8.圆锥曲线的切线与光学性质

1/1微专题圆锥曲线的切线与光学性质圆锥曲线的切线问题1.解决圆锥曲线的切线问题的常用方法（1）几何法：比如求圆的切线，常用圆心到直线的距离等于半径来求解；（2）代数法：比如涉及椭圆的切线问题，常联立直线与椭圆的方程根据Δ＝0来求解；比如涉及抛物线的切线问题，有时也可以通过求导求解.2.圆锥曲线的切线和切点弦的相关结论（1）设P（x0，y0）为圆x2＋y2＝r2上的点，则过该点的切线方程为xx0＋yy0＝r2；（2）设P（x0，y0）为椭圆x2a2＋y2b2＝1上的点，则过该点的切线方程为（3）设P（x0，y0）为双曲线x2a2－y2b2＝1上的点，则过该点的切线方程为（4）设P（x0，y0）为抛物线y2＝2px上的点，则过该点的切线方程为yy0＝p（x＋x0）；（5）设P（x0，y0）为圆x2＋y2＝r2外一点，则切点弦的方程为xx0＋yy0＝r2；（6）设P（x0，y0）为椭圆x2a2＋y2b2＝1外一点，过该点作椭圆的两条切线，切点为A，B，则弦AB的方程为（7）设P（x0，y0）为双曲线x2a2－y2b2＝1外一点，过该点作双曲线的两条切线，切点为A，B，则切点弦AB的方程为（8）设P（x0，y0）为抛物线y2＝2px外一点，过该点作抛物线的两条切线，切点为A，B，则切点弦AB的方程为yy0＝p（x＋x0）.角度1切线问题（1）〔一题多解〕已知椭圆方程为x24＋y23＝1，则该椭圆在点P（1，32）处的切线方程为（A.x－2y＋4＝0 B.2x－y＋4＝0C.x＋2y－4＝0 D.2x＋y－4＝0解析：法一由题意可知切线的斜率存在，所以设切线方程为y－32＝k（x－1），将y－32＝k（x－1）代入x24＋y23＝1中得，3x2＋4［k（x－1）＋32］2＝12，化简整理得（3＋4k2）x2＋（12k－8k2）x＋4k2－12k－3＝0，令Δ＝（12k－8k2）2－4（3＋4k2）（4k2－12k－3）＝0，化简整理得4k2＋4k＋1＝0，解得k＝－12，所以切线方程为y－32＝－12（x－1），法二因为P在第一象限，x24＋y23＝1可化为y＝3·1－x24，y'＝3·－12x21－x24＝－34·x1－x24.k＝y'｜x＝1＝－法三由x2a2＋y2b2＝1的切线方程为x0xa2＋y0yb2＝1，得在点P（1，32）处的切线方程为1（2）抛物线C：y2＝4x的准线为l，l与x轴交于点A，过点A作抛物线的一条切线，切点为B，则△OAB的面积为（C）A.13B.12 C.1D解析：因为抛物线C：y2＝4x的准线为l，所以l的方程为x＝－1，A（－1，0），设过点A的抛物线的一条切线为x＝my－1，m＞0，由x＝my－1，y2=4x，消x得y2－4my＋4＝0，所以Δ＝（－4m）2－4×4＝0，解得m＝1，所以y2－4y＋4＝0，解得y＝2，即yB＝2，同理当m＜0时，｜yB｜＝2，所以△角度2切点弦问题（1）已知抛物线C：x2＝－2py（p＞0）的焦点F与y28＋x24＝1的一个焦点重合，过焦点F的直线与C交于A，B两不同点，抛物线C在A，B两点处的切线相交于点M，且M的横坐标为4，则弦｜AB｜＝（A.16B.26 C.14D.24解析：由题意可得，F（0，－2），则p＝4，抛物线方程为x2＝－8y，准线方程为y＝p2＝2.由题意，直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为y＝kx－2，设A（x1，y1），B（x2，y2），其中y1＝－x128，y2＝－x228，由y＝－x28，得y'＝－x4.∴在点A处的切线方程为y－y1＝－x14（x－x1），化简得y＝－x14x＋x128①，同理可得在点B处的切线方程为y＝－x24x＋x228②，联立①②得xM＝x1＋x22，由M的横坐标为4，得x1＋x2＝8，将AB的方程代入抛物线方程，可得x2＋8kx－16＝0，∴Δ＝64k2＋64＞0，x1＋x2＝－8k＝8，得k＝－1，∴y1＋y2＝k（x1＋x2）－4＝－1×8－4＝－12，则｜AB｜＝｜AF｜＋｜BF｜＝（2）〔一题多解〕已知P（1，1）是双曲线x2－y22＝1外一点，过P引双曲线的两条切线PA，PB，A，B为切点，则直线AB的方程为2x－y－2＝0解析：如图所示，法一根据题意，设切点坐标为A（x1，y1），B（x2，y2），根据结论：若点P0（x0，y0）在双曲线x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）上，则过点P0的双曲线的切线方程是x0xa2－y0yb2＝1.则可得切线PA，PB的方程分别为x1x－y1y2＝1，x2x－y2y2＝1.又因为点P（1，1）在切线上，可得x1－y12＝1，x2－y22＝1.因此A（x1，y1），B（x2，y2）在直线x－法二可直接利用结论：若点P0（x0，y0）在双曲线x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）外，过点P0作双曲线的两条切线，切点为点P1，P2，则切点弦P1P2的直线方程是x0xa2－y0yb2＝1，可得直线AB的方程为x－圆锥曲线的光学性质1.抛物线的光学性质如图1，从抛物线的焦点F发出的光线，被抛物线反射后，得到的是一系列的与抛物线对称轴平行（或重合）的光线；如图2，设抛物线在点P处的切线l交对称轴于点Q，PM⊥切线l交对称轴于点M，则焦点F是QM的中点.2.椭圆的光学性质如图3，从椭圆的一个焦点发出的光线，被椭圆反射后，必定经过另一个焦点；如图4，椭圆在点P处的切线为l，直线PQ⊥l交直线F1F2于点Q，则PQ平分∠F1PF2，由角平分线性质定理，｜PF13.双曲线的光学性质如图5，从双曲线的一个焦点发出的光线，被双曲线反射后，反射光线的反向延长线交于另一个焦点；如图6，双曲线在点P处的切线l与直线F1F2相交于点Q，则PQ平分∠F1PF2，由角平分线性质定理，｜PF1（1）（2026·江西南昌质检）如图所示，椭圆具有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点.已知曲线C：x2＋4y2＝4的左、右焦点分别为F1，F2，直线l与椭圆C相切于点P，且｜PF1｜＝1，过点P与直线l垂直的直线l'与椭圆的长轴交于点M，则｜F1M｜∶｜F2M｜＝（C）A.2∶3 B.1∶2C.1∶3 D.1∶3解析：由椭圆的定义，｜PF1｜＋｜PF2｜＝4，又｜PF1｜＝1，所以｜PF2｜＝3，根据椭圆的光学性质，PM是∠F1PF2的平分线，所以｜F1M｜｜（2）（2026·山东青岛调研）双曲线的光学性质是：从双曲线的一个焦点发出的光线，被双曲线反射后，反射光线的反向延长线交于另一个焦点.已知双曲线C：x216－y29＝1的左、右焦点分别为F1，F2，从F2发出的光线射向C上的点P（8，y0）后被反射，则入射光线与反射光线夹角的余弦值是解析：如图，F1（－5，0），F2（5，0），将P（8，y0）代入x216－y29＝1可得y0＝±33，不妨设P（8，33），则｜PF1｜＝（－5－8）2＋（0－33）2＝14，由双曲线定义，｜PF1｜－｜PF2｜＝8，所以｜PF2｜＝｜PF1｜－8＝6，显然｜F1F2｜＝10，所以cos∠1.过椭圆x212＋y24＝1上的点A（3，－1）作椭圆的切线l，则过A点且与直线lA.x－y－3＝0 B.x＋y－2＝0C.2x＋3y－3＝0 D.3x－y－10＝0解析：B过椭圆x212＋y24＝1上的点A（3，－1）的切线l的方程为3x12＋－y4＝1，即x－y－4＝0，切线l的斜率为1.与直线l垂直的直线的斜率为－1，过A点且与直线l垂直的直线方程为y＋1＝－（x－3），即2.已知过点P（1，2）可作双曲线C：x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）的两条切线，若两个切点分别在双曲线C的左、A.（5，＋∞） B.（1，5）C.（1，3） D.（3，＋∞）解析：B要满足题意，点P（1，2）必须在渐近线y＝bax与y轴围成的区域内，且不能在渐近线及y轴上，所以必须满足ba＜2，所以e＝ca＝a2＋b2a2＝1+（ba）2＜3.在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线x2＝2py（p＞0），单位圆O分别相切于A，B两点，当｜AB｜最小时，p＝（）A.23 B.22C.3 D.2解析：C令A（x0，y0），则｜AB｜＝x02＋y02－1＝y02+2py0－1，y＝x22p，y'＝xp，则k＝x0p，切线为y－y0＝x0p（x－x0），即2x0x－2py－x02＝0，直线又与单位圆相切，则x024x02+4p2＝1，即p＝2y0y02－1，4.抛物线的光学性质：从焦点出发的光线，经过抛物线上的一点（不同于顶点）反射后，反射光线平行于抛物线的轴，现有抛物线C：y2＝2px（p＞0），一平行于x轴的光线射向抛物线，经抛物线两次反射之后，又沿着x轴方向射出，若两平行线间的距离的最小值为8，则抛物线的方程为（）A.y2＝2x B.y2＝4xC.y2＝8x D.y2＝16x解析：C设P（x1，y1），Q（x2，y2），设两平行线间的距离为d，由题意可知，d＝｜y1－y2｜，因为F（p2，0），而直线PQ过点F，则设直线PQ的方程为x＝my＋p2，m∈R，因为y2=2px，x＝my＋p2，消去x得y2－2pmy－p2＝0，由根与系数的关系可得y1＋y2＝2pm，y1y2＝－p2，则d＝｜y1－y2｜＝（y1＋y2）2－4y5.已知椭圆C1：x22＋y2＝1，点B为C1在第一象限中的任意一点，过B作C1的切线l，l分别与x轴和y轴的正半轴交于C，D两点，则△OCD面积的最小值为（A.1B.3 C.2D.2解析：C设B（x1，y1）（x1＞0，y1＞0），由题意得，过点B的切线l的方程为x1x2＋y1y＝1，令y＝0，可得C（2x1，0），令x＝0，可得D（0，1y1），所以△OCD的面积S＝12×2x1×1y1＝1x1y1，又点B在椭圆上，所以x122＋y12＝1，所以S＝1x1y1＝x122＋y12x6.如图，已知点P（x0，y0）是双曲线C1：x24－y23＝1上的点，过点P作椭圆C2：x24＋y23＝1的两条切线，切点为A，B，直线AB交C1的两渐近线于点E，F，O是坐标原点，则解析：椭圆C2关于点P（x0，y0）的切点弦AB的方程为x0x4＋y0y3＝1，即3x0x＋4由3x0x+4y0y=12，y＝32x，解得E（433x0+2y0，637.智慧的人们在进行工业设计时，巧妙地利用了圆锥曲线的光学性质，比如电影放映机利用椭圆镜面反射出聚焦光线，探照灯利用抛物线镜面反射出平行光线.如图所示，从双曲线右焦点F2发出的光线通过双曲线镜面反射出发散光线，且反射光线