贵州省惠水民族中学2025~2026学年高二上册开学检测数学试卷【附解析】

数学一、单选题（本大题共8小题）1.已知集合，则（）A. B.C. D.2.设（为虚数单位），则复数的虚部为（

）A. B.4 C. D.3.已知，，，则a，b，c的大小关系为（）A. B. C. D.4.2025年春节档上映的动画电影《哪吒之魔童闹海》引发全民观影热潮．某数据平台实时统计了该片上映前10天的全国单日票房（单位：亿元），并生成如图所示的折线图．假设横轴为上映时间（日期），纵轴为单日票房（亿），则下列说法正确的是（）A.前十日之后，随着上映时间的增加，单日票房一定会呈现下降趋势B.上映前十天的票房极差为4.76（亿）C.上映前十天的票房中位数为6.34（亿）D.上映前十天的票房第70百分位数为7.30（亿）5.已知正方形的边长为2，点为边的中点，点为边的中点，将分别沿折起，使三点重合于点，则三棱锥的外接球与内切球的表面积之比为（）A. B. C. D.6.已知是两个不同的平面，，是内两条不同的直线，则“，且”是“”的（）A.充要条件 B.充分不必要条件C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件7.在平面直角坐标系中，，，则向量在向量上的投影向量为（）A. B. C. D.8.若，当时，，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.二、多选题（本大题共3小题）9.已知正实数满足，则（）A.B.的最小值为C.的最小值为9D.的最小值为10.已知函数和有相同的最大值，直线与两曲线和恰好有三个交点，从左到右三个交点横坐标依此为，则以下说法正确的是（）A. B.C.成等差数列 D.成等比数列11.如图，在正三棱柱中，，过中点的截面，将正三棱柱分成上下两部分，设下半部分几何体的体积为，则下列四个体积是的几何体中，能放在半径为3的球体内的是（）（参考数据：）A.正方体 B.正四面体C.高是4的圆柱 D.高是5的圆锥三、填空题（本大题共3小题）12.当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是__________.13.在△ABC中，D在边BC上，延长AD到P，使得AP=9，若（m为常数），则CD的长度是________．14.已知圆O的直径AB把圆分成上下两个半圆，点C，D分别在上、下半圆上（都不与A，B点重合）若，，则_______.四、解答题（本大题共5小题）15.如图，设是平面内相交成的两条射线，分别与同向的单位向量，定义平面坐标系为仿射坐标系，在仿射坐标系中，若，则记.（1）在仿射坐标系中①若，求；②若，且与的夹角为，求；（2）如上图所示，在仿射坐标系中，分别在轴，轴正半轴上，分别为中点，求的最大值.16.2024年10月13日，成都市将举办马拉松比赛，其中志愿者的服务工作是马拉松成功举办的重要保障.成都市文体广电旅游局承办了志愿者选拔的面试工作.现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组:第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图.（1）求a的值;（2）估计这100名候选者面试成绩的平均数和第百分位数;（3）现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取人，担任本市的宣传者.若本市宣传者中第二组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为和，第四组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为和，请据此估计这次第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差.（附：设两组数据的样本量、样本平均数和样本方差分别为：，记两组数据总体的样本平均数为，则总体样本方差）17.如图，平行六面体的所有棱长均为2，底面为正方形，，点为的中点，点为的中点，动点在平面内.（1）若中点为，求的面积；（2）若平面，求线段长度的最小值.18.记的内角的对边分别为，若为锐角三角形，，求面积的取值范围.从①；②这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.19.设函数.（1）当，时，解方程；（2）当时，若不等式在上恒成立，求实数的取值范围；（3）若为常数，在区间上有解，求实数的取值范围.

数学一、单选题（本大题共8小题）1.已知集合，则（）A. B.C. D.答案：A解析：思路：已知集合，根据并集的定义运算求解即可.解答过程：已知集合，集合，根据并集的定义：．故选：A．2.设（为虚数单位），则复数的虚部为（

）A. B.4 C. D.答案：A解析：思路：根据复数虚部的概念得解.解答过程：因为，所以复数的虚部为.故选：A3.已知，，，则a，b，c的大小关系为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：结合指数对数函数特征判断大小范围，即可求解.解答过程：因为为减函数，所以，所以，因为为减函数，，所以，因为为增函数，，所以.所以.故选：B4.2025年春节档上映的动画电影《哪吒之魔童闹海》引发全民观影热潮．某数据平台实时统计了该片上映前10天的全国单日票房（单位：亿元），并生成如图所示的折线图．假设横轴为上映时间（日期），纵轴为单日票房（亿），则下列说法正确的是（）A.前十日之后，随着上映时间的增加，单日票房一定会呈现下降趋势B.上映前十天的票房极差为4.76（亿）C.上映前十天的票房中位数为6.34（亿）D.上映前十天的票房第70百分位数为7.30（亿）答案：C解析：思路：根据极差、中位线、百分位的定义计算可得.解答过程：对于A：根据折线统计图，无法预测前十日之后，随着上映时间的增加，单日票房一定会呈现下降趋势，故A错误；对于B：上映前十天的票房极差为（亿），故B错误；对于C：上映前十天的票房从小到大排列为、、、、、、、、、，所以上映前十天的票房中位数为（亿），故C正确；对于D：因为，所以上映前十天的票房第70百分位数为（亿），故D错误.故选：C5.已知正方形的边长为2，点为边的中点，点为边的中点，将分别沿折起，使三点重合于点，则三棱锥的外接球与内切球的表面积之比为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：根据题意得三棱锥中，两两垂直，且，进而三棱锥的外接球即为以为邻边的长方体的外接球，进而求解得外接球的半径与表面积，再根据等体积法求解内切球的半径，进而计算内切球的表面积，最后计算比值即可得答案.解答过程：解：如图，依题意知，，，，平面，又平面，所以三棱锥中，两两垂直，且，所以三棱锥的外接球即为以为邻边的长方体的外接球，所以三棱锥的外接球半径满足，则其外接球的表面积为.因为三棱锥的表面积为正方形的面积，，设三棱锥的内切球的半径为，所以由等体积法得，得，所以内切球的表面积为所以三棱锥的外接球与内切球的表面积之比为故选：C．6.已知是两个不同的平面，，是内两条不同的直线，则“，且”是“”的（）A.充要条件 B.充分不必要条件C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件答案：C解析：思路：由面面平行的判定与性质即可判断．解答过程：若，，则不一定平行（缺少条件相交）；若，，则，且，故“，且”是“”的必要不充分条件，故选：C．7.在平面直角坐标系中，，，则向量在向量上的投影向量为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：根据题意，求得，得到，结合投影向量的计算方法，即可求解.解答过程：由平面直角坐标系中，，，可得，则，所以向量在向量上的投影向量为.故选：B.8.若，当时，，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.答案：A解析：思路：将原问题等价转化为时，恒成立，从而构造函数，推出该函数在上单调递减，求出其导数，分离参数，结合函数的最值，即可求得答案.解答过程：等价于，即等价于，即等价于．令，则条件等价于，当时，，即函数在上单调递减，即，则．又，，所以，所以实数的取值范围是．故选：A.二、多选题（本大题共3小题）9.已知正实数满足，则（）A.B.的最小值为C.的最小值为9D.的最小值为答案：AC解析：思路：根据等式的变形，结合为正实数，可判断A项，变形等式，结合的取值范围，利用一元二次函数可判断B项，利用基本不等式中“1”的用法可求解C项，利用基本不等式，结合题干中的等式验证等号成立的条件，可判断D项.解答过程：解：因为，则，即，又为正实数，则，所以，，故A项正确；因为，所以，又，所以，故B项错误；因为，且为正实数，即，则，所以，当且仅当，即时等号成立，故C项正确；因为，所以，则，当且仅当时，等号成立，但由可得，当时，，且，故D项错误.故选：AC.10.已知函数和有相同的最大值，直线与两曲线和恰好有三个交点，从左到右三个交点横坐标依此为，则以下说法正确的是（）A. B.C.成等差数列 D.成等比数列答案：ABD解析：思路：根据导数分类讨论求最值，然后数形结合，利用指数与对数之间的转化求解即可.解答过程：对于AB，，当时，当时，单调递减，当时，单调递增，所以当时，函数有最大值，即；当时，当时，单调递增，当时，单调递减，所以当时，函数有最小值，没有最大值，不符合题意，由，当时，当时，单调递减，当时，单调递增，所以当时，函数有最大值，即；当时，当时，单调递增，当时，单调递减，所以当时，函数有最小值，没有最大值，不符合题意，于是有，因此选项AB正确，对于CD，两个函数图像如下图所示：

由数形结合思想可知：当直线经过点时，此时直线与两曲线和恰好有三个交点，不妨设，且，由，又，又当时，单调递增，所以，又，又，又当时，单调递减，所以，，，于是有，且，所以选项C错误，D正确，故选：ABD方法提示：关键点睛：利用数形结合思想，结合等式是解题的关键.11.如图，在正三棱柱中，，过中点的截面，将正三棱柱分成上下两部分，设下半部分几何体的体积为，则下列四个体积是的几何体中，能放在半径为3的球体内的是（）（参考数据：）A.正方体 B.正四面体C.高是4的圆柱 D.高是5的圆锥答案：AC解析：思路：分析几何特征，计算下半部分几何体的体积，分析各选项中几何体外接球半径，与比大小即可确定答案.解答过程：由题意得，正三棱柱由截面分成的上部分为正三棱柱，下部分为直四棱柱，高度相等，如图，在等边三角形中，分别为的中点，由相似得与的面积比为，故正三棱柱上、下两部分的底面积比为，即正三棱上、下两部分的体积比为，∴.A.设正方体的棱长为，则，得，∴正方体体对角线为，正方体的外接球半径为，能放在半径为3的球体内，A正确.B.如图，在正方体中，由各面对角线相等可得三棱锥为正四面体，正四面体的外接球与正方体的外接球相同，由选项A可知体积为的正方体恰好能放在半径为3的球体内，当正四面体的体积为，正方体的体积大于，此时正方体外接球半径大于，故不能放在半径为3的球体内，B错误.C.如图，设圆柱的底面圆半径为，外接球半径为，外接球球心为，则为圆柱上下底面圆心连线的中点.由题意得，，∴，∴，故此圆柱能放在半径为3的球体，C正确.D.如图，设圆锥的底面圆半径为，外接球半径为，外接球球心为，则点在圆锥的高上.由题意得，，∴，由得，，故此圆锥不能放在半径为3的球体，D错误.故选：AC方法提示：关键点点睛：解决本题的关键是分析、计算各选项中几何体外接球的半径，与比大小，即可确定几何体能否放在半径为3的球体内.三、填空题（本大题共3小题）12.当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是__________.答案：解析：思路：将不等式恒成立转化为恒成立，后解不等式可得答案.解答过程：因，则，又，则，即，因，则，则不等式恒成立，等价于恒成立.因，则，则.注意到的根为，且，则.故答案为：.13.在△ABC中，D在边BC上，延长AD到P，使得AP=9，若（m为常数），则CD的长度是________．答案：或0解析：思路：根据题设条件可设，结合与三点共线，可求得，再根据勾股定理求出，然后根据余弦定理即可求解.解答过程：∵三点共线，∴可设，∵，∴，即，若且，则三点共线，∴，即，∵，∴，∵,,，∴，设，，则，.∴根据余弦定理可得，，∵，∴，解得，∴的长度为.当时，，重合，此时的长度为，当时，，重合，此时，不合题意，舍去.故答案为：0或.方法提示：本题考查了平面向量知识的应用、余弦定理的应用以及求解运算能力，解答本题的关键是设出．14.已知圆O的直径AB把圆分成上下两个半圆，点C，D分别在上、下半圆上（都不与A，B点重合）若，，则_______.答案：3解析：思路：利用向量数量积的运算法则与定义即可得解.解答过程：依题意，连接，如图，因为是直径，所以，所以，，所以.故答案为：3.四、解答题（本大题共5小题）15.如图，设是平面内相交成的两条射线，分别与同向的单位向量，定义平面坐标系为仿射坐标系，在仿射坐标系中，若，则记.（1）在仿射坐标系中①若，求；②若，且与的夹角为，求；（2）如上图所示，在仿射坐标系中，分别在轴，轴正半轴上，分别为中点，求的最大值.答案：（1）;（2）解析：思路：（1）①由题意，，将其两边平方后利用向量数量积的运算律计算即得；②利用（1）得到的模长公式，求得和，再计算，再将条件代入公式，列出方程，即可求出的值.（2）设出点用表示出，利用正弦定理，经过三角恒等变换，化简成正弦型函数，求得其最大值.（1）①由可得，，则，即；②依题意，将代入（1）得到的模长公式即得，，，，因与的夹角为，则由可得，，解得，.（2）依题意，设，因是的中点，则，是的中点，则，故因，，则，在中，由余弦定理，，即，代入上式可得，，由正弦定理，，设，则，于是，其中，则.方法提示：关键点点睛：本题主要考查新定义的仿射坐标系中的向量的运算，属于难题.解决第（2）题的关键在于，设出的坐标，，求得的表达式，运用正弦定理，三角恒等变换化成正弦型函数是解决该题的关键.16.2024年10月13日，成都市将举办马拉松比赛，其中志愿者的服务工作是马拉松成功举办的重要保障.成都市文体广电旅游局承办了志愿者选拔的面试工作.现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组:第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图.（1）求a的值;（2）估计这100名候选者面试成绩的平均数和第百分位数;（3）现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取人，担任本市的宣传者.若本市宣传者中第二组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为和，第四组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为和，请据此估计这次第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差.（附：设两组数据的样本量、样本平均数和样本方差分别为：，记两组数据总体的样本平均数为，则总体样本方差）答案：（1）（2），（3）解析：思路：（1）根据频率分布直方图的概率乘以组距等于，可求得（2）根据频率分布直方图中平均数和百分位数的计算方法即可求解；（3）先计算出第二组和第四组所有面试者的面试成绩的平均数，由题意，再根据分层抽样的方差公式求解即可.（1）由图得，解之可得；（2）根据题意知，，，设第百分位数为，所以，，解之可得，故这名候选者面试成绩的平均数为，第80百分位数为.（3）设第二组、第四组所有面试者的面试成绩的平均数、方差分别为，且两组的频率之比为，则第二组和第四组所有面试者的面试成绩的平均数为，第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差为，则第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差为.17.如图，平行六面体的所有棱长均为2，底面为正方形，，点为的中点，点为的中点，动点在平面内.（1）若中点为，求的面积；（2）若平面，求线段长度的最小值.答案：（1）1（2）解析：思路：（1）利用几何关系求出，从而得到，然后利用三角形面积公式求解即可；（2）构造平面平面，从而确定点必在上，然后利用等面积法求解即可；或者利用空间向量结合二次函数求最值.（1）连接、、，，，同理，是正方形对角线AC中点，，且，，即，则，.（2）法一：取中点，连接，，，易得，故四边形是平行四边形，，又平面平面，平面，同理，平面平面，平面，且都在面内，故平面平面，则点必在上，且当时，长度最小，，由等面积法得：，解得，故的最小长度为.法二：取为一组空间基底，则，，平面，，代入整理得，故，动点在平面内，，，故，当且仅当时，有最小值为.法三：由第一问知，如图建立空间直角坐标系，则，，，，，，，，同理，，，，，设平面的法向量为，则，令，得，设点，，，即，故，当且仅当时，有最小值为.18.记的内角的对边分别为，若为锐角三角形，，求面积的取值范围.从①；②这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答