广西贵港市2025-2026学年高一年级下册期末学科素养检测（二）数学试题（试卷+解析）

2026年春季期期末学科素养检测(二)

高一年级数学

(考试时间：120分钟满分：150分)

注意事项：

1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改

动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.

3.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效.

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

1.设集合/={x|—3<x<3,xwZ},5=(-1,3),则4口3=()

A.(—1,3)B.{—1,1,2}C.(―3,3)D.{0,1,2)

2.已知名则同=()

A.OB.1C.^2D.2

3.某市某月19天的空气质量指数如下：10,14/6,18,23,25,35,36,40,40则这组数据的第30百分位数是

()

A.16B.17C.18D.20.5

4.如图，平行四边形是水平放置的四边形。45c的直观图,O'C'=4,O'H=,6,则四边形

的面积苦=()

/O'Cr

A.4赤B.题因C.876D.16〃

5.若工〉0，y>0,且,+'=l,则4x+y的最小值为()

xy

A.2+2>/3B-3+26C.5D.9

6.在边长为1的等边三角形△48C中，力仄4d的值为（）

A.--B.iC._正D.叵

2222

7.己知加，&/是三条不同的直线，。，夕小是三个不重合的平面，则下列说法正确的是（）

A.aU，ac0=l,则/_!_/

B.血与歌异面，/1加J则不存在优，使得/_La,阳//。,〃//a

c.加//a,〃//6,al夕，则加1〃

D,4,〃la,则〃〃尸

8.掷两枚质地均匀的骰子各一次，在已知两枚骰子出现的点数不一样的条件下，则两枚骰子的点数之差的

绝对值大于3的概率为（）

、1n5,、1c1

A.—B.-C.-D.—

5563

二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符

合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得。分.

9.若复数z=/w-4-Mi（加eR），则（）

A.当z为实数时，m=0

B.当z为纯虚数时，加=4

c当Z的实部与虚部相等时，z=2-2i

D.z在更平面内对应的点不可能位于第一象限

io.下列命题正确的是（）

A,若事件48,C两两互斥，则?（力UBUC）=P（/）+P（邛+P（C）成立.

B.若事件4伉。两两独立，则尸（43C）=P（/）P（3）P（。）成立.

C.若事件44相互独立，则《与芬也相互独立.

D.若P（4）＞0,P（8）＞0,则事件4,3相互独立与43互斥不能同时成立.

11.如图，△/AC为边长为2的等边三角形，以力。的中点。为圆心，1为半径作一个半圆，点?为此半

圆弧上的一个动点，则下列说法正确的是（）

A

Q

BC

A.BO=-BA+-BC

22

BBAB()=3

C.3万的最大值为3+J?

D.若BP=xB4+yBC，则x+V的最大值为皆以

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知球的体积为36兀，则该球的半径为.

13.甲、乙两人独立地解同一道题，甲、乙解对此题的概率分别是2,白，那么两人都解错的概率是

35

14.在正四棱柱43CQ—44GA中，=243=8,点.疗是棱。。的中点，平面截正四棱柱

所得截面的面积为.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

15.设函数/(x)=2sin(5+0),其中。>0,0<9<±已知/(x)的最小正周期为花，且

2

f(0)=43.

(1)求/(x)的解析式及/(x)的对称轴；

(2)若/(X)在区间一；,m上的值域为「一百,21求加的取值范围

JL」

16.某家电公司销售部门共有200名销售员，每年部门对每名销售员都有1利窥万元的年度销售任务.已知

这200名销售员去年完成的销售额都在区间[2,22](单位：百万元)内，现将其分成5组，第1组、第2

组、第3组、第4组、第5组对应的区间分别为[2,6),[6,10),[10/4),[14,18),|18,22],并绘制出

如下的频率分布直方图.

t频率/组距

0.09-------1-

0.02-厂

“；篙0141822完6销售额/百万元

（1）求线的值，并计算完成年度任务的人数：

（2）用分层抽样的方法从这200名俏售员中抽取容量为2s的样本，求这5组分别应抽取的人数；

（3）现从（2）中完成年度任务的销售员中随机选取2名，奖励海南三亚三日游，求获得此奖励的,为名销

售员在同一组的概率.

17.已知“BC的内角的对边分别为a,b,c,且acosB=（2c-b）cos4

（1）求角/的大小；

（2）若1=4,求△/SC面积的最大值.

应如图.在三棱柱力"。一4qC；中,侧棱力4，底面力/?13。,冷为力。的中点.

（1）求证：/4〃平面8Go

（2）求证：发沙，平面力4G。

（3）求直线sc;与平面44G。所成角的大小.

19.在平面直角坐标系xQy中，已知点4（1,2）,3（3,4）,C（2,0）.

（1）若向量上缜〃+求实数能的值；

（2）若点P（x,y）在边4。上，且力户1次3求X/的值；

（3）若〃［石,石J,AQ=AB+A,AC^且P0148,求实数总的值.

2026年春季期期末学科素养检测(二)

高一年级数学

(考试时间：120分钟满分：150分)

注意事项：

1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改

动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.

3.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效.

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

1.设集合/={x|—3<x<3,xwZ},5=(-1,3),则4口3=()

A.(—1,3)B.{—1,1,2}C.(―3,3)D.{0,1,2)

【答案】D

【解析】

【详解】由题意知：集合/={X|-3<X<3,XWZ}={-2,-1,0,1,2},8=(-1,3),

所以4c3={01,2}

2.已知彭e冰=1.工则同二()

A.0B.IC..^2D.2

【答案】C

【解析】

【分析】利用共物复数的定义及复数模的计算公式，求解即可.

【详解】由碧三得夏日U=i，

因此团=心+㈠了=〃

3.某市某月J电天的空气质量指数如下：10,14/6,18,23,25,35,36,40,40则这组数据的第曳［百分位数是

()

A.16B.17C.D.20.5

【答案】B

【解析】

【详解】已知数据升序排列为：10,14,16,18,23,25,35,36,40,40,样本量为〃=10,

第30百分位数的位置为：i=〃〃=10x0.3=3,

二二为整数时，笫P百分位数取笫i和第项数据的平均值，

...第30百分位数为：史竺=17.

2

4.如图，平行四边形O'HZTC'是水平放置的四边形044。的直观图，O'C'=4，()'/=则四边形

C.876D.1676

【答案】C

【解析】

【分析】先求出平行四边形O‘HB'C'的面积，再根据S膜=2&S汽直接求解.

由、IL

【详解】因为四边形o'wzr。'是平行四边形，且o'c'=4,()/=后

所以平行四边形面积s,（=OCxO'/fXsin45°=4X遥X注=4百

112

根据直观图与原图面积关系Sid=215’，

PI"IL

所以几=2JI%=2&X4Ji=8«.

MIL

故选:c

5.若x>0，y>0,且1+上=1,则4x+y的最小值为（）

xy

A.2+2百B.3+2eC.5D.9

【答案】D

【解析】

【分析】由条件可得44十^=（4%十力仕+,]=5+竺+2,利用基本不等式求其最小值.

y）yx

八ii,

【详解】由题意，x>0，歹>0,一+—=1,

xy

^4x+y=（4x+y）-+—=5+—+—>5+2/—•—=5+4=9,

y）yx\yx

4xy1|3

当且仅当一=-,即y=2x时，代入一+—=1解得x=-,y=3时等号成立

yxxy2

则4x+y的最小值为学

6.在边长为1的等边三角形△4BC中，力仄8d的值为（）

A.--B.i-C.一直D.正

2222

【答案】A

【解析】

【分析】利用向量数量积的定义式可求答案.

【详解】因为△/SC是边长为1的等边三角形，所以

ABBC=cos（7t-ZABC）=1x1x--

I2J2

7.已知力,〃,/是三条不同的直线，。，夕/是三个不重合的平面，则下列说法正确的是（）

A.a1八。ly,acp=l,则/JLy

B.唐与〃异面，/1加」1%则不存在斑，使得/_La,第〃。*〃a

C.加//a,〃〃小al/，则加1〃

D.m1a,m1p.n1a>则〃〃〃

【答案】A

【解析】

【分析】由直线与平面、平面与平面的位置关系对选项一一判断即可得出答案.

【详解】对于A,因为aly,夕1/℃夕=/,如下图，

若a,4,y分别为而力。"4、而CDQ©、而力BCD，日/为

显然1面45CZ），则/JLr故A正确；

对于B,如下图，44为直线加，"G为直线aR4为直线3

取42，/O,8C,4G的中点A/,N,E,G连接MN,NE,EF,FM,

所以四边形MNF£为籍，存在藤，使得/1%加〃％〃〃],故B错误;

对于C,若加〃则阳/相交、平行、异面，所以C错误；

对于D.若加_1_。,加_!_£,，_La.则所以D错误.

故选：A.

8.掷两枚质地均匀的骰子各一次，在已知两枚骰子出现的点数不一样的条件下，则两枚骰子的点数之差的

绝对值大于3的概率为（）

5563

【答案】A

【解析】

【分析】求出满足两枚骰子出现的点数不一样的基本事件个数，再求出两枚骰子的点数之差的绝对值大于3

的基本事件个数，利用古典概型求解.

【详解】掷两枚质地均匀的骰子各一次，共有6x6二36个基本事件，

去掉点数一样的基本事件（1,1）,（2,2）,（3,3）,（4,4）,（5,5）,（6,6）,

得到两枚骰子出现的点数不一样的基本事件还有30个，

其中两枚骰子的点数之差的绝对值大于3的基本事件有（1,5）,（5,1）,（1,6）,（6,1）,（2,6）,（6,2）,共6个，

由古典概型可得，=9=1.

305

故选:A

二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符

合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得。分.

9.若复数z=加一4一加i（加eR）,贝I（）

A.当z为实数时，m=0

B.当z为纯虚数时，加=4

C.当Z的实部与虚部相等时，z=2-2i

D.2在更平面内对应的点不可能位于第一象限

【答案】ABD

【解析】

【分析】根据给定条件，利用复数有相关概念及几何意义逐项判断.

【详解】对于A,复数z二加一4一加i是实数，则m=0,A正确；

*4=0

对于B,当z为纯虚数时，，则脚=4,B正确；

—m*0

对于C,当z的实部与虚部相等时，加一4二一加，解得机=2，z=-2-2i，则）=-2+2i，C错误；

[?w-4>0fw>4

对于D,当z在复平面内对应的点位于第一象限时，\，即《，无解，

[-m>0[w<0

因此Z在复平面内对应的点不可能位于第一象限，D正确.

故选：ABD

10.下列命题正确的是（）

A.若事件48,C两两互斥，则尸（力UBU。）=P（4）+P（8）+P（。）成立.

B.若事件4B,C两两独立，则P（/5C）=P（4）P（B）P（C）成立.

C.若事件相互独立，则3与芬也相互独立.

D.若P（4）>0,P（3）>0,则事件44相互独立与44互斥不能同时成立.

【答案】ACD

【解析】

【分析】利用互斥事件的概率公式可判断选项A；举反例判断选项B；利用事件相互独立的判定公式判断

选项C,利用事件的独立性质和互斥判断选项D.

【详解】对于A选项，若事件43,C两两互斥，则ZU3与4互斥，

所以，P（AuBuC）=P（AuB）+P（C）=P（B}+P（C）,因此A正确;

对于B，考虑投掷两个骰子，记事件/.：第一个骰子的点数为奇数，

事件发：第二个骰子点数为奇数，事件C"：两个骰子的点数之和为奇数，

于是有p（j）=p（j5）=P（c）=-,P（AB）=P（Z?C）=P（AC）=一,

24

P（4BC）=0,可以看出事件43,C两两独立，但43,C不互相独立，

所以P（力，C'）=因此B错误；

对于C,若事件4A相互独立，则P（43）=P（4）P（5）,

又P（1）=l-P（4）,P倒）=1一尸（8）,

则尸（前）=1一0（"B）=l-7⑷一尸（8）+尸（45）

=[|一P（J）][|-P（3）]=A）,因此c正确；

对于D,若P（4）＞0,〃（"）＞0,事件44相互独立，

则P（4B）=P（4）P（B）＞0,

若4,B互斥,则P（48）=0,因此D正确.

故选：ACD.

II.如图，△43c为边长为2的等边三角形，以4C的中点户为圆心，1为半径作一个半圆，点p为此半

圆孤上的一个动点，则下列说法正确的是（）

22

B-BAB（）=3

C.8户id的最大值为3+G

3

【答案】ABD

【解析】

【分析】由向量的线性运算可判断A；由数量积的定义可判断B：以淤为坐标原点，建立平面直角坐标系,

结合三角函数的性质可判断C；将目标式子转换为三角函数即可判断D.

【详解】对于A,由题意得==

2

=BC^BA-BC)=^BA+^BC,故A正确；

对于B,由A知，BO=-BA+-BC,

22

-,--•--•]--1—二、1---2]---—二

则BA•BO=BA•BA+—BC)=—BA+-BABC

2222

=-x4+—x2x2-cos600=2+1=3,故B正确:

22

------3

所以•4C=2(1+cos。)=3+2cos〃，

当0=0。时，的最大值为5,故C错误；

对于D,由题意得3户=j+cos6>,y-+sin/9,

可得xBA+yBC=1,Vlx)+(2y,0)=(x+2y,,

因为B"=xB/i+yBd，所以x+y=；(x+2y)+/-y/3x

Ip竹牝sin。］

212

62

(\(c、

=1侬。+与11。+1=立71

sin0+-+1,--<0<—,

263I3J；I33J

因为一IT上Z二7F=0«。+7T24兀，

333

所以当0=4时，x+y='3sin/e+工1+1取得最大值色口，故D正确.

6Z3L3；3

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知球的体积为36兀，则该球的半径为.

【答案】3

【解析】

【分析】直接利用球的体积公式即可求得.

【详解】设该球的半径为八则夕=也1=36乃，解得：r=3.

3

故答案为：3.

24

13.甲、乙两人独立地解同一道题，甲、乙解对此题的概率分别是W，匚，那么两人都解错的概率是

35

【答案】

£

15

【解析】

【分析】设甲、乙解对题分别为事件从刀，根据对立事件结合独立事件概率乘法公式运算求解.

【详解】设甲、乙解对题分别为事件44,则事件两人都解错可表示为/芯

则P（N）=1,P（3）=］可得P（1）=:，P⑻=：

JJJJ

所以事件两人都解错的概率是P（1月）=P（^）P（B）=-x-=p

14.在正四棱柱—中，=248=8,点,V是棱。。的中点，平面截正四棱柱

ABCD-44C；"所得截面的面积为.

【答案】1673

【解析】

【分析】设平面4，c交A用于点用可知平面4〃c截正四棱柱/伙:。一4修02所得截面为平面

A.ECH,推导出点官为直方的中点，计算得知四边形"EC”是边长为强巨的菱形，并求出菱形4月。〃

的对角线长，由此可求得该截面的面积.

BC

在正四棱柱44GA中，

因为平面4R。力〃平面用弓。“，平面4，cn平面4"。4=4，,平面4，cn平面

B©CB=EC,

所以4〃〃EC,同理可证4E〃”C,

所以四边形4〃C£是平行四边形，

在□△CQ〃中，CD=DH=4.CH=yJCD2+DH2=742+42=4>/2»

同理4"=4E=EC=4X/L

截面％ECH是边长为强与的菱形，

EH=BD=yj42+42=4x/2»A.C=^42+42+82=4>/6»

所以截面面积S=：E〃x4c=：x4也x4#=16

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

15.设函数/(x)=2sin(0r+e),其中0>0,0<。<色.已知/(x)的最小正周期为兀，且

2

/(0)=A

(1)求/(x)的解析式及/(x)的对称轴:

(2)若/(x)江区问:，加上的值域为1—6,21求加的取值范围

【答案】(1)/(x)=2sin(2x+yLx=—+—,keZ

122

It71

(2)

12,2

【解析】

【分析】(1)根据最小正周期求出然，根据/(O)=⑺求出°,即可得到/(x)的解析式，令

2x+-=^+kn,kwZ即可求出/(X)的对称轴•

(2)根据--,w求得2%+4€--,2w+-,结合正弦函数图象即可求出答案.

3J333_

【小问1详解】

因为的最小正周期为兀,

所以一=兀，解得0=2，

0)

又因为/(O)=2sin°=JL即sin°=等，且。<夕后,

所以夕=；，

(冗、

所以/(x)的解析式为/(x)=2sin2x+-,

<3,

jrjrjrKTV

令2x+—=—+女兀火wZ,解得工=一+一,kwZ,

32122

所以/(x)的对称轴为x=^+,火wZ.

【小问2详解】

由(1)知/(x)=2sin2x+：),

jr717tTT

当—,/W时，2x+一£—,2w+-

3J3L33

因为/(x)在区间一条加上的值域为[J5,2],

7tTl4兀717t

所以巳42m+巳《,，解得

233122

所以用的取值范围「2,工]

1122」

16.某家电公司销售部门共有200名销售员，每年部门对每名销售员都有1400万元的年度销售任务.已知

这200名销售员去年完成的销售额都在区间[2,22](单位：百万元)内，现将其分成5组，第1组、第£

组、第3组、第4组、第5组对应的区间分别为[2,6),[6,10),[10,14),[14,18),[18,22],并绘制出

如下的频率分布直方图.

(1)求线的值，并计算完成年度任务的人数:

(2)用分层抽样的方法从这200名销售员中抽取容量为25的样本，求这5组分别应抽取的人数；

(3)现从(2)中完成年度任务的销售员中随机选取2名，奖励海南三亚三日游，求获得此奖励的2名销

售员在同一组的概率.

【答案】(1)。=0.03,完成年度任务的人数为总也

(2)第1组应抽取的人数为2，

第2组应抽取的人数为8，

第3组应抽取的人数为9，

第4组应抽取的人数为3,

第5组应抽取的人数为3；

【解析】

【详解】分析：(I)先根据所有小长方形面积和为1得a,(2)根据分层抽样确定比例，根据比例确定抽样人数,

(3)先利用枚举法确定总事件数，再确定2名销售员在同一组口勺事件数，最后根据古典概型概率公式求结

果.

详解：(1)v(0.02+0.08+0.09+2a)x4=L。=0.03,

完成年度任务的人数为2ax4x200=48.

（2）第1组应抽取的人数为0.02x4x25=2,

第2组应抽取的人数为0.08x4x25=8，

第3组应抽取的人数为0.09x4x25=9，

第1组应抽取的人数为0.03x4x25=3，

第5组应抽取的人数为0.03x4x25=3：

（3）在（2）中完成年度任务的俏售员中，第4组有3人，记这3人分别为舄，4，4：第5组有3

人，记这3人分别为这，国，华；

从这6人中随机选取2名，所有的基本事件为44，44，44，力/”44，

A2132,A2B3,A3B1，43。2，4层，4%，B艮,鸟鸟，共有15个基本事件.

获得此奖励的2名销售员在同一组的基本事件有6个，

故所求概率为9=2.

155

点睛：频率分布直方图中小反方形面积等于对应区间的概率，所有小长方形面积之和为1;频率分布直方图

中组中值与对应区间概率乘积的和为平均数；频率分布直方图中小长方形面积之比等于对应概率之比,也

等于对应频数之比.

17.已知“BC的内角48,C的对边分别为。，4c,J.acosB=（2c-ft）cosA.

（1）求角力的大小；

（2）若〃求人力/?。面积的最大值.

【答案】⑴-

3

⑵也存

【解析】

【分析】（1）由正弦定理的边化角以及三角形三角的关系可得cos/=1,从而得到先d的大小：

2

（2）由余弦定理和某木不等式即可求出6c的范围，再根据三崖形的面积公式求出面积的范围.

【小问1详解】

由题意得“cos"=（2c-6）cos/1=2ccosJ-/>cos由正弦定理得

sinAcosB=2sinCcosJ-sin5cosJ=>sinJcos8+cos/sin8=2sinCcosA，

又因为sinC=sin（九一4-3）=sin（4+3）=sin4cos8+cos4sin3,则有sinC=2sinCcos

1元

由于。£（0,7i）nsinC>0,则有2cos力=1ncos4=—，而4£（0,兀），所以在△/3C中，A=—.

23

【小问2详解】

JT

由（1）得，A=—>根据余弦定理有a?=/+c»2一2力ccos4

3

代入。=4,4=四得42="+c2-2bcx1N26c-6c=6c,即bc416，当且仅当力=c=4时取等号，

32

所以=-bes\n4®因此面积的最大值为

S△An\.2J<-2xl6x—2=A/BC4^3-

18.如图,在三楂柱/3C—44。中，侧棱底面44C，.◎为4C的中点,

AA}=AB=BC=2.

（1）求证：力片〃平面4C；。

（2）求证：强冷，平面44G。

（3）求直线8（；与平面44G。所成角的大小.

【答案】（1）证明见解析

（2）证明见解析（3）-

6

【解析】

【分析】（1）连接4c交5C；于点O,连接0Q,结合正方形的性质，根据三角形的中位线的性质得

OD//AB.,从而利用线面平行的判定定理证明即可；

（2）根据线面垂直的性质定理得力4_L8。，再根据等腰三角形的性质得力Cl8。，最后利用线面垂直

的判定定理证明即可.；

（3）由平面力4G。知直线BC；在平面的射影为。G，根据线面角的定义可知NOC"即

为所求的线面角，根据勾股定理分别求得8D0C；然后在直角三角形。C；B中，求得

tai"DGB=®即可得解.

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【小问1详解】

连接8c交于点O,连接0。,

因为四边形8CG4为正方形，所以"为qc的中点.

因为总为《。的中点，所以。。〃力片.

因为44a平面z?G。，oou平面sqo,所以力与〃平面sqo.

【小问2详解】

由题意可得力4,平面44C，又4行匚平面