河南省周口市百师联盟2025~2026学年高一下册期末综合检测数学试卷【附解析】

数学考试时间为120分钟，满分150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.复数的虚部为（）A. B. C. D.2.如图，在中，，则（）A. B.C. D.3.在中，“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4.已知，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列结论正确的是（）A.若，，则B.若，，，则C.若，，，则D.若，，则5.在孟德尔两对相对性状的豌豆杂交实验中，子二代豌豆性状表现型及理论比例为：黄色圆粒：黄色皱粒：绿色圆粒：绿色皱粒．现研究人员计划从大量该代豌豆种子中，随机抽取n粒豌豆作为样本进行研究．若希望样本中黄色皱粒豌豆的理论（期望）数量为30粒，则样本量n应为（）A.160 B.190 C.220 D.2506.若样本数据：1，2，a，6，7的平均数为4，则此样本的第百分位数为（）A.3 B.4 C.5 D.67.甲、乙两名同学为了参加“一二·九运动”相关体育比赛，赛前两人进行跳绳、踢毽球和长跑的专项对抗练习.在这三个项目中，甲获胜的概率分别为，且各项目的对抗练习结果相互独立.则甲恰好在两个项目中战胜乙的概率为（）A. B. C. D.8.祈年殿（图1）是北京市的标志性建筑之一，距今已有600多年历史.殿内部有垂直于地面的28根木柱，分三圈环形均匀排列.内圈有4根约为19米的龙井柱，寓意一年四季；中圈有12根约为13米的金柱，代表十二个月；外圈有12根约为6米的檐柱，象征十二个时辰.已知由一根龙井柱和两根金柱，形成的几何体（图2）中，米，，则平面与平面所成角的正切值约为（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知向量，，，则（）A.若，则 B.若，则C.在上的投影向量为 D.的最小值为10.下列说法正确的是（）A.若事件A与事件B相互独立，，则B.若样本数据的方差为10，则数据的方差为90C.一个盒子中有3个黑球，2个白球，1个红球，不放回地抽取两次，每次抽一个球，则事件“至少有一个红球”与事件“两个球颜色相同”互斥D.这2026个数的上四分位数是50711.如图，在棱长为2的正方体中，为棱的中点，为四边形内（包括边界）一个动点，则下列结论正确的是（）A.三棱锥体积为B.三棱锥外接球的表面积为C.若，则点的轨迹长度为D.的最小值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知一个口袋中装有1个红球，2个白球，3个黑球，这6个球除颜色外完全相同，先从这个口袋中随机摸出一个球，放回后再随机摸出一个球，两次摸出的球颜色相同的概率是_____________.13.在直棱柱中，底面是边长为2的正方形，．点是线段上的点，且，则点到平面的距离为___________．14.在中，M是边BC的中点，N是线段BM的中点，设，试用a，b表示为_____________;的面积为，则的最小值为______________.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.公园内有一块三角形绿地，其中米，米，.绿地内种植有一扇形的花卉景观，扇形的两边都落在和上，弧与相切于点.（1）求扇形花卉景观的半径，以及面积；（2）为美观起见，设计在原有绿地基础上扩建成三角形（如图），其中，使得原有的扇形花卉景观扩建为半径米，并且与相切于点，两边都落在三角形边上的扇形，求绿地三角形占地面积的最小值，并求此时、的长.16.如图1，平面四边形ABCD中，是等边三角形，且是AD的中点.沿BD将翻折，折成三棱锥，如图2.（1）当三棱锥的体积最大时，证明：；（2）若棱CD上存在一点，使得平面ABC，且，求实数的值；（3）当平面平面BDC时，求三棱锥的外接球的表面积.17.在中，内角所对的边分别为，已知（1）求角；（2）若为边上一点(不包含端点)，且满足，(i)若，求的长；(ii)求的取值范围.18.为了解学生对A，B两家餐厅的满意度情况，现从在A，B两家餐厅都用过餐的学生中随机抽取了50人，每人分别对这两家餐厅的满意度进行打分（分数区间为），将其分数记为满意指数.根据打分结果按，，，分组，得到如图所示的频率分布直方图，其中B餐厅的满意指数在内的学生有15人.（1）求图中a，b的值，并估计A餐厅满意指数的中位数；（2）利用样本估计总体的思想，比较A，B两家餐厅满意指数的平均数的大小；（计算平均数时同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）（3）现采用分层抽样的方式从B餐厅打分结果在，，这三组的学生中抽取6人，再从这6人中，随机抽取2人进行访谈，请写出样本空间，并求这2人来自相同组的概率.19.如图，在三棱锥中，的中点分别为，点在上，.（1）证明：平面；（2）证明：平面平面；（3）求平面与平面的夹角的大小.

数学考试时间为120分钟，满分150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.复数的虚部为（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：先将复数中的分式进行分母实数化运算，合并同类项得到复数的标准代数形式，再根据虚部的定义求解.解答过程：因为，所以

，因此的虚部为2.如图，在中，，则（）A. B.C. D.答案：C解析：思路：根据向量的减法运算法则即可求解.解答过程：因为，所以，所以.故选：C.3.在中，“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案：C解析：思路：根据充分必要条件的定义结合正弦定理即可得出答案.解答过程：在中，设角、、所对的边分别为、、.充分性：若，由正弦定理，可得，根据等边对等角，可得；必要性：若，根据等角对等边，可得，由正弦定理得，综上，“”是“”的充要条件.故选：C4.已知，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列结论正确的是（）A.若，，则B.若，，，则C.若，，，则D.若，，则答案：C解析：思路：根据线面、面面位置关系的判定定理和性质逐一分析判断即可得解.解答过程：对A：若，，则或，故A错误；对B：若，，，则或异面，故B错误；对C：如图：过直线作平面，交平面于直线，因为，所以；过直线作平面，交平面于直线，因为，所以；所以，且，，所以.，，所以.又，所以.故C正确；对D：因为垂直于同一个平面的两个平面的位置关系不能确定，故D错误.故选：C5.在孟德尔两对相对性状的豌豆杂交实验中，子二代豌豆性状表现型及理论比例为：黄色圆粒：黄色皱粒：绿色圆粒：绿色皱粒．现研究人员计划从大量该代豌豆种子中，随机抽取n粒豌豆作为样本进行研究．若希望样本中黄色皱粒豌豆的理论（期望）数量为30粒，则样本量n应为（）A.160 B.190 C.220 D.250答案：A解析：思路：根据分层抽样结合样本数量计算求解.解答过程：根据题意得，黄色皱粒豌豆所占总体比例为，所以样本量．故选：A．6.若样本数据：1，2，a，6，7的平均数为4，则此样本的第百分位数为（）A.3 B.4 C.5 D.6答案：C解析：思路：先由平均数求未知量，再排序后根据百分位数定义计算.解答过程：由已知可求得：平均数，解得.排序后数据：1，2，4，6，7共5个数据，，则此样本的第位数为，故选：C.7.甲、乙两名同学为了参加“一二·九运动”相关体育比赛，赛前两人进行跳绳、踢毽球和长跑的专项对抗练习.在这三个项目中，甲获胜的概率分别为，且各项目的对抗练习结果相互独立.则甲恰好在两个项目中战胜乙的概率为（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：记三个项目中，甲获胜分别是事件，综合对立事件、互斥事件、独立事件的概率公式求解即可.解答过程：记三个项目中，甲获胜分别是事件，则，所以.由题意知事件“甲恰好在两个项目中战胜乙”，因为两两互斥，所以.又各项目的对抗练习结果相互独立，即相互独立，所以，，，所以.故选：A.8.祈年殿（图1）是北京市的标志性建筑之一，距今已有600多年历史.殿内部有垂直于地面的28根木柱，分三圈环形均匀排列.内圈有4根约为19米的龙井柱，寓意一年四季；中圈有12根约为13米的金柱，代表十二个月；外圈有12根约为6米的檐柱，象征十二个时辰.已知由一根龙井柱和两根金柱，形成的几何体（图2）中，米，，则平面与平面所成角的正切值约为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：若平面平面，是的中点，连接，从而得到是平面与平面所成角的平面角，即为所求角，结合已知求其正切值.解答过程：过作平面平面，交于点则平面与平面所成角，即为平面与平面所成角，由题意有，即是等腰三角形，腰长约为8米，，易知，若是的中点，连接，则，且平面，由平面，则，都在平面内，所以平面，又平面，所以，又为平面与平面的交线，则是平面与平面所成角的平面角，其中，，则.故选：B二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知向量，，，则（）A.若，则 B.若，则C.在上的投影向量为 D.的最小值为答案：BC解析：思路：A选项，根据向量垂直得到方程，求出；B选项，根据得到B正确；C选项，由投影向量的公式得到C正确；D选项，举出反例得到D错误.解答过程：A选项，，若，则，解得，A错误；B选项，，则，故，所以，B正确；C选项，，在上的投影向量为，C正确；D选项，，故，当时，，D错误.故选；BC10.下列说法正确的是（）A.若事件A与事件B相互独立，，则B.若样本数据的方差为10，则数据的方差为90C.一个盒子中有3个黑球，2个白球，1个红球，不放回地抽取两次，每次抽一个球，则事件“至少有一个红球”与事件“两个球颜色相同”互斥D.这2026个数的上四分位数是507答案：BC解析：思路：根据概率公式，结合独立事件的概率乘法公式可判断A；根据方差的性质可判断B；根据互斥事件的概念可判断C；根据百分位数的定义直接计算可判断D.解答过程：对A，因为事件A与事件B相互独立，，所以，则，A错误；对B，因为样本数据的方差为10，所以数据的方差为，B正确；对C，因为不放回地抽取两次最多有一个红球，所以事件“至少有一个红球”发生时，取到的球必然有两种颜色（红黑或红白），此时事件“两个球颜色相同”不可能发生，故两事件互斥，C正确；对D，因为，所以上四分位数是该组数据的第个数，即，D错误.故选：BC11.如图，在棱长为2的正方体中，为棱的中点，为四边形内（包括边界）一个动点，则下列结论正确的是（）A.三棱锥体积为B.三棱锥外接球的表面积为C.若，则点的轨迹长度为D.的最小值为答案：ABD解析：思路：由三棱锥体积公式求得三棱锥体积，判断A选项；通过几何关系得到外接球心，即可求得球的半径，然后得到球的表面积，判断B选项；由勾股定理得到长，即可知道点的轨迹图象，然后求得轨迹长度，判断C选项；取点关于平面的对称点，从前得到取最小值时点的位置，然后计算的最小值，判断D选项.解答过程：在正方体中平面，∵，则，∴，A选项正确；取中点，过作平面，∵，∴三棱锥外接球的球心在上，∴设为三棱锥外接球的球心，且设，∴，则，即，即，∴，则球的半径，则球的表面积，B选项正确；∵平面，∴，∴，即，∴，∴点的轨迹为以为原点，为半径的圆弧，∴点的轨迹长度为，C选项错误；如图，延长到点，使得，连接交平面于点，此时取最小值，，D选项正确.故选：ABD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知一个口袋中装有1个红球，2个白球，3个黑球，这6个球除颜色外完全相同，先从这个口袋中随机摸出一个球，放回后再随机摸出一个球，两次摸出的球颜色相同的概率是_____________.答案：解析：思路：由古典概型及事件的互斥性质进行求解．解答过程：记事件：摸出的是红球，事件：摸出的是白球，事件：摸出的是黑球，则因为从口袋中有放回地摸球两次，两次摸球是相互独立的，两次摸出的球的颜色相同的事件可以表示为，所以，故答案为:.13.在直棱柱中，底面是边长为2的正方形，．点是线段上的点，且，则点到平面的距离为___________．答案：解析：思路：过点作，过点作，垂足为,可以证明平面MBCN,然后在直角三角形中利用等面积转化计算即得.解答过程：如图，过点作，分别交和于,连接,,过点作，垂足为,∵，，∴，∴平面与平面重合,∵直棱柱，∴平面,又平面,∴,又∵，且,∴平面,∵,∴,又∵,∴,在三角形中，,.故答案为：.14.在中，M是边BC的中点，N是线段BM的中点，设，试用a，b表示为_____________;的面积为，则的最小值为______________.答案：①.②.解析：思路：根据给定条件，利用向量的线性运算求出；利用三角形面积公式及数量积的运算律，结合基本不等式求出最小值.解答过程：依题意，，则，因此，，由的面积为，得，则，，当且仅当时取等号，所以的最小值为.故答案为：；四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.公园内有一块三角形绿地，其中米，米，.绿地内种植有一扇形的花卉景观，扇形的两边都落在和上，弧与相切于点.（1）求扇形花卉景观的半径，以及面积；（2）为美观起见，设计在原有绿地基础上扩建成三角形（如图），其中，使得原有的扇形花卉景观扩建为半径米，并且与相切于点，两边都落在三角形边上的扇形，求绿地三角形占地面积的最小值，并求此时、的长.答案：（1），（2），解析：思路：（1）根据余弦定理求出的长度，再根据扇形弧与相切，借助等面积法求解；（2）假设，利用余弦定理得到，然后表示出三角形的面积，最后使用基本不等式计算可得结果.（1）在中，由余弦定理，所以，因为弧与相切于点，所以，所以，所以，；（2）设，则由余弦定理可得，所以，因为，所以，即，所以，即，当且仅当时，取最小值为256．所以当时，三角形占地面积最小，为．16.如图1，平面四边形ABCD中，是等边三角形，且是AD的中点.沿BD将翻折，折成三棱锥，如图2.（1）当三棱锥的体积最大时，证明：；（2）若棱CD上存在一点，使得平面ABC，且，求实数的值；（3）当平面平面BDC时，求三棱锥的外接球的表面积.答案：（1）设到平面的距离为，且，，，故要使三棱锥的体积最大，则最大，当的投影在棱上时，最大，且，此时平面平面，，平面，平面平面，；（2）2；（3）.解析：思路：（1）三棱锥的体积最大时，的投影在棱上，此时平面，进而可证明平面得；（2）取中点，连接，可证明平面，从而求出m；（3）过作，过点作交于，设为三棱锥的外接球的球心，外接球的半径为，进而根据几何关系求解即可得.（1）略（2）取中点，连接，是的中点，，平面平面，平面，又，；（3）为直角三角形，过作平面，设为三棱锥的外接球的球心，外接球的半径为，平面平面，平面平面，平面，平面，，如图所示，过点作交于，四边形为矩形，，在中，，即，在中，，即，进而解得，三棱锥的外接球的表面积为.17.在中，内角所对的边分别为，已知（1）求角；（2）若为边上一点(不包含端点)，且满足，(i)若，求的长；(ii)求的取值范围.答案：（1）（2）(i)(ii)解析：思路：（1）由正弦定理化简等式，即可解得.（2）(i)由得，结合题意得，即可得到，由边角关系求得，即求得.(ii)由条件得到边的关系，以及角的取值范围.然后由正弦定理求得，然后由角的取值范围求得结果.（1）∵，由正弦定理可得，∵，∴，∴，∴，即，即，∵，∴.（2）(i)∵，∴，∴，∴，∴.∴，∴∴.(ii)∵，∴，∴，∵，∴，由∵点在边上且不包含端点，∴，在中，，在中由正弦定理可得，又∵，∴，∵，则，∴，∴的取值范围是.18.为了解学生对A，B两家餐厅的满意度情况，现从在A，B两家餐厅都用过餐的学生中随机抽取了50人，每人分别对这两家餐厅的满意度进行打分（分数区间为），将其分数记为满意指数.根据打分结果按，，，分组，得到如图所示的频率分布直方图，其中B餐厅的满意指数在内的学生有15人.（1）求图中a，b的值，并估计A餐厅满意指数的中位数；（2）利用样本估计总体的思想，比较A，B两家餐厅满意指数的平均数的大小；（计算平均数时同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）（3）现采用分层抽样的方式从B餐厅打分结果在，，这三组的学生中抽取6人，再从这6人中，随机抽取2人进行访谈，请写出样本空间，并求这2人来自相同组的概率.答案：（1），A餐厅满意指数的中位数为6.5（2）A餐厅满意指数的平均数更高（3）样本空间为概率为解析：思路：（1）根据频率的定义和频率分布直方图求解计算出的值，然后根据中位数的定义和公式计算即可.（2）根据两个餐厅的频率分布直方图和平均数的定义公式