黑龙江省名校协作体2025~2026学年高一下册第二次教学质量监测数学试卷【附解析】

数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标为（）A. B. C. D.2.若一个正n棱台共有18条棱，则（）A.3 B.4 C.6 D.83.若构成空间的一个基底，则下列可以构成空间的另一个基底的是（）A. B.C. D.4.若平面平面β，平面平面β，则α，β，γ将空间分成（）A.4个部分 B.5个部分 C.6个部分 D.7个部分5.已知是直线的一个方向向量，是平面的一个法向量.若，则（）A. B. C. D.6.已知，则（）A. B. C. D.7.如图，四边形ABCD的斜二测画法的直观图为梯形，已知，，则将四边形ABCD绕着AB旋转一周得到的旋转体的体积为（）A.28π B.48π C.56π D.60π8.在中，均在上，，则（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.若复数，则（）A. B.C.的虚部为 D.10.已知函数的最大值为2，且的图象经过点，则下列结论正确的是（）A.B.C.的单调递减区间为D.若在上恰有3个解，则m的取值范围为11.（多选题）如图1，在直角梯形中，，，，，，在上，E，H均在上，.将矩形沿翻折至四边形的位置，将沿直线翻折至的位置，如图2所示，连接，，，且，在上，则（）A.平面平面 B.的最小值为C.几何体共有8个面 D.几何体外接球的半径为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若平面向量与的夹角为，，则__________.13.已知A，B，C三点不共线，P为平面ABC外一点，且.若H，A，B，C四点共面，则__________.14.在中，，点D在边BC上，且，则__________．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.如图，直三棱柱内接于一个圆柱，是底面圆的直径，.（1）求圆柱的表面积；（2）求异面直线与所成角的余弦值.16.如图，已知平行六面体所有的棱长均为，，，为的中点，设.（1）用表示；（2）求的值.17.如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，平面，，为的中点.（1）证明：平面.（2）求点到平面的距离.（3）求直线与平面所成角的正弦值.18.已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.（1）证明：.（2）设.（i）求C的最大值；（ii）求的值.19.如图，在四棱锥中，底面，，，且.（1）若平面，证明：.（2）设平面平面.（ⅰ）证明：.（ⅱ）若，求二面角的正弦值的取值范围.

数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标为（）A. B. C. D.答案：A解析：解答过程：点关于平面Oxy对称的点的坐标为.2.若一个正n棱台共有18条棱，则（）A.3 B.4 C.6 D.8答案：C解析：解答过程：正棱台共有条棱，所以，解得．3.若构成空间的一个基底，则下列可以构成空间的另一个基底的是（）A. B.C. D.答案：B解析：思路：由基底的定义逐一判断即可.解答过程：，故A不是；不存在，使得，故B是；，故C不是；，故D不是.4.若平面平面β，平面平面β，则α，β，γ将空间分成（）A.4个部分 B.5个部分 C.6个部分 D.7个部分答案：C解析：解答过程：如图所示，将空间分成6个部分，C正确.5.已知是直线的一个方向向量，是平面的一个法向量.若，则（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：利用平面与直线平行得出平面法向量与直线的方向向量互相垂直，建立方程求解参数即可.解答过程：根据题意可得，所以，即.6.已知，则（）A. B. C. D.答案：D解析：解答过程：因为，所以，由同角三角函数基本关系式，且，得，则.7.如图，四边形ABCD的斜二测画法的直观图为梯形，已知，，则将四边形ABCD绕着AB旋转一周得到的旋转体的体积为（）A.28π B.48π C.56π D.60π答案：C解析：解答过程：根据斜二测画法的性质，得出如图所示的四边形ABCD.易得四边形ABCD为直角梯形，则，，，所以将四边形ABCD绕着AB旋转一周得到的旋转体为上、下底面半径分别为2，4，高为6的圆台，所以所求体积为.8.在中，均在上，，则（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：根据平面向量共线定理可设，，再结合已知条件即可求解.解答过程：设，，则，则，所以，即，故B正确.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.若复数，则（）A. B.C.的虚部为 D.答案：AD解析：解答过程：，A正确；，B错误；，所以的虚部为3，C错误．，D正确．10.已知函数的最大值为2，且的图象经过点，则下列结论正确的是（）A.B.C.的单调递减区间为D.若在上恰有3个解，则m的取值范围为答案：ACD解析：思路：A，通过函数最大值确定的值；B，通过图象过点代入求解；C，运用整体代入法求解出的单调递减区间；D，通过解的个数结合余弦函数图象求解范围.解答过程：选项A，由的最大值为2，可得，A正确；选项B，因为的图象经过点，所以，解得.因，所以，B错误；选项C，由上分析，得，令，解得，故的单调递减区间为，C正确；选项D，在上恰有3个解，令，当时，，的通解为或，，在的范围内，从小到大的解为，…，要恰有3个解，需满足，解得，故m的取值范围为，D正确.11.（多选题）如图1，在直角梯形中，，，，，，在上，E，H均在上，.将矩形沿翻折至四边形的位置，将沿直线翻折至的位置，如图2所示，连接，，，且，在上，则（）A.平面平面 B.的最小值为C.几何体共有8个面 D.几何体外接球的半径为答案：ABD解析：思路：对于选项A，根据翻折前后，位于同一平面内的位置关系不变，可知，，利用面面垂直的判定判断；对于选项B，将平面与平面展开至同一平面，问题转化为求的长；对于选项C，观察图形可判断；对于选项D，将原图形补成长方体，长方体的体对角线长即为外接球的直径.解答过程：几何体共有7个面，C错误；因为四边形为矩形，所以，，翻折后，，因为，所以平面，因为平面，所以平面平面，A正确；因为，，，所以，所以，则，同理可证，可将几何体补全为长为、宽为3、高为4的长方体，其外接球即为长方体的外接球，外接球的半径为，D正确；连接，，将平面与平面展开至同一平面，如图3所示，当F，K，P在同一直线上时，取得最小值.因为，，，所以平面，则，在图3中过作，与的延长线交于点，则，，所以，B正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若平面向量与的夹角为，，则__________.答案：解析：思路：先根据数量积的定义求出，再根据数量积的运算律计算可得.解答过程：，所以.13.已知A，B，C三点不共线，P为平面ABC外一点，且.若H，A，B，C四点共面，则__________.答案：解析：思路：结合空间向量共面定理的推论求参数即可.解答过程：由题意可知H，A，B，C四点共面的充要条件是存在，使得且，所以，解得.14.在中，，点D在边BC上，且，则__________．答案：解析：思路：根据等面积法，将的面积分为与的面积和，利用三角形面积公式即可计算．解答过程：因为，所以．因为，所以，解得．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.如图，直三棱柱内接于一个圆柱，是底面圆的直径，.（1）求圆柱的表面积；（2）求异面直线与所成角的余弦值.答案：（1）（2）解析：思路：(1)利用直径所对的圆周角为直角和勾股定理求出的长度和柱体的高，再根据圆柱结构特征即可求其表面积；(2)法一：利用平行线转化，求出异面直线与所成角即为，再利用勾股定理的逆定理证明，然后通过余弦定理计算夹角即可求解；法二：建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，再利用向量法求出异面直线所成的角的余弦值即可.（1）因为AB是底面圆O的直径，所以.因为，，所以.因为，所以圆柱的侧面积为，故其表面积为.（2）（方法一）由三棱柱的性质可得，所以异面直线与所成的角即为.连接.因为，所以则，所以，即异面直线与所成角的余弦值为.（方法二）以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示由题意得，所以.设异面直线与所成的角为，则，即异面直线与所成角的余弦值为.16.如图，已知平行六面体所有的棱长均为，，，为的中点，设.（1）用表示；（2）求的值.答案：（1），（2）2解析：思路：（1）用向量的线性运算即可求解；（2）用向量数量积的运算律即可求解.（1）由于，，所以，因此，又因为为的中点，，因此.（2）由（1）可知，，所以.因为，所以.17.如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，平面，，为的中点.（1）证明：平面.（2）求点到平面的距离.（3）求直线与平面所成角的正弦值.答案：（1）连接交于点，连接.因为底面是正方形，所以为的中点.因为为的中点，所以是的中位线，.因为平面，平面，所以平面.（2）（3）解析：思路：（1）由线面平行的判定定理即可证明；（2）以为原点，以，，的方向分别为，，轴的正方向，建立空间直角坐标系，由空间向量点到平面的距离公式求解即可；（3）由空间向量直线与平面的夹角求解即可.（1）略（2）以为原点，以，，的方向分别为，，轴的正方向，建立空间直角坐标系，则，，，，，.设平面的法向量为，因为，，所以令，得.因为，所以点到平面的距离.（3）结合（2）中坐标系，知，设直线与平面所成的角为，则，即直线与平面所成角的正弦值为.18.已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.（1）证明：.（2）设.（i）求C的最大值；（ii）求的值.答案：（1）证明：，同理可得.（2）（i）；（ii）解析：解答过程：（1）略（2）解：（i）因为，所以.又，当且仅当时，等号成立，所以.因为，所以，故C的最大值为.（ii）因为，所以.又，所以，则，·两边同时除以，得.由（1）可得，则.因为，所以，则，得.19.如图，在四棱锥中，底面，，，且.（1）若平面，证明：.（2）设平面平面.（ⅰ）证明：.（ⅱ）若，求二面角的正弦值的取值范围.答案：（1）因为底面，平面，所以，因为，，平面，所以平面.因为平面，平面，平面平面，所以.所以平面，因为平面，所以.（2）（ⅰ）证明：如图1，过点作，垂足为，因为平面平面，平面平面，所以平面.因为平面，所以.又因为平面，平面，所以，因为，平面，所以平面.因为平面，所以.（ⅱ）解析：思路：（1）先证线面垂直，再利用线面垂