2027年高考数学一轮专项复习（北京专用）-导数的概念、运算及几何意义（原卷版+解析版）

导数的概念,运算及几何意义

散型IL01导数的计算

1.设函数/(x)=lnx十1,则lim⑴=()

Ax->C

A.1B.5C.1D.0

2.已知函数/(%)=f'C)sin%+与,则/◎=()

A.-2B.-1C.1D.2

3.若函数(-i)-f+x+5,则/•'(1)=()

A.2B.4C.6D.-2

4./(x)=x(2021+Inx),若f(x。)=2022,则沏等于()

A.e2B.1C.In2D.

5.求下列函数的导数.

(l)y=V%-Inx；

(2),y=(x2+1)(%—1)；

⑶y==

小x+3

⑷y=w

6.求卜.列函数的导数.

(l)y=(2x-l)4：

(2)y=cos(2x-^)：

(3)y=ln(4x-1)；

(4)y=xcos(2%+9sin(2x+1)；

(5)y=xV1+x2；

(6)y=sin3%+sinx3.

电型IL02求曲线切线的斜率或倾斜角

7.函数/（%）=xe"在％=1处的切线斜率为（）

A.1B.eC.2eD.4e

8.曲线y=一步一2在点（1,一I）处切线的倾斜角为（）

A.乙3B-4CL,-4

9.函数/'（%）二5的图象在点（0,/（0））处的切线的倾斜角为（

A-iC7

10.若点P在曲线y=%3一百%上移动，经过点P的切线的倾斜角为%则角a的取值范围是（）

A.(0,0

B・陪M消

c・[MD-同唔m)

散型IL03求在曲线上一点的切线方程

11.已知函数/'(%)=1—2乃—sinrv,则曲线y=,(》)在"=0处[|勺切线方程为()

A.2x+y-1=OB.2x-y4-1=0

C.3x-y+1=OD.3x+y-1=0

12.曲线/(x)=勺N在无=o处的切线方程为()

A.y=3x+2B.y=3x-2C.y=—3%—2D.y=-3x4-2

13.函数/■(%)=(2ex-x)•cos》的图象在x=0处的切线方程为()

A.x—2y4-1=0B.%—y+2=0

C.x4-2=0D.2x—y+l=0

14.已知函数/(%)=esinxcosx,则曲线/(无)在x=0处的切线的斜率为()

A.-1B.0C.1D.2

散型I"4求过一点的切线方程

15.已知函数/(%)=洸*+1,过点P(2,l)可作曲线y=/(%)的切线条数为()

A.1B.2C.3D.4

16.过坐标原点作曲线/(%)=a(/-2%+2)的切线，则切线共有()

A.1条B.2条C.3条D.4条

17.过点4(0,1)且与曲线f(x)=x3+2x-1相切的直线方程是()

A.y=5x+1B.y=2x+l

C.y=x4-1D.y=—2x+1

18.过点(1,4)且与曲线/(切=炉+》+2相切的直线方程为()

A.4x-y=0B.7x-4y+9=0

C.4x—y=0或7x—4y+9=0D-4x—y=0或4%—7y+24=0

19.过点(3,1)作曲线y=ln(x-l)的切线，则这样的切线共有()

A.0条B.1条C.2条D.3条

20.设曲线y=x+In无的一条切线过点(0,1),则此切线与坐标轴围成的三角形面积为()

22

AeB—c——D—

儿2(l+e)>1+eJ2(1+1)U，e2+l

敢型已知切线(斜率)求参数

21.曲线y=e"-2QX在％=0处的切线经过点(2,-1),则实数Q的值为()

A.-1B.0C.1D.2

22.若曲线y=e"的一条切线为y=匕+/?,则kb的最大值为()

A.1B.|C.VeD.2

23.已知曲线y=x+lnx在点(1,1)处的切线与曲线y=a/+%+2相切，则。=()

A1o1七1cl

A.—B.-C.------D.一

221212

24.已知函数/(x)=/-asin2x+b,若曲线y=/(%)在点(0,f(0))处的切线方程为2%-y+3=0,则Q+

b=()

A.1B.2C.3D.4

25.若直线y=kx与曲线y=ln%+W相切，则忆=()

A.lnZ+7B.C.7D.4

424

26.若直线y=3ex为函数/■(%)=QX(G>0且a看1)的图象的一条切线，则a=()

A.eB.e3C.3eD.e2

败型两条切线平行、垂直问题

2/.若困数f(x)=lnx十%与9(%)=黄的图象有一条公共切线，且该公共切线与直线y=2》+1平行，则

实数m=()

A17c17c17c17

A•万B-Vc-TD-T

28.曲线/(%)=QX-xlnx在点处的切线与直线x+y=0垂直，则Q=()

A.-1B.0C.1D.2

?9.若曲线y=2/的一条切线与直线H4y-H=0垂直.则切线的方程为()

A.x4-4y+3=0B.x+4y-9=0

C.4x—y+3=0D.4x—y-2=0

3D.对于三次函数/(x),若曲线y=在点(0,0)处的切线与曲线y=xf(x)在点(1,2)处点的切线重合,

则-2)二()

A.-34B.-14C.-4D.14

31.函数f(x)=e"+ax在％=0处的切线与直线2%-y-5=0平行，则实数。=()

A.-1B.1C.D.7

24

32.已知曲线y=x+kln(l+%)在％=1处的切线与直线％+2y=0垂直，则k的值为()

A.4B.2C.-3D.-6

散型I07公切线问题

33.已知直线丫=QX+b(a6R,b>0)是曲线/(%)=e"与曲线g(%)=Inx+2的公切线，则a+8=()

A.2B.1C.eD.：

34.已知直线丫二上工+8既是曲线>二^的切线，也是曲线>=—er的切线，则()

A.k=e,b=0B.k=l,b=0

C.k=e,b=-1D.k=l,b=-1

35.若曲线g:y=/与曲线C2：y=7a>o)存在公共切线，则实数。的取值范围为()

A.(0,1)B.(14)C.g,2]D,g,+oo)

36.函数/Xx)=1+Inx与函数gQ)=-1公切线的纵截距为()

A.1或0B.-1或0C.1或eD.-1或e

37.已知/'(x)=炉+九工-52,g(%)=%2-31nx,若直线x+y+m=0是曲线y=/(%)与曲线y=g(x)的公

切线，则-n=()

A.-30B.-25C.26D.28

38.若曲线y=«在点(4,2)处的切线也是曲线y=ae'的切线，则a=()

A.白B.3C.工D.-

2e224e34

39.已知函数/'(%)=exT,g(x)=fex2,若直线，是曲线y=/(%)与曲线y=g(x)的公切线，贝〃的方程为()

4

A.ex—y=0B.ex-y-e=0

C.x-y=0D.x—y—1=0

40.若曲线丫=%2与3,=怆乂£工0)恰有两条公切线，则用勺取值范围为()

A.B.(提,+8)C.(—8,0)U(.+8)D.(—co,0)U

敢型切线(方程)的综合应用

41.若过点(犯")可作函数y=2%+：a>0)图象的两条切线，则必有()

A.0<2m4--<nB.0<n<2m

m

C.2m<n<2m+—D.n<2m

m

42.己知函数/(无)=e。•x+Inx+Q(aGR),过坐标原点O作曲线y=/(%)的切线/,切点为4,过>1且与

/垂直的直线L交x轴于点8,则AOAB面积的取值范围是()

A.[e+1,+co)B.[2e,+co)C.[e2,+oo)D.[(e+I)2,+co)

43.已知函数/a)=e*T,g(%)=g2,若总存在两条不同的直线与函数y=f(%),y=g(x)图象均相切，则

实数Q的取值范围是()

A.(%+8)B.(p+°°)C.G，+8)D,G，+8)

44.若直线y=x与曲线y=lo&[”(a>0且aH1)无公共点，则实数a的取值范围是()

A.(l,e)B.(1,廉)C.(在,+8)D.叵+8)

45.设A8为/•(、)=3-/的图象在y轴两侧的点，则、=/(%)在力,8处的切线与％轴围成的三角形的面积的

最小值为()

A.5B.6C.7D.8

02

1.己知[恐0平•二(),一质点做简谐运动，其位移％(。=sin(2n£+》则s时该质点的瞬时速度为

()

A.0B.1C.nD.2TT

2.直线，:y=3x+a与曲线y=sin3就目切的一个充分不必要条件为()

A.a=1B.a=-2ir

_、4n

C.a=TCD.a=—

3

3.已知二次函数y=ax(x一b)(bH0且b*1)的图象与曲线y=In%交于点P,与x轴交于点

A(异于点O),若曲线y二1nx在点尸处的切线为/,旦/与力P垂直，则a的值为()

A.--B.-1C.一五D.-2

e

4.'V新情境］如果方程Rx,y)=0能确定y是x的函数，那么称这种方式表示的函数是隐函数.隐函数的求

导方法如下:在方程F(%y)=0中，把y看成工的函数y=y。)，则方程可看成关于x的恒等式尸卜/⑺)=0,

在等式两边同时对x求导，然后解出y&)即可.例如，求由方程*+,2=1所确定的隐函数的导数丫，，将

方程%2+y2=i的两边同时对x求导，则2%+2y-y'=0(y=y(%)是中间变量，需要用复合函数的求导

法则)，得“=一；3工0).那么曲线町+1”=2在点(2,1)处的切线方程为()

A.x—3y+1=0B.x+3y-5=0

C.3x—y—5=0D.2x+3y—7=0

5.‘守新角度］已知两点力(0,1),8|&心)和曲线C:y=ex,若。经过原点的切线为2,且直线力BIIL,则()

A.-1</?<0B.0<b<1C.1<b<2D.2<b<3

6.下列函数的图象不可能与直线y=2%+犯加€/?相切的是()

A./(X)=%24-%B./(x)=x3+ex

y2

C./(x)=Inx+yD./(x)=+2x

7.角阂与曲线在某点处的切线垂直，且过该点的直线称为曲线在某点处的法线，若曲线y=/的法线

的纵截距存在，则其最小值为()

A.5B.1C.D.Y

4164

8.》新角度|已知曲线/a)=1，过曲线上48两点分别作曲线的切线交于点P"J_8P.记

A,8两点的横坐标分别为Xi/2，则=()

A.；B.1C.；D.2

22

%’10^邈度］过点（1，血）可以向曲线/'（均二》1作几条切线，写出满足条件的一组有序实数对（犯冷

10.、幅鬲度一已知尸（无0，必）（0V&<1）是曲线。：«+⑷=1上一点，作曲线。在点p处的切线八I与％轴、

y轴分别交于点A、B,。为坐标原点，则|。川+|。8|=.

导数的概念、运算及几何意义

及型IL01导数的计算

1.设函数/（%）=lnx+l,则&J""；?一‘⑴二（）

A.1B.5C.1D.0

【答案】B

【详解】因为lim八-）-八1）=5./（1+5产）-"1）=5/•a），

Ax-*0△%5AX7

又/a）=inx+i,则/‘（%）=%所以八i）=i,则如/（*；：）一'⑴=5,

故选：B.

2.已知函数f(x)=/'g)sin无+k,则/'(；)=()

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】D

【详解】因为f'a)=f'G)cosx+l,则/'G)=/'G)cosm+l,解得/C)=2.

故选：D

3.若函数/■(%)=如3-/''(-1),d+%+5,则/(1)=()

A.2B.4C.6D.-2

【答案】C

【详解】因为/(%)=：炉一/'(一1)•无2+X+5,所以/1'(%)=X2-2/(-l)x+1,

将x=-1代入八幻得/'(-1)=(-1)2+2/'(-1)+1,解得「(-1)=-2,

所以/(%)=x2+4x+1,所以/⑴=14-4+1=6.

故选：C

4./(x)=x(2021+Inx),若/(而)=2022,则&等于()

A.e2B.1C.In2D.e

【答案】B

【详解】由题意可得：/(%)=2021+Inx4-x-^=2022+Inx,

若/'(%)=2022,BP2022+lnx0=2022,

则In%。=0,解得%o=1.

故选：B.

5.求下列函数的导数.

(l)y=V%-Inx；

(2)y=(x2+1)。-1)；

⑶丫=9

⑷丫=器

【答案】⑴"=点"

(2)y'=3x2-2x+l

⑶y'=Zxsinx-'cosx

sin2x

z

⑷y'=-x-6x+3

(•+3)2

【详解】(1)y'=(a-ln»=(O'-(ln»=点

(2)y'=[(x2+l)(x-1)]=(x3-x24-x-1)

=(x3)-(x2)4-(%)-(1)=3x2-2x+1.

(3)，_(x2)sinx--(sinx)'_2xsinx--cosx

,sin2xsin:x

⑷V，=1(/+3)TX+3>2X=-/_6x+3

7-(X2+3)2一俨+3)2•

6.求下列函数的导数.

(l)y=(2x-l)4：

(2)y=cos(2x-^);

(3)y=ln(4x-1)；

(4)y=xcos(2x+1)sin(2%+》

(5)y=xV14-%2；

(6)y=sin3%+sin%3.

【答案】⑴y'=8(2x-l)3

(2)y=-2sin(2x-：

4

(3)y

4x-l

(4)y=--sin4x-2xcos4x

2

l+2£_

⑸y

(6)y=3sin2xcosx+cosx3•3x2

【详解】(1)由y=(2x—l)4,

则y'=4(2无-I)3x(2-0)=8(2x-l)3.

(2)由y=cos(2x-：),

则二-sin(2%—x(2—0)=-2sin(2x—；).

(3)由y=ln(4无一1),

则户占(4-。).

(4)由、=xcos(2%+1)sin(2%+小

=x(—sin2x)cos2x=—1xsin4x,

贝打=—g($in4x4-xcosAxx4)=—1sin4x—2xcos4x.

(5)由y=x71+壮,

则/=V1+x2+%1•7=•(2x+0)=-^=.

2Vl+x2Vl+x2

(6)由、=sin3x+sin%3，

则7'=3sin2xcosx+cosx3-3x2.

敢型求曲线切线的斜率或倾斜角

7.函数/"(%)=洸、在x=1处的切线斜率为()

A.1B.eC.2eD.4e

【答案】C

【详解】由f(x)=xex,则/'(x)=(x+l)ex,/(I)=2e,

所以函数/•(%)=在％=1处的切线斜率为2e,

故选:C

8.曲线y=—#一2在点(1,一习处切线的倾斜角为()

A.ZB.2C.任D.一,

344,

【答案】C

【详解】y'=-％,

当％=1时，y=-1,

所以曲线y=-1x2-2在点(1,一］处切线的斜率为一1,倾斜角为弓.

故选：C.

9.函数/■（%）=媛的图象在点（OJ（O））处的切线的倾斜角为（）

【答案】D

【详解】因为/•（%）=/,则/■'（%）=]七，显然，当％=0时，f'axlT无意义，

即/⑴=/在4=0处斜率不存在，所以倾斜角为去

故选：D.

10.若点P在曲线y=%3一百%上移动，经过点P的切线的倾斜角为a,则角a的取值范围是（）

A-同B.垮）呜吊

m）D.同喑m）

【答案】D

（详解]设P（%o，y（））,f（x）=x3-V3x,则/'（%）=3x2-V3

所以过点P切线斜率k=/'（3=2xg-V3>-V3

所以tana>-\[3,ae[0,n）

所以得a€[0弓）U[gm）

故选：D

散型IL03求在曲线上一点的切线方程

11.已知函数/"(%)=l-2x-sinY,则曲线y=/a)在％=0处(1勺切线方程为()

A.2x4-y-1=OB.2x—y4-1=0

C.3x-y4-1=0D.3x4-y-1=0

【答案】D

【详解】因为/(%)=1-2%-sinx,所以/'(%)=-2-cos%,故/(0)=1,f'(0)=—3,所以曲线y=/(x)

在x=0处的切线方程为y-1=-3x,即3%+y-1=0.

故选：D.

12.曲线f(x)=学工在x=0处的切线方程为()

A.y=3x+2B.y=3x—2C.y=-3%—2D.y=-3x+2

【答案】B

【详解.】由题知/(%)=经若拿空二号鸟

所以/''(())=3,/•(())=-2,

所以曲线/(乃在(0,-2)处的切线方程为y—(-2)=3。-0),即y=3x-2.

故选：B.

13.函数/(X)=(2e“-X)•cosx的图象在x=0处的切线方程为()

A.x—2y4-1=0B.x—y+2=0

C.x4-2=0D.2x—y+l=0

【答案】B

【详解】由题意，函数/(幻=(2M-％)•cosx,可得/'(%)=(2M-1)•cos%-(2e*-♦sinx,

所以/'(0)=(2e0-1)-cosO-(2e°-0)-sinO=1,/(0)=(2e0-0)•cosO=2,

所以/(x)在无=0处的切线方程为y-2=x-0,即％-y+2=0.

故选：B

14.已知函数/'(%)=esinxcosx,则曲线/(x)在％=0处的切线的斜率为()

A.-1B.0C.1D.2

【答案】C

【详解】*.*/(x)=esinxcosx,/(x)=(esinr)cosx+esinx(cos%)=esinx-cos2x—esinx-sinx,

/./(0)=esin0•cos20-esin0-sinO=1,即/(无)在x=0处的切线的斜率为1.

故选：C.

散型IL04求过一点的切线方程

15.已知函数/(%)=洸*+1,过点尸(2,1)可作曲线y=/Q)的切线条数为()

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【详解】解法一由f(%)=xex+1,得/''(%)=(x+l)e”.设切点坐标为(%0，%00冷+1),

Xo

则切线方程为y-xoe-1=eMg+l)(x-&),

x

把(2,1)代入可得-M。=eo(xo+1)(2-&),即延-2x0-2=0,

因为A=12>0,所以该方程有2个不同的实数解，故切线有2条.

解法二由/(x)=xe*+l,得/G)=(x+l)e3令/'(%)=0,得%=-1.

当xV-1时,，f\x)<0,当％>0时，/(x)>0>

故/(%)在(一8,-1)上单调递减，在(一1,+8)上单调递增，

故/(%)的极小值为/'(-1)=1一%且/'(0)=1，则点户(2,1)在曲线y=f(x)的下方,

数形结合可知，过点P可作曲线y=f(x)的2条切线.

故选：B

16.过坐标原点作曲线/(%)=^(/-2%+2)的切线，则切线共有()

A.1条B.2条C.3条D.4条

【答案】A

【详解】设切点为卜0，0%(就-2K0+2)),

由/(%)=ex(x2-2x+2)可得/'(x)=x2ex,

则过坐标原点的切线的斜率k=蹙M―2》。+2)=X2exo,

出0

故*—说+2(劭-1)=0,BP(x0-l)(%o+2)=0,

解得々=1,故过坐标原点的切线共有1条.

故选：A.

17.过点力(0,1)且与曲线/'(%)=x3+2x-1相切的直线方程是()

A.y=5x+1B.y=2x+1

C.y=x+1D.y=-2x+1

【答案】A

【详解】f(无)=3无2+2,点A不在曲线上，

2

设切点为Qo,就+2x0-1),则■(%o)=3x0+2=M'OTT,

解得：为0=-1,得切点(一1,一4),则女=/'(一1)=5

切线方程为：y=5x+1»

故选：A.

18.过点(1,4)且与曲线/(幻二炉+》+2相切的直线方程为()

A.4x-y=0B.7x-4y+9=0

C.4x-y=0或7x-4y+9=0D.4x-y=0或-7y+24=0

【答案】C

【详解】设过点(1,4)的曲线y=f(%)的切线为：hy-y0=(3x§+l)(x-x0),

有［(3*+1)(1-Xo)=4-必

IyQ=xl+xQ+2

解得由二或卜)，

iy°(yo=7

代入2可得4%-y=0或7x-4y+9=0.

故选：C

19.过点(3,1)作曲线y=ln(x-1)的切线，则这样的切线共有()

A.0条B.1条C.2条D.3条

【答案】C

【详解】因为y=】n(x-1),所以y'==(x>l).

设切点坐标为：(利瓜区)-1))，切线斜率为：/c--3-(x>1).

人0一人0

所以切线方程为：,-1(劭一助二高仁一小).

又切线过点(3,1),

所以1-InQo-1)=-^―(3-x0)=in(x0-1)+-^―-2=0.

XQ-1XQ-1

设/(%)=Inx+：-2(x>0)

则4)=:六詈，

由/(%)>0=>x>2；由/(x)<0=>0<x<2.

所以函数/"(%)在(0,2)上单调递减，在(2,+8)上单调递增.

fi/Q)=2e-3>0,/(2)=ln2-1<0,f(e2)=^>0.

所以/(x)=0在2)和(2,e?)各有1个根.

所以方程：ln（刈-1）+4-2=0有且只有两个解.

Xo-1

故选：C

20.设曲线y=x+lnx的一条切线过点（0,1）,则此切线与坐标轴围成的三角形面积为（）

A.—^―B.—C.、D.4—

2（l+e）1+e2（e2+l）e2+l

【答案】c

【详解】设切点为（x（）,yo）,y'=1+4

则切线方程为y-*一In%。=（1+5）（%-&）.

,•,切线过点（0,1）,二1-x0-lnx0=-x0-1,

•••lnx0=2,x0=e2,.•.切线方程为y=（l+3）x+l,

故可得切线在x、y轴上的截距为-品,1,

所以切线与坐标轴围成的三角形面积为守镇不.

故选：C.

败型已知切线（斜率）求参数

21.曲线y=e>—2a%在x=0处的切线经过点（2,—1）,则实数a的值为（）

A.-1B.0C.1D.2

【答案】C

【详解】y'=e*-2a,由导数几何意义知，

y=ex-2ax在％=0处的切线斜率为e0-2a=1-2a,

当x=0时y=l,切线经过点（2,-1）,故有1[（：）=]_2a,解得a=1.

0—2

故选：C.

22.若曲线y=e"的一条切线为y="+b,则kb的最大值为（）

A.1B.]C.VeD.2

【答案】B

【详解】设切点（Xo，e》。），因为y'=e",所以k=e”。，切线方程为y-眇。=e，o（x—劭）,

xXo2x

整理得y=e°x十（1一勺）一，所以b=（1-x0）e,kb=（1-z3）e°,

设/(%)=(1-^)e2x,/(x)=(1-2x)e2x,/z(x)=。得％=%

又因为％Vg时，/(%)>0,x>g时，f^x)<0,

所以/(%)在(-8,3上单调递增，在弓,+8)上单调递减，

所以「(%)&/0)=今

故选：B.

23.已知曲线y=x+lnx在点(1,1)处的切线与曲线、=。X2+%+2相切，则Q=()

A.--B.-C.--D.—

221212

【答案】D

【详解】解法1：由y=x+Inx得y'=1+：,当％=1时，y'=2,

所以曲线y=x+lnx在点(1,1)处的切线方程为：y—1=2。-1),B|Jy=2x-1.

由尸丐+”2,得收_%+3=0,

(y=2x-1

所以A=1-12a=0,解得Q=1L

故选：D.

解法2：由y=x+In不得y'=1+%当x=l时，y'=2,

所以曲线y=x+lnx在点(1,1)处的切线方程为：y-l=2(x-l),即y=2%-1.

因为y=a/+%+2,所以y'=2a%+l,

令y'=2ax+1=2,得t=，

2a

所以y=2x-1与曲线y=ax2+x+2的切点为(W+2)，

由切点在切线y=2x-l得.+2=3-1，解得°=

故选：D.

24.已知函数/(x)=%?一Qsin2x+b,若曲线y=/(X)在点(0,/(0))处的切线方程为2%-y+3=0,则a+

b=()

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【详解】由已知/'(())=40-/(0)+3=0,

故/(O)=b=3,

/(x)=2x—2acos2x»

则切线斜率为1(0)=—2Q=2,故Q=—1,

所以Q+b=2.

故选：B.

25.若直线y=/〈x与曲线y=lnx+a相切，则〃=()

A.In2+-B.7C.-J-D.4

424

【答案】B

【详解】设直线y=依与曲线y=In%+最相切于点P(a,yo),

求导可得y'=：-亲因此切线斜率八十套=

又切线过原点。(0,0),可得kpo=―—=等U，化简可得々Inx。-出+1=0,

》0-。2X()

令g(x)—x\nx—%+1,则gG)=Inx+1-1=Inx,

当欠W(0,1)时，g'(x)<0,即g(x)在(0,1)上单调递减，

当xw(l,+8)时，g'a)>0,即g(x)在(1,+8)上单调递增，

所以g(x)在％=1处取得极小值，也是最小值，g(l)=0,

因此可得尤0=1，即可得上=铝=；.

故选：B

26.若直线y=3ex为函数/'(%)=Q，(Q>0且aW1)的图象的一条切线，则Q=(

A.eB.e3C.3eD.e2

【答案】B

【详解】设切点为(%0，。电)，因为f(x)=ax(a>0且aH1),则f'(x)=ax\na,

rax°\na=3e

由导数的几何意义可得"。-。="，

■沏一°

所以Qxolna=—,HPax°lnax°=ax°,故a*。=e,

*0

所以a%lna=elna=3e,解得a=e3,

故选：B.

散型IL06两条切线平行.垂直问题

27.若函数/(x)=lnx+x与g(x)=黄的图象有一条公共切线，且该公共切线与直线y=2x+1平行，则

实数m=()

AA.—17cB.—17cC.—17cD.—17

8642

【答案】A

【详解】解：设函数/(x)=Inx+%图象上切点为(%0,y°),因为/'(x)=-+1,所以/'(&)=—+1=2,得工0=

xXQ

1，所以Vo=fQo)=f(l)=1，所以切线方程为y-1=2(x-1),即y=2x-1,设函数9(%)=空子的图

X—1

象上的切点为(勺,力)(/W1),因为g'O)=2。二；芥二峭=嵩p所以gGD=q三器=2,即帆=2"-

4阳+4,又yi=2x1—1=g(%i)=之：1：,即TH=-2*4-5xr-1,所以2后—+4=—+5叼—1,

2

即4^1一9%i+5=0,解得打=(或=1(舍)，所以m=2x(3-4x^+4=-^-

故选：A

28.曲线/(x)=QX-在点(l,f(l))处的切线与直线％+y=0垂直，则a=()

A.-1B.0C.1D.2

【答案】D

【详解】解：/'(%)=axbrv的导数为/'(x)=a-1一①x,

可得在点(1,7(1))处的切线的斜率为k=厂(1)=Q-1,

由切线与直线3+y=0垂直，可得=

解得a=2,

故选：D.

29.若曲线y=2X2的一条切线与直线”+4y-8=0垂直，则切线的方程为()

A.x+4y+3=0B.x+4y-9=0

C.4x-y+3—0D.4x-y-2=0

【答案】D

【详解】解：设切点为(%0,yo)，

•••切线/与直线工+4y-8=0垂直，

切线，的斜率为〃=4.

又y=2必，所以y'=4x,k=y1x=xo=4々=4,解得沏=1,

••.九=2,即切点(1,2),

由点斜式可得，切线方程为：y-2=4(x-l),GP4x-y-2=0.

故选：D.

33.对于三次函数/(x),若曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线与曲线y=xf(x)在点(1,2)处点的切线重合,

则/(2)=()

A.-34B.-14C.-4D.14

【答案】B

【详解】

设f(%)=。炉+bx2+ex+d(a0),

v/(0)=d=0,/(x)=ax3+bx2+ex,Af(%)=3ax2+2bx+c

二八。)=2,

设g(无)=%/(%)，则g(l)=/(I)=Q+b+2=2,即Q+/?=0......①

又•:=/«+・•・9<1)=/(I)+八1)=2,：.八1)=0,即

3a+2b+2=0......(2)

由①②可得Q=-2,b=2,c=2,

.♦.八2)=-14.

故选：B.

31.函数/(%)=e"+a%在％=0处的切线与直线2%-y-5=0平行，则实数a=()

A.-1B.1C.7D.-

24

【答案】B

【详解】函数/'(X)=ex+ax的导函数为/■'(%)=ex+a,

函数在％=0处的切线的导数即为切线的斜率为/•'(())=e°+a=1+a,

且切线与直线2x-y-5=0平行，

则有1+a=2,可得a=1.

故选：B

32.已知曲线y=x+kln(l+x)在％=1处的切线与直线为+2y=0垂直，则〃的值为()

A.4B.2C.-3D.-6

【答案】B

【详解】因为y'=i+£,可得儿=1=1+右

即曲线”％+而(1+均在％=1处的切线斜率为1+右

且直线%+2y=0的斜率为一

由题意可得：-2(1+3=-1，解得々=2.

故选：B.

鼓型IL07公切线问题

33.已知直线丫=QX+b(aWR,Z?>0)是曲线/(x)=e”与曲线g(x)=Inx+2的公切线，则a+b=()

A.2B.-