河南省郑州市中牟县部分校2025~2026学年高二下册期末教学质量监测数学试卷【附解析】

数学一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.下列图中，相关系数最大的是（）A. B. C. D.2.已知随机变量的分布列为:设函数，若，则函数的值域为（）A. B.C. D.3.若，则n的值为（）A.3 B.4 C.5 D.64.已知随机变量的分布列如下表，则方差（）A. B. C. D.5.已知直线是函数在某点处的切线，则实数的值为（）A.1 B.-1 C. D.6.如图所示的九宫格中共有个格点，若在其中任取3个格点，恰好能构成三角形的取法共有（）种.A.528 B.524 C.520 D.5167.已知变量和有较强的线性相关关系，根据下表中两个变量间的相关数据可以得到经验回归方程为y=2.2x+a，则（）235657915A.经验回归直线必过点 B.C.对应的样本点的残差为 D.当时，预测值y=15.68.已知不等式在上恒成立，则的最大值为（）A. B. C. D.二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列命题中正确的是（）A.经验回归方程对应的直线一定经过样本点的中心B.在残差图中，残差点所在的水平带状区域越宽，回归方程的预报精确度越高C.样本相关系数越大，成对样本数据的线性相关程度也越强D.用决定系数来刻画回归效果，越大，说明模型的拟合效果越好10.若随机事件与相互独立，且，，则下列结论正确的是（）A. B.C. D.11.在等差数列中，，.现从数列的前项中随机抽取个不同的数，记取出的数为正数的个数为，则下列结论正确的是（）A.服从超几何分布 B.服从二项分布C. D.三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分.12.设随机变量，则__________.13.的展开式中，的系数为________.14.已知正四棱锥的侧棱长为，则当该正四棱锥的体积最大时，它的高等于________.四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.针对近年兴起的人工智能应用热，某高中准备开设人工智能应用学习班，在全校范围内采用简单随机抽样的方法，分别抽取了男生和女生各名作为样本，调查学生是否喜欢人工智能应用，经统计得到了如图所示的等高堆积条形图.（1）请根据等高堆积条形图，填写下列列联表：

性别是否喜欢人工智能应用

合计是否男生

女生

合计

（2）依据的独立性检验，推断是否可以认为该校学生的性别与是否喜欢人工智能应用有关联.0.100.050.0100.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828参考数据:，其中.16.现有种不同颜色可供选择来涂如图所示的田字形区域，要求同一区域上用同一种颜色，相邻区域用不同的颜色(与，与不相邻).ADBC（1）若使用两种颜色完成着色，求共有几种不同的着色方法？（2）求恰好使用三种颜色完成着色任务的概率；（3）设甲、乙两人各自相互独立完成涂色任务，记他们所用颜色的种数差的绝对值为ξ，求的分布列.17.新型AI模型是近年来针对数据降噪任务研发的算法工具，通过创新神经网络结构，优化传统模型难以处理的高噪声数据．实验人员用含噪声的图象数据对一种新型AI降噪模型进行实验，对使用该模型后，图象中的噪声残留量（单位：个/像素）进行检测，统计得到下表：第轮迭代12345噪声残留量（个/像素）7060524538并计算得：．（1）计算变量（迭代轮数）和变量（噪声残留量）的样本相关系数，并说明两变量线性的相关程度；（2）若图象中的噪声残留量不高于个/像素，则说明数据降噪完成．用最小二乘法求关于的经验回归方程，并预测该AI模型至少需要迭代多少轮才可以完成降噪？参考数据及公式：样本数据的相关系数，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计值分别为：，．18.小明每天上学出发时会选择是否骑共享单车．根据平台统计和他的使用习惯：若出发时不下雨，他选择骑共享单车的概率为0.8；若出发时下雨，他选择骑共享单车的概率为0.4．假设本周小明每天上学出发时下雨的概率均为0.25，且出发地共享单车供应充足．（1）求本周某天小明上学出发时选择骑共享单车去学校的概率；（2）已知本周某天小明选择了骑共享单车去学校，求该天小明出发时不下雨的概率；（3）设小明在本周的前三天中选择骑共享单车去学校的天数为X，且这三天中每天的骑行选择相互独立，求随机变量X的分布，并计算其数学期望和方差．19.设函数（）.（1）当时，求证：直线是曲线的切线；（2）求的单调区间；（3）判断函数是否存在极值.如果存在，求出所有的极值；如果不存在，说明理由.

数学一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.下列图中，相关系数最大的是（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：利用散点图变化趋势，判断相关系数的正负，由散点的集中程度确定大小，即可得到答案．解答过程：由图可知，AC选项的散点图呈现出一定的下降趋势，两变量为负相关，相关系数小于0，BD选项的散点图呈现出一定的上升趋势，两变量为正相关，相关系数大于0，而B选项的散点图，散点比较分散，D选项的散点图，散点紧密地聚集在一条直线附近，因此D选项的相关系数最大.故选：D.2.已知随机变量的分布列为:设函数，若，则函数的值域为（）A. B.C. D.答案：C解析：思路：根据离散型随机变量分布列的性质，分区间讨论时的取值，再求其值域即可.解答过程：当时，只包括一种情况，所以；当时，包括和两种情况，所以；当时，包括三种情况，所以.故函数的值域为.3.若，则n的值为（）A.3 B.4 C.5 D.6答案：B解析：思路：利用二项式定理补项配凑求和的通项表达式解答过程：由，解得.4.已知随机变量的分布列如下表，则方差（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：先计算随机变量的数学期望，再代入方差公式求解即可.解答过程：因

，则

.5.已知直线是函数在某点处的切线，则实数的值为（）A.1 B.-1 C. D.答案：D解析：思路：设切点坐标，根据导数的几何意义，可得切点坐标，再代入切线方程即可．解答过程：由题可得，设切点坐标为，则，所以，，，故D正确.故选：D.6.如图所示的九宫格中共有个格点，若在其中任取3个格点，恰好能构成三角形的取法共有（）种.A.528 B.524 C.520 D.516答案：D解析：思路：用间接法，总取法种数减去不能构成三角形的取法，分四点共线和三点共线两种情况，即可得到可以构成三角形的取法.解答过程：从个点中取个点共有种情况，①四点共线的有种情况，从共线的个点中取个点都不能构成三角形，所以在四点共线的情况下不能构成三角形的取法共有种情况，②三点共线的共有种情况，所以不能构成三角形的取法共有种情况，所以能够成三角形的取法共有种情况.故选：D.7.已知变量和有较强的线性相关关系，根据下表中两个变量间的相关数据可以得到经验回归方程为y=2.2x+a，则（）235657915A.经验回归直线必过点 B.C.对应的样本点的残差为 D.当时，预测值y=15.6答案：D解析：思路：先求即可判断A，由即可判断B，求出的残差即可判断C，由回归方程求出即可判断D.解答过程：由题意得：，所以经验回归直线必过点，故A错误；由，故B错误；所以，当时，，所以对应的样本点的残差为，故C错误；当时，，故D正确.8.已知不等式在上恒成立，则的最大值为（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：通过恒成立条件判断出相切，构造出新函数后通过单调性求最值.解答过程：恒成立，则说明始终在上方或相切.设曲线与直线切于点，因为，则该点处切线斜率，，且..设，则，当时，，此时单调递增，当时，，此时单调递减，所以.二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列命题中正确的是（）A.经验回归方程对应的直线一定经过样本点的中心B.在残差图中，残差点所在的水平带状区域越宽，回归方程的预报精确度越高C.样本相关系数越大，成对样本数据的线性相关程度也越强D.用决定系数来刻画回归效果，越大，说明模型的拟合效果越好答案：AD解析：思路：根据经验回归方程的性质、残差图的意义、样本相关系数与线性相关程度的关系、决定系数的拟合效果判断，结合选项分析求解即可.解答过程：选项A：经验回归方程的推导满足，因此其对应的直线一定经过样本点的中心，正确.选项B：残差图中，残差点所在的水平带状区域越宽，说明残差波动越大，回归方程的预报精确度越低，错误.选项C：样本相关系数的绝对值越接近1，成对样本数据的线性相关程度越强，若相关系数为负数，数值越大（越接近0）反而线性相关程度越弱，错误.选项D：用决定系数刻画回归效果时，越大说明残差平方和越小，模型对数据的拟合效果越好，正确.10.若随机事件与相互独立，且，，则下列结论正确的是（）A. B.C. D.答案：BCD解析：思路：根据事件独立、条件概率公式等逐项判断即可.解答过程：因为随机事件相互独立，所以.对于A，，故A错误；对于B，，所以，故B正确；对于C，，，所以，故C正确；对于D，，，所以，故D正确.11.在等差数列中，，.现从数列的前项中随机抽取个不同的数，记取出的数为正数的个数为，则下列结论正确的是（）A.服从超几何分布 B.服从二项分布C. D.答案：ACD解析：思路：根据等差数列的性质可得前10项中有6个正数，即可求解从而可判断服从超几何分布，即可判断ABC，由超几何分布的期望计算即可判断D.解答过程：依题意，等差数列公差，则通项为，由，得，即等差数列前10项中有6个正数，的可能取值为的事件表示取出的3个数中有个正数，（）个非正数，因此，不服从二项分布，服从超几何分布，正确，B错误；所以正确；且正确．三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分.12.设随机变量，则__________.答案：解析：思路：利用正态分布曲线关于均值对称的性质，结合已知概率计算所求区间的概率.解答过程：因为随机变量，所以正态曲线关于直线对称，因此，且.由，可得，因此.故.13.的展开式中，的系数为________.答案：解析：思路：由题设，利用二项式定理求的通项公式，进而求出对应项，即可得系数.解答过程：原式可以分成两项相乘，其中且，对于，则在展开式中找到的项，再乘以得到，令：，系数为，对于，则在展开式中找到的项，再乘以得到，令：，系数为，将两部分的系数相加，因此，展开式中的系数为.14.已知正四棱锥的侧棱长为，则当该正四棱锥的体积最大时，它的高等于________.答案：3解析：思路：设正四棱锥的底面边长为a，高为h，根据勾股定理得到h与a的关系式，利用导数判断函数单调性从而求得体积取最大值时正四棱锥的高.解答过程：设正四棱锥的底面边长为a，高为h，则，设，连接，则，平面，因为平面，所以.在中，，故，所以正四棱锥的体积，令，则，由得，由得，所以在上单调递增，在上单调递减，所以当时正四棱锥的体积取得最大值.故答案为：3.四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.针对近年兴起的人工智能应用热，某高中准备开设人工智能应用学习班，在全校范围内采用简单随机抽样的方法，分别抽取了男生和女生各名作为样本，调查学生是否喜欢人工智能应用，经统计得到了如图所示的等高堆积条形图.（1）请根据等高堆积条形图，填写下列列联表：

性别是否喜欢人工智能应用

合计是否男生

女生

合计

（2）依据的独立性检验，推断是否可以认为该校学生的性别与是否喜欢人工智能应用有关联.0.100.050.0100.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828参考数据:，其中.答案：（1）性别是否喜欢人工智能应用合计是否男生7525100女生5545100合计13070200（2）有关联解析：思路：（1）从等高堆积条形图提取对应数据构建列联表；（2）代入卡方统计量公式计算，将计算结果与显著性水平对应的临界值比较，完成独立性检验.（1）略（2）零假设为：该校学生的性别与是否喜欢人工智能应用没有关联.，依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即能认为该校学生喜欢人工智能应用与性别有关联.16.现有种不同颜色可供选择来涂如图所示的田字形区域，要求同一区域上用同一种颜色，相邻区域用不同的颜色(与，与不相邻).ADBC（1）若使用两种颜色完成着色，求共有几种不同的着色方法？（2）求恰好使用三种颜色完成着色任务的概率；（3）设甲、乙两人各自相互独立完成涂色任务，记他们所用颜色的种数差的绝对值为ξ，求的分布列.答案：（1）（2）（3）012解析：思路：（1）根据分步乘法计数原理结合组合数的概念计算求解；（2）计算所有可能的着色方法，结合古典概型概率计算公式计算求解即可；（3）列举随机变量的所有可能取值，计算对应概率，再列出分布列即可.（1）当用2种不同颜色涂色时，与，与颜色相同，此时共有种不同的着色方法；（2）当用3种不同颜色涂色时，与或与颜色相同，此时共有种不同的着色方法；当用4种不同颜色涂色时，与，与颜色均不相同，此时共有种不同的着色方法；所以一共有种不同的着色方法，故恰好使用三种颜色完成着色任务的概率为；（3）设单人涂色使用颜色种数为，则可能取值为2，3，4.，甲乙涂色独立，则，所以的可能取值为，，，，所以的分布列为：01217.新型AI模型是近年来针对数据降噪任务研发的算法工具，通过创新神经网络结构，优化传统模型难以处理的高噪声数据．实验人员用含噪声的图象数据对一种新型AI降噪模型进行实验，对使用该模型后，图象中的噪声残留量（单位：个/像素）进行检测，统计得到下表：第轮迭代12345噪声残留量（个/像素）7060524538并计算得：．（1）计算变量（迭代轮数）和变量（噪声残留量）的样本相关系数，并说明两变量线性的相关程度；（2）若图象中的噪声残留量不高于个/像素，则说明数据降噪完成．用最小二乘法求关于的经验回归方程，并预测该AI模型至少需要迭代多少轮才可以完成降噪？参考数据及公式：样本数据的相关系数，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计值分别为：，．答案：（1），迭代轮数与噪声残留量之间存在极强的负线性相关关系；（2）经验回归方程为;该AI模型至少需要迭代7轮才可以完成降噪解析：思路：（1）利用相关系数的公式求解即可；（2）求出，利用的公式代值计算即可得到经验回归方程，令，解不等式即可求解.（1）由题可得：，样本相关系数，非常接近，说明迭代轮数与噪声残留量之间存在极强的负线性相关关系；（2）噪声残留量的取值为因此：，根据题意可得，所以关于的经验回归方程为，要使图象中的噪声残留量不高于25个/像素，则，即，所以该AI模型至少需要迭代轮才可以完成降噪.18.小明每天上学出发时会选择是否骑共享单车．根据平台统计和他的使用习惯：若出发时不下雨，他选择骑共享单车的概率为0.8；若出发时下雨，他选择骑共享单车的概率为0.4．假设本周小明每天上学出发时下雨的概率均为0.25，且出发地共享单车供应充足．（1）求本周某天小明上学出发时选择骑共享单车去学校的概率；（2）已知本周某天小明选择了骑共享单车去学校，求该天小明出发时不下雨的概率；（3）设小明在本周的前三天中选择骑共享单车去学校的天数为X，且这三天中每天的骑行选择相互独立，求随机变量X的分布，并计算其数学期望和方差．答案：（1）0.7（2）（3）；；解析：思路：（1）设相应事件，根据题意结合全概率公式运算求解；（2）根据题意结合贝叶斯公式运算求解；（3）分析可知，结合二项分布