2025年江苏省无锡市中考数学模拟测试题（解析版）

2025年江苏省无锡市中考数学模拟测试题

考试时间：120分钟；总分：150分

一.选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）

1.一2023—1的倒数是（）

A.2024B.———C.-2022D.2022

2024

【答案】B

【解析】

【分析】本题考查有理数的减法及倒数，关键是掌握倒数的定义.乘积是1的两数互为倒数，由此即可得到

答案.

【详解】解：•・•—2023-1=-2024,

・•・-2023—1的倒数是一——.

2024

选：B.

2.在函数y=中'自变量X的取值范围是（）

11C、1,1

A.x<—B.x>—C.x2—D.x<一

2222

【答案】B

【解析】

【分析】本题考查函数自变量的取值范围，基础题，难度不大.根据分母不等于0及被升方数大于等于0处

理即可.

【详解】解：根据题意，得2x—l>0,

解得x>—.

2

选：B.

3.分式方程2=岛的解为（）

xx+3

A.x=4B.x=2C.x=0D.x=5

【答案】B

【解析】

【分析】本题主要考杳了解分式方程，按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程,

然后检验即可.

25

【详解】解；-

xx+3

去分母得：2（x+3）=5x,

去括号得：2x+6=5x,

移项得：2x-5x=-6,

合并同类项得：-3x=-6,

系数化为I得：x=2,

检验，当x=2时，工（戈+3）工0,

・・・上=2是原方程的解，

故选:B.

4.一组数据：31,32,35,37,35,这组数据的平均数和中位数分别是（）

A.34,34B.35,35C.34,35D.35,34

【答案】C

【解析】

【分析】本题主要考查了平均数与中位数的定义，根据平均数与中位数的定义求解即可.

【详解】解：这组数据的平均数是：（（31+32+35+37+35）=（x170=34,

这组数据从小大到大排序为:31,32,35,35,37,

共有3个数据,

中位数为第3位数，即35,

故选：C.

5.真实情境下面四款新能源汽车的标志，其中是中心对称图形的是（）

【答案】c

【解析】

【分析】本题考查中心对称图形的识别，解题的关键是掌握中心对称的定义，把一个图形绕某一点旋转

180°,如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形计算中心对称图形，即可.

【详解】解：A、不是中心对称图形，不符合题意;

B、轴对称图形，不符合题意;

c、是中心对称图形，不符合题意;

D、ylZr是轴对称图形.符合题意.

故选：C.

6.已知圆锥的底面半径为3,母线长为4,则它的侧面展开图的面积是（).

A.6B.12C.6nD.12兀

【答案】D

【解析】

【分析】根据圆锥的侧面积公式计算即可.

【详解】根据题意可知S阴惟侧二不4二万x3x4=12".

故选：D.

【点睛】本题主要考查了求圆锥的侧面积，掌握公式是解题的关键.即S网惟例=4”（其中「是底面半径，/

是圆锥的母线）.

7.《九章算术》是中国古代的数学专著，它以计算为中心，以解决人们生产、生活中的数学问题为目的，

书中有一个数学问题：今有数人共同买域（一种像玉的美石），每人出;两钱，多出4两钱；每人出,两

23

钱，少3两钱，问人数、现的价格分别是多少？若设人数为x人，根据题意，可以列出方程（）

A.-x+4=-x-3B.-x-4=-x+3C.-x-3=-x+4D.—x+4=-x+3

23232323

【答案】B

【解析】

【分析】设人数为x人，根据题意列出一元一次方程即可.

【详解】解：设人数为x人，根据题意得，

1，1c

—x-4=-x+3.

23

故选:B.

【点睛】此题考查了一元一次方程的实际应用，解题的关键是正确分析题目中的等量关系.

8.如图，在VAZ7C中，ZG4B-450,将VAZJC绕点8逆时针旋花90。，得到.06石，A和C的对应点

分别是。和£,连接CO,则下列结论一定正确的是（）

A.CD=BDB.BC=CD

C.ZBED=135°D.A,C,。三点在一条直线上

【答案】D

【解析】

【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，圆的有关知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的

关键.由旋转的性质可得=AB=BD,AC=DE,ZACB=NBDE,ZCBE=90°,由等腰三角

形的性质可得NBCE=ZBEC=45°,可证点B,点C,点、D,点E四点共圆，可得ZBCD+ZBED=180°,

即可求解.

【详解】解：连接CE,

将VABC绕点、B逆时针旋转90°,得到，DBE,

:.BC=BE,AB=BD,AC=DE,ZACB=/BDE,NCBE=9（f,

ZBCE=ZBEC=45°,

:.NBCE=NBDE=45°,

•••点。，点C,点O,点七四点共圆，

/BCD+/BED=180。,

.\ZBC£）+ZACB=180o,

•・•点A,点C,点。三点共线，

故选：D.

9.如图，菱形48co的对角线AC、BD相交于点0,过点。作A3于点从若HA=HB=1，

则菱形A8CD的面积是（）

B

A.B.1C.2GD.4

2

【答案】C

【解析】

【分析】本题考查菱形的性质，等边三角形的性质及垂直平分线的性质，根据HA=HB=1得

到AD=R），根据菱形得到AQ=A3,即可得到△ABD是等边三角形，根据勾股定理求出即可

得到答案；

【详解】解：HA=HB=\

:・AD=BD,AB=2,

•・•四边形ABCO是菱形，

AAD=AB,

・•・△A3。是等边三角形，

・•・5=2，

•*,DH=VAD2—AH2=>/22—I2=也,

：,SABCD=2SABD=2xgx2x6=26，

故选：C.

10.如图，函数），=2x和），=ar+4的图象相交于点4（根,2）,则不等式2戈var+4的解集为（）.

【答案】B

【解析】

【详解】解：・・,函数y=2”的图象经过点A(科2),

2m-2，

解得m=l,

・••点A(l,2),

观察图象可得当x<l时，2x<at+4,

即不等式2x<ac+4的解集为x<l.

故选B.

二,填空题(共8小题，满分24分，每小题3分)

11.因式分解：(/-8)2-64=.

【答案】丁()，+4)(),-4)

【解析】

【分析】本题考查了运用公式法进行因式分解.熟练掌握平方差公式进行因式分解是解题的关键.运用平方

差公式进行因式分解即可.

【详解】解：62一8)2-64二()，2一8+8)(),2一8一8)=)，262-16)=>2(》+4)(》一4),

故答案为:y2(y+4)(y-4).

12.张家界市2021年全年地区生产总值580.3亿元.其中580.3亿用科学记数法表示为.

【答案】5.803xIO10

【解析】

【分析】先将580.3亿化为58030000000,再用科学记数法表示即可.

【详解】80.3亿=58030000000=5.803x10"),

故答案为5803x10%

【点睛】此题考查了正整数指数科学记数法，对于一个绝对值大于10的数，科学记数法的表示形式为

4X10”的形式，其中1£。1710,〃为整数，表示时关键要正确确定。的值以及〃的值.

13.如图，以正六边形A8COEF的边E/向内作正方形EFGH,则NA/G的度数为.

CD

【答案】30。##30度

【解析】

【分析】本题考查正多边形的性质，由正多边形的每个内角相等，求出NAbE=120。，NGFE=9O。进而

得由NAR7=NAbE-NG/^=30。.解题的关键是掌握正多边形的每个内角相等.

【详解】解：:正六边形ABCDEF,

（6-2）x180°

・•・NAFE=---1---------=120%

6

又1•正方形EFG”，

・•・/GFE=90°,

・•・ZAFG=ZAFE-NGFE=30°,

故答案：30°.

14.下列是真命题的有（填序号）.

①若a>8且〃z00,则一/根7<-nib；②若a>〃，则3>1；③若〃>），则!<?；④若a>b,则ac~>bc~;

bab

⑤若乌<二，则a<8；⑥若a>〃，则+l）a>G〃2+1）/?；⑦若a>/?,c<d,则4一

（（

【答案】⑤⑥⑦

【解析】

【分析】本题考查命题的真假，根据不等式的性质，逐一进行判断即可，掌握不等式的性质，是解题的关键.

【详解】解：若且〃?>0时，贝ij-mav—〃访；故①是假命题；

若Ob,且〃〉0时，则，〉1；故②是假命题；

b

若a>b>0,则故③是艰命题；

ah

若a>b,且c工0时，则ac2>be2；故④是假命题；

若乌<»则。<。：故⑤是真命题；

c~c~

若“>〃，则（病+l）a>（病+1"；故⑥是真命题；

若u>b,c<d,则。一c>/?一d；故⑦是真命题；

故答案为：⑤@®.

15.请写出一个图象经过（0,1）点的函数的解析式.

【答案】y=-x+l（答案不唯一）.

【解析】

【分析】本题主要考查函数的性质，答案不唯一，只要图象过给定的点即可.该题只给出一个点的坐标，但

不知道其图象的形状，所以答案不唯一，任意选择一个合适的函数进行求解即可.

【详解】解：若该图象是一条直线，设其解析式为＞=丘+〃.

根据两点确定一条直线，假如该直线过另一点（1,0）,

[\=h

将两点的坐标（0,1）和（1,0）代入y="+〃，得=£+犷

解得左=-1,b=\.

故该直线的解析式为y=-x+l.

故答案为：y=-x+l（答案不唯一）.

16.如图，小宇注意到跷跷板处于静止状态时，可以与地面构成一个VA3C,跷跷板中间的支撑杆放垂

宜于地面（E,〃分别为AB,4c的中点），若叮=35cm,则点8距离地面的面度3c为cm.

【答案】70

【解析】

【分析】根据三角形中位线定理解答即可.

本题考查了三角形中位线定理的应用，熟练掌握定理是解题的关键.

【详解】解：•••£,尸分别为，的中点，

・•・EF〃BC,EF=LBC,

2

EF=35cm,

:.BC=2EF=70cm»

故答案为：70.

17.如图，在平面直角坐标系中有Ah.ABC,ZBAC=90°,ZB=45°,人（3,0）、C（1,*）,将

V48C沿x轴的负方向平移，在第二象限内从C两点的对应点瓦、G正好落在反比例函数了二七的图

x

象上，则A—.

【答案】

DJ

【解析】

【分析】过。作CM垂直于入轴，过8作8N垂直于％轴，先证明△ACMg/XBAN（AAS）,得到CM=

75

AN,AM=BN,计算得出点4（二，2）,由平移的性质得到Ci司办的纵坐标不变，且横坐标相差一，设

22

出设G3〃，9,则Bi（，后，2）,,分别代入反比例函数解析式中，得到两个关系式，消去A•求出加

的值，即可得到火的值.

【详解】解：过点C作CM_Lx轴，过8作8N_Lx轴，则NAMC=NAN8=90。,

VZ(3,())、C(1,7),

：.0A=3,CM=W，0M=I,AM=OA-OM=2

•：ZCAB=90°,N5—45°,

AZACB=ZB=45°,AC=AB,/C4M+NB4N=90。,

■:NMCA+/C4M=90。，

/MCA=NNAB,

在△ACM和△BAN中，

ZCMA=4ANB

ZMCA=4NAB

CA=BA

.二△ACMg△B4N(44S),

ACM=AN=,AM=BN=2,

75

/.0N=OA+AN=—,MN=AM—AN=—

22

(-,2),

2

由平移的性质，可设G(〃?，；)，则(〃?+—,2),

22

b.5

把点Ci和Bi的坐标分别代入)，=一,得火=不加；k=2(m+—),

x22

.*•!=2(〃?H—),解得：rn=-----»

223

则攵=3加=.

故答案为：

【点睛】此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：全等三角形的判定与性质，坐标与图形性质，平移

的性质，以及反比例函数的性质，熟练掌握性质是解本题的关键.

18.如图，在VA8C中，D，产是A3的三等分点，DE〃FG〃BC.

(2)月：=-------

【答案】①.6(2).1:4:9

【解析】

【分析】本题主要考查了相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方.求出三个相似三角形

的相似比是解决本题的关键.

（1）由于DE〃FG〃BC,那么▲AO£：S_4/Gs_A3C,根据A。=OF=FB及相似三角形的性质

可得结果.

（2）由相似三角形的性质可得S△9E:&AFG:S.ABC结果•

【详解】解：（1）・••£>£〃口G〃BC,

ADEs.AFGsABC，

ADDE

•,瓦一旅’

D,厂是A8的三等分点，

：.AD=DF=FB,

I2

・二一二，

3BC

BC-6，

故答案为：6；

（2）..ADEs_AFGs..ABC,

D,尸是A3的三等分点，

：.AD=DF=FB,

AD:AF:AB=\:2:3,

••S.ADE•S.AFG•S.ABC=1：4：9;

故答案为：1:4:9.

三，解答题（共10小题，满分96分）

19.计算：

（1）1-51-7?.

（2）（4-3）2+。（4-〃）.

【答案】（1）2（2）-2a+9

【解析】

【分析】（1）先分别求解绝对值和算术平方根，然后进行减法运算即可；

（2）先根据完全平方公式，单项式乘多项式进行计算，然后合并同类项即可.

【小问1详解】

解：卜5|

=5-3

【小问2详解】

解：（4/-3）"+w（4-tz）

=/-64+9+4。一/

=-2^+9

【点睛】本题考查了绝对值、算术平方根、完全平方公式，单项式乘多项式，合并同类项.解题的关键在

于正确的运算.

3（x-l）>x

20.（1）解不等式组：I-,工一3；

1-2.xV------

2

（2）解方程：4（X+5）2-1=120.

3121

【答案】（1）丫＞一：（2）A=-,G二--T

222

【解析】

【分析】本题考查了解一元一次不等式组，解一元二次方程;

（1）先求出每个不等式的解集，后根据口诀确定不等式组的解集;

（2）根据直接开平方法解一元二次方程，即可求解.

3（X-1）＞XD

【详解】（1）解：心看②'

3

解不等式①得，得X）;；，

2

解不等式②得，得

3

，不等式组的解集为工＞二.

2

（2）解：4（x+5）2-1=120

（MV

…±U

2

121

21.如图，在矩形中，E,P是和。。上的两点，且A£=C〃，连接DF,与对角线AC交

于点O,且BE=BF,NBEF=2NBAC.

（1）求证：四边形4EC厂是平行四边形;

（2）若BC=2加,求A8的长.

【答案】（1）见解析（2）2715

【解析】

【分析】（1）根据矩形的对边平行可得A4〃CO,再根据两直线平行，内错角相等得出N/MC=/*C。，然

后利用“角角边”证明4人。石和ACO产全等，即可证明。QA=OC,即可由平行四边形判定定理得

出结论;

（2）连接08,根据等腰三角形三线合•的性质可得BO_LE凡再根据矩形的性质得到直角三角形，利用

直角三角形斜边中线的性质即可证明OA=OB,根据等边对等角的性质可得N84GNAB0：在MABEO中

利用三角形的内角和定理，结合已知即可得到N8AC=30。，根据直角三角形30。角所对的直角边等于斜边

的一半求出AC,接下来运用勾股定理即可求出A3的长.

【小问1详解】

证明：•・,四边形八〃C'"是矩形，

C.AB//CD,

・•・<BAC=/FCO.

在&AOE和△COF中，

NBAC=/FCO

<ZAOE=/COF,

AE=CF

AAOE^ACOF（AAS）,

AOE=OF.OA=OC,

・•・四边形AECF是平行四边形；

【小问2详解】

解：如图,连接0B.

F

DC

AEB

•；BE=BF,又由（1）知：OE=OF,

：.BOLEF,

在Rt/XBEO中，ZBEF+ZABO=90°.

•・•四边形ABC。是矩形，

・•・NA8G90。，

又由（1）知：OA=OC.

：.OA=OB=OC,

：,^BAC=ZABO.

•・•NBEF=2NBAC,即2ZBAC+ZBAC=9（）°,

・•・ZBAC=30°.

•：BC=2yf5，

：.AC=2BC=445，

：.AB=dAC?_BC?=J（4后f-（2灼2=2后.

【点睛】此题考查的是矩形的性质、全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，等腰三角形的性质,

直角三角形的性质，正确作出辅助线是解决此题的关键.

22.五一长假期间，正值春光烂漫，李明准备在下面景点中选择一个去游玩：A（荷兰花海）、B（中华海

棠园）、C（中华糜鹿园）、D（丹顶鹤湿地生态旅游区）.

（1）李明去荷兰花海的概率是_____;

（2）同学张华对这四个景区也很感兴趣，决定也选择一个景点发过愉快的假期.请用列表法或画树状图

的方法求他们选到相同景点的概率.

【答案】（1）

4

（2）李明和张华选择相同景点的概率是!

4

【解析】

【分析】本题考查了列表法或画树状图的应用，列出所有可能的情况足求解的关键.

（1）根据概率公式即可求解；

（2）用树状图法列出所有可能的组合，然后根据概率公式即可求解.

【小问1详解】

根据题意，共有四个景点可供选择，

选择荷兰花海的概率为4）

【小问2详解】

画树状图：

开始

李明ABCD

张华ABCDABCDABCDABCD

李明和张华选择景点的情况共有16种，其中两人选择相同景点的情况有4种

41

：.P（两人选择相同景点）=—=-

164

答：李明和张华选择相同景点的概率是

4

23.河西中学九年级共有9个班，300名学生，学校要对该年级学生数学学科学业水平测试成绩进行抽样分

析，请按要求回答下列问题：

（1）【收集数据】若从所有成绩中抽取一个容量为36的样本，以下抽样方法中最合理的是.

①在九年级学生中随机抽取36名学生的成绩；

②按男、女各随机抽取18名学生的成绩；

③按班级在每个班各随机抽取4名学生的成绩.

（2）【整理数据】将抽取的36名学生的成绩进行分组，绘制频数分布表和成绩分布扇形统计图如下.请

根据图表中数据填空：

成绩（单位：频频

分）数率

A类

181

(80-100)

B类(60〜79)91

1

C类(40〜59)66

D类（0—39）31

九年级学生数学成绩分布扇形统计图

数据来源：学业水平考试数学成绩抽样

①C类和D类部分的圆心角度数分别为•

②估计九年级A、B类学生一共有名.

（3）【分析数据】教育主管部门为了解学校教学情况，将河西、复兴两所中学的抽样数据进行对比，得下

表:

平均数极差方A、B类的频率

学校

（分）（分）差和

河西中

71524320.75

学

复兴中

71804970.82

学

你认为哪所学校本次测试成绩较好，请说明理由.

【答案】⑴①；⑵①60；30；②225；（3）河西中学，理由：平均分相同，河西中学极差和方差较小，河

西中学成绩更稳定（或复兴中学，理由：平均分相同，复兴中学A,B类频率和高，第兴中学高分人数更多）

【解析】

【分析】（1）抽取的学生必须具有代表性，能够反映全年级的清况，可得出抽样方法中最合理的是①：

（2）①分别用C类和D类所占的百分比X360。,计算即可;

②A、B类学生一共有的人数=30CxA、B类学生所占的百分比之和，计算就可求解；

（3）从平均数、方差、高分段的人数，对两所学校分别分析即可.

【详解】解：（1）若从所有成绩中抽取一个容量为36的样本，以下抽样方法中最合理的是：①在九年级

学生中随机抽取36名学生的成绩，

故答案为①；

(2)①C类部分圆心角度数为360。*1=60。，D类部分的圆心角度数为360改一=30。，

612

故答案为60。，30。；

(11、

②估计九年级A、B类学生一共有300x-+-=225,

1247

故答案为225；

(3)河西中学，理由是平均分相同，河西中学极差和方差较小：河西中学成绩更稳定.

复兴中学，理由是平均分相同，复兴中学A,B类频率和高，复兴中学高分人数更多.

【点睛】本题考查了抽样调杳、扇形统计图、用样本估计总体、频数与频率等，熟练掌握相关知识，能从

统计图表中得到必要的信息是解题的关键.

24请回答下列问题：

(1)已知：NAO8和NAO8内一点C.求作：点P,使PC=PO,且点。到NAO8的两边OA,

OB的距离相等.

(2)如图2,已知/AO3及点E,F，求作点P,使得~到。4,的距离相等，且。石=月尸.

【答案】3)见解析(2)见解析

【解析】

【分析】本题主要考查了线段的垂直平分线和角平分线的性质，掌握线段的垂直平分线和角平分线的作法

是解题的关键.

(1)根据点C是/AO8内一点，使PC=PO,且点P到2408的两边04,。8的距离相等，即点尸

在/AO3的角平分线和线段OC的线段的垂直平分线的交点处.

(2)根据点儿使得P到。4,08的距离相等，且比=P产，即点P在/的角平分线和线段EF的

线段的垂直平分线的交点处.

【小问1详解】

解：(1)连接OC,作线段OC的线段的垂直平分线如图所示，作/AOB的角平分线如图所示，则/AO3

的角平分线和线段OC的线段的垂直平分线相交，交点为P,

B

L_.【小问2详解】

解：连接族，作NAO8的平分线和线段痔的垂直平分线，它们的交点即为P点,

25.某物流公司承接甲、乙两种货物运输业务.已知该物流公司5月份共收取运输费9500元，6月份共收取

运输费13000元，且这两个月分别承接的甲种货物数量相同，乙种货物数量也相同.该物流公司5月份和6

月份甲、乙两种货物的运费单价如下表所示:

月份运费单价（元/吨）5月份6月份

甲货物5070

乙货物3040

（1）在5月份和6月份，该物流公司每月运输甲、乙两种货物各多少吨？

（2）该物流公司预计7月份运输这两种货物330吨，且甲货物的数量不大于乙货物的2倍，在运费单价与

6月份相同的情况下，该物流公司7月份最多将收到多少运输费？

【答案】（1）在5月份和6月份，该物流公司每月运输甲种货物100吨，乙种货物150吨

（2）该物流公司7月份最多将收到19800元运输费

【解析】

【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的性质，解题的关键是：

（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式和一次函数

关系式.

（1）设在5月份和6月份，该物流公司每月运输甲种货物x吨，乙种货物V吨，根据该物流公司5月份共

收取运输费9500元，6月份共收取运输费13000元，列出二元一次方程组，解方程组即可；

（2）设该物流公司在7月份运输甲种货物，〃吨,则运输乙种货物为（330-㈤吨，根据甲货物的数量不大于

乙货物的2倍，列出一元一次不等式，解得加<220,再设该物流公司7月份将收到W元运输费，由题意

列出W关于，〃的一次函数关系式，然后由一次函数的性质即可得出结论.

【小问1详解】

解：设在5月份和6月份，该物流公司每月运输甲种货物x吨，乙种货物丁吨，

50x+30y=9500

依题意得：

70x+40y=1300()

x=100

解得：”

)，=150’

答：5月份和6月份，该物流公司每月运输甲种货物100吨，乙种货物150吨:

【小问2详解】

解：设该物流公司在7月份运输甲种货物加吨，则运输乙种货物为(330-〃?)吨,

依题意得：/«<(330-/72)x2,

解得：m<220,

设该物流公司7月份将收到W元运输费，

依题意得：W=70m+40(330-m)=30m+1320(),

・・・30>0,

.•.W随着，〃的增大而增大，

，当m=220,W有最大值=30x220+13200=19800,

答：该物流公司7月份最多将收到1980。元运愉费.

26.如图，A8是0。的直径，ACD内接于OO,CD=DB，AB,CO的延长线相交于点E，且

DE=AD.

(1)求证：△C484CE4；

(2)求NAOC的度数.

【答案】(1)见详解(2)45°

【解析】

【分析】本题主要考查了圆周角定理，相似三角形的判定以及性质，圆内接四边形的性质，等边对等角等知

识，掌握这些性质是解题的关键.

（1）由等弧所对的圆周角相等可得出=再由等边对等角得出=等量代换可

得出NCAD=ZE,又NC=NC,即可得出△CA0s/\CE4.

（2）连接80，由直径所对的圆周角等于90。得出ZADB=90。，设ZCAD=ZDAB=a,即/CAE=2a，

由相似三角形的性质可得出ZADC=ZCAE=2a，再根据圆内接四边形的性质可得出

2«+2«+90°=180°,即可得出a的值，进一步即可得出答案.

【小问1详解】

证明：

・•・ZCAD=ZDAB,

•：DE=AD，

:.4DAB=NE，

・•・/C4£>=NE,

又•:zc=zc

・•・AC4£>^ACE4，

【小问2详解】

连接8。，如下图：

•・•48为直径，

..ZA/）B=90%

设/CM>=/ZMB=a,

*,•Z.CAE=2a，

由（1）知：AC4£>^ACE4

:./ADC=ZCAE=2a,

:四边形A33C是圆的内接四边形，

・•・/C48+NCDB=180。，

即2a+2a+90。=180。，

解得：a=22.5。

ZADC=ZCAE=2x22.5°=45°

D

27.定义：对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”，

如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形”.

【概念理解】：下列四边形中一定是“中方四边形”的是.

A.平行四边形；B.矩形：C.菱形；D,正方形.

【问题解决】：如图2,以锐角VA8C的两边AB.AC为边长，分别向外侧作正方形A8OE和正方形ACFG，

连接BE,EG,GC.求证：四边形8CGE是“中方四边形”：

【拓展应用】：如图3,已知四边形A8CO是“中方四边形”，M,N分别是的中点.

(1)试探索笈力与A/N的数量关系，并说明理由；

⑵若AB+C。的最小值是4,则4。的长度为______.(不需要解答过程)

【答案】［概念理解］D；［问题解决］证明见解析；［拓展应用］(1)MN=与BD，理由见解析；(2)272

【解析】

【分析】［概念理解］由正方形对角线相等且互相垂直可得答案；

［问题解决］如图，取四边形8CGE1各边中点分别为加、N、R、L并顺次连接成四边形MNRL,连接CE

交A8于连接8G交CE于K,利用三角形中位线定理可证得四边形MNHL是平行四逅形，再证得

_EAC—BAG,推出。MNRL是菱形，再由NLMV=9()。，可得菱形"NHL是正方形，即可证得结论；

［拓展应用］(I)如图，记40、的中点分别为E、F,可得四边形研户M是正方形，再根据等腰直

角三角形性质与三角形的中位线的性质即可证得结论；

(2)如图，记A。、8C的中点分别为石、F,连接交AC于。，连接ON,当点。在MN上

(即A/、0、N共线)时,OW+OV最小.最小值为的长.再结合性质探究与拓展应用(I)的结论

即可求得答案.

【详解】［概念理解］解：•・•在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，正方形的对角线相等且互相垂直，

・•・一定是“中方四边形”的是正方形；

故答案为：D；

［问题解决］证明：如图2,设四边形8CGE的边8C、CG、GE、8E的中点分别为M、N、R、L,

连接CE交A8于/＞，连接BG交CE于K,

•・,四边形BCGE各边中点分别为M、N、R、L,

:.MN、NR,RL，分别是G6CG、KEG、ABGE、ACES的中位线，

:,MN〃BG,MN」BG,RL//BG,RL、BG,RN〃CE,RN=、CE,ML/7CE,

222

ML=-CE,

2

:.MN//RL、MN=RL,RN//CE//ML,RN=ML,

二.四边形MNRL是平行四边形，

四边形《和四边形ACFG都是正方形，

:.AE=AB>AG=AC,ZE4B=ZG4C=90°,

/.AEAC=ZBAG,

.2E4CgZMG(SAS),

;.CE=BG,ZAEC=ZABG,

又：RL==BG,RN=-CE,

22

:.RL=RN,

二•平行四边形MNRL是菱形，

•/㈤3=90。，

ZAEP+ZAPE=90°.

又,：/AEC=/ABG,ZAPE=/BPK,

...ZABG+/8PK=90。，

:"BKP=9()。，

又MN〃BG,ML//CE,

/LMN=90。.

・••菱形MNRL是正方形，即原四边形3CGE是“中方四边形”.

［拓展应用］（1）解：MN=^~BD；理由如下：

2

如图3,记A。、8C的中点分别为E、F，连接3D,

••四边形45C。是“中方四边形“，M，N分别是AB，C。的中点,

..•四边形ENFM是正方形，

:.FM=FN,4MFN=时，

MN=dFM?+FN?=0FN，

QN,尸分别是QC,8C的中点,

:.FN=-BD,

2

MN=—BD;

2

（2）解：如图4,连接8。交AC于。，连接0"、ON,

图4

当点。在MV上（即M、0、N共线）时，OM+ON最小,最小值为MN的长,

/.2(OM+ON)的最小值=2MN,

由性质探究如：ACJLBD,

又pM,N分别是A8，CO的中点,

:.AB=2OM,CD=2ON,

:.2(OM+ON)=AB+CD,

人H+CO的最小值=2A/N=4,

则AW=2,

由拓展应用(1)知：MN=—BD^

2

—Z?D=2

2

•••BD=2也，

故答案为：2垃.

【点睛】本题考杳了全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，三角形的中位线的性质，正方

形的判定和性质，勾股定理，两点之间线段最短等知识，理解“中方四边形”的定义并运用是本题的关

键.

28.如图，在平面直角坐标系中，点4(-1,0),3(0,3)在抛物线y=-/+公+。上，该抛物线的顶点为C,

与工轴的另一个交点为。，点。为该抛物线上一点，其横坐标为江

(1)求该抛物线的解析式；

(2)点M是抛物线上一点，且M在第二象限，使得NA8O=/MD4,MO交)，轴于点F,求点M的坐

标；

(3)当6>0时，设该抛物线在点。与点。之间(包含点B和点P)的部分的最高点和最低点到x轴的距

离分别为d、％设分=d——.

①直接写出产关于〃，的函数解析式，并注明自变量的取值范围;

②当尸=1