第3节　不等式及其性质

3/3第3节不等式及其性质1.理解用作差法比较两个实数大小的理论依据.2.理解不等式的性质，掌握不等式性质的简单应用.比较两个数（式）的大小1.作差法a－b>0⇔ab2.作商法a（1）已知0＜a＜1b，且M＝11+a＋11+b，N＝a1+a＋b1+b，A.M＞N B.M＜NC.M＝N D.不能确定（2）（2026·山西晋城模拟）若实数m，n，p满足m＝4e35，n＝5e23，p＝18eA.p＜m＜n B.p＜n＜mC.m＜p＜n D.n＜p＜m听课记录比较大小的常用方法练1（1）〔多选〕下列不等式中正确的是（）A.x2－2x＞－3（x∈R）B.a3＋b3≥a2b＋ab2（a，b∈R）C.a2＋b2＞2（a－b－1）D.ab＜a+2026b+2（2）〔一题多解〕已知c＞1，且x＝c+1－c，y＝c－c－1，则xy（填不等式的基本性质性质1对称性：a＞b⇔ba；性质2传递性：a＞b，b＞c⇒ac；性质3可加性：a＞b⇔a＋c＞b＋c；性质4可乘性：a＞b，c＞0⇒acbc；a＞b，c＜0⇒acbc；性质5同向可加性：a＞b，c＞d⇒a＋cb＋d；性质6同向同正可乘性：a＞b＞0，c＞d＞0⇒acbd；性质7同正可乘方性：a＞b＞0⇒an＞bn（n∈N，n≥2）；性质8可开方性：a＞b＞0⇒na＞nb（n∈N，n≥结论：（1）倒数性质：①a＞b，ab＞0⇒1a＜1b；②a＜0＜b⇒1a＜1b；③a＞b＞0，d＞c＞0⇒（2）分数性质：若a＞b＞0，m＞0，则①真分数性质：ba＜b＋ma＋m；ba＞b②假分数性质：ab＞a＋mb＋m；ab＜a已知a，b，c，d均为实数，下列不等关系推导成立的是（）A.若a＞b，c＜d⇒a＋c＞b＋dB.若a＞b，c＞d⇒ac＞bdC.若bc－ad＞0，ca－db＞0⇒bD.若a＞b＞0，c＞d＞0⇒ad＞听课记录1.判断不等式成立的常用方法（1）利用不等式的性质逐个验证；（2）利用特殊值法排除错误选项；（3）作差法；（4）构造函数，利用函数的单调性.2.证明不等式成立的策略利用不等式的性质证明不等式成立的实质是根据性质把已知条件不断变形最后推出待证结论成立.注意每个性质成立的条件.练2（1）〔多选〕已知a，b∈R，则下列选项中能使1a＜1b成立的是（A.b＞a＞0 B.a＞b＞0C.b＜0＜a D.b＜a＜0（2）已知a，b，c，d均为实数，若bc－ad≥0，bd＞0，求证：a－bb不等式性质的应用教材母题：〔人A必修一P43习题5题〕已知2＜a＜3，－2＜b＜－1，求2a＋b的取值范围.细研教材：该母题的实质是已知部分量的取值范围，求整体的取值范围.解决该类问题的关键是充分利用不等式的性质，对给定的条件进行整合进而求出某整体范围.其求解策略为：建立待求范围式的整体与已知范围式的整体的关系，最后一次性运用不等式的性质求得取值范围.提醒（1）不等式性质成立的条件；（2）如若多次使用不等式的可加性，会扩大待求式的取值范围.已知－1＜x＜4，2＜y＜3，则xy的取值范围是.听课记录变式若将例3已知条件改为“－1＜x－y＜4，2＜x＋y＜3”，则3x＋2y的取值范围为.练3为了加强家校联系，王老师组建了一个由学生、家长和教师组成的微信群.已知该群中男学生人数多于女学生人数，女学生人