河南新未来联考2025~2026学年高一下册6月测评数学试卷【附解析】

数学满分：150分，考试时间：120分钟）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数，则在复平面内对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.已知向量，，则在上的投影向量的模为（）A. B. C. D.3.函数的定义域为（）A.， B.，C.， D.，4.已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，，则5.已知一扇形的周长为8，当该扇形的面积最大时，其圆心角为（）A. B. C. D.6.如图，在正方体中，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（）A. B. C. D.7.在中，角，，所对的边分别为，，，，设的面积为，若，则的形状为（）A.直角三角形 B.钝角三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形8.若，，，，则（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.（多选题）已知为虚数单位，则下列说法正确的是（）A.若，，则 B.若，则C.若，则的虚部为 D.若，则10.在中，内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（）A.若，，，则B.，则C.若，，有两解，则D.11.如图，在正方体中，分别为，，的中点，点为线段上的动点，则下列说法正确的是（）A.几何体是三棱台B.直线与平面相交C.二面角的平面角的正切值为D.直线与平面所成角的正弦值的最大值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.河南科技馆内有一个半径为15m的球形建筑物，已知三点在该球面上，且，则球心到平面的距离为______．13.已知平面向量，，满足且，向量满足，则的最大值是______．14.设，若，且，，则__________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.15.设复数，（其中，）．（1）若，求的值；（2）若是关于x的方程的一个根，求实数的值．16.在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．（1）求角A的大小；（2）若，的面积为，求的周长．17.（1）已知，求的值；（2）已知，求实数的值.18.已知向量，，.（1）若，求的值；（2）记，.（ⅰ）求的对称中心和对称轴；（ⅱ）若函数的图象在区间（，且）上至少含有40个零点，在所有满足条件的区间上，求的最小值.19.一个上底面半径为1，下底面半径为2，母线长为2的圆台，如图所示，等腰梯形ABCD是圆台的轴截面，P为圆台上底面圆周上一点（1）若平面APC与圆台下底面的圆周交于点Q．（ⅰ）证明：平面ADQ；（ⅱ）若四棱锥的体积为，求二面角的正弦值；（2）若圆台是封闭容器（容器壁厚度忽略不计），且圆台内有两个半径相等的铁球，求铁球半径的最大值．

数学满分：150分，考试时间：120分钟）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数，则在复平面内对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限答案：A解析：解答过程：依题意，复数，则，因此在复平面内对应的点位于第一象限.2.已知向量，，则在上的投影向量的模为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：根据投影向量及向量模的公式计算结果即可.解答过程：因为在上的投影向量为，所以在上的投影向量的模为.3.函数的定义域为（）A.， B.，C.， D.，答案：D解析：思路：使用正切函数的图象与性质求解.解答过程：令，得，解得，，所以定义域为：，4.已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，，则答案：C解析：思路：根据空间中线面、面面平行与垂直的判定定理和性质定理，逐项验证即可.解答过程：选项A，若，则直线与直线位置关系可能为平行、相交或异面，故A错误；选项B，若，则直线与平面位置关系可能为、或与相交，故B错误；选项C，根据线面平行的性质定理以及面面垂直的判定定理可知，若，则内必存在直线平行于m，设为l，则，则，故C正确；选项D，若，则直线与平面位置关系可能为、或与相交，故D错误.5.已知一扇形的周长为8，当该扇形的面积最大时，其圆心角为（）A. B. C. D.答案：A解析：解答过程：设扇形的圆心角为，半径为，则扇形的周长为，所以，所以扇形的面积为，因为，所以，当且仅当时等号成立，所以，所以当时，扇形的面积取得最大值.6.如图，在正方体中，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（）A. B. C. D.答案：D解析：解答过程：如图：取中点，连接，.因为，所以即为异面直线与所成的角.不妨设，在中，，，所以.7.在中，角，，所对的边分别为，，，，设的面积为，若，则的形状为（）A.直角三角形 B.钝角三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形答案：C解析：解答过程：由，结合正弦定理，可得，又，因为为三角形内角，所以.根据余弦定理，，可得，中，，且，所以为等边三角形.8.若，，，，则（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：使用同角三角函数的平方关系与两角和与差的正余弦公式计算.解答过程：由，，得，由，得，，由，得，因而，，.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.（多选题）已知为虚数单位，则下列说法正确的是（）A.若，，则 B.若，则C.若，则的虚部为 D.若，则答案：BCD解析：思路：根据复数的相关概念及除法运算逐项判断.解答过程：对于A，由纯虚数不能比较大小，故A错误；对于B，因为，所以，故B正确；对于C，若，根据复数虚部的概念，得的虚部为，故C正确；对于D，，所以，故D正确.10.在中，内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（）A.若，，，则B.，则C.若，，有两解，则D.答案：BCD解析：思路：根据给定条件，利用正弦定理求解、推理判断ABC；利用和角的余弦公式判断D.解答过程：对于A，由及正弦定理，得，又，因此或，A错误；对于B，，B正确；对于C，由，有两解，得，且，解得，C正确；对于D，在中，，则，D正确.11.如图，在正方体中，分别为，，的中点，点为线段上的动点，则下列说法正确的是（）A.几何体是三棱台B.直线与平面相交C.二面角的平面角的正切值为D.直线与平面所成角的正弦值的最大值为答案：AC解析：思路：对于A，通过判断延长相交于一点即可判断，对于B，连接，通过判断平面平面，即可判断，对于C，作，连接，确定为二面角的平面角，进而可求正切值，对于D，设点在平面上的射影为点，确定即为直线与平面所成的角，得到，再通过为定值，求出的最小值即可判断.解答过程：对于A，因为点分别为的中点，所以，且，所以四边形是等腰梯形，所以延长必然相交，设交点为，又分别在平面内，则点为平面的公共点，又平面平面，所以，即延长后相交于一点，又平面平面，所以几何体是三棱台，A正确，对于B，如图1，连接，由中位线可得，再取的中点为，连接，由，得四边形为平行四边形，故，由，得四边形为平行四边形，故，所以，又平面，且平面，所以平面，平面，又平面，所以平面平面，又平面,所以平面，B错误；对于C，如图2，过点作，连接，因为平面，平面，所以，又平面，所以平面，又平面，所以，即为二面角的平面角，设正方体的棱长为2，则，由，得，则，C正确；对于D，如图3，设点在平面上的射影为点，连接，则即为直线与平面所成的角，则，因为平面，所以点到平面的距离为定值，即为定值，所以当取最小值时，取最大值，点到平面的距离等于点到平面的距离，设点到平面的距离为，正方体的棱长为2，则，所以等腰梯形的高，由，所以，解得，即，在中，，所以，当时，，即，所以，即取最小值为，所以直线与平面所成角的正弦值的最大值为，D错误.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.河南科技馆内有一个半径为15m的球形建筑物，已知三点在该球面上，且，则球心到平面的距离为______．答案：12解析：思路：先求出正的外接圆半径，再利用球的截面性质中球半径、截面圆半径、球心到截面距离的勾股关系计算所求距离.解答过程：由题意可知，均在平面截球所得的截面圆上，且，故为正三角形.设截面圆半径为，由正弦定理得m.设球心到平面的距离为d，则m.13.已知平面向量，，满足且，向量满足，则的最大值是______．答案：解析：解答过程：已知平面向量，，满足且，设，，，，代入坐标得：，可知向量的终点在一个圆心坐标为，半径为的圆上，则的最大值是原点到圆心的距离加上圆的半径，即.14.设，若，且，，则__________.答案：或解析：思路：根据对称性和特殊角的三角函数值，转化为关于和的方程组，即可求解.解答过程：由条件可知，，，由，由，可知，或，即或，由可知，，则，当且时，解得：，，此时，当且时，解得：，，此时.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.15.设复数，（其中，）．（1）若，求的值；（2）若是关于x的方程的一个根，求实数的值．答案：（1）（2）或解析：思路：（1）根据共轭复数的定义、复数相等的条件求出对应的参数；（2）根据实系数一元二次方程虚根成对的特点，结合韦达定理求解参数.（1）由可得，又，即.解得，因此.（2）依题意，也是方程的根.由韦达定理，，解得，即；，即.当时，；当时，，故的值为.16.在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．（1）求角A的大小；（2）若，的面积为，求的周长．答案：（1）（2）解析：思路：（1）利用正弦定理将边的关系转化为角的关系，化简求出后可得角A；（2）结合已知条件和三角形面积公式求出，再用余弦定理求，进而得周长.（1），由正弦定理可得，即，因为，所以，则，即，因为，所以.（2）因为，，所以，所以.由余弦定理可得，.故的周长为17.（1）已知，求的值；（2）已知，求实数的值.答案：（1）；（2）解析：解答过程：（1）易知，可得，，；（2）由题意，左边，右边，则，即，所以.18.已知向量，，.（1）若，求的值；（2）记，.（ⅰ）求的对称中心和对称轴；（ⅱ）若函数的图象在区间（，且）上至少含有40个零点，在所有满足条件的区间上，求的最小值.答案：（1）（2）（ⅰ）（）；，；（ⅱ）解析：思路：（1）利用诱导公式化简，求出的坐标，根据两向量平行列方程，求出，再凑出整体求解；（2）（ⅰ）由向量数量积公式求出,利用三角恒等变换整理成正弦型函数，再根据正弦函数的性质求解；（ⅱ）化简，令，解出全部零点表达式，得出相邻两个零点之间的距离，进而求解.（1）由题意得，则，由，，得，由，得，则，，所以；（2）（ⅰ）依题意，，由，，得，，所以的对称中心为（）.，，得，，所以的对称轴为，；（ⅱ）由题意，知，由，得，故或，，解得或，，故的零点为或，，所以相邻两个零点之间的距离为或.若最小，则和都是零点，此时在区间，，…，（），分别恰有3，5，…，个零点，所以在区间上恰有39个零点，从而在区间上至少有一个零点，所以，另一方面，在区间上恰有40个零点，所以的最小值为.19.一个上底面半径为1，下底面半径为2，母线长为2的圆台，如图所示，等腰梯形ABCD是圆台的轴截面，P为圆台上底面圆周上一点（1）若平面APC与圆台下底面的圆周交于点Q．（ⅰ）证明：平面ADQ；（ⅱ）若四棱锥的体积为，求二面角的正弦值；（2）若圆台是封闭容器（容器壁厚度忽略不计），且圆台内有两个半径相等的铁球，求铁球半径的最大值．答案：（1）（ⅰ）因为圆台上、下底面平行，平面与上底面的交线为，与下底面的交线为，所以，又因为平面，平面，所以平面.（ⅱ）（2）解析：思路：（1）（ⅰ）根据面面平行的性质定理及线面平行的判定定理证明；（ⅱ）使用棱锥的体积公式与二面角的定义计算；（2）分当两个铁球的球心在竖直方向上，当两个铁球都与底面相切，当两个铁球一个与下底面相切，另一个与上底面相切三种情况求解.（1）（ⅰ）略（ⅱ）因为圆台上底面半径为1，下底面半径为2，所以，如图1，连接，则，则，又因为.圆台的高为.则，所以，又因为，所以点到直线的距离为2，所以，则.过点作，垂足为，过点作，交于点，连接，因为，所以，因为平面，所以，所以平面，所以，则即为二面角的平面角，因为，，则，所以，所以，所以；（2）由（ⅰ）（ⅱ）可知为圆台的轴截面，，因为是等腰梯形，所以，.设两铁球半径为，Ⅰ.当两个铁球的球心在竖直方向上时，若半径最大，则分别与两个底面相切，如图2，则铁球球心与圆台上、下底面的距离均为，则有，所以此时铁球半径；