21.空间位置关系的判定与性质

1/121.空间位置关系的判定与性质1.（2024·全国甲卷10题）设α，β为两个平面，m，n为两条直线，且α∩β＝m，下述四个命题：①若m∥n，则n∥α或n∥β②若m⊥n，则n⊥α或n⊥β③若n∥α且n∥β，则m∥n④若n与α，β所成的角相等，则m⊥n其中所有真命题的编号是（）A.①③ B.②④C.①②③ D.①③④解析：Aα∩β＝m，则m⊂α，m⊂β，对于①，若m∥n，则n∥α或n∥β，①正确；对于②，若m⊥n，则可能n∥α或n与α相交，②错误；对于③，若n∥α且n∥β，则n∥m，③正确；对于④，n与m所成角可以为［0，π2］内的任意角，④错误，故选A2.（2022·全国乙卷7题）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为AB，BC的中点，则（）A.平面B1EF⊥平面BDD1 B.平面B1EF⊥平面A1BDC.平面B1EF∥平面A1AC D.平面B1EF∥平面A1C1D解析：A如图，对于选项A，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，因为E，F分别为AB，BC的中点，所以EF∥AC，又AC⊥BD，所以EF⊥BD，又易知DD1⊥EF，BD∩DD1＝D，从而EF⊥平面BDD1，又EF⊂平面B1EF，所以平面B1EF⊥平面BDD1，故选项A正确；对于选项B，因为平面A1BD∩平面BDD1＝BD，所以由选项A知，平面B1EF⊥平面A1BD不成立，故选项B错误；对于选项C，由题意知直线AA1与直线B1E必相交，故平面B1EF与平面A1AC不平行，故选项C错误；对于选项D，连接AB1，B1C，易知平面AB1C∥平面A1C1D，又平面AB1C与平面B1EF有公共点B1，所以平面A1C1D与平面B1EF不平行，故选项D错误.故选A.3.（2018·全国Ⅰ卷12题）已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为（）A.334 BC.324 D解析：A如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，平面AB1D1与棱A1A，A1B1，A1D1所成的角都相等，又正方体的其余棱都分别与A1A，A1B1，A1D1平行，故正方体ABCD-A1B1C1D1的每条棱所在直线与平面AB1D1所成的角都相等.如图所示，取棱AB，BB1，B1C1，C1D1，D1D，DA的中点E，F，G，H，M，N，则正六边形EFGHMN所在平面与平面AB1D1平行且面积最大，此截面面积为S正六边形EFGHMN＝6×12×22×22×sin60°＝334.〔多选〕（2025·全国Ⅰ卷9题）在正三棱柱ABC-A1B1C1中，D为BC的中点，则（）A.AD⊥A1CB.B1C1⊥平面AA1DC.AD∥A1B1D.CC1∥平面AA1D解析：BDA.由三棱柱的性质可知，AA1⊥平面ABC，则AA1⊥AD，假设AD⊥A1C，又AA1∩A1C＝A1，AA1，A1C⊂平面AA1C1C，所以AD⊥平面AA1C1C，矛盾，所以AD与A1C不垂直，故A错误；B.因为三棱柱ABC-A1B1C1是正三棱柱，所以AA1⊥平面ABC，则AA1⊥BC，因为D为BC的中点，AC＝AB，所以AD⊥BC，又AD∩AA1＝A，AD，AA1⊂平面AA1D，所以BC⊥平面AA1D，又BC∥B1C1，所以B1C1⊥平面AA1D，故B正确；C.AB∥A1B1，AD与AB相交，所以AD与A1B1异面，故C错误；D.CC1∥AA1，CC1⊄平面AA1D，AA1⊂平面AA1D，所以CC1∥平面AA1D，故D正确.故选B、D.5.（多选）（2021·新高考Ⅱ卷10题）如图，在正方体中，O为底面的中心，P为所在棱的中点，M，N为正方体的顶点.则满足MN⊥OP的是（）解析：选BC由三垂线定理易知BC正确.6.（2017·全国Ⅰ卷6题）如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是（）解析：A法一对于选项B，如图所示，连接CD，因为AB∥CD，M，Q分别是所在棱的中点，所以MQ∥CD，所以AB∥MQ.又AB⊄平面MNQ，MQ⊂平面MNQ，所以AB∥平面MNQ.同理可证选项C、D中均有AB∥平面MNQ.故选A.法二对于选项A，设正方体的底面对角线的交点为O（如图所示），连接OQ，则OQ∥AB.因为OQ与平面MNQ有交点，所以AB与平面MNQ有交点，即AB与平面MNQ不平行，根据直线与平面平行的判定定理及三角形的中位线性质知，选项B、C、D中AB∥平面MNQ.故选A.7.（多选）（2021·新高考Ⅰ卷12题）在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝AA1＝1，点P满足BP＝λBC＋μ，其中λ∈[0，1]，μ∈[0，1]，则（）A.当λ＝1时，△AB1P的周长为定值B.当μ＝1时，三棱锥P-A1BC的体积为定值C.当λ＝12时，有且仅有一个点P，使得A1P⊥D.当μ＝12时，有且仅有一个点P，使得A1B⊥平面AB1解析：选BDBP＝λBC＋μ（0≤λ≤1，0≤μ≤1）.对于选项A，当λ＝1时，点P在棱CC1上运动，如图①所示，此时△AB1P的周长为AB1＋AP＋PB1＝2＋1+μ2＋1+（1－μ）2＝2＋1+对于选项B，当μ＝1时，点P在棱B1C1上运动，如图②所示，则VP-A1BC＝VA1-PBC＝13S△PBC×32＝36S△PBC＝36×1对于选项C，取BC的中点D，B1C1的中点D1，连接DD1，A1B，则当λ＝12时，点P在线段DD1上运动，假设A1P⊥BP，则A1P2＋BP2＝A1B2，即322＋（1－μ）2＋122＋μ2＝2，解得μ＝0或μ＝1，所以点P与点D或D1重合时，A1P⊥BP法一（优解）由多