微专题　比赛情境下的概率分布问题

1/1微专题比赛情境下的概率分布问题体育比赛中赛制的选择，输赢的估计等方面都蕴含着非常丰富的概率知识.解决体育比赛中的概率问题首先要对体育比赛的赛制有所了解，其次是能准确判断事件之间是否互斥、独立，理解积事件、和事件，及n次独立重复实验k次发生的意义，真正把握概念和各模型之间的联系与区别.n局m胜制〔多选〕在某次国际围棋比赛中，甲、乙两人进入最后决赛，决赛采用五局三胜制和三局两胜制其中一种，若每局比赛甲胜乙的概率都为23，没有和局，且各局比赛的胜负互不影响，则下列说法中正确的是（BD）A.若采用三局两胜制，甲获得冠军时，比分为2∶1的可能性最大B.若采用五局三胜制，甲获得冠军时，比分为3∶0和3∶1的可能性相等C.若采用五局三胜制，则比赛对乙更有利D.若采用五局三胜制，乙先赢了一局，甲仍有超过50％的可能性获得冠军解析：对于A，若采用三局两胜制，甲以2∶0获胜的概率为49，甲以2∶1获胜的概率为C21×23×13×23＝827＜49，故A错误；对于B，若采用五局三胜制，甲以3∶0获胜的概率为827，甲以3∶1获胜的概率为C32×（23）2×13×23＝827，故B正确；对于C，因为采用三局两胜制甲胜的概率为49＋827＝2027，采用五局三胜制甲胜的概率为827＋827＋C42×（23）2×（13）2×23＝6481，所以采用三局两胜制和五局三胜制乙胜的概率分别为727和1781，所以采用三局两胜制对乙更有利，故C错误；对于D，若采用五局三胜制，n局m胜制的规则特点为一旦某方获得m次胜利即终止比赛，所以若比赛提前结束，则一定在最后一次比赛中某方达到m胜.连胜制甲、乙两队举行比赛，比赛共有7局，若有一方连胜3局，则比赛立即终止.已知甲每局获胜的概率为23，则甲在第5局终止比赛并获胜的概率为881解析：要使甲在第5局终止比赛并获胜，可分为2类情况：①甲前2局均失败，后3局中连胜，则甲在第5局终止比赛并获胜的概率为p1＝（1－23）×（1－23）×23×23×23＝8243；②甲第1局胜，第2局负，后3局中连胜，则甲在第5局终止比赛并获胜的概率为p2＝23×（1－23）×23×23×23＝16243.所以甲在第5局终止比赛并获胜的概率为p＝连胜制的规则特点是：规定某方连胜m场即终止比赛，所以若提前结束比赛，则最后m场某方连胜且之前没有某方达到m场连胜.比分差距制乒乓球比赛的规则是首先由发球员发球2次，再由接发球员发球2次，两者交替，胜者得1分，败者得0分.在一局比赛中，先得11分的一方为胜方（胜方至少比对方多2分），10平后，先多得2分的一方为胜方.甲、乙两位同学进行乒乓球单打比赛，甲在一次发球中，得1分的概率为35，乙在一次发球中，得1分的概率为12.如果在一局比赛中，由乙同学先发球（1）甲、乙的比分暂时为8∶8，求最终甲以11∶9赢得比赛的概率；解：甲以11∶9赢得比赛，共计20次发球，在后4次发球中，需甲在最后一次获胜，最终甲以11∶9赢得比赛的概率为P＝C21×（12）2×（35）2＋（12）2×2（2）求发球3次后，甲的累计得分的分布列及数学期望.解：设发球3次后甲累计得分为随机变量X，X的可能取值为0，1，2，3.P（X＝0）＝（12）2×25＝P（X＝1）＝C21×（12）2×25＋（12）2P（X＝2）＝C21×（12）2×35＋（12）2P（X＝3）＝（12）2×35＝所以随机变量X的分布列为A0123P1723所以E（X）＝0×110＋1×720＋2×25＋3×3比分差距制的规则特点是：规定某方比对方多m分即终止比赛，此时首先根据比赛局数确定比分，在得分过程中要注意使两方的分差小于m.积分制（2026·福建厦门模拟）甲、乙、丙、丁四支球队进行单循环小组赛，比赛分三轮，每轮两场比赛，具体赛程如下表：第一轮甲VS乙丙VS丁第二轮甲VS丙乙VS丁第三轮甲VS丁乙VS丙规定：每场比赛获胜的球队记3分，输的球队记0分，平局两队各记1分，三轮比赛结束后以总分排名.总分相同的球队以抽签的方式确定排名，排名前两位的球队出线.假设甲、乙、丙三支球队水平相当，彼此间胜、负、平的概率均为13，丁的水平较弱，面对其他任意一支球队胜、负、平的概率都分别为16，12，1（1）求丁的总分为7分的概率，判断此时丁能否出线，并说明理由；解：记第i轮比赛丁胜、平、负的事件分别为Ai，Bi，Ci（i＝1，2，3），每场比赛结果相互独立.丁总分为7分，则丁三场比赛两胜一平，记丁三轮比赛两胜一平的事件为D，P（D）＝P（A1A2B3）＋P（A1B2A3）＋P（B1A2A3）＝3×（16）2×13＝136，丁总分7分一定出线，理由如下：丁三场比赛中赢两场，这两场丁的对手比分最多6分.由于小组赛两队出线（2）若第一轮比赛结束，甲、乙、丙、丁四支球队的积分分别为3，0，3，0，求丁以6分的成绩出线的概率.解：第一轮比赛，甲胜乙，丙胜丁.又丁总分为6分，则丁对战甲、乙都获胜，此时，乙队总分最多3分，少于丁队总分，①第二轮中若甲负于丙或平丙时，甲总分最多4分，少于丁队总分，此时甲、乙两队总分少于丁队总分，丁一定出线，其相应的概率为P1＝［（13＋13）×16］×1②第二轮中若甲胜丙，第三轮中丙平乙或负于乙时，丙总分最多4分，此时丙、乙两队总分少于丁队总分，丁一定出线，其相应的概率为P2＝（13×16）×［16×（13＋1③第二轮中若甲胜丙，第三轮中丙胜乙时，甲、丁、丙队总分均为6分，此时由抽签确定出线，三队中有两队出线，每队出线的概率为23，丁队出线的概率P3＝（13×16）×（13×16）综上，丁以6分出线的概率为P1＋P2＋P3＝154＋1162＋1486＝9+3+1规定m场后各队按照积分排名决定比赛名次，此时要注意积分的规则.淘汰制（2026·湖北武汉二调）有A，B，C，D，E，F，G，H八名运动员参加乒乓球赛事，该赛事采用预赛、半决赛和决赛三轮淘汰制决定最后的冠军，八名运动员在比赛开始前抽签随机决定各自的位置编号.已知B～H这七名运动员互相对决时彼此间的获胜概率均为12，A运动员与其他运动员对决时，A获胜的概率为23，每场对决没有平局，且结果相互独立（1）求这八名运动员各自获得冠军的概率；解：A夺冠即为三轮比赛都获胜，所以A夺冠的概率为（23）3＝8由题意，B～H七名运动员水平相同，且八名运动员各自夺冠概率之和为1.所以B～H七名运动员各自夺冠的概率均为17×（1－827）＝（2）求B与A对决过且最后获得冠军的概率；解：记事件B＝“B获得冠军”，事件A＝“B与A对决过”，事件Ai＝“B与A在第i轮对决”，i＝1，2，3.不妨设A在①号位，则B在第1，2，3轮能与A对决时其位置编号分别为②，③④，⑤⑥⑦⑧.P（AB）＝P（（A1＋A2＋A3）B）＝P（A1B）＋P（A2B）＋P（A3B），P（A1B）＝17×（1－23）×12×1P（A2B）＝27×23×12×（1－23）×P（A3B）＝47×23×12×23×12×（1－所以P（AB）＝184＋163＋4189＝37756（3）求B与C对决过且最后获得冠军的概率.解：记事件C＝“B与C对决过”.B没有与A对决过且最后获得冠军的概率为P（AB）＝P（B）－P（AB）＝19189－37756＝P（BC）＝P（（A＋A）BC）＝P（ABC）＋P（ABC）＝P（AB）P（C｜AB）＋P（AB）P（C｜AB）.由题意，C～H六名运动员与B对决过的概率相同，B夺冠时共与三名运动员对决.所以P（C｜AB）＝13，P（C｜AB）＝12，代入得P（BC）＝37756×13＋13252×12在比赛的过程中，如果在某一阶段失败，则被淘汰.此类问题要注意若达到第m阶段，则意味着前（m－1）个阶段均能通关.1.甲、乙两位同学进行乒乓球比赛，约定打满4局，获胜3局或3局以上的赢得比赛（单局中无平局）.若甲、乙每局获胜的概率相同，则甲赢得比赛的概率为（）A.316B.14 C.516解析：C甲、乙打满4局比赛的胜负情况如图所示，由树状图可知，胜负情况共有16种，其中甲赢得比赛的情况有5种，故所求概率P＝5162.〔一题多解〕某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，回答问题正确者进入下一轮考核，否则即被淘汰.已知某选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为45，35，25，且各轮问题能否正确回答互不影响.则该选手被淘汰的概率为A.12 B.C.83100 D.解析：D法一选手在第一轮被淘汰，则P1＝15，选手在第二轮被淘汰，则P2＝45×25＝825，选手在第三轮被淘汰，则P3＝45×35×35＝36125，故选手被淘汰的概率为P＝P1＋法二设事件Ai为“选手正确回答第i轮问题”，事件A为“选手被淘汰”，所以P（A）＝1－P（A）＝1－P（A1A2A3）＝1－45×35×253.〔多选〕甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛打满2k（k∈N*）局，且每局甲获胜的概率和乙获胜的概率均为12.若某人获胜的局数大于k，则此人赢得比赛.下列说法正确的是（A.k＝1时，甲、乙比赛结果为平局的概率为1B.k＝2时，甲赢得比赛与乙赢得比赛的概率均为5C.在2k局比赛中，甲获胜的局数的期望为kD.随着k的增大，甲赢得比赛的概率会越来越接近1解析：BCD对于A，k＝1时，甲、乙比赛结果为平局的概率为C21×12×12＝12，故A错误；对于B，k＝2时，甲赢得比赛的概率为C44·（12）4＋C43·（12）4＝516，乙赢得比赛的概率为C44·（12）4＋C43·（12）4＝516，故B正确；对于C，由二项分布的数学期望公式知，在2k局比赛中，甲获胜的局数的期望为2k×12＝k，故C正确；对于D，在2k局比赛中，甲赢得比赛的概率为12·［14.（2026·北京市第35中学模拟）为丰富校园文化生活，学校举办了乒乓球比赛.决赛采用三局二胜制的比赛规则（先赢得2局的队伍获胜并结束比赛）.已知甲、乙两队进入决赛，且根据以往比赛统计得知，在每局比赛中甲队获胜的概率为p（0＜p＜1），乙队获胜的概率为1－p，每局比赛的结果互不影响.（1）若p＝23，求乙队以2∶0获胜的概率（2）若p＝23，比赛结束时甲队获胜的局数记为X，求X的期望（3）若比赛打满3局的概率记为f（p），请直接写出f（p）的最大值及此时p的值，并解释此时的实际意义.解：（1）乙队以2∶0获胜意味着乙队在前两局中均获胜.乙队每局获胜的概率为1－p，因此乙队以2∶0获胜的概率为：P（乙队2∶0获胜）＝（1－p）2＝（1－23）2＝（13）2＝（2）比赛结束时甲队获胜的局数X的可能取值为0，1，2.计算各情况的概率如下：X＝0：甲队一局未胜，即乙队以2∶0获胜，概率为P（X＝0）＝（1－p）2.X＝1：甲队仅胜1局，乙队胜2局，可能的情况有两种（甲胜第1局或第2局），概率为：P（X＝1）＝2p（1－p）2.X＝2：甲队胜2局，可能的情况有两种（甲胜前2局或前2局胜1局），概率为：P（X＝2