江苏泰州市靖江市2025-2026学年高一年级下册6月期末数学试卷（试卷+解析）

高一数学试卷

（考试时间：120分钟；总分：150分）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.设好数z满足（l+i）z=l,则目=（）

A.；B.正C.1D.72

22

2.已知圆台的上、下底面的半径分别为L2,高为则该圆台的母线长为（）

A.1B.72C.2D.3

3.已知向量5都是非零向量，设甲：存在实数4,使得互=4万，乙：司而，则（）

A.甲是乙的充分条件但不是必要条件B.甲是乙的必要条件但不是充分条件

C.甲是乙的充要条件D.甲不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

4.在△ABC中，角4,B,C的对边分别为。，b»c.若ccosA=J5asinC，则A=（）

5.已知向量福=（1,2）,AC=（x,-l）.若人从3e二一5，则不二（）

A.-5B.-2C.2D.12

6.已知事件4与事件3相互独立，若P（A）=3P（8）,网4+5）=\，则可豆）=（）

22_

B.一C.

36

71兀,sinacos0+工I

7.已知则sin2a=()

,I\6J20

A4+3x/3RV21-2V33>/3-44+36

0.---------Krv**1

1()1()1()

8.在长方体A8CO—A4G。中，已知8C=1,BD±CC'.关于长方体有下列三个命题:

甲：与AQ所成的角的余弦值为巫；

6

乙：8G与所成的角的余弦值为垣;

10

丙；BD、=叵.

13

如果其中有且只有2个真命题，则长方体ABC。-A4G。的体积为（）

A.-B.72C.73D.76

3

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得。分.

9.已知i为虚数单位，〃为自然数，则（）

A.i2=-1B.i4=-1C.i4/,+3=iD.产+i=i

10.一只不透明的口袋内装有大小一样的2个白球和2个黑球，从中不放回地依次取出两个球，记“取出的

两球同色”为事件A，”第一次取出的是黑球”为事件8,“第二次我出的是黑球”为事件C，”取出的两球不同

色”为事件。，则（）

A.A与。对立B.9与C互斥C.A与8独立D.8与。独立

11.在△4BC中，NB4C=60。，AB=2,NB4C的角平分线交8c于点7,则（）

A.的最小值为1

B.当8c最小时，BT=2TC

C.当△43C为锐角三角形时，—<AT<—

33

D.当从丁二也时，AABC的面积为5G

3

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知一组数据4,6,5,7,4,4,则这组数据的方差为.

13.在直三棱柱-中，已知AA=2,BC=\,ZR4C=60°.该三棱柱的底面ABC的面积

的最大值为；当底面A3C的面积最大时，直线与平面BCG4所成角的正弦值为.

14.在△ABC中，已知ACBC=3-若点G满足荷=0+觉，而在岫上的投影向量为

而，则|德|的最小值为.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

3兀3

15.已知兀—,coscr=一一，求下列各式的值：

25

.,.2sin2a+sin2a

(I)--------------------------------;

cos2a

(3/

(2)tanlI.

16.为调研某校学生的劳动教育课程开展情况，调研人员从全校学生中随机抽取1000名，记录其对劳动教

育课程开展情况的满意度评分，学生独立地进行满意度评分.将满意度评分数据整理统计后，得到如卜频率

(2)现采用分层抽样的方法，从满意度评分在［70,90)内的学生中随机抽取6人，再从这6人中任取2

人,求一人的满意度评分在［70.80)内，另一人的满意度评分在［80,90)内的概率.

17.在△A3C中，角A，B,。的对边分别为。，b,c.已知4为锐角，。=10,/?sinA=55/3.

(1)求B；

(2)若。为A8的中点，从下面①②③中选取一个作为条件，使得AABC存在，求C力的长.

①8c边上的高为86；②〃=8；③。一力=2.

注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.

18.如图，在三棱锥A—88中，AB=AD=2,NB4O=60。，/BCD=30。,BD1CD.E是BD

的中点，。是3C的中点，AQ=y/6.

(1)求证：AE_L平面〃C。；

(2)若P是的中点，M在CO上，PM〃平面A3C.

(i)求CM的长；

(ii)求二面角P—BM—O的正切值.

19.如图，在平面直角坐标系中，A»B分别为函数/(x)=msin®工+°)+〃(机>0,口>0,网〈工，

乙

〃eR)的图象的一个最高点和一个最低点，已知点A的纵坐标为3,点0(0,0),C(4,0)；0(6,0),

P(x,y)均在函数的图象上,其中卬43.

<2)将△6CD沿C。翻折至△&CD,使得平面6CZ)_L平面A。。.

(i)在四面体AC8'。中，试判断A力和8'C是否垂直？如垂直，请证明；如不垂直，请说明理由:

(ii)若四面体PC87)的每一个顶点都在半径为宠的球内或球面上，证明：R>2.

高一数学试卷

（考试时间：120分钟；总分：150分）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.设复数z满足（l+i）z=l,则目=（）

A.；B.—C.1D.41

22

【答案】B

【解析】

/、11-i11.

【详解】已知（i+i）z=i,则z=77T（用）（i）二2一二

2.已知圆台的上、下底面的半径分别为1,2,而为石，则该圆台的母线长为（）

A.1B.V2C.2D.3

【答案】C

【解析】

【分析】根据圆台的结构特征，利用上下底面半径差、高与母线构成直角三角形的性质，结合勾股定理计

算母线长.

【详解】根据圆台的结构性质：圆台的母线长/、高〃、下底面半径R与上底面半径r的差值R—r构成直

角三角形的三边，其中母线为斜边，

由题意可知，r=1»R=2，h=VJ»故上下底面半径的差值为厂=2—1=1，

根据勾股定理可得母线长：［=依一疔+卜2=心+（a2=后5=2,故C正确.

3.己知向量〃，5都是非零向量，设甲：存在实数4,使得M=乙：刃区，则（）

A.甲是乙的充分条件但不是必要条件B.甲是乙的必要条件但不是充分条件

C.甲足乙的充要条件D.甲不足乙的充分条件也不足乙的必要条件

【答案】C

【解析】

【分析】结合非零向量共线的充要条件，分别验证充分性和必要性是否成立即可得.

【详解】充分性验证：若存在实数2使得H且向量G,B都是非零向量，

根据向量数乘的几何意义，N与日方向相同（4>0）或相反（4<0）,符合平行向量的定义，因此

，充分性成立.

必要性验证：已知75均为非零向量，若环区，根据共线向量基本定理，必然存在唯一实数，使得

值=2日，必要性成立.

因此甲是乙的充要条件•.

4.在AABC中，角4,B,C的对边分别为〃，b,c.若ccosA=J5asinC，则A=（）

_7T

A.-7TB.-_C.-7TD_.—27T

6433

【答案】A

【解析】

【分析】利用正弦定理将边的等式转化为角的三角函数关系，结合三角形内角的取值范围求解角4；

【详解】已知在ziABC中，ccosA=GasinC,由正弦定理，一二"一二」一二2R

SIILAsinBsmC

（R为△ABC外接圆半径）,可得。=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC,代入原式得:

2RsinCcosA=Gx2RsinAsinC，得sinCcosA=VJsinAsinC»

因为C为三角形内角，即Cw（O,兀），故sinCwO,化简得cosA=JJsinA，即taM=9=等，又A

为三角形内角，即入£（0,兀），因此4二弓，

5.已知向量而=（1,2）,AC=U-1）.若丽.元=—5,则x二（）

A.-5B.-2C.2D.12

【答案】C

【解析】

【分析】先由向量的加减法运算可得品的坐标，再由向量的数量积的坐标运算可得结果.

【详解】因为向量荏=（1,2）,AC=（x,-l）,所以反1二衣—丽=（芭-1）—（1,2）=（工一1,一3）,

又因为历•配=一5，所以lx（x-l）+2x（-3）=-5,解得K=2.

6.已知事件A与事件B相互独立，若P（A）=3P（5）,P（A+3）=V，则P（豆）=（）

12八15

A.-B.—C.—D.一

3366

【答案】D

【解析】

【分析】应用概率的基本性质及已知得36[P⑻丁-48P⑻+7=0,结合P（8）£0,1及对立事件的

——

概率求法求概率.

7

[详解】由题设尸（4+8）=尸（4）+P（B）—P（AB）=P（A）+P（B）-P（A）P（B）=q,

又P（A）=3P（8）£[O,1],则4P⑻-3[P⑻了二五，整理得36[尸⑻>48P（。）+7=0,

由P（8）E0,1,且[6P（3）-7][6P（0-1]=O,可得P（8）=L

3.6

所以P（月）=1一尸（3）.

7.已知[£（2,二），siimcosf（7+y|=^-,Iiiijsinla=（）

1.62）I6J20

A4+36RV2T-2V3r36-4八4+3G

10101010

【答案】D

【解析】

/\

【分析】先利用两角和的余弦公式展开已知条件中的cosa十二,再结合二倍角公式将式子转化为关于

sin2a和cos2a的等式，通过辅助角公式化简后，结合。的取谊范围确定对应角的三角函数符号，最后利

用两角差的正弦公式求解sin2a的值.

（冗、717161.

【详解】丁cosa+—=cosacos——sinasin—=——cosa——sina，

I6622

.（兀].（61.G.1.,

=——sinacosa——sin-a.

I122,22

即得走sin2a1-cos2a1RM丹•c,c6

---------=——,即\/3sin2a卜cos2a=-

44205

得2sin（2a+2）=9,即sin（2a+e）=,

c（c兀】兀

2a=2a+———

I6）6

r7T）7T（r7TA.7T

sin2a=sin=sin2a+—cos——cos2a+—sin—,

6）616）6

代入数值计算得：sin2a=3x巫一（一3］、，=述+色=±!3叵.

52I5j2101010

8.在长方体ABC。—A4GR中，已知8C=1,8。wCC「关于长方体有下列三个命题:

甲：3。与所成的角的余弦值为巫;

6

乙：8G与A片所成的角的余弦值为垣;

10

丙:明=半

如果其中有且只有2个真命题，则长方体的体积为（）

A.1B.V2C.73D.76

【答案】A

【解析】

【分析】设==c,解法一：先通过平移找到异面直线所称的角，求出相关边长，利用余弦定理

和勾股定理得到〃,。的方程组，分别计算检验两真一假的情况即可求得〃"的值，进而求得长方体的体积;

解法二：建系后求出相关点的坐标，分别利用向量夹角的计算公式与向量模的计算公式将甲乙丙三个命题

转化为〃,c•的方程组，分别计算桧验两真一假的情况即可求得“C•的值，进而求得长方体的体现.

如上图在长方体A8CO—4与GA中，设==c.

解法一：当甲命题为真时，连接8G，因A8//44//AG，且A8=A耳=DG，则得口ABCP,

则BCJ/AR,故N。8G即B。与AR所成的角，连接

易得=JX+L8G=Jc2+1,QC=(/+/，

在ADBC,中，由余弦定理可得cos/DBC、=DBfDC；=1=走，

2DBXBG历TT.户J6

整理得S?+1)(/+1)=12,即从+/+b2c2=1]①

当乙命题为真时，由上分析，BC./MD,,则/。状片即BQ与所成的角，

22

连接D圈,则D£=J/+1,AD]=Vc+1,AB】=^tr+c，

在用中，由余弦定理可得cosN〃A4=4庚+9一.以二L=在，

112AB.XAD,7^77.V77T10

整理得从+c2+/?2c2=弓c4②

当丙命题为真时，由图知，*=JA1+.+DD：=扬+1+，=率,即"+「2=与③

因为其中有且只有2个真命题，可分三种情况考虑：

（I）甲与乙命题为真，由①-②，得%=11,解得c=G，代入①，得卜二&,

代入③的左式6+。2=2+3=5看与，即丙命题为假，符合题意，

因BDwCG，可得〃十Iwc?,即/,=夜，c=g时不合题意；

⑴）甲与丙命题为真，由①-③，得从°2=]]-午=蔡，结合〃2十02二日，

可知片,。2可看成方程/一与1+蓝=0,即9/—10x+89=0的两根，

而A=100—4x9x89<0,即此情况不合题意；

（III）乙与丙命题为真,由②-③，得从2=/不一人,

将/=弓-。2代入，整理得2c4一°2一1=0,解得c=|（负值舍去），

则代入①得左式，/?2+c2+Z?2c2=-+14--=—^11,

3999

即甲命题为假，符合题意，此时长方体A6CD—44GR的体积为gxlxl=§,故A正确.

解法二：如下图，以点O为坐标原点，分别以OAOCOR为x，y，z轴建立空间直角坐标系.

当甲命题为真时，因瓦=（1力,0）,祈=（一1,0,。），设8。与401所成的角为〃,

则cose二零.21=与，整理得(从+1)(/+1)=12,即//+c2+b2c2=ll①

\DB\-\AD}\6

当乙命题为真时，西=（一1,0,。）,码=（0,〃,c）,设8G与A用所成的角为。,

则cosq=」£g"J.二.c._-------=,整理得/+02+b2c2=U/②

22

I8C]|•|AB1|yjb~+c・Jc+11。9

当丙命题为真时，因西=（一1,-仇c）,依题意得行”71=19,即从十/二日③

39

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知i为虚数单位，〃为自然数，贝IJ（）

A.i2=-1B.i4=-1C.i4/,+3=iD.i8w+,=i

【答案】AD

【解析】

【分析】根据虚数单位i的累次以4为周期循环，核心性质为12=一1、j4=1,结合该性质逐一判断选项

即可.

【详解】对于A,根据虚数单位的定义，i2=—],故A正确；

对于B,P=[2）2=（-1）2=1工一1,故B错误;

对干C,产+3=（i4）”,i3=i〃.（w）=_iwi,故c错误；

对于D,自用=（i4）2".F=『〃.i=i,故D正确.

10.一只不透明的口袋内装有大小一样的2个白球和2个黑球，从中不放回地依次取出两个球，记“取出的

两球同色”为事件A，”第一次取出的是黑球”为事件B，”第二次取出的是黑球”为事件C，”取出的两球不同

色”为事件。，则（）

A.A与。对立B.8与C互斥C.A与8独立D.3与。独立

【答案】ACD

【解析】

【分析】利用对立事件的性质判断选项A：利用互斥事件的性质判断选项B：利用独立事件乘法公式计算判

断选项CD.

【详解】“取出的两球同色”与“取出的两球不同色''互为对立事件，故A正确；

“第一次取出的是黑球”与，“第二次取出的是黑球''可以同时发生，不互斥，故B错误；

11771

P（A）=-,P（^）=-,/>（AnB）=-T=-=-=P（A）P（B）,

故事件A,3独立，故C正确；

P（O）=l-P（A）J，P（8）=；，P（5cO）=爷=白=]

3ZINJ

P（D）.P（B）=|xl=l,

则P（5cD）=P（£））・P（5）,B与D独立,故D正确.

11.在△ABC中，ZBAC=60°,AB=2,NA4c的角平分线交BC于点T，则（）

A.8C的最小值为1

B.当BC最小时，~BT=2TC

C.当△ABC为锐角三角形时，^L<AT<—

33

D.当=时，3c的面积为5百

3

【答案】BCD

【解析】

【分析】由余弦定理结合二次函数性质计算可判断A；由角平分线性质计算可判断B；根据.ABC为锐角

三角形可得。w(l,4),由三角形面积公式可得AT=2百。-高)，根据函数单调性计算求解判断C；结

合C代入计算可得〃=10,再根据三角形面积公式计算判断D.

【详解】对于A,设AC=b,由余弦定理可得

BC2=AB2+AC2-2ACMBCOS60=4+/?2-2x2Z?cos60°=Z?2-2Z;+4.

因为人2一3+4=(〃-1『+3,

所以当〃=1时，BC有最小值为石，故A错误：

RTAD

对干B,由角平分线性质可得一=—=2,即37=27C,

TCAC

因为丁在3C上，所以比T=2交，故B正确；

对干C,当△A3C为锐角三角形时，则三个角均为锐角，

当。为锐角时，由余弦定理可得AC2+8C2>A8?，即26?-乃+4>4,解得〃>1，

当8为锐角时，由余弦定理可得A4+BC?>AC?,即从一26+8>〃，解得人<4,

因为〃A8C=S&ABT+S^ACT,

即Lx2bsin60=’x2ATsin3(r+'bATsin30°,化简可得AT=2强=-一—

222b+2Ib+2)

2

因为y=1------在6e(1,4)上胆调递增，

b+2

2［2、即哈,考

所以1--c故C正确;

b+2133J

对干D,当47=述时，即拽2=短，解得人=10,

3b+23

所以S=—AB-AC-sin60=-x2x10xsin60=56,故D正确.

△“DL*2

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知一组数据4,6,5,7,4,4,则这组数据的方差为.

【答案】

4

3

【解析】

4+6+5+7+4+4.

【详解】由题设，数据平均值为1=----------------------------=5,

6

则方差为Y=lx［（4-5）2+（6-5）2+（5-5）2+（7-5f+（4-+（4-5）［=1

13.在直三棱柱中，已知例=2,BC=1,Zft4C=60°.该三棱柱的底面A3c的面积

的最大值为；当底面A8C的面积最大时，直线与平面8CG耳所成角的正弦值为

【答案】①.且②.巫

410

【解析】

【分析】第一空借助余弦定理结合基本不等式求AbAC的最大值，代入三角形面积公式得结果；第二空

先确定底面为等边三角形，根据线面角的定义，计算点到平面的距离与线段长度的比值即可。

【详解】第一空：在△ABC中，/8AC=60，BC=\,

由余弦定理得：BC~=AB1+AC2-2ABAC-CQSZBAC，

代人已知得1=AB2+AC2-ARAC.由基本不等式AB2+AC2>2ARAC，

代人上式可得1>2ABAC-AB-AC=ABAC,

当且仅当AB=AC=\时等号成立，即ABAC的最大值为1.

△ABC的面积S='A3•AC•sin60«1x1x正=且，故底面面积的最大值为由.

22244

第二空：当底面面积最大时，AB=AC,

结合N7MC=60，可知AABC为边长为1的等边三角形.

直三棱柱ABC-44G中，平面3CG4_L平面A8C，交线为8C,取BC中点。，连接AO,

则AO_L3C,又因为在直三棱柱中3旦_LAO,BCcBB^B,所以A。_1_平面3。0月,

即点A到平面BCC国的距离为AD=—x\=^~

22

因为4Ali3与，AA<Z平面BCCM，3B|U平面3CG2,

故A4JI平面8。。出，因此点A到平面8CG4的距离等于AD=且。.

2

又4A_L底面A8C,故因此=JAB，+油=五”=6.

设直线与平面8CG与所成角为。，则sine-丝妪.

7510

14.在△48C中，已知口。=3,ACBC=3.若点G满足而=切+/，而在耳2上的投影向量为

而，则|德|的最小值为

I答案】半

【解析】

【分析】先利用向量线性运算转化元.前=3得到福•衣的值，再根据而=6月+而判断G为AABC

的重心，得到而的向量表达式，结合投影向量的模长公式将|而|表示为关于|福|的函数，最后利用基

本不等式求最小值.

【详解】•・•BC=AC-AB^,ACBC=AC(AC-AB)=|^C|2-ACAB.

UL1IU________

代人已知条件14cl=3，•而=3,可得：9-ACAB=3»**.~ABAC=6

•・•点G满足而=曲+觉，移项得方+痂+%="

:.G是△ABC的重心，故AG=；(A月+A。).

——•—而

而在而上的投影向量的模长|AG'|=|AG-^|,代入前的表达式:

西|

|XB|2|人耳|2+6

|^|=1(AB+AC)~+ABAC

3国3国

—,由基本不等式得号!+岛N2榨核2x/6

亍

当且仅用

2一L

『，即|AB|二巡时等号成立.

\AB\

故|AG；|的最小值为型.

3

方法归纳：解决平面向量的最值问题，可先通过向量线性运算、数展积运算将目标表达式转化为关于单个变

量的函数，再结合基本不等式或函数单调性求解最值；涉及重心的向量关系可直接用重心向量公式

A©=g(A与+A3)简化运算.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

3兀3

15.已知兀<。<二，cosa=一一，求下列各式的值：

25

小2sin2tz+sin2c<

(I)----------------；

cos2a

(3吟

(2)tanlI.

【答案】(1)-8

(2)-7

【解析】

【小问1详解】

八3九3.4

Qz<a<——，cosa=——，/.sina=——.

255

2sin'a+sin2a2sina(sina+cosa)2sintz

cos2acos%—sin2acosa-sina

55

【小问2详解】

八3九3.44

Qz<a<——，cosa=——，.\sina=——，tana=—.

2553

371

tana-tan

43

.37r

1+tana-tanl--xl

43

16.为调研某校学生的劳动教育课程开展情况，调研人员从全校学生中随机抽取1000名，记录其对劳动教

育诔程开展情况的满意度评分，学生独立地进行满意度评分.将满意度评分数据整理统计后，得到如下频率

(1)估计满意度评分的中位数;

(2)现采用分层抽样的方法，从满意度评分在［70,90)内的学生中随机抽取6人，再从这6人中任取2

人，求一人的满意度评分在［70.80)内，另一人的满意度评分在［80,90)内的概率.

【答案】(1)76.25

⑵*

15

【解^5]

【小问I详解】

由频率分布直方图可知，各组频率之和为I,则(0.01+0.015+0.04+〃z+0.015)xl0=l,解得

m=0.02.

前两组的频率之和为(0.01+0015)x10=0.25,前三组的频率之和为(0.01+0.015+0.04)x10=0.65；

•/0.25<0.5<0.65，.二中位数位于区间[70,80)内.

设中位数为％,则0.25+(x-70)x0.04=0.5.解得丫=7625.

•••竹计满意度评分的中位数为76.25.

【小问2详解】

满意度评分在［70,80）的频率为0.04x10=0.4,满意度评分在［80,90）的频率为0.02x10=0.2,两组频

率之比为0.4:02=2:1.

采用分层抽样的方法从这两组中抽取6人，则在［70,8（））中抽取的人数为6乂"|=4,记为A,B,C,O；在

［80,90）中抽取的人数为6乂；=2,记为。

则从6人中任取2人，所有可能的情况有（A3）,（A。），（AD）,（A。），（A〃），（及C）,

（B,D）,（刎,（C,D）,（C,a）,（C⑼,（D,a）,共15种;

其中一人的满意度评分在［70.80）内，另一人的满意度评分在［80,90）内的情况有（A,a）,（A〃），

（氏〃）,（C,a）,（C,匹（DM）,（。⑼,共8种；

.­,P=A,

15

Q

••・一人的满意度评分在［70.80）内，另一-人的满意度评分在［80,90）内的概率为2.

15

17.在△A3C中，角A，B,C的对边分别为。，b,c.已知3为锐角，a=10,/?sinA=5>/3.

（1）求8；

（2）若。为A3的中点，从下面①②®中选取一个作为条件，使得△ABC存在，求C力的长.

①8c边上的高为86；②〃=8；③。一。二2.

注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.

【答案】（1）B=-（或60。）

3

（2）选①时，"IBC存在，CD=2后;选②时AABC不存在；选③时，AABC存在，CD=2后

【解析】

【分析】（1）根据正弦定理求解即可；

（2）若选①，根据三角函数的定义得到c,从而得到进而根据余弦定理求出C。，即可判断

是否存在；若选②，根据余弦定理得到关于c的一元二次方程，再结合判别式即可确定c是否有实

数根，进而即可判断AABC是否存在；若选③，先根据题意及余弦定理求出8和c,再根据余弦定理求出

CD,即可判断AABC是否存在.

【小问1详解】

由4=10,/?sinA=5A/3»

则由正弦定理有—二二工，

sinAsinB

刖.hsinA5下>也

则sinB=------=----=——，

a102

乂在△A8C中，3为锐角，

所以8=4.

3

【小问2详解】

若选①5c边上的高为8退，

71

结合（|）有B二；，

3

则8C边上的高为〃=csin3==86，解得c=16,

2

又D为AB的中点，则8。二力八=5=8,

2

所以由余弦定理有CD=JBD2+8C2—2BQBC.COSB=』2+102—2X8X10X；=.=2E.

故此时存在，且CO=201；

若选②〃=8,

结合（1）有8二二，

3

则由余弦定理有b2=a2+c2-2d-ccosB»

22

即IO?+c-2x10xlc=8,整理得C2—10C+36=0，

2

则A=100-144=74<0,无实根，

故此时△A3c不存在；

若选③c一力=2,则c=〃+2,

结合（1）有8二工，

3

则由余弦定理有〃=/+c2—2a.0858=102+0+2）2—2x10x3+2）x5，

解得b=14,则。=16,

又D为的中点，则BO=D4=^=8,

所以由余弦定理有CD-V^2+«C2-2Z?DZ?CCOSZ?-^82+1O2-2x8xlOx--2>/2?.

故此时dABC存在，且。。二2万.

18.如图，在三棱锥A-8C。中，AB=AD=2^NB4O=60。，/BCD=30。,BD工CD.E是BD

的中点，。是8。的中点，AQ=4l.

(1)求证：AE_L平面3cO；

(2)若尸是A。的中点，M在CO上，PM〃平面48c.

(i)求CM的长；

(n)求二面角P——。的正切值.

【答案】(1)证明：因AB=AZ)=2，/84。=60。，则BO=2,

又因E是BD的中点，则A£J_8Z),且==JL

2

在Rt^BCO中，NBCD=30。,则CQ=26,

又因。是8c的中点，则QE=gcD=J5,

因AQ=",则由A£：2+Q£2=3+3=6=4。2可得AEJ_EQ,

因BDCEQ=E,BD,EQu平面BCD,故A£_L平面3co.

⑵(i)G；5)五

3

【解析】

【分析】(1)利用条件分别证明AE_L&>,AE1EQ,再由线面垂直的判定定理即可得证;

(2)(i)利用线面平行的性质先证得//AC,结合条件推得M是CD的中点，即得CW；(ii)取

石。的中点。，连接P0,证明PO_L平面3C。，作PHLBM于点H,连接。〃，证明NP"。即二面

角P-BM—£＞的平面角，借助于题设条件求解Rt△尸HO即得答案.

【小问1详解】

略

【小问2详解】

(i)因PM〃平面ABC,M在。。上，则PMu平面ACZ),

因平面ACOc平面A8C=AC,则9W//AC,

又因P是AO的中点，则M是C。的中点，故CM='CD=6；

2

(ii)取EO的中点0,连接尸0,因尸是AO的中点，则尸O//AE,且。。二工八七二玄

22

在平面出加中，作于点〃，连接。”.

由(1)得AE_L平面8c。，则PO_L平面8c。，因BMu面BCD,则PO_LBM,

因POCPH=RPO,PHU平面PHO,则平面P”0,

又OHu平面PHO,则BM上OH,故即二面角P—BM—D的平面角.

连接CE，易得AE=百,CE=4(26¥+『=JB，

因AE_L平面BCO,CEu平面8cD,则AE_LCE,则AC=,3+13=4,

故PM=；AC=2,乂PB=*x2=C,BM=个联+(退丫=5，

由PM?+PB?=7=BM?可得BP1.PM,

PBxPM26

在中，由等面积可得PH=

BMF

_3>/2T

故在中，OH=

14

出

则lanZPHO=2=~1==g，即二面角夕一—。的正切值为—.

OH3V2133

14

A

19.如图，在平面直角坐标系中，4,〃分别为函数/(£)=侬m(3+0)+〃(〃7>0,切>0,M<g,

〃wR)的图象的一个最高点和一个最低点，已知点A的纵坐标为3,点0(0,0),C(4,0),£)(6,0),

P(x,y)均在函数〃力的图象上，其中l<x<3.

(2)将△BCD沿。。翻折至△B'CO,使得平面9C0_L平面AOQ.

(i)在四面体4c9。中，试判断AO和川。是否垂直？如垂直，请证明；如不垂直，请说明理由；

(ii)若四面体PC9O的每一个顶点都在半径为R的球内或球面上，证明：R>2.

35

【答案】(1)不或一

22

(2)(i)4。和8'C不垂直，理由如下：

由小问(I)可知