2025年高考数学数列与导数专题训练试卷：数列问题解决方法

2025年高考数学数列与导数专题训练试卷：数列问题解决方法考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知等差数列{a_n}中，a_1=3，a_4+a_7=18，则该数列的公差d等于（）A.1B.2C.3D.42.设等比数列{b_n}的前n项和为S_n，若b_2=6，S_4=39，则b_4的值等于（）A.12B.18C.24D.363.在等差数列{a_n}中，若a_5=10，a_10=25，则a_15等于（）A.30B.35C.40D.454.已知数列{c_n}的递推公式为c_{n+1}=c_n+n，且c_1=1，则c_5等于（）A.15B.20C.25D.305.设数列{d_n}的通项公式为d_n=(-1)^(n+1)*(n+1)/n，则该数列的前10项和等于（）A.1B.2C.3D.46.已知数列{e_n}满足e_1=1，e_{n+1}=2e_n+1（n≥1），则数列{e_n}的通项公式为（）A.e_n=2^n-1B.e_n=2^n+1C.e_n=n^2D.e_n=n^2-17.若数列{f_n}的前n项和S_n=n^2+n，则f_3的值等于（）A.7B.9C.11D.138.函数f(x)=x^3-3x在区间(-2,2)上的最小值等于（）A.-4B.-2C.0D.2二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。9.已知等差数列{a_n}的公差d=2，若a_3+a_7=18，则a_6的值等于________。10.设等比数列{b_n}的首项b_1=2，公比q=3，则b_5=________。11.已知数列{c_n}的递推公式为c_{n+1}=c_n/(c_n+1)，且c_1=2，则c_2=________，c_3=________。12.若数列{d_n}的通项公式为d_n=n(n+1)，则数列{d_n}的前n项和S_n=________。13.函数f(x)=x^3-ax^2+bx在x=1处取得极值，且该极值为-1，则a+b=________。14.已知数列{e_n}的前n项和S_n=n^2-n+1，则数列{e_n}的通项公式e_n=________（用n表示）。三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15.（本小题满分12分）已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且a_3=7，S_5=35。(1)求数列{a_n}的通项公式；(2)设b_n=a_n/(2^n)，求数列{b_n}的前n项和T_n。16.（本小题满分12分）已知数列{c_n}的递推公式为c_{n+1}=4c_n-3n^2（n≥1），且c_1=2。(1)证明：数列{c_n+n^2}是等比数列；(2)求数列{c_n}的通项公式。17.（本小题满分14分）已知数列{d_n}的前n项和S_n=n^2+2n。(1)求数列{d_n}的通项公式；(2)记a_n=d_n*(-1)^(n+1)，求数列{a_n}的前n项和A_n。18.（本小题满分14分）已知函数f(x)=x^3-3x^2+2。(1)求函数f(x)的单调区间；(2)设数列{b_n}的通项公式为b_n=f(n)，求数列{b_n}的前n项和S_n。并判断S_n是否有最大值，若有，求出最大值。19.（本小题满分16分）已知数列{e_n}的递推公式为e_{n+1}=e_n+(n+1)/e_n（n≥1），且e_1=2。(1)证明：数列{e_n}是单调递增的；(2)证明：数列{e_n}是无界数列。20.（本小题满分16分）已知数列{a_n}的前n项和S_n=n^2+bn，且数列{a_n}是等差数列。(1)求实数b的值；(2)设T_n=n*a_n，求数列{T_n}的前n项和G_n。并利用导数证明：G_n在n≥2时单调递增。试卷答案1.B2.C3.D4.C5.B6.A7.B8.A9.1410.4811.1/3,1/612.n(n+1)(n+2)/313.-514.n^2-n+1(n≥1)15.(1)解：设等差数列{a_n}的公差为d。由a_3=7，得a_1+2d=7。由S_5=35，得5a_1+10d=35。解得a_1=1，d=3。所以a_n=1+(n-1)*3=3n-2。(2)解：b_n=(3n-2)/(2^n)。T_n=1/2+4/2^2+7/2^3+...+(3n-2)/2^n。1/2*T_n=1/2^2+4/2^3+7/2^4+...+(3n-5)/2^n+(3n-2)/2^(n+1)。T_n-1/2*T_n=1/2+3(1/2^2+1/2^3+...+1/2^n)-(3n-2)/2^(n+1)=1/2+3*(1/4*(1-1/2^(n-1)))-(3n-2)/2^(n+1)=1/2+3/4*(1-1/2^(n-1))-(3n-2)/2^(n+1)=1/2+3/4-3/4*1/2^(n-1)-(3n-2)/2^(n+1)=5/4-(3n+4)/4*1/2^n。所以T_n=5/4-(3n+4)/(4*2^n)。16.(1)证明：设d_n=c_n+n^2。则d_{n+1}=c_{n+1}+(n+1)^2=(4c_n-3n^2)+(n+1)^2=4c_n-3n^2+n^2+2n+1=4(c_n+n^2)=4d_n。又d_1=c_1+1^2=2+1=3。所以数列{d_n}是首项为3，公比为4的等比数列。(2)解：由(1)得d_n=3*4^(n-1)。即c_n+n^2=3*4^(n-1)。所以c_n=3*4^(n-1)-n^2。17.(1)解：当n=1时，d_1=S_1=1^2+2*1=3。当n≥2时，d_n=S_n-S_(n-1)=n^2+2n-[(n-1)^2+2(n-1)]=n^2+2n-(n^2-2n+1+2n-2)=2n+1。当n=1时，2*1+1=3，符合上式。所以d_n=2n+1(n≥1)。(2)解：a_n=d_n*(-1)^(n+1)=(2n+1)*(-1)^(n+1)。A_n=a_1+a_2+...+a_n=(3-5+7-9+...+(-1)^(n+1)*(2n+1))。当n为偶数时，设n=2k，A_n=(3-5)+(7-9)+...+[(4k-1)-(4k+1)]=-2+(-2)+...+(-2)(共k项)=-2k=-n。当n为奇数时，设n=2k+1，A_n=A_(2k)+a_(2k+1)=-2k+(2(2k+1)+1)*(-1)^(2k+2)=-2k+(4k+3)=2k+3=n+2。综上，A_n=(-1)^(n+1)*n+2。18.(1)解：f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)。令f'(x)=0，得x=0或x=2。当x∈(-∞,0)时，f'(x)>0，函数f(x)单调递增。当x∈(0,2)时，f'(x)<0，函数f(x)单调递减。当x∈(2,+∞)时，f'(x)>0，函数f(x)单调递增。所以函数f(x)的单调增区间为(-∞,0)和(2,+∞)。单调减区间为(0,2)。(2)解：b_n=f(n)=n^3-3n^2+2。S_n=1^3-3*1^2+2+2^3-3*2^2+2+...+n^3-3n^2+2=(1^3+2^3+...+n^3)-3(1^2+2^2+...+n^2)+2n=(n(n+1)/2)^2-3*(n(n+1)(2n+1)/6)+2n=n^2(n+1)^2/4-n(n+1)(2n+1)/2+2n=n(n+1)/2*[n(n+1)/2-(2n+1)+4]=n(n+1)/2*(n^2+n-2n-1+4)=n(n+1)/2*(n^2-n+3)=n(n+1)(n^2-n+3)/2。函数g(x)=x(x+1)(x^2-x+3)/2，x≥1。g'(x)=(x^2-x+3)/2+x(x+1)(2x-1)/2=(x^2-x+3)+x(x+1)(2x-1)/2=(x^2-x+3)+(x^3+x^2-x^2-x)/2+x(2x-1)/2=(x^2-x+3)+(x^3-x)/2+(2x^2-x)/2=(x^2-x+3)+x^3/2-x/2+x^2-x/2=x^3/2+2x^2-2x+3。由于x≥1，x^3/2≥1/2，2x^2-2x=2x(x-1)≥0，3>0。所以g'(x)>0。因此函数g(x)在x≥1时单调递增，即S_n在n≥1时单调递增。所以S_n在n≥2时也单调递增。S_n是否有最大值取决于n的范围。由于g(x)单调递增，S_n随n增大而增大，没有最大值。19.(1)证明：e_1=2>0。假设e_k>0(k≥1)，则e_{k+1}=e_k+(k+1)/e_k>0+(k+1)/e_k>0。由数学归纳法知，对任意n≥1，e_n>0。e_{n+1}-e_n=(k+1)/e_k-e_k=(k+1-e_k^2)/e_k。令h(x)=x+1-x^2，x>0。h'(x)=1-2x。令h'(x)=0，得x=1/2。当0<x<1/2时，h'(x)>0；当x>1/2时，h'(x)<0。所以h(x)在x=1/2处取得极大值，也是最大值，h(1/2)=1/2+1-1/4=5/4>0。因为e_1=2>1/2，所以e_k>1/2(k≥1)。当e_k>1/2时，k+1/e_k>2>1。所以k+1-e_k^2=k+1-e_k*e_k>2-(1/2)^2=3/4>0。因此e_{n+1}-e_n>0(n≥1)。所以数列{e_n}是单调递增的。(2)证明：要证数列{e_n}无界，只需证对任意M>0，存在N，使得当n>N时，e_n>M。由(1)知e_n单调递增，e_1=2。所以对任意n≥1，e_n≥e_1=2。要使e_n>M，只需n>M。取N=M，则当n>N时，e_n>M。所以数列{e_n}是无界数列。20.(1)解：由S_n=n^2+bn，得S_(n-1)=(n-1)^2+b(n-1)(n≥2)。a_n=S_n-S_(n-1)=n^2+bn-[(n-1)^2+b(n-1)]=n^2+bn-(n^2-2n+1)-bn+b=2n-1+b。由题意知{a_n}是等差数列，所以a_n=a_1+(n-1)d。比较2n-1+b和a_1+(n-1)d，得2n-1+b=(1^2+b*1)+(n-1)*2。即2n-1+b=1+b+2n-2。所以-1+b=-1。解得b=0。(2)解：由