7.圆锥曲线中的轨迹问题

1/1微专题圆锥曲线中的轨迹问题曲线C与方程F（x，y）＝0满足两个条件：（1）曲线C上点的坐标都是方程F（x，y）＝0的解；（2）以方程F（x，y）＝0的解为坐标的点都在曲线C上.则称曲线C为方程F（x，y）＝0的曲线，方程F（x，y）＝0为曲线C的方程.定义法（1）（2026·广东佛山质检）若点P（x，y）满足方程（x－1）2＋（y－2）2A.圆 B.椭圆C.双曲线 D.抛物线解析：等式左侧表示点P（x，y）与点（1，2）间的距离，等式右侧表示点P（x，y）到直线3x＋4y＋12＝0的距离，整个等式表示点P（x，y）到点（1，2）的距离和到直线3x＋4y＋12＝0的距离相等，且点（1，2）不在直线3x＋4y＋12＝0上，所以点P轨迹为抛物线.（2）在平面直角坐标系中，已知△ABC的顶点A（－3，0），B（3，0），其内切圆圆心在直线x＝2上，则顶点C的轨迹方程为（A）A.x24－y25＝1（x＞2） B.x29－y2C.x29＋y25＝1（0＜x＜2） D.x29＋y24＝解析：如图，设△ABC与内切圆的切点分别为D，E，F，则有｜AD｜＝｜AE｜＝5，｜BF｜＝｜BE｜＝1，｜CD｜＝｜CF｜，所以｜CA｜－｜CB｜＝5－1＝4.根据双曲线定义，所求轨迹是以A，B为焦点，实轴长为4的双曲线的右支（右顶点除外），即c＝3，a＝2，又c2＝a2＋b2，所以b2＝5，所以顶点C的轨迹方程为x24－y25＝1（x＞2若动点运动的限制条件与某一类圆锥曲线的定义吻合，可直接根据定义建立动点的轨迹方程，利用定义法求轨迹方程时，要看所求轨迹是否是完整的圆、椭圆、双曲线、抛物线，如果不是完整的曲线，则应对其中的变量x或y进行限制.相关点（代入）法（1）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（1，2），B是一动点，直线OA，OB，AB的斜率分别为k1，k2，k3，且1k1＋1k2＝1k3，记点B的轨迹为E，则曲线E的方程为A.x2＝4y（y≠0且y≠1）B.x2＝－4y（y≠0且y≠1）C.y2＝4x（x≠0且x≠1）D.y2＝－4x（x≠0且x≠1）解析：设B（x，y），因为1k1＋1k2＝1k3，所以12＋xy＝x－1y－2（x≠0且x≠1），化简可得y2＝4x（x≠0且x≠1），故曲线E的方程为y（2）（2026·四川内江模拟）已知面积为16的正方形ABCD的顶点A，B分别在x轴和y轴上滑动，O为坐标原点，OP＝34OA＋12OB，则动点P的轨迹方程是（A.x23＋y22＝1 B.xC.x24＋y28＝1 D.x解析：设P（x，y），不妨令A（x1，0），B（0，y2），正方形ABCD的面积为16，则｜AB｜＝4，则x12＋y22＝16，由OP＝34OA＋12OB，可得x＝34x1，y＝12y2，即x如果动点运动的限制条件是一些几何量的等量关系或动点满足的限制条件不容易直接列出等式，这时可用动点坐标表示相关点的坐标，根据相关点所满足的方程求得动点的轨迹方程.交轨法（1）如图，椭圆C0：x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0），动圆C1：x2＋y2＝t12，b＜t1＜a.点A1，点A2分别为椭圆C0的左、右顶点，动圆C1与椭圆C0相交于A，B，C，D四点.则直线AA1与直线A2B的交点M的轨迹方程为x2a2－y2b2解析：设A（x1，y1），B（x1，－y1）.因为A1（－a，0），A2（a，0），所以直线A1A的方程为y＝y1x1＋a（x＋a）①，直线A2B的方程为y＝－y1x1－a（x－a）②.①×②得y2＝－y12x12－a2（x2－a2）③.又点A（x1，y1）在椭圆C0上，所以x12a2＋y12b2＝1，从而（2）〔一题多解〕如图，已知椭圆C：x218＋y29＝1的短轴端点分别为B1，B2，点M是椭圆C上的动点，且不与点B1，点B2重合，点N满足NB1⊥MB1，NB2⊥MB2，则动点N的轨迹方程为y29＋x292解析：法一设直线MB1：y＝kx－3（k≠0），则直线NB1：y＝－1kx－3①.易求得直线MB1与椭圆C：x218＋y29＝1的交点M的坐标为（12k2k2+1，6k2－32k2+1）.则直线MB2的斜率为kMB2＝6k2－32k2+1－法二设N（x，y），M（x0，y0）（x0≠0）.由题意知B1（0，－3），B2（0，3），所以kMB1＝y0+3x0，kMB2＝y0－3x0.因为MB1⊥NB1，MB2⊥NB2，所以直线NB1：y＋3＝－x0y0+3x①，直线NB2：y－3＝－x0y0－3x②，联立①②，解得x＝y02－9x0，y＝－y0.又x如果动点是两条曲线的交点，则其坐标同时满足两条曲线方程，那么消去辅助量即可求得动点的轨迹.1.（2026·广西南宁调研）已知△ABC的周长为12，B（0，－2），C（0，2），则顶点A的轨迹方程为（）A.x212＋y216＝1（x≠0） B.x212＋y2C.x216＋y212＝1（x≠0） D.x216＋y2解析：A∵△ABC的周长为12，顶点B（0，－2），C（0，2），∴｜BC｜＝4，｜AB｜＋｜AC｜＝12－4＝8，∴点A到两个定点的距离之和等于定值，又8＞4，∴点A的轨迹是椭圆，且a＝4，c＝2，∴b2＝12，∴点A的轨迹方程为x212＋y216＝1（2.设P为双曲线x24－y2＝1上的动点，O为坐标原点，M为线段OP的中点，则点M的轨迹方程是（A.x2－4y2＝1 B.4y2－x2＝1C.x2－y24＝1 D.x22－解析：A设M（x，y），由M为线段OP的中点，得P（2x，2y），代入双曲线方程，得（2x）24－（2y）2＝1，即x2－4y2＝3.在平面直角坐标系xOy中，点M的坐标为（－1，2），且OM＋ON＝0，动点P与M，N连线的斜率之积为－12，则动点P的轨迹方程为（A.x22＋2B.x29＋2y29＝1C.x23＋2D.x24＋2y27＝1解析：B因为点M的坐标为（－1，2），且OM＋ON＝0，所以N（1，－2），设P（x，y），则kMP＝y－2x+1，kNP＝y+2x－1（x≠±1），由题意得y－2x+1·y+2x－14.（2026·湖南长沙调研）已知正方体ABCD-A1B1C1D1，Q为上底面A1B1C1D1所在平面内的动点，当直线DQ与DA1的所成角为45°时，点Q的轨迹为（）A.圆 B.直线C.抛物线 D.椭圆解析：C如图，以点D为原点，DA，DC，DD1分别为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，则D（0，0，0），A1（1，0，1），设Q（x，y，1），可得DQ＝（x，y，1），DA1＝（1，0，1），因为直线DQ与DA1的所成角为45°，则cos45°＝｜DQ·DA1｜DQ｜·｜DA15.〔多选〕（2025·浙江温州一模）已知A（－a，0），B（a，0），l1：ax－y＝0，l2：ax＋y＝0，其中a＞1，点P为平面内一点，记点P到l1，l2的距离分别为d1，d2，则下列条件中能使点P的轨迹为椭圆的是（）A.｜PA｜＋｜PB｜＝4a B.｜PA｜2＋｜PB｜2＝4a2C.d1＋d2＝4a D.d12＋d22解析：AD根据椭圆的定义，｜PA｜＋｜PB｜＝4a＞｜AB｜，所以点P的轨迹为椭圆，故A正确；设P（x，y），则由（x＋a）2＋y2＋（x－a）2＋y2＝4a2⇒x2＋y2＝a2，所以点P的轨迹为圆，故B错误；由｜ax－y｜a2+1＋｜ax＋y｜a2+1＝4a⇒｜ax－y｜＋｜ax＋y｜＝4aa2+1，分情况去掉绝对值符号，可知点P的轨迹不是椭圆，故C错误；由（｜ax－y｜a2+1）2＋（｜ax＋y｜a2+1）2＝4a2⇒a2x2＋6.设A1，A2是椭圆x29＋y24＝1与x轴的两个交点，P1，P2是椭圆上垂直于A1A2的弦的端点，则直线A1P1与A2P2交点的轨迹方程为x29－y24＝解析：如图，设直线A1P1与A2P2的交点为P（