，则不等式的解集为（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：令，利用导数法判断其单调性，再利用其单调性解不等式.解答过程：解：令，则，所以在R上递增，又，则不等式等价于，所以，即不等式的解集为.7.某体育用品仓库中有12个同款篮球，其中一等品有8个，二等品有3个，三等品有1个．现从中不放回地随机抽取5个篮球进行质量检测，记抽到的一等品的个数为，则当取得最大值时，（）A.2 B.3 C.4 D.5答案：B解析：思路：根据给定条件，利用超几何分布求出，再利用最大值情况列出不等式求解.解答过程：依题意，服从超几何分布，则，当取得最大值时，，即，解得，，所以.故选：B8.已知椭圆的左､右焦点分别为，过的直线与椭圆交于两点，与轴交于点.若，则椭圆的离心率为（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：设，由三角形面积关系得出，再由勾股定理及椭圆的定义求出，利用余弦定理及求解即可.解答过程：设，由于与等高，，所以，

又，，∴，又，∴，在中，，∵，，在中，，化简可得，解得，故选：D二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（）A.数据1，3，3，5，5，5，7，9，11的第80百分位数为9B.样本数据的相关系数越大，成对数据的相关程度也越强C.随机变量，则方差D.随机变量，则当变化时，为定值答案：ACD解析：思路：计算出百分位数判断A，根据相关系数的性质判断B，由二项分布的方差公式及随机变量方差的性质计算后判断C，由正态分布的对称性判断D．解答过程：选项A，由于，已知数据是从小到大顺序排列的，第8个数是9，因此80百分位数为9，A正确；选项B，样本数据的相关系数的绝对值越大，成对数据的相关程度也越强，例如的数据比的数据的相关程度强，B错；选项C，，则，，C正确；选项D，，则，为定值，D正确．10.已知数列满足，，设的前项和为，下列结论中正确的是（）A. B.数列是等比数列C. D.答案：ABD解析：思路：根据递推关系代入即可求解AC，根据递推关系可证明是首项为，公比为的等比数列，可得，即可利用分组求和法，结合等比求和公式求解判断BD.解答过程：当时，可得，又因为，所以，故A正确；由，得，所以，又，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，故B正确；，故C错误；由B选项可得，所以，所以，故D正确.故选：ABD.11.如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，点在线段上，则下列说法正确的是（）A.当点为的中点时，B.对于任意点，都有C.三棱锥体积的最小值为D.点到直线的距离的最小值为答案：BC解析：思路：建立空间直角坐标系，利用两点间的距离公式即可判断A，设，利用数量积即可判断B，设点到平面的距离为，得，求的范围即可判断C，利用向量法求点到直线的距离即可判断D.解答过程：以为坐标原点，建立空间直角坐标系，由棱长为2，所以，由点为的中点，所以，所以，故A错误；由，设，所以，，所以，所以对于任意点，都有，故B正确；设点到平面的距离为，所以，又点在线段上运动，所以，所以，所以三棱锥体积的最小值为，故C正确；由，所以，所以点到直线的距离为当且仅当时，等号成立，故点到直线的最短距离为,故选：BC.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.的展开式中含的项的系数是___________.答案：解析：思路：根据二项式定理结合通项求解即可.解答过程：的展开式的通项．令，得,故答案为：.13.从不大于30的素数中，随机选取两个数，则被选取的两个数之和为30的概率是___________.答案：解析：思路：先求出从不大于30的素数中随机选取两个数的方法总数，再求出被选取的两个数之和为30的方法总数，由古典概率的计算公式求解即可.解答过程：由题意可知不大于30的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，共10个．从中随机选取两个数的情况有种，其中被选取的两个数之和为30的情况有，，共3种，故所求概率为．故答案为：.14.在四棱锥中，平面平面，四边形是直角梯形，，在平面内，以的中点为坐标原点，所在直线为轴，的中垂线为轴，建立平面直角坐标系，且，则点的轨迹方程是___________.答案：解析：思路：根据题意画出图形，根据面面垂直的性质可知，在平面内的投影为，的投影为，然后根据线面角的正切关系得，设，利用两点距离公式代入化简计算即可求得结果.解答过程：因为平面平面，且，平面平面，所以平面，同理平面.因此，在平面内的投影为，的投影为.由，根据线面角的正切关系得，将代入化简得.设，则.由，两边平方.展开并整理得，化简得.故答案为：.四、解答题15.已知曲线在点处的切线的斜率为3，且当时，函数取得极值.（1）求函数的极值；（2）若存在，使得不等式成立，求的取值范围.答案：（1）极大值是，极小值是；（2）解析：思路：（1）由题意可得，，求得函数的解析式，再利用导数判断函数的单调性，求函数的极值；（2）根据（1）的结果求函数的最值，不等式可得，即可求解得到取值范围.（1），由导数的几何意义可知，，且，得，所以，，得或，，得或，，得，所以的增区间是和，减区间是，所以的极大值是，极小值是；（2）由（1）可知，在区间单调递增，在区间单调递减，，所以在区间的最大值为，，若存在，使得不等式成立，则，所以.16.某航天机构执行行星探测任务，通过发射探测器来完成“地形勘测“和”大气成分分析“两项核心任务．已知每个某型号的探测器成功完成“地形勘测”任务的概率为0.8（受行星表面地形复杂度的影响），成功完成“大气成分分析”任务的概率为0.5（受大气浓度稳定性的影响），两项任务的完成情况相互独立，互不影响．（1）求该型号的某探测器至少完成一项核心任务的概率；（2）若同时发射2个该型号的探测器，记为这2个探测器中至少完成一项核心任务的个数，求的分布列与数学期望．答案：（1）0.9（2）0120.010.180.81解析：思路：（1）利用对立事件概率和为1的性质求解至少完成一项核心任务的概率即可；（2）由（1）可得2个探测器中至少完成一项核心任务的个数服从二项分布，再根据二项分布的性质求解分布列和期望.（1）该型号的某探测器至少完成一项核心任务的概率．（2）由（1）得，这2个探测器中至少完成一项核心任务的个数服从二项分布，则，，，，所以的分布列为0120.010.180.8117.如图所示，在四棱台中，底面，四边形为菱形，，.（1）若为中点，求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.答案：（1）详见解析；（2）.解析：解答过程：试题分析：（1）连接，可证，又因为底面，可得，即可得证.（2）如图建立空间直角坐标系，求出和平面的一个法向量的坐标，则直线与平面所成角的正弦值.试题解析：（Ⅰ）∵四边形为菱形，，连结，则为等边三角形，又∵为中点∴，由得∴∵底面，底面∴，又∵∴平面（Ⅱ）∵四边形为菱形，，，得，，∴又∵底面，分别以，，为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系、、、∴，，设平面的一个法向量，则有，令，则∴直线与平面所成角的正弦值．点晴：本题考查的空间的线面关系以及空间的角.第一问通过证明直线和平面内的两条相交直线垂直，证明平面；第二问中通过建立空间直角坐标系，求得和平面的一个法向量，结合得到结论.18.已知某精密制造企业根据长期检测结果，得到生产的产品的质量差服从正态分布，并把质量差在内的产品称为优等品，质量差在内的产品称为一等品，优等品与一等品统称为正品，其余范围内的产品作为废品处理．现从该企业生产的正品中随机抽取1000件，测得产品质量差的样本数据统计如下：（1）根据大量的产品检测数据，检查样本数据的标准差s近似值为10，用样本平均数作为的近似值，用样本标准差s作为的估计值，记质量差服从正态分布，求该企业生产的产品为正品的概率P；（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，．（2）假如企业包装时要求把2件优等品和n（，且）件一等品装在同一个箱子中，质检员从某箱子中摸出两件产品进行检验，若抽取到的两件产品等级相同则该箱产品记为A，否则该箱产品记为B．①试用含n的代数式表示某箱产品抽检被记为B的概率p；②设抽检5箱产品恰有3箱被记为B的概率为，求当n为何值时，取得最大值．答案：（1）0.8186；（2）①；②3解析：思路：（1）由频率分布直方图求得，得，判断产品为正品的质量差在内，利用正态曲线的对称性和相应