第3节　等式性质与不等式性质

1/1第3节等式性质与不等式性质1.掌握等式的性质.2.会比较两个数（式）的大小.3.理解不等式的性质，并能简单应用.知识梳理1.两个实数比较大小的方法（1）作差法a－b>0⇔a＞b（2）作商法a2.等式的性质性质1对称性：如果a＝b，那么b＝a；性质2传递性：如果a＝b，b＝c，那么a＝c；性质3可加（减）性：如果a＝b，那么a±c＝b±c；性质4可乘性：如果a＝b，那么ac＝bc；性质5可除性：如果a＝b，c≠0，那么ac＝b3.不等式的性质性质1对称性：a＞b⇔b＜a；性质2传递性：a＞b，b＞c⇒a＞c；性质3可加性：a＞b⇔a＋c＞b＋c；a＞b，c＞d⇒a＋c＞b＋d；性质4可乘性：a＞b，c＞0⇒ac＞bc；a＞b，c＜0⇒ac＜bc；a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd；性质5可乘方性：a＞b＞0⇒an＞bn（n∈N，n≥2）；性质6可开方性：a＞b＞0⇒na＞nb（n∈N，n≥1.倒数性质（1）a＞b，ab＞0⇒1a＜1（2）a＜0＜b⇒1a＜1（3）a＞b＞0，d＞c＞0⇒ac＞b2.分数性质：若a＞b＞0，m＞0，则（1）真分数性质：ba＜b＋ma＋m；ba＞b（2）假分数性质：ab＞a＋mb＋m；ab＜a诊断自测1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）（1）两个实数a，b之间，有且只有a＞b，a＝b，a＜b三种关系中的一种.（√）（2）若ab＞1，则a＞b.（×（3）a＝b⇔ac＝bc.（×）2.设M＝2a（a－2），N＝（a＋1）（a－3），则（）A.M＞N B.M≥NC.M＜N D.M≤N解析：A因为M－N＝2a（a－2）－（a＋1）（a－3）＝a2－2a＋3＝（a－1）2＋2＞0，所以M＞N.故选A.3.已知2＜a≤3，－2＜b≤－1，则a＋2b的最大值为（）A.－1 B.0C.1 D.2解析：C因为－2＜b≤－1，所以－4＜2b≤－2.又2＜a≤3，所以－2＜a＋2b≤1.4.（2026·河北沧州名校联考质量监测）若a＜b＜0，则下列不等式中一定成立的是（）A.a＋c＜b＋c B.1a＜C.ac＜bc D.1｜a解析：A当a＜b＜0时，选项A中a＋c＜b＋c恒成立；选项B中1a＞1b；选项C依赖于c的符号；选项D中1｜a｜＜比较数（式）的大小（基础自学过关）1.已知0＜a＜1b，且M＝11+a＋11+b，N＝a1+a＋b1+bA.M＞N B.M＜NC.M＝N D.不能确定解析：A∵0＜a＜1b，∴1＋a＞0，1＋b＞0，1－ab＞0.∴M－N＝1－a1+a＋1－b1+b＝2（2.〔多选〕若a＞b＞0，那么下列不等式一定成立的是（）A.a＋1b＞b＋1a B.aC.a＞ab＞b D.a3＋b3≥a2b＋ab2解析：AC对于A，a＋1b－b－1a＝（a－b）（1＋1ab）＞0，故A正确；对于B，ab＞1＞ba＞0，故B错误；对于C，a＞b＞0，aab＝ab＞1，所以a＞ab，因为abb＝ab＞1，所以ab＞b，所以a＞ab＞b，故C正确；对于D，a3＋b3－a2b－ab2＝a2（a－b）＋b2（b－a）＝（a－b）（a2－b2）＝（a－b）2（a＋b）.因为（a－b）2＞0，a＋b＞0，所以a3＋b3＞a23.〔一题多解〕已知c＞1，且x＝c+1－c，y＝c－c－1，则x＜y（填解析：法一由题设，易知x＞0，y＞0，又xy＝c+1－cc－c－1＝法二设f（x）＝x－x－1，定义域为[1，＋∞），则f（x）＝1x＋x－1，故f（x）为减函数，又c＋1＞c＞1，则f（c＋1）＜f（不等式的基本性质（师生共研过关）（1）（2026·浙江杭州质检）若a＞b，则（D）A.a2＞b2 B.ab＜C.1a＜1b D.a｜a｜＞b｜解析：对于A，若取a＝2，b＝－3，满足a＞b，此时a2＜b2，所以A错误；对于B，当a＞b＞0时，由假分数性质知B错误；对于C，若取a＝1，b＝－1，满足a＞b，此时1a＞1b，所以C错误；对于D，构造函数y＝x｜x｜＝x2，x≥0，－x2，x<0，易知该函数在R上为增函数，所以当a＞b时，有（2）〔多选〕（2025·江苏常州二模）若c3a＜c3b＜0，则（A.｜a｜＜｜b｜ B.ac＜bcC.a－bc＞0 D.0＜解析：由c3a＜c3b＜0得c≠0，当c＞0时，由c3a＜c3b＜0得1a＜1b＜0，即b＜a＜0，可得0＜ab＜1，当c＜0时，由c3a＜c3b＜0得1a＞1b＞0，即b＞a＞0，所以0＜ab＜1，故A、D正确；由c3a＜c3b＜0得c3a－c3b＝c3（b－a）ab＜0，且a与b同号，即ab＞0，所以c与b－a异号，即c与a－b同号，由ac＜判断不等式的常用方法（1）利用不等式的性质逐个验证，要特别注意前提条件；（2）作差法；（3）利用特殊值法排除错误项；（4）构造函数，利用函数的单调性.训练1〔多选〕（2025·山东临沂二模）已知a＞b＞c，则下列不等式正确的是（）A.1a－c＜1a－b BC.a＋b＞c D.a2＋c2＞b2解析：AD对于A，1a－c－1a－b＝（a－b）－（a－c）（a－c)(a－b）＝c－b（a－c)(a－b），因为a＞b＞c，所以c－b＜0，a－c＞0，a－b＞0，即c－b（a－c)(a－b）＜0，所以1a－c＜1a－b，故A正确；对于B，取b＝0，此时ab2＝cb2＝0，故B错误；对于C，取a＝－1，b＝－2，c＝－3，则a＋b＝c＝－3，故C错误；对于D，若a＞b＝0＞c，则a2＋c2＞b2＝0显然成立，若a＞b＞0＞c，则a2＋c2＞不等式性质的应用（师生共研过关）已知6＜a＜60，15＜b＜18，则下列结论正确的是（）A.415＜ab＜203 B.21＜a＋2C.－12＜a－b＜45 D.76＜a＋解析：C因为15＜b＜18，所以118＜1b＜115，又6＜a＜60，所以13＜ab＜4，所以A错误；因为6＜a＜60，15＜b＜18，所以36＜a＋2b＜96，所以B错误；因为15＜b＜18，所以－18＜－b＜－15，又6＜a＜60，所以－12＜a－b＜45，所以C正确；因为6＜a＜60，15＜b＜18，a＋bb＝ab＋1，又13＜ab＜4，所以43变式若将本例条件改为“－1＜x－y＜4，2＜x＋y＜3”，则3x＋2y的取值范围为（92，192）解析：设3x＋2y＝λ（x－y）＋μ（x＋y），即3x＋2y＝（λ＋μ）x＋（μ－λ）y，于是λ＋μ=3，μ－λ=2，解得λ＝12，μ＝52，∴3x＋2y＝12（x－y）＋52（x＋y）.∵－1＜x－y＜4，2＜x＋y＜3，∴－12＜12（x－y）＜2，5＜52（x＋y）＜152，∴92＜12利用不等式的性质求代数式的取值范围的注意点（1）必须严格运用不等式的性质；（2）多次运用不等式的性质有可能扩大变量的取值范围，解决途径是先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，然后通过“一次性”不等关系的运算求解范围.训练2（1）某班有学生参加才艺比赛，已知每人只参加一项比赛，且参加书法比赛的人数多于参加唱歌比赛的人数，参加唱歌比赛的人数多于参加折纸比赛的人数，参加折纸比赛的人数的2倍多于参加书法比赛的人数，则参加这三项比赛的总人数至少为12；解析：设参加书法、唱歌、折纸比赛的人数分别为a，b，c，由题意得a≥b＋1，b≥c＋1，2c≥a＋1，所以a＋b＋2c≥b＋1＋c＋1＋a＋1，所以c≥3，所以b≥4，a≥5，所以参加这三项比赛的总人数至少为12.（2）已知a＞b＞c，2a＋b＋c＝0，则ca的取值范围是（－3，－1）解析：因为a＞b＞c，2a＋b＋c＝0，故a＞0，c＜0，所以ca＜0，1＞ba＞ca，2＋ba＋ca＝0，所以ba＝－ca－2，所以1＞－2－ca＞ca，解不等式得－3＜ca＜－（时间：60分钟，满分：95分）[备注：单选、填空题5分，多选题6分]1.已知a＞0，b＞0，设m＝a－2b＋2，n＝2a－b，则（）A.m≥n B.m＞nC.m≤n D.m＜n解析：A由题意可知，m－n＝a－2b＋2－2a＋b＝（a－1）2＋（b－1）2≥0，当且仅当a＝b＝1时，等号成立，即m≥n.故选A.2.已知a，b∈R，若a＞b，1a＜1b同时成立，则（A.ab＞0 B.ab＜0C.a＋b＞0 D.a＋b＜0解析：A因为1a＜1b，所以1a－1b＝b－aab＜0，又a＞b，所以b－a＜3.已知a，b，c，d均为实数，下列不等关系推导成立的是（）A.若a＞b，c＜d⇒a＋c＞b＋dB.若a＞b，c＞d⇒ac＞bdC.若bc－ad＞0，ca－db＞0⇒bD.若a＞b＞0，c＞d＞0⇒ad＞解析：D对于A，若a＞b，c＜d，取a＝2，b＝1，c＝－2，d＝－1，则a＋c＝b＋d＝0，故A错误；对于B，若a＞b，c＞d，取a＝1，b＝0，c＝0，d＝－1，则ac＝bd＝0，故B错误；对于C，若bc－ad＞0，ca－db＝bc－adab＞0，则ab＞0，无法得出b＜0，故C错误；对于D，若a＞b＞0，c＞d＞0，可得1d＞1c＞0，则ad＞bc＞0，所以ad4.（2025·T8联考）已知实数a＜b，则“m＞0”是“ab＜a＋mb＋A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析：D已知实数a＜b，若m＞0，例如a＝－2，b＝－1，m＝2，得ab＞a＋mb＋m，∴“m＞0”不是“ab＜a＋mb＋m”的充分条件；若ab＜a＋mb＋m，例如a＝0，b＝1，m＝－2符合此不等式，但是m＜0，∴“m＞0”不是“ab＜5.已知－3＜a＜－2，3＜b＜4，则a2b的取值范围为（A.（1，3） B.（43，9C.（23，34） D.（12解析：A因为－3＜a＜－2，所以4＜a2＜9，而3＜b＜4，即14＜1b＜13，故a2b的取值范围为6.〔多选〕若a＜0＜b，且a＋b＞0，则（）A.ab＞－1 B.｜a｜＜｜bC.1a＋1b＞0 D.（a－1）（b－1解析：ABD对于A，∵a＋b＞0，∴a＞－b，又b＞0，∴ab＞－1，∴A正确；对于B，∵a＋b＞0，∴b＞－a＞0，∴｜b｜＞｜a｜，∴B正确；对于C，取b＝2，a＝－1满足a＜0＜b，且a＋b＞0，但1a＋1b＝－1＋12＝－12＜0，∴C错误；对于D，∵a＜0＜b，且a＋b＞0，∴a＋b＞0＞ab，∴（a－1）（b－1）＜1，∴D正确.综上，选A7.（2026·浙江杭州模拟）在民宿的改造中，窗户面积与地板面积之比越大，采光效果越好.现有一所地板面积为180平方米的民宿需要同时增加窗户和地板的面积，已知地板增加的面积是窗户增加的面积的2倍，且民宿改造后的采光效果不逊于改造前，则改造前的窗户面积最大为90平方米.解析：设改造前的窗户面积为x，窗户增加的面积为y，x＞0，y＞0，依题意x180≤x＋y180+2y，即180x＋2xy≤180x＋180y，2xy≤180y，x≤908.能够说明“若ax＞ay，a＜0，则x＞y”是假命题的一组整数x，y的值依次为－1，1（答案不唯一）解析：由ax＞ay，a＜0，可得1x＜1y.当x，y同号时，可得x＞y；当x，y异号时，可得y＞0＞x.又命题为假命题，故取整数x，y满足y＞0＞x即可，可取x＝－1，9.（13分）已知实数a，b满足－3≤a＋b≤2，－1≤a－b≤4.（1）求实数a，b的取值范围；（2）求3a－2b的取值范围.解：（1）由－3≤a＋b≤2，－1≤a－b≤4，两式相加得－4≤2a≤6，则－2≤a≤3.由－1≤a－b≤4，得－4≤－a＋b≤1.又－3≤a＋b≤2，两式相加得－7≤2b≤3，则－72≤b≤3综上，实数a的取值范围是[－2，3]，实数b的取值范围是［－72，32（2）设3a－2b＝m（a＋b）＋n（a－b）＝（m＋n）·a＋（m－n）b，则m＋n∴3a－2b＝12（a＋b）＋52（a－∵－3≤a＋b≤2，－1≤a－b≤4，∴－32≤12（a＋b）≤1，－52≤52（a－b）≤10，则－4≤3a－2∴3a－2b的取值范围是[－4，11].10.若实数m，n，p满足m＝4e35，n＝5e23，p＝18eA.p＜m＜n B.p＜n＜mC.m＜p＜n D.n＜p＜m解析：A因为实数m，n，p满足m＝4e35，n＝5e23，p＝18e2，则m＞0，n＞0，p＞0，所以mn＝4e355e23＝45·e－115＜1，所以m＜n；又mp＝411.已知2＜x＜4，－3＜y＜－1，则xx－2yA.（110，14） B.（14C.（15，1） D.（23，解析：B原式分子和分母同时除以x，得xx－2y＝11－2yx，由条件得2＜－2y＜6，14＜1x＜12，所以24＜－2yx＜62，即12＜－2yx12.〔多选〕（2026·江苏南京六校联考）已知实数a，b，c满足a＞b＞c，且a＋b＋c＝0，则下列说法正确的是（）A.1a－c＞1b－c B.C.a2＞b2 D.ab＋bc＞0解析：BC对于A，∵a＞b＞c，∴a－c＞b－c＞0，∴1a－c＜1b－c，A错误；对于B，∵a＞b＞c，a＋b＋c＝0，∴a＞0，c＜0，a－b＞0，∴b＋c＝－a＜0，∴a－b＞b＋c，即a－c＞2b，B正确；对于C，∵a－b＞0，a＋b＝－c＞0，∴a2－b2＝（a＋b）（a－b）＞0，即a2＞b2，C正确；对于D，ab＋bc＝b（a＋c）＝－b213.（2026·海南海口模拟）已知△ABC的三边长分别为a，b，c，且满足b＋c≤3a，则c