2025年考研数学二经典真题解析

全国硕士硕士入学统一考试

数学二试题

一、选择题：下列每题给出的四个选项中。只有一种选项符合题目规定.

(1)已知当X-*0时f(x)=3sinx-sin3x与ex"是等价无穷小，则().

(A)k=l,c=4(B；k=l,c=-4

(C)k=3,c=4(D；k=3,c=-4

-y(/)

(2)已知f(x)在产0处可导，且f(0)=0.则…/=().

(A)-2f(0)(B)-f(0)

(0f'(0)(D)0

(3)函数£«)二仙|6-1)6-2)&-3)|的驻点个数为().

(A)0(B)1

(02(D)3

(4)微分方程y〃-入2y=e"+e…(入>0)的特解形式为().

(A)a(eXx+e-Xx)(B)ax(eXx+eXx)

(C)x(aeVx+be'")(D)x'(ae"+be")

(5)设函数f(x),g(x)均有二阶持续导数,满足f(0)>0,g(0)<0,且

f(0)=g(0)=0.则函数Z=f(x)g(y)在点(0,0)处获得极小值的一种充足条件

是().

(A)r(oxo,g7o)>o(B)r(oxo,g7oxo

(0r(o)>o,g"(o)>o(D)r(o)>o,gx(o)<o

手会会

I=Insinxd%,J=lncot%dxK-IIncoszdx

(6)设小ht卜.则I,J,K

的大小关系是().

(A)I<J<K(B)I<K<J

(0J<T<K(D)K<J<T

(7)设A为三阶矩阵，将A的第2列加到第1列得矩阵B.再互换B的第2

H00、00)

Px=110P2=001

行与第3行得单位矩阵，记Looi；1010)，则A=().

(A)PR(B)

(C)P2Pl(D)P2Pl

(8)设A=(a”a2,a3,a)是四阶矩阵，A*为A的伴随矩阵，若(1,0,

1,0)是方程组Ax=0的一种基础解系，则A*x=0的基础解系可为().

(A)a,,a3(B)a,,a2

(C)a1，Q2，Q3(D)。2，3»4

二、填空题

1

⑼则W

(10)微分方程y'+y=。"cosx满足条件y(0)=0的解为y

y=JotanZck10£加於多)

(11)曲线I4/的弧长s=

则匚喇“岫

=

(12)设函数

(13)设平面区域D由直线y=x,圆x?+y2=2y及y轴所构成，则二重积分

Jjcythr

n=

(14)二次型f(x“x2,x：)=阳+3七+4+24汽+为均+2/米，则f

的正惯性指数为_____.

三、解答题解答应写出文字阐明、证明过程或演算环节.

/沁(1+/)#)irr|/式)=L⑸=0

(15)已知函数丁.设Li2’,

试求a的取值范围.

”=打1a+”了1，

(16)设函数尸y(x)由参数方程卜=父,"t+T确定，求尸y(x)的极值

和曲线y刊(x),的凹凸区间及拐点.

(17)设函数Z=f(xy,yg(x)),其中函数f具有二阶持续偏导数，函数晨x)

ikl

可导且在x=l处获得极值g(l)=L求赤办”"”「

(18)设函数y(x)具有二阶导数，且曲线1：y二y(x)与直线y二x相切于原

da_

点、,记a为曲线1在点(x,y)外切线的倾角，若忘一(k.求y(x)的体现式.

+—)<-

(19)①证明：对任意的正整数n,均有n+11n>"成立.

1111

②设”-2n(n=l,2,…)，证明数列瓜)收敛.

(20)一容器的内侧是由图中曲线y轴旋转一周而成的曲面，该曲线由

1I

x'+y'=2y(y22)与x，y』(yW2)连接而成.

(I)求容器的容积；

(II)若将容器内盛满的水从容器顶部所有抽出，至少需要做多少功？(长度

单位：m.重力加速度为gm/s2,水的密度为10'kg/nO.

(21)已知函数f(x,y)具有二阶持续偏导数，且f(l,y)二0,f(x,1)=0,

=a

D

其中D={(x,y)}0WxWl,0<yWl),计算二重积分

I=J欠4；

TT

(22)设向量组Q产(1,0,1)',a2=(0,1,1),a3=(1,3,5),不能由

向量组8尸(1,1,1)1B2=(1,2,3)T,B3=(3,4,a),线性表达

(I)求a的值；

(II)将3，32,B3用5，a2,a：,线性表达.

(23)设A为三阶实矩阵，A的秩为2,且

■11--11

40000

--I1.11

(I)求A的特性值与特性向量；

(II)求矩阵A.

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数学二试题解析

一、选择题

(1)［考点］无穷量的比较

［答案解析］由于

sin欠=%一=+o(x3),sin3x=3%-+o(x5)

62,因此

f(x)=4x'+o(x：')~4x",于是c=4,k=3,故选(C).

(2)［考点］导数的定义

［答案解析］

lim如)=!im^«-2=-f'⑹

Xas-0Xxo%

选⑴).

(3)［考点］确定f'(x)的零点个数

［答案解析］求出f'(x)：

rr/\_(一-2)(%-3)+(%—1)(3-3)+(——1)(%-2)

/一一

=3/-⑵+11

(x-1)(x-2)(x-3)

由鉴别式122-4X3Xn=12>0,=»3X2-12X+11有两个零点(不是X=1,

x=2,x=3),因此f(x)有两个驻点.故选(C).

(4)［考点］微分方程的求解

［答案解析］原方程对应的齐次方程的特性方程/-入J0,解得y尸入y2=-

人，则

yj入2y=e''的特解yi=xe'C

Xx

y"-入2y=的特解y2=xeC2

XxXx

故原方程的特解y=x(C1e+C2e-)故选故).

(5)［考点］运用导数求函数的极值

［答案解析］z=f(x)g(y)力的

B==/r(x)gXy)4=整=/"(%)g(y)C=粤=/(x)g*(y)

dxdydx办

在(0,0)点，A=r(0)g(0)B=f,(0)g(0)=0C=f(0)gz/(0)

£1(0,0)=§Lo,o)=°若z二/(山⑺在(。，。)有极小值・

AC-B2>0且A>0=>r(0)<0,g〃(0)>0故选(A).

(6)［考点］定积分的计算

.欠G(。，手)

［答案解析］I4/sinx<eosx<l<cotx则

Insinx<lncosx<0<lncotx

XXJL

卜彳J二(IncotJtdx>0(insinxdx<JIncosxdx<0

即IVKVJ故选⑻.

(7)［考点］矩阵的初等变换

ap

［答案解析］显然PZAPLE,二尸丁P7，由于2'=2f因此

A=巴卜丁，故选(D).

(8)［考点］线性方程组的基础解系

［答案解析］由于Ax=0基础解系含一种线性无关的解向量，因此r(A)=3,

于是r(A*)=l,故A*x=0基础解系含3个线性无关的解向量，

又A'A二|A|E二0且r(A)=3,因此A的列向量组中含A*x=0的基础解系，

由于(1,0,1,01是方程组Ax=0的基础解系，因此。1+。3=0，

故a”a2,a1或。3,Q1线性无关，显然a2，。3,%为A"x=0的

一种基础解系，故选(D).

(9)总

［考点］极限的计算

［答案解析］

二则(i+H^一

=liml1+

x->0\2

(10)eXsinx

［考点］一阶微分方程求解

［答案解析］

y-e-/1<u(C+je'^cosxel1^dx)=

°(C+sinx),由于y(0)=0,则C=0,

故y=e'sinx.

(11)，2+1)

［考点］曲线积分的计算

［答案解析］

IT

s=(V1+tan\<h;=In|secx+tanx|；=In(衣+1).

(12)T

［考点］反常积分“算

4x

x/,(x)dx=1Ae4T-%dx

=-(xde-Ax

48

+8

+

=-xe^0

-AA“1

［答案解^)口o=T

7

(13)12

［考点］二重积分的计算

IdnV

2

(Tpcos。♦sin。♦p•dp

［答案解析］D

224sin4(9

J-4~cosflsiniMfl

=4呼卜知-窗卜NW

(14)2

［考点］二次型

［答案解析］

ZL11\1-A11

A=131,IA-AEI13-A1

<111；111-A

=-A(A-1)(A-4)=0.

特性值人尸0,入:,入3=4,f惯性指数为2.

三、解答题

(15)［考点］极限的逆问题

limF(z)=+x

［答案解析］当时，由于一〃，因此结论不对的;

limF(左)二十8

当aVO时，由于―,因此结论也不对的;

当a>0时，

ln(1+£)

lim=lim

—J-ffOOax

]n(1+/)-2x1

%；工=加r77晨」)一=0得Q>1.

[ln(L+l2)dt1>।2

lim*%)=lim——-——=lim，k<；i=]丽三二0得2>。-L

cio*xfxKWax工卬ax

因此aV3,于是lVaV3.

(16)［考点］运用导数求函数的凹凸区间及拐点

妇就=曰=。—

段嘀/山41

［答案解析］d-—七/市-(八］广

2

dy4t1n

71=~ri—rvy=<0

当t=l时，由于业~H+1)2,因此当t=-1即x=7时,

函数取极大值y=l.

dl4:1q

-=-----------1=——>n0_?

当tn时，由于1k(t+1>2，因此当t=l即“二g

_L

时，函数取极小值,--干.

2d(右)/dt

±2=④=4t=0

令加2dx/dt(『+1”得t=o,

B<0白>0,

当tvo时，dx2,当t>0时'取2

xe(——)

当tvo时即I'3/时，函数为凸函数，

XEf工-+81

当1>0即、3‘7时，函数为凹函数.

(17)［考点］二元函数求偏导

［答案解析］由g(x)可导且在x=l处取极值g(l)=l,因此g'(1)=0.

工=)|［明邓«))+广21>力邓(%)］招'(动，

亦

A=/'i[仍那⑺]+>Wii(%y,居(%))+&(%)/%(明然G))〕

dxdy

+/1[町,ygGHg'G)+，&'(%)[/口(町'，yg(6)+g(x)A(^r^(x))],

则系一川4搦，D+儿(1，D+几(1，》

(18)［考点］运用导数求曲线的切线

djr_.

［答案解析］dx-na,两边对x得

2da,,

seca,—=y

M,即(1+y")y'=y〃，

广(1+/2)/.

于是有，(°)二°，)''(())二1

'""半半=p(1+p2)

令y'=P，则"，于是有匕变量分离得

dx

&占)丑,两边积分得

尸

1+a

由P(0)=1

1.2P2

C=-31n占%=~ln---------r,

得22,代入得21+尸

p=业=<.

解出/2-a由y(0)=0.

面积分得：

•e।*•en

=arcun--|n=arcsin―——

8回4

(19)［考点］数列与积分中值定理综合题

［答案解析］证明：①f(x)=ln(l+x)在BN应用中值定理

ln(l+：)=1++

则大〈占“

其中几

n

%=1+可+…+---ln(n+1)

ZA+1

4胃一%=,TT7-ln(n4-1)+Jnn=~~r--,n<f<n+1

〃+17i+I4

ln(n+1)-Inrt="(n+1-n)<^<n+1

其中f

nM

易知a-afl<0,则V当即｛an｝单调递减

又

an=1+-4-+->In>(1++(1++…+ln(]+—j-Inn.

=In-Y-+Ln+In"士L-Inn

12n

=ln(n+1)-Inn=In国土」>0

TL

因此｛aj单调递减有界,故以｝收敛.

(20)［考点］积分的应用

［答案解析］(I)

7r，⑵-炉)dy+£(1-y2)dj9位

V=T

(II)

卜二(p对/。)(2-力打二卬”[j；(i-/)(2_)(i+

yy-?)(2-y)dr

1

=p0[f/1-?)(2-r)dy+j-/)(1+y)dy]

1,

=pg7Tp3(l-/)dy=^'3^-j/|7J

=*3偿i]27135

(21)［考点］二重积分的计算

，=/力力")(%。)山如=上&［好)(孙y)dy

［答案解析］。

［)/］(%,7)＜卬=［rTJ&y)=)/l(%,y)|；-1/［G,y)dy,

=［「(“」曲「卜回广*(出/d.

：-(比,

于是3(")y)dy

=-[d4M)(%,y)ck

=_「(与"方，y)I：dy_[dy]/(i：,>>d4_j

=[匕1/(夕,,)Ar=J/'(x,y)(kdy=a.

D

(22)[考点]向量的线性有关性

101

0