20.球的切、接问题

1/120.球的切、接问题1.（2022·新高考Ⅱ卷7题）已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为33和43，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（）A.100π B.128πC.144π D.192π解析：A由题意，得正三棱台上、下底面的外接圆的半径分别为23×32×33＝3，23×32×43＝4.设该棱台上、下底面的外接圆的圆心分别为O1，O2，连接O1O2，则O1O2＝1，其外接球的球心O在直线O1O2上.设球O的半径为R，当球心O在线段O1O2上时，R2＝32＋OO12＝42＋（1－OO1）2，解得OO1＝4（舍去）；当球心O不在线段O1O2上时，R2＝42＋OO22＝32＋（1＋OO2）2，解得OO2＝3，所以R2＝25，所以该球的表面积为4π2.（2020·全国Ⅰ卷10题）已知A，B，C为球O的球面上的三个点，☉O1为△ABC的外接圆.若☉O1的面积为4π，AB＝BC＝AC＝OO1，则球O的表面积为（）A.64π B.48πC.36π D.32π解析：A如图所示，设球O的半径为R，☉O1的半径为r，因为☉O1的面积为4π，所以4π＝πr2，解得r＝2，又AB＝BC＝AC＝OO1，所以ABsin60°＝2r，解得AB＝23，故OO1＝23，所以R2＝OO12＋r2＝（23）2＋22＝16，所以球O的表面积S＝4πR2＝64π3.（2021·全国甲卷11题）已知A，B，C是半径为1的球O的球面上的三个点，且AC⊥BC，AC＝BC＝1，则三棱锥O-ABC的体积为（）A.212 B.C.24 D.解析：A如图所示，因为AC⊥BC，所以AB为截面圆O1的直径，且AB＝2.连接OO1，则OO1⊥面ABC，OO1＝1－AB22＝1－222＝22，所以三棱锥O-ABC的体积V＝13S△ABC×OO1＝134.（2022·全国乙卷9题）已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（）A.13 B.C.33 D.解析：C法一（特殊法）不妨设四棱锥的底面是正方形，边长为a，底面正方形外接圆的半径为r，则r＝22a，四棱锥的高h＝1－a22，所以四棱锥的体积V＝13a21－a22＝43a24·a241－a22≤43a24＋a24法二（导数法）设四棱锥的底面是正方形，底面正方形外接圆的半径为r，四棱锥的高为h，则r2＋h2＝1，r＝1－h2，正方形的边长为2r＝21－h2，所以四棱锥的体积V＝13Sh＝23（1－h2）h＝f（h）＝－h3＋h（0＜h＜1），则f'（h）＝－3h2＋1，令f'（h）＝－3h2＋1＝0，得h＝33，所以f（h）在0，33上单调递增，在33，1上单调递减，所以当h＝33时，f（h）取得最大值，法三（转化法）该四棱锥的体积最大即以底面截球的圆面和顶点O组成的圆锥体积最大，设圆锥的高为h（0＜h＜1），底面半径为r，则圆锥的体积V＝13πr2h＝13π（1－h2）h，则V'＝13π（1－3h2），令V'＝13π（1－3h2）＝0，得h＝33，所以V＝13π（1－h2）h在0，33上单调递增，在33，1上单调递减5.（2022·新高考Ⅰ卷8题）已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为36π，且3≤l≤33，则该正四棱锥体积的取值范围是（）A.18，814C.274，64解析：C如图，设该球的球心为O，半径为R，正四棱锥的底边长为a，高为h，依题意，得36π＝43πR3，解得R＝3.由题意及图可得解得h法一所以正四棱锥的体积V＝13a2h＝132l2－l418×l26＝l4182－l218（3≤l≤33），所以V'＝49l3－l554＝19l34－l26（3≤l≤33），令V'＝0，得l＝26，所以当3≤l＜26时，V'＞0；当26＜l≤33时，V'＜0，所以函数V＝l4182－l218（3≤l≤33）在[3，26）上单调递增，在（26，33]上单调递减，又当l＝3法二因为3≤l≤33，所以该正四棱锥的体积V＝13a2h＝132l2－l418×l26＝l4182－l218＝72×l236·l236·2－l218≤72×l236＋l法三如图，设OO'＝x.在Rt△OO'A中，由勾股定理，得O'A＝9－x2，所以正四棱锥的体积V＝13O'P·S正方形ABCD＝23（3＋x）（9－x2）.在Rt△O'AP中，由勾股定理，得（3＋x）2＋（9－x2）＝l2，即x＝l2－186.因为3≤l≤33，所以－32≤x≤32.因为V（x）＝23（－x3－3x2＋9x＋27），所以V'（x）＝2（－x2－2x＋3）.易得V（x）在－32，1上单调递增，在1，32上单调递减，所以V（x）max＝V（1）＝643.因为V－32＝274＜V6.（多选）（2023·新高考Ⅰ卷12题）下列物体中，能够被整体放入棱长为1（单位：m）的正方体容器（容器壁厚度忽略不计）内的有（）A.直径为0.99m的球体B.所有棱长均为1.4m的四面体C.底面直径为0.01m，高为1.8m的圆柱体D.底面直径为1.2m，高为0.01m的圆柱体解析：ABD棱长为1m的正方体的内切球的直径为1m，1m＞0.99m，所以A符合题意；如图①，在棱长为1m的正方体中，正四面体A1-BDC1的棱长为2m，2m＞1.4m，所以B符合题意；因为棱长为1m的正方体上任意两点间的最大距离为正方体的体对角线长3m≈1.732m，而3m＜1.8m，所以C不符合题意；如图②，假设放入最大的圆柱的上、下底面圆心为P，Q，设圆柱底面半径为rm，底面直径为dm，连接AC1，如图③，在平面AB1C1D中，过Q作QE⊥AC1，交AB1于点E，则QE＝rm，AQ＝2rm，PQ＝3－22r＝（3－2d）m，当d＝1.2时，PQ＝3－2×1.2≈1.732－1.414×1.2≈0.035m＞0.01m，故D符合题意.故选A、B、D.7.（2023·全国甲卷15题）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为AB，C1D1的中点.以EF为直径的球的球面与该正方体的棱共有个公共点.答案：12解析：如图，线段EF过正方体的中心，所以以EF为直径的球的球心即正方体的中心，球的半径为EF2，而正方体的中心到每一条棱的距离均为EF2，所以以EF为直径的球与每一条棱均相切，所以共有128.（2025·全国Ⅱ卷14题）一个底面半径为4cm，高为9cm的封闭圆柱形容器（容器壁厚度忽略不计）内有两个半径相等的铁球，则铁球半径的最大值为cm.答案：2.5解析：设铁球半径为rcm，若两个铁球的球心在竖直方向上，且分别与两个底面相切，则铁球球心与圆柱上、下底面的距离均为r，此时铁球的半径为94cm.当两球球心不在竖直方向上时，设两个铁球的球心分别为O1，O2，此种情况下，当铁球半径最大时，如图1所示，圆柱与两铁球的轴截面如图2所示，其中ABCD为