2025版高考数学一轮总复习课时作业第九章概率与统计92成对数据的统计分析

9.2成对数据的统计分析

【巩固强化】

1.下列说法中错误的是'：A）

A.相关关系是一种确定性关系

B.变量间的样本线性相关系数，的取值范围为[-1，1]

C.变量间的样本线性相关系数r的绝对值越近接0,则变量间的线性相关程度越低

D.样本相关系数，与经验回归直线的斜率始终同号

解：对于A在回归分析中，变量间的相关关系非函数关系，是一种不确定的关系，错误.

对于E,相关系数尸满足M<1,正确.

对于c,根据相关系数的性质，知mw1,且।川越接近：，相关程度越大；1川越接近0,相

美程度越小，正确.

对于D,由V与b的计算公式，知相关系数r与b始终同号，正确.故选A

2.[2023年天津卷]调查某种群花萼长度和花瓣长度，所得数据如图所示，其中样本相关系

数r=0.8315,下列说法正确的是（c）

A.花瓣长度和花萼长度没有相关性

B.花瓣长度和花萼长度呈现负相关

C.花瓣长度和花萼长度呈现正相关

D.若从样本中抽取一部分，则这部分的样本相关系数一定是0•期5

解：根据散点的集中程度，可知花瓣长度和花尊长度有用关性，修昔误.

散点的分布是从左下到右上，从而花瓣长度和花萼长度呈现正相关性，B错误，C正确.

由于r=0.8315是全部数据的样本相关系数，所以取出来一部分数据，相关性可能会发生

变化，即取出的数据的样本相关系数不一定是0•财5,D错误.

故选c.

3.设某大学的女生体重，（单位：kg）与身高x（单位：cni）具有线性相关关系，根据一

组成对样本数据（/，%）«=1,2,…5），用最小二乘法建立的经验回归方程为

卞=0.85x-85.71,则下列结论中不正确的是（［））

A.，与欠具有正的线性相关关系

B.经验回归直线过成对样本数据的中心（匕B

C.若该大学某女生身高增加2cm,则其体重约增加l・70kg

D.若该大学某女生身高为170cm,则可断定其体重必为58.7%g

解：根据》关于文的经验回归方程9=085x-85.71,其中0.85>0,说明y与文具有正

的线性相关关系，故A正确.

经验回归直线过成对样本数据的中心（元同，故B正确.

由经验I可归方程，知若该大学某女生身高增加1cm,则其体重约增加0•小kg,那么，若该

大学某女生身高增加2cm,则其体重约增加l・70kg,故C正确.

若该大学某女生身高为170cni,则可预测其体重约为58.79kg,不可断定其体重必为

5879kg,故坐音误.

故选D.

4.某医疗研究所为了检查新研发的疫苗对某种病毒的预防作用，把1000只已注射疫苗的

小白鼠与另外1000只未注射疫苗的小白鼠的感染记录作比较，提出原假设“这种疫

苗不能起到预防该病毒传染的作用.”并计算得PG?26.635）之0.01,则下列说法正确

的是（C）

A.这种疫苗对预防该病毒传染的有效率为1%

B.若某人未使用疫苗，则他有99%的可能性感染该病毒

C.有99M的把握认为“这种疫苗能起到预防该病毒传染的作用”

D.有的把握认为“这种疫苗能起到预防该病毒传染的作用”

解：P(X2>6,635)10.01,说明假设不合理的程度为99%,即这种疫苗不能起到预防病

毒传染的作用不合理的程度约为99%,所以有99%的把握认为这种疫苗能起到预防病毒

传染的作用.故选c.

5.有一散点图如图所示,在5组成对样本数据(x，y)中云掉D(3,10)后，下列说法正确的是

(A)

y

•£(10,12)

•0(3,10)

A.残差平方和变小

B.样本相关系数V变小

C.决定系数R?变小

I).解释变量大与响应变量N的线性相关程度变弱

解：由散点图分析，可知只有点D偏离较大，去掉点D.解释变量X与响应变量3的线性

相关程度变强，样本相关系数，变大，决定系数R?变大，残差平方和变小工正确，B,C,

D错误.故选A

6.【多选题】为了有针对性地提高学生体育锻炼的积极性，某中学需要了解性别因素是否

对本校学生体育锻炼的经常性有影响，随机抽取了3()0名学生，对他们是否经常锻炼的情况

进行了调查，调查发现经常锻炼人数是不经常锻炼人数的2倍，绘制其等高堆枳条形图，如

图所示,则(ABD)

A.参与调查的男生中经常锻炼的人数比不经常锻炼的人数多

5

B.从参与调查的学生中任取一人，已知该生为女生，则该生经常锻炼的概率为7

C.依据2=°・1的独立性检验，认为性别因素影响学生体育锻炼的经常性，该推断犯错误

的概率不超过0.1

D.假设调查人数为600人，经常锻炼人数与不经常锻炼人数的比例不变，统计得到的等高

堆枳条形图也不变，依据a=095的独立性检验，认为性别因素影响学生体育锻炼的经常

性，该推断犯错误的概率不超过0.05

解：对于A由题意，知经常锻炼的人数是不经常锻炼的人数的2倍，故经常锻炼的人数为

200人，不经常锻炼的人数为100人.男生中经常锻炼的人数为200X0.5=100（人）,

不经常锻炼的人数为100X0・6=6（（人）.男生中经常锻炼的人数比不经常锻炼的人数多,

A正确.

对于B,女生中经常锻炼的人数为200XO・5=10。（人），不经常锻炼的人数为

100_5

100X04=4C（人），则概率为】。。小。一%日正确.

对于C,由题意，结合男生、女生中经常锻炼和不经常锻炼的人数，可得如下列联表.

性别锻炼的经常性合计

经常不经常

男10060160

女10040140

合计200100300

2

3300X(10GX60-40XlOt)~〜

X=------------------------〜2679<2706=XQ1-

则10xl60x20txi0©01故依据Q=0.1的独立性检验,

不能认为性别因素影响学生体育锻炼的经常性，Q音误.

对于D,由题意，将选项C列联表中的数据变为原来的2倍，则

W=--------------------、2x2679=5.358>31841=x.循-g.

A40«x200x320x280故依据AT=0.05

的独W性检验，认为性别因素影响学生体育锻炼的经常性，该推断犯错误的概率不超过

0.05,D正确.

故选ABD.

7.色差和色度是衡量毛绒玩具质量优劣的重要指标，现抽检一批产品测得数据列于表中：

已知该产品的色度，和色差文之间满足线性相关关系，且少=0.8x+瓦现有一对测量数据

为⑶,23.6),则该数据的残差为0.8.

21232527

色差

15181920

色度

_21>25*27___15*18*19430._

x=----------=24y=-------------=If—

解：由题意，可知4,4:.将(24,18)代入

y=OSx+d,即18=0BX24+3,解得6=-12,所以0.8x-1J,当量=3D时,

y=0.8X30-1.2=22.6,所以该数据的残差为23・6-22.8=0/.故填0.8.

8.[2021年全国甲卷]甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为

了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了200件产品，产品的质量情况统计如

下表：

机床等级合计

一级品二级品

甲15050200

乙12080200

合计270130400

(1)甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少？

解：甲机床生产的产品中拘-级品的频率湍"7"

19_6耽

乙机床生产的产品中的一级品的频率为府一.

(2)依据小概率值a=0・01的独立性检验，分析甲机床的产品质量与乙机床的产品质量

是否有差异.

2n(ed-be)’

=--------------------------------

附：A(kb)(e+dMa+e)(gd).

0.050.010.001

3.8416.63510.828

［答案］

Ho：

零假设为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量无差异.

1

=嘿篝4+心―⑷故依据小概率值”0.01的

独立性检验，我们推断，■不成立，即认为甲机床的产品与乙机床的产品质量有差异，此推

断犯错误的概率不大于0.01.

【综合运用】

9.建筑地基沉降预测对于保证施工安全、实现信息化监左有着重要意义.某工程师建立了四

个函数模型来模拟建筑地基沉降随时间的变化趋势，并用决定系数、误差平方和、均方根值

三个指标来衡量拟合效果决定系数越接近1表明模型的拟合效果越好，误差平方和越小表

明误差越小，均方根值越小越好.依此判断下面指标对应的模型拟合效果最好的是（C）

决定系数误差平方和均方根值决定系数误差平方和均方根值

0.9498.4910.499B.0.9334.1790.436

决定系数误差平方却均方根值决定系数误差平方和均方根值

0.9971.7010.141D.0.9972.8990.326

解：决定系数越接近于1,拟合效果越好,比较决定系数，知可选C,D,由误差平方和及均

方根值都越小，拟合效果越好，知C的拟合效果最好.故选C.

10.【多选题】中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关.为了建立茶

水温度3随时间为变化的回归模型，小明每隔1min测最一次茶水温度，得到若干组数据

F=-

（必必），…，（及必）（其中-）,绘制了如下所示的故点

图.小明选择了如下两个经验回归模型来拟合茶水温度〉随时间x的变化情况.模型一:

y=kx+b(k<0A>0).模型二：y=kax+b(k>0,0<a<l,x>0),下列说法正

确的是(AB)

y/c

90-

80■

■

70-*•

♦•

''l'IIII1一

O12345x/min

A.茶水温度与时间负相美

B.由于水温开始降得快，后面降得慢，最后趋于平缓，因此模型二能更好的拟合茶水温度

随时间的变化情况

C.若选择模型二，则利用最小二乘法求得＞'=+力的图象一定经过点

D.当x=5时，通过模型二计算得y=65/，用温度计测得实际茶水温度为6S・2・C,则残

差为一0」

解：由散点图，知随时间增加，温度逐渐降低，且变化趋势趋于平缓.故为负相关且模型二

拟合更好，故AB正确.

根据非线性回归模型的拟合方法，令t则＞'=卜1+”此时拟合为线性经验回归方

程.对应的经验回归直线过点（"），原曲线不一定经过（°故C错误.

残差为真实值减估计值，即为65.2-65.1=0.1,故D错误.故选AE.

11.已知某个样本点中的变量工3线性相关，样本相关系数0,则在以（；）为坐标原点

的坐标系下的散点图中，大多数点都落在第二、四象限.

d--------------r＜Q

「7）2加「力，得•可GL同

解:由.所以大多数将一】与

乂一『异号.又（五田为坐标原点，所以大多数点都落在第二、四象限.故填二、四.

12.某省为做好刺梨产业的高质量发展，项目组统计了全省近5年刺梨产业综合总产值，（单

位：亿元）的各项数据如下：

年份20192020202120222023

12345

年份代码

23.137.062.1111.6150.8

综合总产值

（1）根据表格中的数据，可用一元线性回归模型刻画变量N与变量X之间的线性相关关系,

请用样本相关系数加以说明（精确到0・01）；

―1+J+1+4-H.

解：由题设，得1,

55

E（々一水修一53，£勺力一5药14838-5X3X77-328,E

t=ii=i

£a-声=£4-汗=55-$乂9=1。

，=1，=1,

55

SG-犷=£*一5尸宅40954—5X771:113Q9

tsit=iJ所以

〜328.8〜M98~A~

r华、----、0伞

・用由R6C,两个变量有强相关性.故可用一元线性回归模型刻画变量T

与变量又之间的线性相关关系.

（2）求出〉关于X的经验回归方程，并预测2024年底该省刺梨产业的综合总产值.

£（孙7但・，）

r=」「

|VY*.■：）”一

附：样本相关系数I.、一，经验回归直线？=bx+6中斜率和截距的最小二

b=---------------

乘法估计公式分别为7-阮

£y.=384.6£r?=5S%：%409s4=14831

产，泠77,1,，子,,,1113090%336.3.

［答案］

s

/华妇U号=弘8£

由⑴，得和讨

a之77-32.88X3=-218,

所以g=32.88X-21M

当*=