2027高考数学复习-立体几何中的探索性问题

专题09立体几何中的探索性问题

【方法总结】

解决立体几何中的探索性问题的途径

解决探索性问题一般先假设求解的结果存在，从这个结果匕发，寻找使这个结论成立的充分条件，如

果找到了使结论成立的充分条件，则存在；如果找不到使结论成立的充分条件(出现矛盾)，则不存在.而

对于探求点的问题，一般是先探求点的位置，多为线段的中点或某个三等分点，然后给出符合要求的证明.

考点一探究平行问题

【例题选讲】

[例1](2018♦全国IH)如图，矩形A8CO所在平面与半圆弧RD所在平面垂直，M是。。上异于C,。的

点,

(1)证明：平面4MO_L平面8MC.

(2)在线段AM上是否存在点P,使得MC〃平面PBQ?说明理由.

解析(1)由题设知，平面CWO1■平面ABC。，交线为CD.

因为BCA-CD,BCu平面ABCD,所以8C_L平面CMD,所以BCLDM.

因为M为加上异于C,。的点，且。。为直径，所以。M_LCM.

又BCC\CM=C,所以。加,平面BMC.因为DMu平面AMD,所以平面平面BMC.

(2)当尸为AM的中点时，MC〃平面证明如下：

连接AC交3。于O.因为四边形48co为矩形，所以。为AC的中点.

连接OP,因为P为4M的中点，所以"C〃OP.

又MCC平面PBD,OPu平面080,所以MC〃平面P3Q.

|例2](2019.北京)如图，在四棱锥P—A8C。中，网，平面A3CQ,底面A8CO为菱形，E为CO的中

点.

(1)求证：8。_1_平面切。：

(2)若NA8C=60。，求证：平面以8_1_平面布E；

⑶棱PBI：是否存在点人使得〃平面附七？说明理由.

p

解析(1)因为%_L平面ABC。，BOu平面4BCQ,所以阳_L8£>.

因为底面ABC。为菱形，所以BO_LAC.又见AAC=A,所以BO_L平面〃C.

⑵因为小J_平面ABC。，4Eu平面/WCD,所以附_LA£

因为底面ABC。为菱形，NABC=60°,且七为CD的中点，

所以A£_LCQ.又因为48〃CO,所以A6_LAE.又48rl阴=A,所以4£_1_平面以从

因为A£u平面以E,所以平面以8_1_平面布£.

(3)棱上存在点P,使得。尸〃平面以与理由如下：

取的中点F,以的中点G,连接CRFG,EG,则尸G〃AB,J.FG=^AB

因为底面ABCO为菱形，且E为。。的中点，所以C£〃AB,且CE=；A8.

所以FG〃CE,且FG=CE.所以四边形CEGF为平行四边形.所以C广〃EG.

因为CF7平面%E,EGu平面附E,所以C/〃平面以E.

[例3](2016•北京)如图,在四棱锥尸一ABCD中,PCJL平面ABCD,AB//DC,DC1AC.

(I)求证：QCJ•平面HC.

⑵求证：平面以8_L平面B4C.

(3)设点石为八B的中点，在棱上是否存在点F,使得刚〃平面CER说明理由.

解析(1)因为PC_L平面ABC。，所以PC_LOC.

又因为。C_LAC,且尸CnAC=C,所以。C_L平而以C.

(2)因为A8〃OC,DC1AC,所以AB_LAC.因为PC_L平面4BCQ,所以尸C_L4B.

又因为P(TIAC=C,所以AB_L平面%C.又48u平面南8,所以平面%8_1_平面布C.

(3)棱P8上存在点F,使得阴〃平面C£F理由如下：

取PB的中点F,连接E凡CE,CF.因为E为48的中点，所以后产〃雨.

又因为南0平面CE凡且EFu平面CE凡所以雨〃平面CEF.

［例4］(2014.四川)在如图所示的多面体中，四边形ABBxAx司ACC^都为矩形.

(1)若AC_L8C,证明：直线8C_L平面4CG4；

(2)设。，E分别是线段BC,CG的中点，在线段AB上是否存在一点“，使直线DE〃平面4MC?

请证明你的结论.

解析(1)因为四边形和4CG4都是矩形,所以AAi_L45,AA^AC.

因为A8,AC为平面A4C内两条相交的直线，所以AA|J_平面/18C.

因为直线6CU平面A6C,所以4A|_L8C.

又由已知，ACLBC,和4C为平面ACGAi内两条相交的直线，所以8cL平面ACC4.

(2)取线段A8的中点M,连接AM,MC,AC,AG,设点。为AC,AG的交点.

由已知，点。为AG的中点.连接MO,OE,则M。，OE分别为△ABC,ZkACG的中位线,

所以MD42AC,OE^2AC,因此MQ然OE.连接OM,从而四边形MDEO为平行四边形，则DE//MO.

因为直线。加平面AiMC,MOU平面4MC,所以直线OE〃平面4MC

即线段AB上存在一点M(线段的中点)，使直线。石〃平面AiMC.

［例5］如图，在四棱锥夕一ABC。中，△以。为正三角形，平面小.平面40AB//CD,AB1AD,

CD=2AB=2AD=4.

(1)求证：平面PCQ_L平面网Q：

(2)求三棱锥P—ABC的体积；

(3)在棱PC上是否存在点E,使得/法〃平面PAD?若存在，请确定点E的位置并证明；若不存在，

请说明理由.

p

解析(1)因为A8〃CD,AB1AD,所以COJ_A。.

因为平面PADI平面ARCD,平面以。G平面ARCD=AD,所以CDI平面PAD.

因为COU平面PC。，所以平面PCD_L平面附O.

(2)取4D的中点O,连接P0.因为△附。为正三角形，所以尸OJLAQ.

因为平面物。_L平面4BCO,平面%0rl平面ABCO=4DPOU平面以。，

所以POJ■平面ABC7),所以P0为三棱锥?一ABC的高.

因为△%/)为正三角形，CO=2A8=24O=4,所以2。=虫.

所以V三桧镇P-ABC=^SAABC-PO=^；X2X2X小

(3)在棱PC上存在点用当后为PC的中点时，8七〃平面以Q.

分别取CP,CZ)的中点£,F,连接B*,£/•',所以EF//PD.因为A4〃CZ>,CD=2AB,

所以A8〃")，AB=FD,所以四边形A4FO为平行四边形，所以3F〃AQ.

因为8尸0£尸=尸,AOnPO=Q,所以平面8£尸〃平面因为BEU平面8。,所以BE〃平面PAD.

I例6］如图1,已知菱形AECD的对角线AC,QE交于点凡点E为A3中点.将△4£)£沿线段OE折

起到△P£)£的位置，如图2所示.

(1)求证：QE_L平面PCF；

(2)求证：平面尸8C_L平面尸。尸；

(3)在线段PD,BC上是否分别存在点M,M使得平面CFM〃平面PEN?若存在，请指出点M,N

的位置，并证明；若不存在，请说明理由.

解析⑴折叠前，因为四边形AEC。为菱形，所以AC_LQ£,所以折叠后，DELP”,DEA.CF,

文PFCCF=F,PF、CFU平而PCF,所以DE工平面PCF.

(2)因为四边形AECO为菱形，所以。C〃4E,DC=AE.

又点E为AB的中点，所以DC〃E8,DC=EB,所以四边形DE8C为平行四边形，所以C8〃OE.

又由（1）得，DE_L平面尸。尸，所以CB_L平面PCF.因为CBU平面P8C,所以平面P8C_L平面PCF.

（3）存在满足条件的点M,N,且M,N分别是PO和8c的中点.

如图，分别取PO和BC的中点M,N.连接EN,PN,MF,CM.

因为四边形DE8C为平行四边形，所以EF〃CN,EF=^BC=CN,

所以四边形E7VC/为平行四边形，所以/C〃曰V.

在APOE中，M,尸分别为PO,OE的中点，所以M产〃PE.

又硒，PEU平面PEN,PEREN=E,MF,C/U平面。-例，MFDCF=F,

所以平面CFM〃平面PEN.

【对点训练】

1.（2016•四川）如图，在四楂锥P—A8co中，PAVCD,AD//BC,ZADC=ZPAB=W,BC=CD=^AD.

（1）在平面附。内找一点M,使得直线CM〃平面附8,并说明理由；

（2）证明：平面必8_L平面P8D.

I.解析（1）取棱4。的中点M（MW平面附。），点M即为所求的一个点.理由如下：

因为AO〃/3C,BC=%D,所以8C〃AM,且4C=4M,所以四边形AMCB是平行四边形,

从而CM〃AB.又ABU平面南&CMQ平面以8,所以CM〃平面南B.

（说明：取棱尸。的中点N,则所找的点可以是直线MN上任意一点）

（2）由已知，PA±AB,PA±CD,因为4D〃/?C,BC=^AD,所以直线4B与CO相交.

所以以_L平面A4CD,从而以_L6Q.连接BM,因为4Q〃3C,BC=^AD,

即以BC//MD,且8C=M£）.所以四边形BCQM是平行四边形.

所以BM=CD=KAD,所以RDJ_AB.又八人，所以8£>_1.平面RW.又BDU平面PRD,

所以平面以8_L平面PBD.

2.如图，在四棱锥P-ABCO中，底面A8C。为梯形，AB//CD,AB1BC,AB=2,PA=PD=CD=BC

=1,面以。_1面48。。，E为A。的中点.

(1)求证:PALBDx

(2)在线段AB上是否存在一点G,使得8C〃面尸EG?若存在，请证明你的结论；若不存在，请说明理

由.

2.解析（1）取的中点F,连接OF.•••QC〃A8且:.DC〃BF且DC=BF,

・•・四边形8CQ”为平行四边形，又A3J_BC,3C=CD=1,・••四边形BCOr为正方形.

在RtZVl五。中，*：DF=AF=\,：.AD=巾,在RS8CO中，VBC=CD=1,:・BD=®

•・・A8=2,：.AD2-^-BD2=AB2.：.BD±AD,

•:6Ou面ABCD,面PADC\^ABCD=AD,面F£>_1_面ABCD,

・・・87）_1面%。，<布u面以D,：.PA±BD.

(2)在线段AB上存在一点G,满足AG=%8,即G为A尸的中点时，BC〃面PEG,证明如下:

连接EG,•・•£：为4。的中点，G为A尸中点，：.GE//DF,

入DF〃BC,：,GE//BC,・.・GEu面PEG,BCC而PEG,，8C〃面PEG.

3.如图，在四棱锥P-ABCD中,PD_L平面ABC。，底面ABCD为正方形，BC=PD=2,石为PC的中点，

CB=3CG.

(1)求证：PCLBC；

(2)/1。边上是否存在一点用，使得小〃平面MEG?若存在,求出入M的长；若不存在，请说明理由.

3.解析(1)因为PQ_L平面46C。，4CU平面44CQ,所以PDLBC.

因为四边形ABC。是正方形，所以8CJ_CD.

又PDCCD=D,PD,COU平面PCD,所以8C_L平面PCD.

因为PCU平面PDC,所以PC_L8C.

(2)连接AC,8。交于点。，连接EO,GO,延长GO交A。于点连接EM,则必〃平面MEG.

证明如下：因为E为PC的中点，。是AC的中点，所以E。〃布.

因为EOU平面MEG,附4平百A/EG,所以附〃平面MEG.因为△OCG9A.O4M,

92

所以AM=CG=§,所以AM的长为手.

4.在四棱锥产一ABCQ中，底面ABC。是边长为6的菱形，且NA8C=60。，以_L平面48CD,PA=6,F

是棱布上的一动点，E为PD的中点.

(1)求证：平面BDF_L平面ACFx

(2)若AQ=2,侧面外。内是否存在过点正的一条直线，使得直线上任一点M都有CM〃平面BQF,若

存在，给出证明；若不存在，请说明理由.

4.解析(1)由题意可知，以，平面A8CO,则8O_L%,又底面A8C。是菱形，

所以8O_LAC,M,AC为平面南C内两相交直线，

所以8O_L平面力C,B。为平面8。尸内一直线，从而平面8。尺L平面AC足

(2)侧面PAD内存在过点E的一条直线，使得直线上任一点M都有CM〃平面BDF.

EG//FD,

设G是P/的中点，连接EG,CG,OF,则［eg〃。尸=平面CEG〃平面8。尸，

所以直线EG上任一点M都满足CM〃平面BDF.

5.如图，四棱锥P—4BCD中，PO_L平面ABCD,底面ABC。为矩形，PD=DC=4,4/)=2,E为尸C的

中点.

(1)求三棱锥A—PDE的体积；

(2)4。边上是否存在一点M,使得%//平面EDM?若存在，求出AM的长；若不存在，请说明理由.

5.解析(1)因为PQ_L平面A3CO,所以户DJ_A。.又因A3CD是矩形，所以AQJ_CD

因POGCO=。，所以AO_L平面PC。，所以A。是三棱锥A—。。£的高.

因为E为尸C的中点，且尸。=OC=4,所以S\PD£=TSMDC=：XGX4X4)=4.

|Q

又人力=2,所以匕JP/)E=窗。6"OE=wX2X4=§.

(2)取AC中点M,连接EM,DM,因为七为PC的中点，M是4c的中点，所以〃胡.

又因为EMU平面EOM,E4Q平面EQM,所以以〃平面EDM.

所以4M=全。=小.即在4C边上存在一点M,使得以〃平面EQM,AM的长为小.

6.如图，在四棱锥S—A3。中,已知底面A3CQ为直角梯形，其中AO〃8C,ZBAD=90°,SA_L底面

ABCD,SA=AB=BC=2.tanZSDA=1.

J

(1)求四校锥S-ABCD的体积；

(2)在棱SO上找一点E,使CE〃平面SAB,并证明.

2

6.解析（1）・・・§4_1底面48。。，12»1/5。4=1,SA=2,：,AD=3,

由题意知四棱锥S-ABCD的底面为直角梯形，且SA=AB=BC=2,

WD=；XS4XJX(BC+4Q)XA8=(X2X；X(2+3)X2=当

(2)当点E位于棱SD上靠近D的三等分点处时，可使CE〃平面SAB.

取S。上靠近。的三等分点为E,取SA上靠近A的三等分点为F,连接CE,EF,BF,

22

则七产幺彳4。，BC£3AD,:.BC乂EF,:.CE//BF.

又•・・4Fu平面S43,CE《平面S43,・・・CE〃平面SA/L

7.如图，四楂锥。一48C。的底面A8C。是圆内接四边形(记此圆为W),且见_L平面A8CD.

(1)当8。是圆W的直径时，PA=BD=2,AD=CD=®求四棱锥P-A8c。的体积.

(2)在(1)的条件下，判断在棱弘上是否存在一点Q,使得平面PCO?若存在，求出AQ的长：若

不存在，请说明理由.

7.解析(1)因为8。是圆W的直径，所以BA_LA。，因为80=2,AD=/1,所以4B=1.

同理BC=1,所以S0也册ABCD=ABAD='\[3.

因为附_L平而ABCD,幺=2,所以四棱维P-ABCD的体积V=gsb边BCD•以=茅.

2

(2)存在，AQ=y理由如下.

延长A优OC交于点旦连接PE,则平面以8与平面PCO的交线是PE.

40AR

假设在棱以上存在一点Q,使得3Q〃平面PCQ,则3Q〃尸及所以合=▽.

lr\/IZi

?

经计算可得8£=2,所以A£=48+8E=3,所以AQ=,

2

故存在这样的点Q,使BQ〃平面尸C。，且AQ=§.

8.如图，在四棱锥P-ABC。中，AB//CD,AB=2CD,E为PB的中点.

(1)求证：CE〃平面办。；

(2)在线段上是否存在一点F,使得平面物。〃平面CEF?若存在，证明你的结论，若不存在，请

说明理由.

8.解析(1)证明：取用的中点”，连接EH,DH.因为E为尸6的中点，所以EH〃AB,EH=%B,

AB//CD,CD=与AB,所以EH"CD,EH=CD,因此四边形。CE"是平行四边形，所以CE〃DH,

又。HU平面以。，CEQ平面外。，故C£〃平面外。.

(2)存在点尸为A8的中点，使平面布D〃平面。石户.证明如下：

取48的中点£连接C£EF,所以又CO=%8,所以4b=CQ,

又A"〃C。，所以四边形AFCD为平行四边形，因此C尸〃A。，又C网平面附。，所以CF〃平面以。，

由(1)可知CE〃平面出。，又CECCF=C,故平面CE/〃平面以。，故存在A8的中点小满足要求.

9.如图，在直四棱柱A8CO—A由iGQi中，已知。C=OQi=2AO=248,AD1DC,AB//DC.

(1)求证：DiClACi；

(2)问在棱CO上是否存在点E,使AE〃平面AID.若存在，确定点E位置；若不存在，说明理由.

9.解析(1)在直四棱柱/WCO-AiBiG"中，连接CQ,・••四边形。CGQi是正方形，

/.DCi±DiC.又八力_LOC,AD±DDi,DCCDDi=D,二八。，平面DCG。，又。CU平面QCGn,

：,ADLD\C.••YOU平面/WG,OGU平面人。G,且AOCOG=O,.•.OCJ•平面人DCi,

又人GU平面人OG,ADiClACi.

(2)假设存在点E,使GE〃平面ABD.连接AG,AE,。正,设AUnAO=M,

BDCAE=N,连接MM二•平面4GEG平面4BO=MN,要使QE〃平面48。，可使MN//DiE,

又M是A。的中点，则N是AE的中点.又易知AABN”LEDN,：,AB=DE.即E是。。的中点.

综上所述，当E是。C的中点时，可使。/〃平面48Z).

10.如图，在多面体ABCQE/中，四边形A8CO是梯形，AB//CD,AD=DC=CB=a,NA8C=60。，四

边形AC”E是矩形，且平面ACFEJ_平面ABCD,点”在线段E尸上.

(1)求证：BCJ_平面ACFE；

(2)当EM为何值时，AM〃平面BDf?证明你的结论.

10.解析(1)证明：在梯形ABCO中，因为AB〃C7),AD=DC=CB=a,Z/\BC=60°,

所以四边彩/WCO是等腰梯彩，且NOC4=NOAC=30。，ZDC«=120°,

所以N4C8=NOCB-NOCA=90°,所以AC_L8C.

又平面ACPRL平面44co,平面ACFEC平面人4co=/1C.BCu平面人8CO.

所以8C_L平面ACFE.

(2)当七”=坐〃时，4M〃平面BDF,理由如下：

如图，在梯形ABC/)中，设ACnB/)=N,连接FM

由(1)知四边形48CO为等腰梯形，且NABC=60。，所以A8=2OC,则CN：NA=I：2.

易知EF=AC=yf3a,所以AN=^a.因为EM=^a,所以MF=；EF=平凡所以M尸统AN,

所以四边形ANFM是平行四边形，所以AM〃N匕入NFu平面BDF,AMU平面尸，

所以AM〃平面BDF.

II.如图1,在矩形人BCD中，人B=4,八0=2,E是CO的中点，将△人DE沿AE折起，得到如图2所示

的四楂锥IX—ABCE,其中平面QNEJ_平面ABCE.

(1)证明:8E_L平面。］AE：

⑵设〃为CQi的中点，在线段A8上是否存在•点M,使得知尸〃平面。小£,若存在，求出笔的值;

若不存在，请说明理由.

II.解析(1)连接8凡・・FBC。为矩形且4/)=OE=EC=BC=2,；.NAEB=9。。,即BELAE,

又平面OiAEJ_平面ABCE,平面OiAEP平面ABCE=AE,BEU平面ABCE,平面DtAE.

(2)AM=%8,取QE的中点3连接AL,FL,*：FL//EC,EC//AB,：,FL//ABFL=^AB,

F,L,A四点共面，若〃平面则

••・AMFL为平行四边形一.•■=「八》从故线段”上存在满足题意的点切且瑞=；.

12.如图(1),在正△A8C中，E,6分别是Ab,AC边上的点，且5E=A尸=2。凡点尸为边6C上的点,

将沿E尸折起到的位置，使平面4E凡L平面8EFC,连接A向A/,EP,如图(2)所示.

(1)求证：AxEYFPx

(2)若&点K为棱4F的中点，则在平面A/尸上是否存在过点K的直线与平面A4E平行,

若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由.

(1)

12.解析(1)在正△48C中，取8E的中点。，连接。F,如图所示.

因为BE=A/=2CE所以AF=AZ),AE=DE,而N4=60°,所以△ADF为正三角形.

又4E=OE,所以E”_LAZ).所以在题图(2)中，AyElEF,

又4EU平面4EE平面4E凡L平面8EFC,且平面4ErA平面8ER7=£：E

所以平面BEFC.因为尸PU平面BEFC,所以4E_L”.

(2)在平面4/P上存在过点K的直线与平面4出E平行.

理由如下：

如题图(1),在正△ABC中，因为BP=BE,8E=A匕所以BP=A凡所以/所以尸P//RE.

如图所示，取AiP的中点M,连接MK,因为点K为棱4F的中点，所以MK〃尸尸.

因为尸尸〃BE,所以MK〃BE.因为MKQ平面48E,8EU平面48E,所以MK〃平面48E.

故在平面4F尸上存在过点K的直线MK与平面AiBE平行.

考点二探究垂直问题

【例题选讲】

［例1］如图所示，平面ABC/)_L¥：面8CE,四边形ABC。为矩形，8C=C£点尸为CE的中点.

(1)证明：AE〃平面B。尸；

(2)点M为CD上任意一点，在线段AE上是否存在点P,使得PM_LBE?若存在，确定点P的位置,

并加以证明；若不存在，请说明理由.

AD

解析(1)连接AC交BQ于点。，连接。F.

•・•四边形ABC。是矩形，・・・。为AC的中点.又F为EC的中点、，工OFV/AE.

又OFU平面BQF,AEQ平面BDF,JAE〃平面8QF.

(2)当点P为AE的中点时，有PMLBE,证明如下：

取的中点H,连接。P,PH,CH.为AE的中点，〃为3E的中点，C.PH//AB.

又AB〃CD,：.PH//CD,；.P,H,C,。四点共面.

•・•平面A8CO_L平面BCE,且平面ABCDG平面BCE=BC.CDVBC,

CQU平面ABC。，••・CO_L平面3CE.又BEU平面BCE,「CDLBE,

•JBC=CE,且“为BE的中点，JCH±BE.

又CHCCD=C,且C”，CDU平面DPHC,；.BE上平面DPHC.

又PMU平面DPHC,：,PMLBE.

［例21在四棱锥E-ABCZ)中，底面ABC。是正方形，AC与BD交于点O,石。，底面4BCZZ点F为

BE的中点.

(1)求证：OE〃平面4CE

(2)若AB=@CE,在线段E0上是否存在点G,使CG_L平面BDE?若存在，求出击的值；若不存在，

请说明理由.

E

解析(1)证明：连接OF,由四边形A8CO是正方形可知点。为8。的中点.又尸为的中点,

所以OF//DE.又OFU平面ACF,平面ACF,所以DE//平面ACF.

FG1

(2)存在点G,此时雨=5.证明如下：

若CGJ■平面BDE,则必有CG_LO£,于是作CGJLOE于点G.

因为EC_L底面ABCD,所以8Q_LEC,又底面48CD是正方形，所以8O_LAC,

义ESAC=C,所以8Q_L平面ACE.而CGU平面ACE,所以CG_L8。.

大OECBD=O,所以CGJ■平面8OE.又A8=^CE,所以。0=拳48=。£,

FGI

所以点G为EO的中点，所

［例3］如图(1),在Rl^ABC口，ZC=90°,D,E分别为AC,AB的中点，点/为线段CO上的一点,

将△4。七沿OE折起到△AiOE的位置，使4凡LC。，如图(2).

(1)求证：OE〃平面ACB；

(2)求证：AiF-LBE；

(3)线段4出上是否存在点Q,使/LC_L平面。EQ?请说明理由.

解析(1)因为。，E分别为AC,A8的中点，所以QE〃8c.

又因为。放平面4CB,8CU平面AC8,所以DE〃平面AC8.

(2)由题图(1)辔AC_LBC.且0E〃8C,所以力E_LAC.所以。E_LA。，DELCD.

所以OE_L平面AOC.而4尸U平面AiOC,所以。E_LA|F.又因为4F_LCD,

所以4尺L平面BCQE,又8EU平面8COE,所以A|F_L8E.

(3)线段A归上存在点Q,使4C_L平面£>EQ.理由如下；

如图，

分别取AC,48的中点P,Q,则尸。〃BC.又因为OE〃BC,所以OE〃0Q.

所以平面。EQ即为平面OEP.由(2)知，OE_L平面4DC,所以。E_LAiC.

又因为P是等腰三角形D4C底边AC的中点，所以4C1OP.所以4。_1_平面。EP.

从而AC_L平面。EQ.故线段4B上存在点Q,使得4CL平面。EQ.

［例4］如图，在三棱柱ABC-A1C中，侧棱44」底面4BC,M为棱AC的中点.A8=BC,AC=2,

AA尸叵

⑴求证:8C〃平面4BM；

(2)求证：AGJ■平面A由M；

RN

(3)在棱8反上是否存在点M使得平面AGN_L平面AACC?如果存在，求此时函的值；如果不存

在，请说明理由.

解析(1)连接AS与4B,两线交于点O,连接。M.

B、

在△BiAC中,VA/,O分别为AC,ABi的中点,：.OM//B\C,

又「OMU平面A由M,囱CQ平面A4M,.•.为。〃平面AgM.

⑵•・•侧棱AA」底面ABC,BMU平面ABC,工羽」用0,

又为棱AC的中点，AB=BC,

TA4n4C=A,M,ACU平面ACG4,平面4CG4,AWlACi.

：AC=2,：.AM=\.又•・・A4i=啦，・••在RtZXACG和RtZXAiAM中,

lanZACiC=tanZA\MA=y[2t:.ZAC)C=ZA\MA,

即NAGC+ZC\AC=N4MA+NG4C=90。，：.A\MLAC\.

BM,AMU平面・・.4G_L平面43M.

(3)当点N为3囱的中点,即瑞时，平面AGN_L平面MCC

证明如下：

设AG的中点为。，连接。AKQN.:。，M分别为AG,AC的中点，，QM〃CG,且。渺=^CG.

又•：N为BBi的中点、,:.DM//BN,且DM=BN,，四边形8NDM为平行四边形，:,BM〃DN,

•・WM_L平面ACGAi,・・・OALL平面AACC.又〈ONU平面AGN,，平面AGN_L平面A4GC.

【对点训练】

1.如图，三棱锥P-48C中，出_L平面A8C,%=1,AB=\,AC=2,N8AC=60。.

(1)求三棱锥尸一48。的体积；

PM

(2)在线段PC上是否存在点M,使得AC_LBM,若存在，请说明理由，并求正的值.

tVlv.^

1.解析(1)由题设A8=l,AC=2,ZBAC=60°,可得九丽=f8小。.60。=坐

由以平面ABC,可知力是三棱维P-4BC的高，又以=1,

所以三棱维P-48c的体积V=1-S^«cB4=^-.

(2)在线段PC上存在点M,使得4C_L8M,证明如下：

如图，在平面A8C内，过点B作8N_LAC,垂足为N.在平面以。内，

过点'作MN〃阳交PC于点M,连接BM.由朋_L平而4BC,知出_LAC,所以MN_L4c.

因为8NCIMN=N,所以AC_L平面MBN,又BMu平面MBN,所以4cL8W.

在RSBAN中，AN=ABcosNBAC=；,从而NC=AC-AN彩由MN〃%，得照=缺=今

2.如图所示，己知长方体ABCO—4AiG。］,点Oi为反小的中点.

(1)求证：A」〃平面A。。；

⑵若A8=144,在线段8s上是否存在点E使得ACL4E?若存在，求出翡；若不存在，说明理

由.

2.解析(1)证明：如图I所示，连接ADi交AQ于点G,AG为ADi的中点，连接OiG,在△AHiQ中,

•••。1为5|。1的中点,：.O\G//AB\t・.・OiGU平面40]。，且481a平面Ai。1。,

・・・4B]〃平面A。1。.

(2)若在线段BKi上存在点E使得4CJ_A旦连接交4E于点M,如图2所示.

•・・4。_1_平面48丐41,AEU平面：.BC.LAE.

又・・・ACn6c=C,且AC,6CU平面Ad。，・・・A£_1"平面ABC.

•.•ABU平面ABC,：.AE±AiB.

在△AMB和△ABE中，NBAM+NABM=90°,N8AM+/BE4=90°,AZABM=ZBEA.

・\氏△A8EsRt/^4AB,*o=44.

ADAA1

224HF4

'：AB=^AAi,：,BE=^AB=^BI3i,即在线段上存在点E使得41c_LAE,此时丽=§•

3.如图，已知三棱柱ABC—AbC的侧棱垂直于底面，AB=AC,N84C=90。，点M,N分别为48和夕C

的中点.

(1)证明：MN〃平面A/VCC；

(2)设A8=MH,当2为何值时，CN_L平面AMM试证明你的结论.

3.解析(1)如图，取的中点瓦连接ME,NE.

因为M,N分别为A,B和B，C的中点，所以NE〃/VC,ME//AA1,又A'Cu平面/WCC,/V4u平面AA'CC,

所以ME〃平面AA'CC,NE//平面AA'CC,所以平面MNE//平面AA'C'C,

因为MNu平面MNE,所以MN//平面AA'CC.

(2)连接BN,设AA'=〃，AB=AAA'=/.af由题意知CN=BN=yj$a'

因为三棱柱48C-A5C的侧棱垂直于底而，所以平面A8'C_L平面BBCC,

因为AB=4C,点N是B'C的中点，所以4B'=/TC,A'NLB'C,

所以/VN^^F面BB'CC,所以CN_L/VN,要使CML用面A'MN,只需CN1BN即可，

所以加+刷=8。2,即2(〃+/a2)=2&j2,解得人=小,故当；,=啦时，CN_L平面/VMM

4.如图，在四棱锥P—A8CO中，A8CO是正方形，PD_L平面A8CD.PD=AB=2,E,F,G分别是PC,

PD,8C的中点.

(1)求证：平面南8〃平面EFG；

(2)在线段P8上确定一点。，使PC_L平面ADQ,并给出证明.

4.解析(11・•在△尸C力中，E,尸分别是PC,PD的中点、，；・EF〃CD,又•四边形ABC。为正方形,

：.AB//CD,:.EF〃AB,TEQ平面%B,ABU平面办B,，七/〃平面附B.同理EG〃平面B4B,

,:EF,EG是平面EFG内两条相交直线，，平面附8〃平面EFG.

(2)当Q为线段PB的中点时，PC_L平面4DQ.取PB的中点Q,连接。E,EQ,AQ,DQ,

VEQ//BC//AD,且4DWQE,.•.四边形八DEQ为梯形，

由P。_1_平面48CO,4DU平面A8C。，得

'CADLCD,PDQCD=D,PD,CDU平面PCD,；・AD工平面PDC,又PCU平面PDC,：.ADLPC.

•••△POC为等腰直角三角形，F为斜边中点，：.DE1PC,

•・・4。，£>E是平面4QQ内的两条相交直线，，PC_L平面A/)Q.

5.如图，在四棱锥P-ABCO中，底面ABC。是菱形，ZDAB=30Q,POJL平面ABC。，AD=2,点E为

上一点，且3=m，点、F为PD中点.

(1)若〃?证明：直线A"平面PEC;

(2)是否存在一个常数〃?，使得平面平面以8?若存在，求出切的值；若不存在，说明理由.

5.解析(1)如图作FA/〃CD,交PC于点M,连接EM,

因为点尸为P。的中点，所以月必=夕。.因为小君所以叱=夕8=小

又尸M〃CO〃AE,所以四边形AEM尸为平行四边形，所以八产〃区W,

因为AR1平面PEC,EA/u平面PEC,所以直线人/〃平面PEC.

(2)存在一个常数〃?=*,使得平面PEDJ_平面以B,理由如下：

要使平面PEO_L平面布8,只需4B_LOE,

因为A8=AO=2,ND4B=30。，所以AE=/Wcos30。=小，

又因为POJ•平面A8CD,PD1AR,PDQDE=D,所以AB_L平面P。，

4/7、行

因为ABu平面以B,所以平面尸。E_L平面必从所以用=获=方

AD2.

6.如图，在:四梭锥〃一人火霜中，底面八4C7J是N/"4=6U°巨边长为〃的菱形，侧面以”为正三角形,

其所在平面垂直于底面A8CO,若G为A。的中点.

⑴求证:8G_L平面BW；

(2)求证：ADA.PB；

(3)若E为BC边的中点，能否在棱PC上找到一点P,使平面。E/LL平面A3CQ?并证明你的结论.

6.解析(1)在菱形A3CO中，NQAB=60°,G为4。的中点，所以4GJ_AO.

又平面见。_L平面ABC。，平面以平面A8CQ=A。，所以8G_L平面%Q.

(2)如图，连接PG.因为△附。为正三角形，G为A。的中点，所以PG_LAQ.

由(1)知，BGA.AD,又PGCIBG=G,所以AO_L平面PG8.因为PBU平面PGB,所以AD_LP8.

⑶当卜为尸C的中点时，满足平面/比匕L平面A/C/).

证明如下：取PC的中点尸，连接。E、EF、DF.

在△尸BC中，FE//PB,在菱杉ABCO中，GB//DE.

而FEU平面DEF,OEU平面QEREFQDE=E,PBU平面PGB,G8U平面PG8,P8CGB=B,

所以平面。七/〃平面PG8.因为8G_L平面％。，PGU平面附。，所以BGLPG,

又因为PG_LAD,ADQBG=G,所以PG_L平面4BCO.

义PGU平面PGB,所以平面PGB_L平面ABC。，所以平面OEEL平面人8CQ.

7.如图，四棱锥P—48C。中，底面4BC。是边长为2的菱形，ZBAD=y,△%£＞是等边三角形，F

为AD的中点，PD1BF.

(1)求证：ADVPBx

⑵若E在线段8c上，且EC=^BC,能否在棱PC上找到一点G,使平面DEGJ_平面ABCD?若存在,

求出三棱锥。一CEG的体积；若不存在，请说明理由.

7.解析(1)・・•△以。是等边三角形，尸是A。的中点，・・・夕以L4Q.

•・•底面ABC。是菱形，/840=^^BFA.AD.

又PFRBF=F,・・・AQJ_平面8FP.由于。/3u平面8厂。，：.ADLPB.

(2)能在棱PC上找到一点G,使平面QEGJ_平面ABCD.

由(1)知AO_L3F,〈PD工BF,ADCPD=D,平面阴。.

又引七平面ABCD,)平面H8CQJ_平面PAD.

又平面A3CQG平面以。=4D,且P/LLA。，P/七平面以。，.二。口L平面A4co.

连接CF交DE于点H,过H作HG〃PF交PC于G,，GH_L平面48CQ.

又G"u平面QEG,，平面QEG_L平面A8CQ.

a：AD//I3C,：.4DFHS/\ECH,：.*=隔£，,等=吗=七:・GH=；PF=^,

HrDr2GrHr233

-Vf)-cEG=VG-CDE=^S^ci)E'GH=jX^DCCEs\r^GH=Y2.

8.如图，在四棱锥P—ABC。中，PC=AD=CD=^AB=2,AB//DC,AD1CD,PC_L平面ABC。.

(1)求证:8cL平面网C；

(2)若M为线段%的中点，且过C,。，M三点的平面与线段尸4交于点M确定点N的位置.，说明理

由；并求三棱锥人一CMN的高.

8.解析(1)连接AC,在直角梯形A4CO中，8/=