江苏南通市2027届高三上学期第一次质量检测 数学试题（含答案）

注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上指定位置，在其他位置作答一律无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.项是符合题目要求的.1.已知集合A={-2,0,2,4,6),B={x|√x<2},则A.{-2,0,2}B.{0,2,4C.{0,2}D.{2,42.某同学纪录了我市2026年8月中旬连续6天的最高气温(单位：摄氏度)分别为：31,29,32,35,35,34,则这6个数据的中位数为A.31B.32A.2B.4A.充分但不必要条件B.必要但不充分条件C.充要条件D.既不充分也5.若函数(a>0且a≠1)的值域为R,则a的取值范围是6.已知随机变量X～B(4,p),Y～N(3,σ²),若D(X)=1,P(Y>5)=p-0.3,则P(1<Y<3)=A.0.6B.0.37.某圆锥的侧面展开图是一个弧长为2π,圆心角为120°的扇形.若将一个球放入该圆锥体内，则球的表A.πB.2π8.已知定义在R上的可导函数f(x)满足f(x)+f(-x)=0,且当x≥0时，f'(x)<1.若A.(-∞0,-1)B.[-1,+∞]X12458ymC.x+2y的最小值为4的最小值为2AB的中点.B.AE//平面BCD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.数多1个的概率为四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(13分)已知三次函数f(x)=ax³+bx²+x,(1)若f(x)在x=1处取得极值-1,求a,b;16.(15分)(2)若x∈(0,1),f(x)>f(ke),求k的取值范围.17.(15分)18.(17分)如图，在三棱锥P-ABC中，PAI平面ABC,平面PAC1平面PBC,M为P(2)若PA=2,AC=m,BC=n,且AM与平面PBC所成角为30°.19.(17分)|f(x,)-f(x₂)|≥|g(x;)-g(x₂)|成立，则称g(x)是f(x)的“从属函数”(1)若D=R,g(x)是f(x)的(3)设是f(x)的“从属函数”,且y=f(x)在区间(0,+o)上存在两南通市2027届高三第一次质量监测一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.2.某同学记录了我市2026年8月中旬连续6天的最高气温(单位：摄氏度)分别为：31,29,32,35,35,34,则这6个数据的中位数为【锤子数学解析】x+yi=3-2√3i+i²=2-2√3i,:【锤子数学解析】【锤子数学解析】a>0,∴x≥-1时-2ax+1≤2a+1,f(x)值域为Rx<-1时f'(x)单调递减，∴0<a<1且T6.已知随机变量X～B(4,p),Y～N(3,σ²),若D(X)=1,P(Y>5)=p-0.3,则【锤子数学解析】X~B(4,p),D(x)=4p(1P(Y>5)=p-0.3=0.2,则P(3<Y<5)=0.3,∴P(1<Y<3)=0.3,选B.7.某圆锥的侧面展开图是一个弧长为2π,圆心角为120°的扇形.若将一个球放入该圆锥体内，则球的表面积的最大值为【锤子数学解析】设圆锥底面半径为r,母线长为1,则1=3,2πr=2π,r=1,A.[-∞,-1]B.[-1【锤子数学解析】方法一：f(x)+f(-x)=0即f(x)为奇函数递减且g(x)为奇函数，则g(x)在R上单调递减，由f(x)+f(-x)=0知f为奇函数.两边求导得f'(x)-f'(-x)=0,即f'(x)=f'(-x),所以题设的f'(x)<1对全体实数都成立.观察到右端的m+1恰好等于2m+(1-m),因此令g(x)=f(x)-x.此时g(-x)=-g(x),且g'(x)=f'(x)-1<0,故g是定原不等式等价于g(2m)+g(1-m)≥0.再利用奇性，得到g(2m)≥g(m-1).由严格递减性，2m≤m-1,故m≤-1.反过来，m≤-1时，上述各步均成立；特别地，m=-1时两边相等，端点应保留.故m∈[-∞,-1],选A.由f(x)+f(-x)=0及其导数关系f'(x)=f'(-x),可知f为奇函数，且任意实数f(2m)-f(m-1)≥2m-(m-1).f(2m)-f(m-1)=f'(c)(m+1).m+1<0,即m<-1.合并m=-1的情形，得m∈[-∞,-1],选A.这一做法的关键是比较割线斜率与1,而不是误把f'(x)<1理解成f本身递减二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知两个线性相关变量x,y的统yA.当x=3时，y的估计值为20B.m=30【锤子数学解析】回归方程：Î=5x+5,x=3,y的估计值为20,A对.b=5>0,∴r>0,D错，选AC.10.已知正实数x,y满足2x+y=2xy,则下列结论正确的是A.B.xy的最小值为2C错.C.点E到平面BCD的距离为D.若平面BCD将棱柱分成两部分的体积分别为V₁,V₂(V₁<V【锤子数学解析】方法一：取AC中点F,则DF⊥AC,若AC⊥BD,平面BDF,则AC⊥BF矛盾，A错.E(0,0,0),A(0,-2,0),A₁(0,-2,2),C₁(2,0,2),D(1,-1,2),B(0,2,0),设平面BCD的法向量n=(x,y,z), E到平面BCD的距离,C对.方法二：对于A,取AC中点D',∴DD'⊥平面ABC,∴BD'为BD在底面ABC上对于B,取A₁B₁中点G,∴DG//BC,∴平面BCD,即为平面BCDG,由四边形正确.对于C,由B知⇔求A₁到平面BCDM,∴A₁M⊥CD,而A₁M⊥BC,∴A₁Mn=(√2,0,-1)与二者的数量积都为0,故可作为该平面的法向量对于A,AC=(-2√2,0,0),BD=(√2,-2√2,2),故AC·BD=-4≠0,A错误确.截面BCDF及中点位置示意图.延长AA到点T,使AT=AA₁=2.此时A₁,D,F分别为TA,TC,TB的中点，三棱锥底面△ABC的面积为,棱柱体积为4×2=8.包含顶点A的那一部另一部分的体积为,故方法四：用中点结构、面面垂直与分割体积作几何判断设K,G,F分别为AC,BC,A₁B₁的中点.由于这是直三棱柱，DK||AA,故DK⊥平面ABC;又因BC⊥AC且BC⊥CC₁,所以BC⊥平面ACC₁A₁.对于A,直线BD在底面上的正投影为BK.若BD⊥AC,由三垂线定理应有BK⊥AC.但过B垂直于AC的直线是BC,且K≠C,故BK不垂直于AC,从而BD不垂直于AC,A错误.因为DG在平面BCD内，而平面BCD与平面ACC₁A₁相交于CD,A不在CD上，所以A₁不在平面BCD内.故A₁E|Ⅱ平面BCD,B正确.为CD.于是点A₁到平面BCD的距离，等于其在侧面ACC₁A₁内到直线CD的距离.在该侧面中，C₁D=√2,CC₁=2,故CD=√6.而,所以所求距离为又因A₁E|Ⅱ平面BCD,直线上各点到该平面的距离相等，故点E的距离也是C正确.对于D,由D,F为上底面两边的中点，截面仍为四边形BCDF.将包含棱B₁C₁的那一部分沿三角形BC₁D分开，得到四棱锥B-C₁B₁FD与三棱锥B-CC₁D.上底面三角形的面积为4,去掉面积为其,得到SC₁BFD=3.因此点B到其所在侧面的距离为BC=2√2,故该部分体积为另一部分体积为体积比为D正确.故选BCD.中点产生的截面是四边形，不能将其中一部分误看成单个三棱锥.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.【答案】16,则r=4,T₅=C42⁴x²=16x²,即x²系数为16.13.甲、乙两人投篮命中率分别为,并且他们投篮互不影响.现每人分别投篮两次，则甲比乙进球数多1个的概率为·【答案】【锤子数学解析】1°甲进2球，乙进1球，2°甲进1球，乙进0球，14.已知函数f(x)=In(mx-1)-x+2,若m=2,则f(x)的单调增区间是 ;若f(x)有两个零点，则m的取值范围是【锤子数学解析】方法一：按参数分类，利用最大值判断零点个数先求第一个空.当m=2时，定义域为区间为下面讨论两个零点的条件.若m=0,对数真数恒为负，没有实数定义域.若m<0,定义域为函数严格递减，因而不可能有两个零点.若m>0,定义域为令得唯一的导函数零点因此图象先增后减，两端都向下延伸，恰有两个零点当且仅当其最大值为正，即于m>1.当m=1时，最大值为0,只有一个零点，不能取到该端点.方法二：换元求增区间，分离参数研究水平线交点当m=2时，令t=2x-1,则t>0,且.右端关于t的导数为在0<t<2时为正；又t随x递增，所以第一个空为研究零点时，将f(x)=0改写为mx-1=eˣ-²,即mx=1+eˣ⁻².右端恒正，所以零点不可能为0,并且m与x同号.于是可分离参数为反过来，只要m=h(x),就有mx-1=eˣ⁻²>0,满足原对数的定义域，故这一转化当x<0时，分子小于0,故h在(-∞,0)上严格递减；并且x→-0∞时，当x>0时，令k(x)=eˣ⁻²(x-1)-1,则k'(x)=xe-²>0,而k(2)=0.故h在又x→0+时及x→+00时，均有h(x)→+∞.因此，水平线y=m与h的正半轴图象有两个交点，当且仅当m>1;m=1时只有一个交点，0<m<1时无交点，m=0时原函数无定义.参数分离后的正半轴图象示意.条固定曲线与水平线的交点个数问题.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(13分)已知三次函数f(x)=ax³+bx²+x,g(x)=f'(x).(1)若f(x)在x=1处取得极值-1,求a,b;(2)若b=-2,y=g(eˣ)的图象与x轴有两个不同的交点，求a的取值范围.【锤子数学解析】方法一：方法二：(1)由题设，f(1)=-1且f'(1)=0.又f'(x)=3ax²+2bx+1,所以解得a=3,b=-5.正，确实在x=1处取得极小值，且f(1)=3-5+1=-1.故a=3,b=-5.(2)当b=-2时，g(x)=3ax²-4x+1.令t=e,则t>0,且x→t=e在R与a≠0,结合判别式与韦达定理，必须且只须16-12a>0,16.(15分)已知函数(1)判断并证明f(x)的单调性；(2)若x∈(0,1),f(x)>f(ke*),求k的取值范围【锤子数学解析】(1)由得0<x<4,故定义域为(0,4).求导得所以f(x)在整个定义域(0,4)上严格单调递减.(2)对x∈(0,1),原不等式要成立，首先必须保证复合函数有意义，即0<ke⁸<4.再由f严格递减，f(x)>f(ke*)等价于x<ke合并这两个要求，对任意x∈[0,1],必须且只须x<ke*<4,即xe⁻*<k<4e⁻×.掉它.17.(15分)已知集合A={1,2,3,4},B={1,2,5}.从两个集合中各随机取出两个元素(1)求从A中取出的两个元素之和为偶数的概率；(2)设集合C中元素的个数为X,求随机变量X的分布列与数学期望；(3)若集合C中恰有3个元素，求从A中取出的两个元素之和为奇数的概率.【锤子数学解析】(1)从A中取出两个元素，共有C²=6种等可能结果.同偶，只可能取{1,3}或{2,4},故所求概率为(2)记从A,B中取出的二元子集分别为A₀,B₀.共有C2C3²=18种等可能的有序配对.因为C=A₀UB₀,所以X=4-|A₀∩B|,其可能取值为2,3,4.当X=2时，必须有A₀=B₀={1,2},只有1种结果，故当X=3时，两个二元子集恰好有1个公共元素.对A₀的全部取法，符合条件的B₀符合条件的B₀取法数222220因此,分布列为18.(17分)如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC,平面PAC⊥平面(2)若PA=2,AC=m,BC=n,且AM与平面PBC所成角为30°.方法一：(1)证明：∵PA⊥平面ABC,∴PA⊥BC且PA⊥AC过A作AE⊥PC于点E,∵平面PAC⊥平面PBC,平面PAC∩平面PBC=PCAEc平面PAC,AE⊥PC,∴AE⊥平面PBC,∴AE⊥BC∵PA,AEc平面PAC,PA∩AE=A,∴BC⊥平面PAC,∴B当且仅当,即m=2√3时取“=”,此时n=4√2.(1)以A为原点，以AC的方向为x轴正方向，底面内垂直于AC的方向为y轴方c,h>0,v≠0.n=(r,0,t).于是AC=(c,0,0),CB=(0,v,0),两向量数量积为0,故AC⊥BC,证毕(2)由第(1)问，在同一坐标系中取C=(m,0,0),B=(m,n,0),P=(0,0,2),②由关键约束，令t=m²+4,则t>4,有故其一个法向量为7=(0,2,-n).(1)在平面PAC内，过A作AH⊥PC,垂足为H.因为平面PAC⊥平面PBC,两平面交于PC,所以AH⊥平面PBC,从而AH⊥BC.CC又由PA⊥平面ABC得PA⊥BC.直线PA,AH相交于A,且均在平面PAC内，因此BC⊥平面PAC,进而AC⊥BC,证毕.(2)由AH⊥平面PBC,HM是AM在该平面内的正投影，故∠AMH=30°.在PAC,所以BC⊥PC,在直角三角形PCB中，,得m=2√3,BC=4√2,满足原条件.合AC⊥ML,可知AC⊥平面MLN,所以AC⊥MN.条直角边.19.(17分)对于函数y=f(x),x∈D₁和y=g(x),x∈D₂,设D₁∩D₂=D,若f(x)的“从属函数”(1)若D=R,g(x)是f(x)的“从属函数”,且f(x)是偶函数，求证：g(x)(2)设f(x)=x²,x∈[1,2],g(x)=2√x²+1,求证：g(x)是f(x)的“从属函(3)设是f(x)的“从属函数”,且y=f(x)在区间(0,+∞)上存在两个零点x₁,x₂,求证：x²+x²>2.【锤子数学解析】方法一：(1)证明：∵g(x)是f(x)的“从属函数”∴g(x)也是偶函数.且f(x),g(x)在[1,即证：f(x₁)-g(x₁)≥f(x₂)-g(x₂),令F(x)=f(x)-g(x)=x²-2√x²+1,(运用这样的对均不等式)(1)对任意x≠0,x与-x是定义域内两个不同的数.由f为偶函数及从属函数的0